Zentralitäten in Graphen

Zentralitäten in Graphen
Diplomarbeit
von
Burkhard Möller
Universität Konstanz
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion
Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft
Juli 2002
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei Professor Dr. Dorothea Wagner und
Dr. Ulrik Brandes für die interessante Aufgabenstellung und die Betreuung
der Diplomarbeit bedanken. Desweiteren danke ich meinem guten Freund
Wolfgang Freitag, mit dem ich des öfteren über das Thema philosophierte.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Vereinbarungen
5
3 Zentralitäten in Graphen
3.1 Popularitätsindex P . . . . . . . . .
3.2 Nachbarzentralitäten . . . . . . . . .
3.2.1 Status-Index S . . . . . . . .
3.2.2 Hubbell-Index H . . . . . . .
3.2.3 Standardzentralität B . . . .
3.2.4 Verhandlungszentralität V . .
3.2.5 PageRank R . . . . . . . . .
3.2.6 Authorities KA und Hubs KH
3.2.7 Resümee . . . . . . . . . . . .
3.3 Entfernungszentralitäten . . . . . . .
3.3.1 Stresszentralität ST . . . . .
3.3.2 Zwischenzentralität ZW . . .
3.3.3 Abstandszentralität AB . . .
3.3.4 Graphenzentralität GR . . . .
3.3.5 Resümee . . . . . . . . . . . .
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4 Normierung
4.1 Ansätze am Popularitätsindex P . . . . .
4.1.1 äußere Relativ-Popularität P1 . . .
4.1.2 innere Relativ-Popularität P2 . . .
4.1.3 prozentuale Relativ-Popularität P3
4.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 äußere Relativ-Zentralität Z1 . . .
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26
26
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62
68
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80
81
85
90
93
95
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98
99
100
102
103
103
2
INHALTSVERZEICHNIS
4.3
4.4
4.2.2 innere Relativ-Zentralität Z2 . . .
4.2.3 prozentuale Relativ-Zentralität Z3
Normierung der Nachbarzentralitäten . .
4.3.1 Status-Index S . . . . . . . . . .
4.3.2 Hubbell-Index H . . . . . . . . .
4.3.3 Standardzentralität B . . . . . .
4.3.4 Verhandlungszentralität V . . . .
4.3.5 PageRank R . . . . . . . . . . .
4.3.6 Authorities KA und Hubs KH . .
Normierung der Entfernungszentralitäten
4.4.1 Stresszentralität ST . . . . . . .
4.4.2 Zwischenzentralität ZW . . . . .
4.4.3 Abstandszentralität AB . . . . .
4.4.4 Graphenzentralität GR . . . . . .
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119
121
122
126
126
128
130
133
5 Zusammenfassung
137
A Beispielgraph GC
141
B Grundlagen
155
Kapitel 1
Einführung
Zusammenhänge zwischen Objekten, wie z.B. Personen, Bahnhöfen, WWWSeiten usw. können oft durch Graphen modelliert werden. Zur Analyse gewisser struktureller Eigenschaften in diesen Graphen, wie beispielsweise Zentralitäten und Symmetrien, oder auch zur Bestimmung (und Visualisierung)
stark zusammenhängender Subgraphen, können dann mathematische Methoden angewandt werden.
So werden z.B. in sozialen Netzwerken die daran beteiligten Personen als
Knoten eines Graphen modelliert, und die untereinander stattfindende Kommunikation durch die (evtl. gerichteten) Kanten. Auf diese Weise ist es dann
möglich, durch Anwendung von Graphenalgorithmen und anderen mathematischen Methoden besonders gut oder schlecht kommunizierende Untergruppen, oder auch — bezüglich gewisser, noch zu definierender Kriterien
— herausragende (z.B. besonders zentrale) Personen und manches mehr zu
bestimmen.
In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Möglichkeiten erörtert, die
Knoten in einem Graphen ausgehend von ihrer strukturellen Lage adäquat zu
bewerten. Diese hierfür definierten Bewertungsmaße beschreiben bzgl. unterschiedlicher Kriterien, wie sehr die von den Knoten repräsentierten Objekte im Mittelpunkt des Geschehens stehen oder aber periphere Erscheinungen sind. Da diese Bewertungen, die sogenannten Zentralitäten, auch von
der Größe der betrachteten Graphen abhängen, werden anschließend einige
Ansätze zur Normierung vorgestellt. Dadurch sollen diese Abhängigkeiten
entfernt werden, was es ermöglicht, Zentralitäten von Graphen unterschiedlicher Größe zu vergleichen.
4
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
In Kapitel 2 werden Vereinbarungen über Grundbegriffe der Graphentheorie getroffen. In Kapitel 3 werden verschiedene Zentralitätsmaße vorgestellt.
In Kapitel 4 werden verschiedene Ansätze zur Normierung von Zentralitätsmaßen untersucht. In Anhang A werden die vorgestellten Zentralitätsmaße
anhand eines ausgewählten Graphen dargestellt. Anhang B enthält einige
mathematische Grundlagen.
Kapitel 2
Vereinbarungen
Um die Zentralitätskonzepte beschreiben zu können, werden im folgenden
einige dazu benötigte Begriffe aus der Graphentheorie eingeführt.
Ein Graph G = (V, E) der Größe n ∈ N besteht aus einer Menge V =
{v1 , . . . , vn } von Knoten und einer Menge E = {e1 , . . . , em } ⊆ V × V von
Kanten. Jede Kante e = (vi , vj ) verbindet zwei Knoten vi und vj . Gilt
(vi , vj ) ∈ E, so heißt vi adjazent zu vj . Die Nachbarn von vj sind die zu
vj adjazenten Knoten.
2
2
1
1
3
Abbildung 2.1: Geinf ach
3
Abbildung 2.2: Gnichteinf ach
Ein Graph heißt einfach, wenn zu jedem Knotenpaar {vi , vj } aus V höchstens
eine Kante (vi , vj ) (und höchstens eine Kante (vj , vi )) in E existiert. Er
heißt nichteinfach, wenn er nicht einfach ist. Abb. 2.1 zeigt einen einfachen
Graph, Abb. 2.2 einen nichteinfachen. Existieren mehrere Kanten (vi , vj ), so
6
KAPITEL 2. VEREINBARUNGEN
heißen diese Mehrfachkanten (z.B. (v1 , v2 ) in Abb. 2.2). Eine Kante (vi , vi )
heißt Schleife.
3
3
2
4
2
4
1
5
1
5
Abbildung 2.3: Gger
Abbildung 2.4: Gunger
Zu unterscheiden sind gerichtete (Abb. 2.3) und ungerichtete (Abb. 2.4)
Graphen. Im gerichteten Graph haben alle Kanten e = (vi , vj ) einen Anfangsknoten vi und einen Endknoten vj . Im ungerichteten Graph hingegen
sind alle Kanten bidirektional.
3
3
2
4
1
5
↔
2
4
1
5
Abbildung 2.5: ungerichtete und gerichtete Darstellung von Gunger
Ein ungerichteter Graph kann aufgefasst werden als gerichteter Graph, indem
man jede ungerichtete Kante durch zwei gegenläufig gerichtete ersetzt (Abb.
2.5).
Jeder Kante (vi , vj ) wird ein Gewicht c(vi , vj ) ∈ R+ zugeordnet. Gilt c(vi , vj ) =
1 für alle (vi , vj ) ∈ E, so heißt G ungewichtet, andernfalls gewichtet.
7
Ein ungewichteter Graph G wird dargestellt durch seine quadratische Adjazenzmatrix A = (aij ), wobei gilt:
(
1 , falls (vi , vj ) ∈ E
.
aij =
0 , sonst
Für die Adjazenzmatrix W = (wij ) eines gewichteten Graphen gilt
(
c(vi , vj ) , falls (vi , vj ) ∈ E
wij =
.
0
, sonst
▲ Praktisch alle hier vorkommenden Graphen sind ungewichtet. Daher
beschränken wir uns bei den folgenden Aussagen auf ungewichtete Graphen. Für gewichtete Graphen gilt entsprechendes.
Da in ungerichteten Graphen wegen der Bidirektionalität aller Kanten aij =
aji gilt, sind deren Adjazenzmatrizen symmetrisch. Die Transponierte
AT = (aTij ) einer Adjazenzmatrix A ist gegeben durch
(
1 , falls (vj , vi ) ∈ E
.
aTij =
0 , sonst
Es ist also aij = aTji . Für symmetrische Matrizen gilt daher A = AT . Mit
GT bezeichnen wir den zu G transponierten Graph, welcher durch die
transponierte Adjazenzmatrix AT beschrieben wird.
Mit 0 := (0, . . . , 0)T bezeichnen wir den Nullvektor, mit 1 := (1, . . . , 1)T den
mit Einsen gefüllten Spaltenvektor jeweils passender Dimension.
Der Eingangsgrad din (vk ) eines Knotens vk ist gleich der Summe der k−ten
Spalte der Adjazenzmatrix A, d.h.
din (vk ) =
n
X
i=1
aik = (A1)k .
8
KAPITEL 2. VEREINBARUNGEN
Der Ausgangsgrad dout (vl ) eines Knotens vl ist gleich der Summe der l−ten
Zeile der Adjazenzmatrix, d.h.
dout (vl ) =
n
X
alj = (AT 1)k .
j=1
Im Graph Gger (Abb. 2.3) beispielsweise hat der Knoten v2 einen Eingangsgrad von din = 2 und auch einen Ausgangsgrad von dout = 2.
Da im ungerichteten Graphen für jeden Knoten vk Eingangs- und Ausgangsgrad aufgrund der Symmetrie der Adjazenzmatrix gleich sind, sagen wir hier
kurz der Grad d(vk ).
Ein Weg von vi nach vj ist eine Folge von Kanten (vi , va ), (va , vb ), . . . , (vz , vj )
aus E, wobei jeweils End- und Anfangsknoten aufeinanderfolgender Kanten
gleich sind. Die Länge eines Weges ist die Summe der Kantengewichte, im
ungewichteten Graphen daher die Anzahl der daran beteiligten Kanten. Ein
kürzester Weg ist ein Weg minimaler Länge. Der Abstand oder die Entfernung dist(vi , vj ) von vi nach vj ist die Länge eines kürzesten Weges von vi
nach vj . Existiert kein Weg von vi nach vj , so ist dist(vi , vj ) = ∞. Im Graph
Gger ist die Entfernung dist(v1 , v3 ) = 2, wogegen dist(v3 , v1 ) = ∞ gilt.
Der Gesamtabstand von vi zu den anderen Knoten ist die Summe der
(Einzel-)Abstände.
Ein Knoten vk liegt auf einem Weg von vi nach vj , wenn vi 6= vk 6= vj gilt
und vk Endknoten (oder Anfangsknoten) einer der Kanten des Weges ist.
Liegt vk auf einem kürzesten Weg von vi nach vj , so liegt vk zwischen vi
und vj .
Gk = (Vk , Ek ) heißt von Vk ⊂ V knoteninduzierter Teilgraph von G =
(V, E), wenn Ek = {(vi , vj ) ∈ E : vi , vj ∈ Vk }.
Ein Tupel (V1 , . . . , Vt ) mit ∅ 6= Vk ⊂ V , k ∈ {1, . . . t} und Vr ∩ Vs 6= ∅, r 6= s
und V = ∪tk=1 Vk heißt Partition der Knotenmenge V .
9
Ein Graph G = (V, E) heißt unzusammenhängend, falls es eine Partition
(V1 , . . . , Vt ) von V gibt, so dass zwischen je zwei Knotenmengen Vr und Vs ,
r 6= s, keine Kante existiert.
3
1
2
4
Abbildung 2.6: unzusammenhängender Graph Gunzus
Der Graph lässt sich dann in die von Vk , k ∈ {1, . . . , t} knoteninduzierten
Teilgraphen, die Komponenten von G, zerlegen. Kann man die Komponenten nicht weiter zerlegen, so heißen sie Zusammenhangskomponenten.
Graph Gunzus (Abb. 2.6) ist unzusammenhängend. Die Zusammenhangskomponenten von Gunzus sind die von {v1 , v2 } bzw. {v3 , v4 } knoteninduzierten
Teilgraphen. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn er nicht unzusammenhängend ist.
10
KAPITEL 2. VEREINBARUNGEN
Kapitel 3
Zentralitäten in Graphen
Um Vorgänge in der realen Welt wissenschaftlich untersuchen und auswerten
zu können, werden diese oft auf passende mathematische Modelle abgebildet.
Die Vorgänge werden dabei stark vereinfacht dargestellt, ohne dabei die für
die angestrebte Erkenntnis notwendige Information zu unterdrücken. Auf den
Modellen können dann existierende Standardanalyse-Methoden angewendet
werden, und auch die Möglichkeit der Entwicklung neuer, auf das spezielle
Problem zugeschnittener Methoden, wird dadurch stark vereinfacht.
Wir betrachten hier ein Netzwerk, bestehend aus einer endlichen Menge O
von Objekten, und einer darauf existierenden Struktur, die durch Beziehungen zwischen den einzelnen Objekten gegeben ist. Hierbei kann es sich beispielsweise handeln um Personen und die unter ihnen stattfindende Kommunikation (soziales Netzwerk), Informationsträger wie Websites mit ihrer
zugehörigen Hyperlinkstruktur (WWW, World Wide Web), Kommunikationsgeräte (wie Telefone, Terminals, Router, ...) mit den entsprechenden Datenübertragungskanälen (Telefonnetz), Bahnhöfe mit ihren Schienenverbindungen (Schienennetz) und vieles mehr.
Die so gegebene Situation soll nun auf ein Modell abgebildet werden, das
die strukturellen Eigenschaften respektiert, und für das bereits ausgereifte
Analysemöglichkeiten existieren. Geeignet ist hierfür ein Graph G = (V, E),
bestehend aus einer Menge Knoten V und einer Menge Kanten E.
Jedes Objekt oi ∈ O wird identifiziert mit einem Knoten vi ∈ V , die Beziehungen zwischen den Objekten werden dargestellt durch Kanten e ∈ E,
wobei e := (vi , vj ) ∈ E gdw. “Objekt oi steht in Beziehung zu Objekt oj“. Im
12
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
folgenden werden wir anstelle der Objektmenge O nur noch die Knotenmenge
V betrachten. Wir sagen daher “vi steht in Beziehung zu vj“.
Bei der Modellierung der Kanten ist folgendes zu beachten:
2
1
Abbildung 3.1: Darstellung eines Links
• Ist eine Kante gerichtet, so gibt sie die Richtung der zwischen zwei
Objekten existierenden Beziehung an, wie beispielsweise des von einer
Website auf eine andere Website verweisenden Hyperlinks (Abb. 3.1).
2
c(v1,v2)=56
1
Abbildung 3.2: Darstellung einer Telefonleitung
Ungerichtete Kanten stehen für die Bidirektionalität der ursprünglichen
Beziehung, wie dies z.B. bei einer Telefonleitung der Fall ist (Abb. 3.2).
• Bei einer gewichteten Kante steht das entsprechende Gewicht für die
Größe der Beziehung zwischen zwei Objekten, beispielsweise für die
13
Datenübertragungskapazität einer Telefonleitung in kb/s (Abb. 3.2)
oder für die direkte Entfernung zwischen zwei Bahnhöfen in km.
In ungewichteten Graphen wird nur das Vorhandensein einer Beziehung zwischen Objekten berücksichtigt und deren Größe implizit als
“1“ angenommen.
Unser Graphenmodell wird dann dargestellt durch seine Adjazenzmatrix.
Sind die Kanten von G ungewichtet, so bestimmt sich die zugehörige Adjazenzmatrix A = (aij ) durch
aij
(
1
=
0
(
1
=
0
, falls “vi steht in Beziehung zu vj“
, sonst
, falls (vi , vj ) ∈ E
.
, sonst
Sind die Kanten gewichtet, so wird noch eine Gewichtsfunktion c : E → R+
für die Bewertung der Kanten vorgesehen. Die zugehörige Adjazenzmatrix
W = (wij ) bestimmt sich dann durch
wij
(
c(vi , vj )
=
0
(
c(vi , vj )
=
0
, falls “vi steht in Beziehung zu vj“
, sonst
, falls (vi , vj ) ∈ E
.
, sonst
Betrachten wir nun wieder die reale, also die zu modellierende Situation.
So wie es in einer Gruppe von Personen mehr und weniger herausragende
Persönlichkeiten gibt (Abb. 3.3), so gibt es im WWW Websites mit unterschiedlicher Informationsqualität, und auch in Telefon- und Streckennetzen
lassen sich für die beteiligten Objekte gewisse intuitive Gütekriterien angeben.
14
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Abbildung 3.3: mehr und weniger herausragende Persönlichkeiten
Diese intuitive Beurteilung der in den verschiedenen Fällen beteiligten Objekte soll nun durch eine explizite Zuordnung eines Maßes konkretisiert werden.
Dieses Maß ordnet dann jedem Objekt, bzw. dem diesem Objekt entsprechenden Knoten, eine (i.a. nichtnegative) reelle Zahl zu. Dabei wird nur die nach
der Modellierung der ursprünglichen Situation noch vorhandene Information
herangezogen, d.h. nur strukturelle Eigenschaften werden berücksichtigt. Betrachten wir die aufgeführten Beispiele, so werden hierbei Eigenschaften wie
Alter und Aussehen einer Person, Inhalt und Speicherbedarf einer Website,
Telefonkosten, Größe des Bahnhofsrestaurants und ähnliches ignoriert.
Definition 3.1. Ein Zentralitätsmaß Z (auch Zentralitätsindex oder
kurz Zentralität) ist also eine Abbildung
Z : V → R+
0 , vi 7→ Z(vi ), i = 1, . . . , n.
15
Definition 3.2. Ein Spaltenvektor, dessen Komponenten die Zentralitätswerte sämtlicher Knoten enthalten, sei bezeichnet durch Z(G), d.h.
Z(G) := (Z(v1 ), . . . , Z(vn ))T .
Diesen Vektor bezeichnen wir als Zentralitäts-Vektor.
In einem Graphen wird ein Zentralitätsmaß also jedem Knoten, abhängig
von seiner strukturelle Lage im Graphen, einen (i.a. nichtnegativen) reellen
Wert zuordnen. Dieser Wert soll beschreiben, wie wichtig oder zentral dieser
Knoten relativ zu den anderen Knoten des Graphen ist. Einige Möglichkeiten,
ein solches Zentralitätsmaß zu definieren, werden im folgenden detailliert
vorgestellt. Dabei wird klar werden, was es für einen Knoten bedeutet, in
einem Graphen im Vergleich zu den anderen Knoten eine bzgl. verschiedener
Kriterien mehr oder weniger wichtige bzw. zentrale Position einzunehmen.
Das Ergebnis der Untersuchung des Modells soll dann von einer solchen Gestalt sein, dass daraus eine Interpretation der gesuchten Eigenschaften der
realen Welt möglich ist, und auch zu nachvollziehbaren Bewertungen führt.
So wird bei der Untersuchung der tatsächlichen Hierarchiestruktur eines Unternehmens erwartet werden, dass der Chef des Unternehmens eine wichtigere und damit zentralere Position einnimmt, als der Auszubildende im 1.
Lehrjahr. Dem mit dem Chef identifizierten Knoten könnte dazu beispielsweise ein vergleichsweise hoher Zentralitätswert zugeordnet werden, dem
Auszubildenden-Knoten ein vergleichsweise niedriger.
➤ Die hier vorgestellten Zentralitätsmaße sollen daher die Eigenschaft
haben, dass der Zentralitätswert Z(vi ) eines Knotens vi umso höher
ist, je größer das Ansehen, die Popularität, der Status, die Prominenz,
die Wichtigkeit eines durch einen Knoten vi repräsentierten Objektes
bzgl. unterschiedlicher Bewertungskriterien ist.
16
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Welche der Zentralitäten letztendlich überhaupt bzw. besonders gut zur Bewertung einer Situation geeignet ist, wird von etlichen Faktoren abhängen.
• Sollen zur Beurteilung eines Knotens strukturelle Eigenschaften seiner
nächsten Umgebung oder des gesamten Graphen herangezogen werden,
soll das Zentralitätsmaß also lokal oder global bestimmt werden?
• Sind die Beziehungen uni- oder bidirektional, betrachten wir also gerichtete oder ungerichtete Graphen?
• Was soll das Maß überhaupt aussagen?
Es wird auch von großer Bedeutung sein, ob die durch die Kanten modellierten Beziehungen zwischen den Objekten auf eine gewisse Weise transitiv
sind. Dies soll an zwei unterschiedlichen Situationen verdeutlicht werden.
1. Werden die Kanten zum einen beispielsweise ein Vorgesetztenverhältnis
modellieren, d.h. (vPj , vPi ) ∈ E bedeutet “Pi ist Vorgesetzter von Pj“,
so ist hier eine gewisse Transitivität erkennbar. Ist nämlich “P1 Vorgesetzter von P2“ und “P2 Vorgesetzter von P3“, so ist P1 in gewisser
Weise auch Vorgesetzter von P3 .
2. Modelliert andererseits eine Kante (vPj , vPi ) die Beziehung “Pi hasst
Pj“, so würde aus “P1 hasst P2“ und “P2 hasst P3“ keineswegs folgern,
dass P1 auch P3 hasst. Ganz im Gegenteil, wir könnten daraus, aufgrund
des gemeinsamen “Feindes“ P2 , sogar eine gewisse Sympathie von P1
für P3 folgern. Eine solche Beziehung nennen wir negativ transitiv.
Auch ist darauf zu achten, dass die Modellierung einer Situation ausschließlich mit Beziehungen des gleichen Typs geschieht. Kombinationen von Beziehungen wie Vorgesetztenverhältnis und Freundschaft führen nicht zu sinnvollen Ergebnissen.
Bevor wir die Graphen bewerten können, wollen wir an ihnen zunächst einige
Transformationen durchführen. Durch diese Vereinfachungen geht keine für
die Bewertung relevante Information verloren.
17
2
2
1
1
Abbildung 3.4: Eliminierung von Schleifen
Beziehungen, die Objekte zu sich selbst haben, werden bei der Bestimmung
von Zentralitätsmaßen keine Rolle spielen, wir werden Schleifen daher ignorieren (Abb. 3.4).
2
2
c(v2,v3)=2
c(v1,v2)=3
3
1
3
1
Abbildung 3.5: Eliminierung von Mehrfachkanten
In nichteinfachen Graphen auftretende Mehrfachkanten werden durch eine
entsprechende Kantengewichtung zu einer Kante zusammengefasst (Abb.
3.5). Dabei ist zu beachten, dass alle hier vorgestellten Zentralitätsmaße (mit
Ausnahme des Hubbell Index H, 3.2.2) eine allgemeine Kantengewichtung
von 1 voraussetzen.
Sämtliche im folgenden betrachteten Graphen G = (V, E) seien daher ohne
Mehrfachkanten und ohne Schleifen; dabei sei |V | = n, |E| = m. A = (aij )
im ungewichteten Graphen bzw. W = (wij ) im gewichteten Graphen sei
die Adjazenzmatrix von G. Seien 1 := (1, . . . , 1)T der mit Einsen gefüllte
Spaltenvektor und I die Einheitsmatrix jeweils passender Dimension.
18
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Im folgenden wollen wir zwei grundsätzlich verschiedene Ansätze zur Bewertung der Knoten eines Netzwerkes, und damit der Definition von Zentralitätsindizes betrachten.
1. Ansatz: Kapitel 3.2 Nachbarzentralitäten
Zum einen bestimmen wir den Zentralitätswert Z(vi ) eines Knotens vi
in Abhängigkeit von seinen Nachbarn vj und/oder deren Zentralitätswerten Z(vj ). Ein hoher Zentralitätswert Z(vi ) wird dabei beispielsweise erreicht werden, wenn besonders viele und/oder besonders hoch
bewertete Knoten vj in der Nachbarschaft von vi liegen.
1
6
3
4
5
2
7
Abbildung 3.6: Beispielgraph G1
So würden im Beispielgraphen G1 (Abb. 3.6) die Knoten v3 und v5
von einem Zentralitätsmaß Z1 , welches nur die Anzahl der Nachbarn
berücksichtigt, höchste Werte in diesem Graphen erhalten. Dagegen
könnte ein anderes Maß Z̃1 , welches auch die Werte der Nachbarn
eines Knotens vi in dessen Bewertung Z̃1 (vi ) miteinbezieht, dem augenscheinlich sehr zentralen, zwischen den Knoten v3 und v5 liegenden
Knoten v4 ein höheres Maß an Zentralität zuerkennen.
In einem sozialen Netzwerk, beispielsweise bestehend aus einer Menge von Personen (repräsentiert durch Knoten) und der unter diesen
Personen stattfindenden Kommunikation (Kanten), ließe sich diese unterschiedliche Bewertung wie folgt interpretieren: einerseits ist eine Person einflussreich, wenn sie mit vielen anderen Personen kommuniziert
(Zentralitätsmaß Z1 ), andererseits wird einer Person hoher Einfluss
bestätigt, wenn die ihr nahestehenden Personen ihrerseits einflussreich
sind (Zentralitätsmaß Z̃1 ).
19
2. Ansatz: Kapitel 3.3 Entfernungszentralitäten
Zum anderen werden wir den Zentralitätswert eines Knotens vi abhängig
von seiner Entfernung zu den anderen Knoten eines Netzwerkes bestimmen. Dabei werden wir nur ungerichtete Graphen betrachten. Ein
hoher Zentralitätswert Z(vi ) wird dabei beispielsweise erreicht werden,
wenn vi zu den anderen Knoten kleine Abstände hat oder auf vielen sie
verbindenden kürzesten Wegen liegt.
5
1
2
3
4
6
7
Abbildung 3.7: Beispielgraph G2
So würde im Beispielgraphen G2 (Abb. 3.7) der Knoten v3 von einem
Zentralitätsmaß Z2 , welches nur den Maximalabstand zu den anderen
Knoten berücksichtigt, den höchsten Wert in diesem Graphen erhalten.
Dagegen könnte ein anderes Maß Z̃2 , welches die durch einen Knoten
führenden kürzesten Wege zählt, dem Knoten v4 ein höheres Maß an
Zentralität zuerkennen.
In einem sozialen Netzwerk ließe sich diese unterschiedliche Bewertung
wie folgt interpretieren: einerseits ist eine Person einflussreich, wenn
sie jede andere Person schnell erreichen kann (Zentralitätsmaß Z2 ),
andererseits wird einer Person hoher Einfluss bestätigt, wenn sie die
Kommunikation vieler anderer Personen beeinflusst (Zentralitätsmaß
Z̃2 ).
Bei den Entfernungszentralitäten wird außerdem das Zentrum eines
Sterns eine besondere Stellung einnehmen. Betrachten wir den Stern
S9 (Abb. 3.8), so sehen wir, dass sein zentraler Knoten v9 sehr kleine Abstände zu den anderen Knoten hat, und auch auf sehr vielen
kürzesten Wegen der anderen Knoten liegt. Einige extremale Eigenschaften besitzt nur das Zentrum eines Sterns (gleichzeitig).
20
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
1
2
3
8
9
7
6
4
5
Abbildung 3.8: Stern S9 mit 9 Knoten
In einem Graphen gleicher Größe
✓ hat es den maximal möglichen Grad
✓ liegt es auf kürzesten Wegen von der größtmöglichen Anzahl an
Paaren anderer Knoten
✓ hat es den minimal möglichen Abstand zu allen anderen Punkten
Auch intuitiv erkennen wir den zentralen Knoten eines Sterns als herausragende Position. In einem sozialen Netzwerk beispielsweise hat eine
solch zentrale Person ausgezeichnete Kommunikationsmöglichkeiten, da
die Wege zur Weitergabe von Information kurz sind, und auch die Kommunikation der übrigen Personen untereinander maßgeblich beeinflusst
wird.
Drei der im Kapitel Entfernungszentralitäten (3.3) vorgestellten Zentralitätsmaße werden wir so definieren, dass das Zentrum eines Sterns
den jeweils höchstmöglichen Zentralitätswert erreicht.
Die als erstes vorgestellte Stresszentralität (3.3.1) ähnelt den anderen,
anschließend vorgestellten Maßen in dem Sinne, dass sie in Abhängigkeit von kürzesten Wegen und somit von der Entfernung von Knotenpaaren bestimmt wird. Allerdings wird der Stern hierbei im allgemeinen
nicht das höchstmögliche Maß an Zentralität erreichen.
3.1 Popularitätsindex P
Zunächst wollen wir aber den Popularitätsindex P betrachten. Dieser stellt
einen Sonderfall dar, da seine Knotenbewertung durch beide Ansätze interpretiert werden kann.
Die danach vorgestellten Maße werden gemäß ihrer Interpretation bzgl. obiger
Ansätze in den beiden Kapiteln Nachbarzentralitäten (3.2) und Entfernungszentralitäten (3.3) getrennt behandelt.
3.1
Popularitätsindex P
Der Popularitätsindex ist unter den hier vorgestellten Zentralitätsmaßen das
am leichtesten zu bestimmende. Gleichzeitig wird an ihm auf einfache Art
und Weise deutlich, was Zentralität in einem Graph bedeuten kann. Um eine
intuitive Herleitung des Popularitätsindex zu erhalten, betrachten wir das im
folgenden beschriebene soziale Netzwerk:
Gegeben sei eine (endliche) Menge von n Individuen, die eine Abstimmung
wie folgt durchführen:
• Jedes Individuum steht zur Wahl, d.h. kann gewählt werden
• Jedes Individuum hat die Möglichkeit, jedem der anderen Individuen
jeweils höchstens eine Stimme zu vergeben (d.h. 0 oder 1)
Dadurch ergibt sich, dass jedes Individuum höchstens n−1 Stimmen abgeben
und auch höchstens n − 1 Stimmen erhalten kann.
➤ Unser Ziel ist es jetzt also, jedem der beteiligten Individuen eine von
dieser Abstimmung abhängige (intuitiv nachvollziehbare) Zentralitätsbewertung zuzuordnen.
21
22
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Dazu modellieren wir diese Abstimmung als gerichteten, ungewichteten Graph
G = (V, E), wobei V = {v1 , . . . , vn } die Menge der daran beteiligten Individuen repräsentiert und die Kanten in E die abgegebenen Stimmen beschreiben, d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “vi wählt vj“. Wir definieren die Adjazenzmatrix
A von G also durch
(
1 , falls “vi wählt vj“
aij =
.
0 , sonst
Die Popularität eines an dieser Abstimmung beteiligten Individuums betrachten wir als umso größer, je mehr Stimmen es erhält. Wir nehmen alle Stimmen
als gleichwertig an und definieren den Popularitätsindex P durch die Anzahl
der für ein Individuum abgebenen Stimmen.
Um uns bei unserer Intuition nicht zu sehr auf soziale Netzwerke zu versteifen,
betrachten wir nun ein völlig anderes Netzwerk. Gegeben sei eine Menge von
n Websites mit ihrer zugehörigen Hyperlinkstruktur.
➤ Unser Ziel ist es jetzt, jeder der beteiligten Websites eine von ihrer
strukturellen Lage abhängige (intuitiv nachvollziehbare) Zentralitätsbewertung zuzuordnen.
Dazu betrachten wir G = (V, E) als einen knoteninduzierten Teilgraphen des
durch die Hyperlinkstruktur des WWW gegebenen gerichteten, ungewichteten Graphen. Die Knoten V = {v1 , . . . , vn } repräsentieren hierbei die Menge
der Websites des WWW, und die Kanten beschreiben die durch V induzierte
Hyperlinkstruktur, d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. Seite “vi enthält einen Hyperlink
auf Seite vj“. Wir definieren die Adjazenzmatrix A von G also durch
(
aij =
1 , falls “vi enthält einen Hyperlink zu vj“
.
0 , sonst
So erscheint es hier, zumindest als erste Näherung, sinnvoll, einer Seite aufgrund einer hohen Anzahl auf sie verweisender Links einen hohen Zentralitätswert zuzuerkennen. Hierbei soll also indirekt das Expertenwissen der an
3.1 Popularitätsindex P
23
der Entstehung und Vergrößerung des WWW aktiv beteiligten Web-Designer
ausgewertet werden, welche im allgemeinen nur dann einen Hyperlink zu einer
gewissen Seite setzen, falls diese ihrer Meinung nach “gute“ Informationen
enthält, d.h. auf eine gewisse Art und Weise wichtig bzw. zentral ist. Wir
betrachten jeden Hyperlink als gleichwertig und definieren den Popularitätsindex durch die Anzahl der auf eine Website verweisenden Hyperlinks.
Betrachten wir unser Graphenmodell, so ordnet P also jedem Knoten seinen
Eingangsgrad zu, d.h.
P(vi ) = din (vi ) für alle vi ∈ V.
Der Popularitätswert eines Knotens vi ist also nur von seiner direkt adjazenten Umgebung abhängig, weiter entfernte Knoten haben keinerlei Einfluss,
d.h. der Popularitätsindex ist lokal bestimmt.
Die tatsächliche Berechnung des Popularitätsindex ist dann mit Hilfe der zu
einem Graphen G gehörenden Adjazenzmatrix sehr einfach. Da die Spalten
der Adjazenzmatrix A = (aij ) von G jeweils die in einen Knoten eingehenden Kanten beschreiben, und man den Eingangsgrad eines Knotens demnach
durch Aufsummieren der entsprechenden Spalteneinträge erhält, d.h.
din (vi ) =
n
X
aji
j=1
ergibt sich für den Popularitäts-Vektor von G
P(G)
=
(P(v1 ), . . . , P(vn ))
=
(din (v1 ), . . . , din (vn ))
!
Ã
n
n
P
P
=
aj1 , . . . ,
ajn
j=1
=
¡
j=1
(AT 1)1 , . . . , (AT 1)n
= AT 1.
¢
24
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
P ist sowohl Nachbar- als auch Entfernungszentralität:
1. P(vi ) ist also nur von der Anzahl der Nachbarn von vi abhängig, kann
also zum ersten Ansatz gehörend interpretiert werden.
2. Andererseits beschreibt P(vi ) auch die Anzahl der Knoten der Entfernung 1 und erfüllt daher auch die im zweiten Ansatz geforderten Eigenschaften. Weiterhin ist der in einem einfachen, ungerichteten Graphen
mit n Knoten maximal mögliche (Eingangs-)Grad eines Knoten vi gegeben durch din (vi ) = n − 1. Das Zentrum eines Sterns vZ erfüllt diese
Maximalbedingung, d.h. es gilt auch din (vZ ) = n − 1.
✫ Popularitätsindex P am Beispielgraphen GB
Um den Popularitätsindex und weitere in den nächsten Abschnitten definierte
Zentralitätsmaße an einem Beispiel zu erläutern, betrachten wir den durch
die folgende Adjazenzmatrix B dargestellten Graphen GB .







B=





0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0













Abb. 3.9 zeigt eine Einbettung des resultierenden Graphen.
3.1 Popularitätsindex P
25
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.9: Beispielgraph GB
Für den Popularitätsindex ergibt sich also
P(GB ) = B T · 1

0 0

 0 0

 1 0


=  0 0

 0 0

 0 0

0 0

0 0

 0 0

 1 1


=  0 0

 0 0

 0 0

0 0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
= (1, 0, 4, 3, 2, 0, 2)T .
T 
 
 
 
 
 
 
 ·
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1

1

1 

1 


1 

1 

1 

1













26
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Abb. 3.10 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.10: Popularitätsindex am Beispielgraph GB
3.2
Nachbarzentralitäten
Im folgenden sollen nun, wie bereits in (Kapitel 3, S. 18) angekündigt, Zentralitätsmaße vorgestellt werden, welche die Knoten eines Netzwerkes in Abhängigkeit von ihren Nachbarn bewerten. Dabei betrachten wir in dieser Reihenfolge den Status-Index von Katz, den sehr allgemeinen Hubbell-Index,
die Standard-(Eigenvektor-)Zentralität und die Verhandlungszentralität von
Bonacich, den in der Internet-Suchmaschine Google verwendeten Index PageRank, sowie die beiden Maße Hubs und Authorities von Kleinberg.
3.2.1
Status-Index S
Als ein weiteres Zentralitätsmaß stellte Leo Katz 1953 den sogenannten
(New) Status-Index vor [17]. Er entstammt der Analyse sozialer und emotionaler Beziehungen zwischen Mitgliedern einer Gruppe, der Soziometrie. Für
eine solche Analyse werden zunächst in einem soziometrischen Test unter
anderem die Sympathien zwischen den einzelnen Gruppenmitgliedern ermittelt. Daraus sollen dann typische Positionen wie z.B. der Star, der Führer,
der Außenseiter, der Sündenbock usw. bestimmt werden.
3.2 Nachbarzentralitäten
27
Bei der Auswertung erwies es sich jedoch als nicht zufriedenstellend, den aus
rein lokalen Eigenschaften des Graphen bestimmten Popularitätsindex (3.1)
als gültig anerkennen zu müssen. Daher wurde dieser Ansatz erdacht, welcher
bei der Bewertung des Status eines einzelnen Gruppenmitgliedes (globale)
Eigenschaften des gesamten Graphen mit einbezieht. Um die hierbei zur Beschreibung von Zentralität verwendeten Beurteilungskriterien zu erläutern,
betrachten wir wieder die in (3.1) beschriebene Abstimmung.
Gegeben sei also wieder ein gerichteter, ungewichteter Graph G = (V, E), wobei V = {v1 , . . . , vn } die Menge der an der Abstimmung beteiligten Individuen repräsentiert und die Kanten in E die abgegebenen Stimmen beschreiben,
d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “vi wählt vj“.
Sei also A die Adjazenzmatrix des gerichteten, ungewichteten Graphen G,
d.h. für die Einträge von A gilt
(
aij =
1 , falls “vi wählt vj“
.
0 , sonst
Bei der Bestimmung des Status-Index S(vi ) einer Person vi wird im Gegensatz zum Popularitätsindex P (3.1) nicht nur berücksichtigt, wie viele
Stimmen eine Person vi erhält, sondern auch, von wem vi gewählt wird. Die
hier eingesetzte Methode zählt dabei nicht nur die direkt für vi abgegebenen
Stimmen, sondern berücksichtigt auch den Status jener, die vi gewählt haben
sowie deren Wähler usw. Um diese Vorgehensweise mathematisch formulieren
zu können, zunächst folgende
Definition 3.3. Das Gewicht eines Weges (vi , va ), (va , vb ), . . . , (vz , vj )
von vi nach vj sei das Produkt der Gewichte der daran beteiligten Kanten,
also c(vi , va ) · c(va , vb ) · · · · · c(vz , vj ).
Es folgt unmittelbar, dass in ungerichteten Graphen alle Wege das Gewicht
1 haben.
28
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Satz 3.4. Sei W = (wij ) die Adjazenzmatrix eines gewichteten, einfachen
Graphen ohne Schleifen. Ein Eintrag (W l )ij der l-ten Potenz von W ist
gleich die Summe der Gewichte aller Wege der Länge l von vi nach vj .
Beweis: vollständige Induktion:
l = 1 : (W 1 )ij = wij = c(vi , vj ) ist das Gewicht des (einzigen) Weges der
Länge 1 von vi nach vj .
Induktionsannahme: Für l ∈ N sei (W l )ij die Summe der Gewichte aller Wege
der Länge l von vi nach vj .
P
Es ist dann (W l+1 )ij = nk=1 (W l )ik · wkj .
Jeder Weg der Länge l +1 von vi nach vj setzt sich zusammen aus einem Weg
der Länge l von vi zu einem vk ∈ V , und einer Kante (vk , vj ). (W l )ik ist nach
Induktionsannahme die Summe der Gewichte aller Wege der Länge l von vi
nach vk . Daher ist (W l )ik · wkj die Summe der Gewichte derP
Wege der Länge
l + 1 von vi nach vj , deren letzte Kante (vk , vj ) ist. Also ist nk=1 (W l )ik · wkj
die Summe der Gewichte aller Wege der Länge l + 1 von vi nach vj .
■
Korollar 3.5. Ist insbesondere W = A die Adjazenzmatrix eines ungewichteten, einfachen Graphen ohne Schleifen, so ist (Al )ij die Anzahl der Wege
der Länge l von vi nach vj .
■
P
Für z.B. l = 2 ist (A2 )ij = nk=1 aik ·akj ; für k = 1, . . . , n ist dabei aik ·akj = 1
gdw. aik = 1 und akj = 1, d.h. gdw. im Graphen G eine Kante von vi nach
vk und eine Kante von vk nach vj existiert.
3.2 Nachbarzentralitäten
Fassen wir die Matrix A wieder als Adjazenzmatrix der betrachteten Abstimmung auf, so bedeutet das: aik · akj = 1 gdw. “vi wählt vk und vk wählt vj“.
So wie die Spaltensummen von A die Anzahl der direkt für die entsprechende
Person abgegebenen Stimmen angeben, so interpretieren wir die Spaltensummen von A2 als die jeweils für eine Person über Wege der Länge 2 indirekt
abgegebenen Stimmen, die Spaltensummen von A3 als die jeweils über Wege
der Länge 3 abgegebenen usw.
Der Status-Index ergibt sich dann aus der Aufsummierung all dieser Stimmen, die passend gewichtet (abgeschwächt) werden, um die geringere Effektivität von weniger direkter Zustimmung zu berücksichtigen.
Dieses Konzept der Abschwächung soll im folgenden erläutert werden:
Dazu betrachten wir eine von der zu untersuchenden Gruppe abhängige Konstante ϕ ∈ [0, 1]. Interpretieren wir die Kanten von G als Kanäle für die Weitergabe von Information, so drückt die Konstante ϕ die Wahrscheinlichkeit
der Wirksamkeit einer direkten Verbindung aus, d.h. die Wahrscheinlichkeit,
dass eine von vi über die Kante (den Informationskanal) (vi , vj ) mitzuteilende Information auch tatsächlich bei vj ankommt. ϕ = 0 bedeutet also
vollständige Abschwächung, ϕ = 1 hingegen keine Abschwächung. Ein Weg
der Länge k ist dann mit der Wahrscheinlichkeit ϕk wirksam. Die zu den
Spaltensummen von A, A2 , usw. passenden Gewichte sind demnach ϕ, ϕ2 ,
usw.
Wir definieren
T := ϕA + ϕ2 A2 + · · · + ϕk Ak + · · ·
∞
X
=
ϕ l Al .
l=1
ϕ kann dabei nicht beliebig gewählt werden, um Konvergenz zu erreichen.
Um den zulässigen Bereich von ϕ zu bestimmen, benötigen wir einige vorbereitende Hilfssätze.
Lemma 3.6. Sei M ∈ Rn×n , x ∈ Rn , λ ∈ R. Es gilt:
M x = λx ⇒ M l x = λl x
29
30
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Beweis: vollständige Induktion: Sei M x = λx
l = 1 : M l x = M x = λx = λl x
Induktionsannahme: es gelte M l−1 x = λl−1 x
⇒ M l x = M M l−1 x = M λl−1 x = λl−1 M x = λl−1 λx = λl x
■
Lemma 3.7. Sei p ∈ R. Es gilt:
p ∈ (0, 1) ⇒
∞
X
pl konvergiert
l=1
Beweis: Sei p ∈ (0, 1). Dann gilt
1 = 1 + p − p + p2 − p2 + · · · + pr+1 − pr+1
= 1 + p + p2 + · · · + pr+1 − (p + p2 + · · · + pr+1 )
= pr+1 +
r
P
pl − p ·
l=0
= pr + (1 − p) ·
r
P
r
P
pi
l=0
pl
l=0
⇒
r
X
pl
=
1 − pr+1
1−p
pl
=
1 − pr+1
−1
1−p
=
p · (1 − pr )
1−p
l=0
⇒
r
X
l=1
<
1
.
1−p
■
3.2 Nachbarzentralitäten
31
Lemma 3.8. Sei M eine reellwertige Matrix, kM k∗ eine Matrixnorm von
M . Dann gilt:
kM k∗ < 1 ⇒
∞
X
M l konvergiert
l=1
Beweis: Mit den Rechenregeln für Normen und mit Lemma 3.7 gilt
k
r
X
l ∗
Mk
≤
l=1
r
X
kM l k∗
l=1
≤
r
X
(kM k∗ )l
l=1
=
(kM k∗ ) · (1 − (kM k∗ )r )
.
1 − kM k∗
Wegen kM k∗ ∈ (0, 1) ist lim (kM k∗ )r = 0,
r→∞
⇒
k
∞
X
l=1
M l k∗
=
lim k
r→∞
r
X
M l k∗
l=1
(kM k∗ ) · (1 − (kM k∗ )r )
≤ lim
r→∞
1 − kM k∗
kM k∗
=
.
1 − kM k∗
■
32
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Jetzt können wir eine für die Konvergenz von
reichende Bedingung formulieren.
P∞
l=1
M l notwendige und hin-
Satz 3.9. Sei M ∈ Rn×n , sei λmax der größte Eigenwert von M .
Dann gilt:
λmax < 1 ⇔
∞
X
M l konvergiert
l=1
Beweis:
⇐: indirekt:
Sei λmax ≥ 1, sei xmax Eigenvektor von M zu λmax mit kxmax k = 1
⇒ k
s
X
l ∗
Mk
≥
k
l=1
s
X
M l xmax k
l=1
=
k
s
X
λlmax xmax k
l=1
=
|
s
X
l=1
≥
s
X
1
l=1
=
⇒
⇒
lim k
s→∞
∞
X
l=1
s
X
s
M l k∗ → ∞
l=1
M l divergiert.
λlmax | kxmax k
| {z }
=1
3.2 Nachbarzentralitäten
33
⇒:
Sei λmax < 1, δ := 1 − λmax , ² := δ/2. Sei k k² eine Norm auf Rn so, dass für
die induzierte Matrixnorm gilt (Satz B.21):
λmax ≤ kM k∗² ≤ λmax + ²
Dann gilt:
kM k∗²
≤
λmax + ²
=
λmax +
=
=
<
Lemma 3.8
⇒
∞
X
δ
2
1 − λmax
λmax +
2
λmax 1
+
2
2
1
M l konvergiert.
l=1
■
Der zulässige Wertebereich unseres Abschwächungsfaktors ϕ ergibt sich aus
Korollar 3.10. Sei A Adjazenzmatrix eines Graphen G, 0 < ϕ ∈ R, λmax
der größte Eigenwert von A.
Dann gilt:
X
1
< ⇔
ϕl Al konvergiert
ϕ
l=1
∞
λmax
■
34
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Wir wählen daher ϕ so, dass λmax < 1/ϕ gilt. Ein Eintrag tij von T enthält
dann also die Summe an direkten und indirekten Wegen von vi nach vj ,
umgekehrt proportional (beachte ϕ ∈ [0, 1]) gewichtet zu ihrer Länge, d.h.
tij =
∞
X
ϕl (Al )ij
l=1
=
∞
X
ϕl · {Anzahl Wege der Länge l von vi nach vj }
l=1
und die Spaltensummen von T ergeben die Gesamtanzahl aller in die einzelnen Knoten eingehenden Wege, ebenfalls entsprechend gewichtet.
Wir definieren den Statuswert eines Knotens vi durch
S(vi ) =
=
=
n
X
1
1
ϕ (A )ji +
j=1
n X
∞
X
n
X
ϕ (A )ji + · · · +
2
2
j=1
n
X
j=1
ϕl (Al )ji
j=1 l=1
n
X
tji .
j=1
Somit ergibt sich für den Status-Vektor von G
S(G) = (S(v1 ), . . . , S(vn ))
!
à n
n
X
X
tj1 , . . . ,
tjn
=
j=1
= T · 1.
T
Außerdem haben wir
j=1
ϕk (Ak )ji + · · ·
3.2 Nachbarzentralitäten
T
35
= ϕA + ϕ2 A2 + · · · + ϕk Ak + · · ·
¡
¢
I + ϕA + · · · + ϕk−1 Ak−1 + · · · · ϕA
µ
¶
∞
P
l l
=
I+
ϕ A · ϕA
=
l=1
= (I + T ) · ϕA
= ϕA + ϕT A
⇒
TT
⇒
S(G)
= ϕAT + ϕAT T T
= TT · 1
= (ϕAT T T + ϕAT ) · 1
= ϕAT T T · 1 + ϕAT · 1.
Mit P(G) = AT · 1 (siehe 3.1) erhalten wir eine andere Darstellung des
Status-Index, nämlich
S(G) = ϕAT · S(G) + ϕ · P(G),
d.h.
S(vi ) = ϕ ·
n
X
aji · S(vj ) + ϕ · P(vi )
j=1
= ϕ·
X
S(vj ) + ϕ · P(vi ).
(vj ,vi )∈E
Hierbei sieht man, dass sich das Statusmaß S eines Knotens vi bestimmt als
die (mit Faktor ϕ) gewichtete Summe der Statusmaße der zu ihm adjazenten
36
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Knoten und seines eigenen Popularitätsindexes. Gehen wir zurück in die reale
Welt und betrachten ein soziales Netzwerk, so hängt hierbei der Status einer
Person also von der Anzahl und den Statuswerten der Personen ab, zu denen
sie Beziehungen hat.
✫ Status-Index S am Beispielgraphen GB
Wir betrachten den in (3.1, S. 25) definierten Graphen GB . Die Berechnung
des größten Eigenwertes von B ergibt λmax = 1. Wählen wir für die Abschwächungskonstante ϕ einen Wert von 1/2, so gilt wie in Korollar 3.10
gefordert
λmax = 1 < 2 =
1
1
2
=
1
ϕ
und es ergibt sich wegen
µ
1
(I − ϕB)
=
I− B
2

1 0

 0 1

 0 0


=  0 0

 0 0

 0 0

0 0

4
0 23
3
 1
 3 1 23

 2 0 4
 3
3

=  0 0 0
 2
4

 9 0 9
 2 0 4
 3
3
4
8
0
9
9
−1
¶−1
0
0
1
0
0
0
0
1
3
1
3
2
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1 0
11
9
5
3
13
9
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
4
0
3
1 1
2
0
3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0


0
0 0 1 0


 0 0 1 0
0 



0 
 1 1 0 0 1


0 −  0 0 0 0
 2
 0 0 0 1
0 


 0 0 1 0
0 


1
0 0 1 1









2 
3 
1 

4
3
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
−1












3.2 Nachbarzentralitäten
37
und
µ
TB
¶−1
1
=
I− B
−I
2

4
0 23 13 0
 31
 3 1 23 13 0

 2 0 4 2 0
 3
3
3

=  0 0 0 1 0
 2
11
4
4

 9 0 9 9 3
 2 0 4 5 1
 3
3
3
4
8
13
2
0
9
9
9
3

1
1
2
0 3 3 0
 31
 3 0 23 13 0

 2 0 1 2 0
 3
3
3

=  0 0 0 0 0
 2
11
1
4

 9 0 9 9 3
 2 0 4 5 1
 3
3
3
13
4
8
0 9 9 23
9
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


 
 
 
 
 
 
−
 
2 

3 


1  

4
3

1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0








2 
3 
1 

1
3
für unseren Beispielgraphen GB also folgender Status-Vektor:
S(GB ) = TBT · 1

1
3
1
3
2
3
0 23


0 23


0 13


=  0 0 0
 2
4

 9 0 9
 2 0 4
 3
3
4
8
0
9
9
1
3
1
3
2
3
0
0
0
0 0
11
9
5
3
13
9
0
0
0
0
1
0
3
1 0
2
0
3
0
0
0
0
T 
 
 
 
 
 
 
 ·
 
2 

3 


1  

1
3
1
1
1
1
1
1
1













0
0
0
0
0
0
1













38
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN

1
3
1
3
2
3
0
0
0
0
0
0
0
2
3
2
9
4
9
 
 

 0 0 0
0 0 0  
 

4
8  
4
 2 2 1
 3 3 3
9
3
9  

11
5
13  
=  31 31 32
·
9
3
9  

1
2  
 0 0 0
1 3  
3

 0 0 0

0 0 0 
 

2
0 0 0
1 13
3
µ
¶T
8
13 17
=
, 0, , , 2, 0, 2
3
3 3
≈ (2.67, 0, 4.33, 5.67, 2, 0, 2)T .
1
1
1
1
1
1
1













Abb. 3.11 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.11: Status-Index am Beispielgraph GB
3.2 Nachbarzentralitäten
3.2.2
Hubbell-Index H
Mit dem 1965 von Charles H. Hubbell [16] vorgestellten Zentralitätsindex H
erhalten wir ein ähnliches Resultat wie Katz (3.2.1), jedoch in sehr allgemeiner Form.
Auch hier liegen die Ursprünge in der Entwicklung geeigneter Methoden zur
Analyse soziometrischer Tests, daher wählen wir zur Veranschaulichung wieder ein soziales Netzwerk. Gegeben sei also eine Gruppe von n Individuen mit
untereinander existierenden (gerichteten) Beziehungen. Diese zwischen den
Individuen bestehenden Beziehungen werden als Kanäle zur Ausübung von
Einfluß interpretiert. Dabei soll jeweils ein Parameter wij , i, j ∈ {1, . . . , n},
die Größe des von einem Individuum i auf ein Individuum j direkt ausgeübten Einflusses angeben. Der Hubbell-Index H(vi ) eines Knotens (bzw.
eines Individuums) vi ist dann ein Maß für den Einfluss, den vi innerhalb der
Gruppe hat.
Wir modellieren dieses soziale Netzwerk also wieder durch einen gerichteten,
hier jedoch gewichteten Graph G = (V, E), wobei V = {v1 , . . . , vn } die Menge
der zur Gruppe gehörenden Individuen repräsentiert und die Kanten in E
die entsprechenden Beziehungen beschreiben, d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “vi übt
auf vj direkt Einfluss aus“. Gegeben sei nun desweiteren eine Abbildung
c : E → R+ , welche jeder Kante e = (vi , vj ) ∈ E einen positiven reellen
Wert c(vi , vj ) zuordnet, der die Größe des direkt von vi auf vj ausgeübten
Einflusses angibt.
Sei also W die Adjazenzmatrix des gerichteten, gewichteten Graphen G, d.h.
für die Einträge von W gilt
(
c(vi , vj ) , falls “vi übt auf vj direkt Einfluss aus“
.
wij =
0
, sonst
Bei der Bestimmung des Hubbell-Index H(vi ) einer Person vi wird nicht nur
berücksichtigt, wie groß der von vi auf andere Personen ausgeübte Einfluss
ist, sondern auch, auf wen dieser Einfluss ausgeübt wird.
39
40
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Wir betrachten eine allgemeine Formel zur Berechnung des Hubbell-Index
(kurz HI) eines Knotens vi
H(vi ) = qi + (xi1 + · · · + xin ),
wobei xij den Beitrag von vj zum HI von vi bezeichne.
qi sei ein “externer“ Beitrag zum HI von vi , d.h. wir befinden uns in einem
offenen System, dessen äußere Einflüsse auf den Hubbell-Index durch q =
(q1 , . . . , qn ) gegeben sind.
Wir nehmen an, dass
xij = wij · H(vj ) für i, j = 1, . . . , n
gilt, d.h. der Beitrag von vj zum HI von vi ist proportional zum HI von vj
selbst, wobei der Proportionalitätsfaktor die Größe des direkt von vi auf vj
ausgübten Einflusses ist. Somit haben wir
H(vi ) = qi + (wi1 · H(v1 ) + · · · + win · H(vn ))
= qi +
n
P
wij · H(vj )
j=1
und für den Hubbell-Vektor ergibt sich
H(G)
= (H(v1 ), . . . , H(vn ))
Ã
!
n
n
P
P
=
q1 +
w1j · H(vj ), . . . , qn +
wnj · H(vj )
j=1
j=1
Ã
!
n
n
P
P
= (q1 , . . . , qn ) +
w1j · H(vj ), . . . ,
wnj · H(vj ) ,
j=1
j=1
also
H(G) = q + W · H(G).
(3.1)
Der Hubbell-Index H(vi ) eines Knotens vi errechnet sich also aus den Bewertungen seiner Nachbarn, der Intensität der nachbarschaftlichen Beziehungen
3.2 Nachbarzentralitäten
und einem externen Beitrag. In einem sozialen Netzwerk wird einer Person
demnach ein hoher Einfluss zuerkannt, wenn sie viele einflussreiche Personen
intensiv beeinflusst.
Um eine etwas andere Interpretation des Hubbell-Index zu erhalten, betrachten wir die Adjazenzmatrix W des Graphen G und ihre Potenzen.
Der Eintrag (W l )ij der l-ten Potenz der Matrix W = (wij ) enthält die Summe der Gewichte der im zugrundeliegenden Graphen gerichteten Wege der
Länge l von vi nach vj (Satz 3.4). Das zu einem solchen Weg gehörende Gewicht berechnet sich als Produkt der GewichtePder an ihm beteiligten Kanten
(Definition 3.3). Für z.B. l = 2 ist (W 2 )ij = nk=1 wik · wkj ; für k = 1, . . . , n
ist das zu einem Weg (vi , vk ), (vk , vj ) der Länge 2 gehörende Gewicht daher
wik · wkj = c(vi , vk ) · c(vk , vj ).
Ein Eintrag (W 2 )ij der Matrix W 2 wird dann angesehen als der indirekt
von vi auf vj über einen Knoten ausgeübte Einfluss, (W 3 )ij als der Einfluss
über zwei Knoten usw.
Durch Umformung von Gleichung (3.1) erhalten wir
H(G) = (I − W )−1 · q.
Es gilt wegen
I
= I + W − W + W2 − W2 + W3 − W3 + −···
= (I + W + W 2 + · · · ) − (W + W 2 + W 3 + · · · )
= I · (I + W + W 2 + · · · ) − W · (I + W + W 2 + · · · )
= (I − W ) · (I + W + W 2 + · · · )
mit W 0 := I
(I − W )−1
= I + W + W2 + ··· + Wk + ···
=
∞
P
l=0
W l =: Y .
41
42
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Um die Konvergenz dieser Reihe zu gewährleisten, muß für den größten Eigenwert µmax von W gelten: µmax < 1 (Satz 3.9).
(Y )ij gibt also die Summe aus direktem und indirektem Einfluß an, den vi
auf vj ausübt.
Und damit haben wir
¡
¢
H(G) = I + W + W 2 + · · · · q.
Um die Ähnlichkeit des Hubbell-Index H mit dem Status Index S (3.2.1) zu
verdeutlichen, setzen wir qi := 1 für i = 1, ..., n, d.h. q = 1, und W := ϕAT ,
ϕ ∈ [0, 1] konstant, A Adjazenzmatrix von G, T wie in (3.2.1). Wir erhalten
so
³
´
¢2
¡
H(ϕGT ) =
I + ϕAT + ϕAT + · · · · 1
³
´
¢2
¡
= 1 + ϕAT + ϕAT + · · · · 1
= 1 + TT · 1
= 1 + S(G).
Der Status-Vektor S(G) ist also bei entsprechender Matrix-Transformation
im wesentlichen durch den Hubbell-Index H darstellbar.
▲ Da sich die Richtung der Beziehungen bei der ursprünglichen Herleitung des Hubbell-Index (Ausübung von Einfluss) von der des Status
Index (Erhalt von Stimmen) unterscheidet, sind beim Hubbell-Index
die aus einem Knoten ausgehenden Kanten, beim Status Index die eingehenden Kanten für die Höhe des einem Knoten zugeteilten Maßes
verantwortlich. Um eine gleichartige Bewertung zu erhalten, muss daher für eines der Maße der transponierte Graph betrachtet werden.
Der Hubbell-Index ist ein sehr allgemeiner Ansatz zur Zentralitäts-Bewertung
von Graphen. Als einziges hier aufgeführtes Maß ermöglicht er die Analyse
von Netzwerken mit gewichteten Beziehungen, zudem können externe Einflüsse in die Bewertung miteinbezogen werden.
3.2 Nachbarzentralitäten
43
▲ Dies birgt allerdings die Gefahr, dass die ursprüngliche Situation bei der
Modellierung durch Einstellung unzähliger Parameter in ihrem Wesen
bis zur Unkenntlichkeit verändert wird.
✫ Hubbell-Index H am Beispielgraphen GB
Wir betrachten den in (3.1, S. 25) definierten Graphen GB . Die Berechnung
des größten Eigenwertes von B ergibt µmax = 1. Da für die Bestimmung des
Hubbell-Index jedoch µmax < 1 gelten muss, setzen wir W := 12 B. Somit
erfüllen wir die Bedingungen von Satz 3.9. Weiterhin setzen wir den Vektor
der externen Einflüsse auf q := 1.
Es ergibt sich wie in (3.2.1)
¶−1
1
=
I− B
2

4
0 23 13
 31
 3 1 23 13

 2 0 4 2
 3
3
3

=  0 0 0 1
 2
11
4

 9 0 9 9
 2 0 4 5
 3
3
3
4
8
13
0
9
9
9
µ
−1
(I − W )
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
3
1 1
2
0
3
0
0
0
0









2 
3 
1 

4
3
und daher für unseren Beispielgraphen GB der Hubbell-Vektor
44
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
H(GB ) = (I − W )−1 · 1

  
1
4
2
0
0
0
0
1
3
3
 31
  
1
2
 3 1 3 3 0 0 0   1 

  
 2 0 4 2 0 0 0   1 
 3
  
3
3

  
=  0 0 0 1 0 0 0 · 1 
 2
  
4
2  
11
4


 9 0 9 9 3 0 3   1 
 2 0 4 5 1 1 1   1 
 3
  
3
3
13
2
4
8
4
1
0 9 9 3 0 3
9
µ
¶T
7 7 8
35 20 43
=
, , , 1, , ,
3 3 3
9 3 9
≈ (2.33, 2.33, 2.67, 1, 3.89, 6.67, 4.78)T .
Abb. 3.12 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.12: Hubbell-Index am Beispielgraph GB
3.2 Nachbarzentralitäten
3.2.3
Standardzentralität B
Das 1972 von Bonacich [2] vorgeschlagene Zentralitätsmaß B etablierte sich
als Standardzentralitätsmaß. Daher werden wir es etwas ausführlicher betrachten. Im folgenden werden wir es als Standardzentralität B bezeichnen,
um es von einem weiter unten definierten, ebenfalls von Bonacich stammenden Maß zu unterscheiden.
Die Bestimmung der Standardzentralität funktioniert nur bei symmetrischen
Strukturen. Einige soziale Verhaltensweisen sind auf natürliche Art und Weise symmetrisch, wie z.B. sich zu unterhalten, Zeit gemeinsam zu verbringen,
gemeinsam auszugehen und ähnliches. Auch könnte Freundschaft als nur auf
gegenseitiger Basis funktionierend definiert werden.
Andererseits gibt es Beziehungen, die asymmetrisch sind, wie die in (3.1)
betrachtete Abstimmung. Für solche Strukturen sind die im folgenden vorgestellten Methoden nicht geeignet.
Wir setzen also voraus, dass der betrachtete Graph G ungerichtet ist. Die
zugehörige Adjazenzmatrix ist dann symmetrisch. Weiterhin gehen wir davon
aus, dass der betrachtete Graph ungewichtet und zusammenhängend ist.
Gegeben sei eine Menge von n Individuen, deren freundschaftliche Beziehungen untereinander bekannt sind. Wir modellieren diese Gruppe als ungerichteten, ungewichteten Graph G = (V, E), wobei V = {v1 , . . . , vn } die
Menge der daran beteiligten Individuen repräsentiert und die Kanten in E
die Freundschaften untereinander beschreiben, d.h. {vi , vj } in E gdw. “vi ist
befreundet mit vj“ (und damit auch “vj ist befreundet mit vi“).
Sei also A die Adjazenzmatrix des ungerichteten, ungewichteten Graphen G,
d.h. für die Einträge von A gilt
(
1 , falls “vi und vj sind befreundet“
.
aij = aji =
0 , sonst
45
46
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Die Bestimmung der Standardzentralität erfolgt auf drei völlig verschiedene
Arten. Die dabei erhaltenen Ergebnisse in Form von Index-Vektoren unterscheiden sich nur durch deren Normierung (Länge).
➊ Als erstes erhalten wir den gesuchten Standardzentralitäts-Vektor B(G)
als Lösung einer Minimalwertaufgabe.
➋ Danach konstruieren wir eine Folge, die gegen B(G) konvergiert.
➌ Die Standardzentralität B(G) wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bestimmt.
➍ Anschließend wird ein allgemeiner Vergleich zwischen dem HubbellIndex H(3.2.2) und der Standardzentralität von Bonacich durchgeführt.
➊ kleinste quadratische Abweichung Die in der Gruppe entstandenen
Freundschaften werden hier aufgefaßt als das Resultat der Fähigkeit der einzelnen Individuen, mit anderen Individuen zu “interagieren“.
Sei A die Matrix, welche diese Freundschaften beschreibt, d.h. A sei die
zu G = (V, E) gehörende symmetrische Adjazenzmatrix.
Wir suchen nun eine Funktion
S : V → R+
0
so, dass Si := S(vi ), i = 1, . . . , n, die Tendenz des durch vi repräsentierten
Individuums beschreibt, Freundschaften mit anderen Mitgliedern der Gruppe
einzugehen. Für i = 1, . . . , n sollte das Produkt Si · Sj dabei jeweils “nahe“
bei dem Wert der tatsächlichen Bindung zwischen vi und vj , nämlich aij
liegen.
In Matrixschreibweise formuliert suchen wir einen Vektor S := S(G), der die
Summe der quadratischen Differenzen zwischen S T S und A minimiert, d.h.
suche S = (S1 , . . . , Sn ) mit
n X
n
X
i=1 j=1
minimal.
(Si · Sj − aij )2
3.2 Nachbarzentralitäten
47
Dies bezeichnet man als Methode der kleinsten Quadrate. Danach errechnet
sich der Vektor S als Eigenvektor zum größten Eigenwert von A, wobei dessen
Länge auf diesen größten Eigenwert normiert wird [2].
Wir definieren also B(G) := S.
➋ Konvergenz einer unendlichen Folge Wie wir bereits früher gesehen
haben, erhalten wir ein einfaches Maß zur Bestimmung von Popularität, wenn
wir jedem Individuum die Anzahl seiner Freunde zuordnen, d.h.
X
S1 (vi ) =
1 = P(vi ).
{vi ,vj }∈E
Dies entspricht dem Popularitätsindex P aus (3.1).
Man betrachte nun einen Index zweiter Ordnung, welcher bestimmt wird,
indem man bei der Aufsummierung befreundete Individuen mit deren Popularitätsindex (= Index erster Ordnung) gewichtet, d.h.
S2 (vi ) =
X
S1 (vj ).
{vi ,vj }∈E
Es gibt auch keinen Grund, diese Überlegungen hier bereits zu beenden. Sollte
der Index zweiter Ordnung besser als der Index erster Ordnung sein, so sollte
ein Index dritter Ordnung, welcher befreundete Individuen mit deren Index
zweiter Ordnung gewichtet, zu wiederum verbesserten Resultaten führen.
Sei S0 := 1 ein mit Einsen gefüllter Spaltenvektor; die zu unserem ungerichteten Graphen G = (V, E) gehörende symmetrische Adjazenzmatrix sei A.
Der Index erster Ordnung ist dann gerade
S1 := A · S0 = AT · S0 = P(G).
Für den Index zweiter Ordnung ergibt sich
S2 := A · S1 = A2 · S0
und durch vollständige Induktion zeigt man leicht, dass sich der Index m-ter
Ordnung bestimmt durch
48
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Sm := A · Sm−1 = Am · S0 .
Für m → ∞ können die Einträge von Sm unendlich groß werden oder verschwinden. Führen wir jedoch einen bestimmten Korrekturfaktor ein, so erreichen wir, dass Sm gegen von Null verschiedene Maße konvergiert. Sei λ1 der
größte Eigenwert von A. Nach jedem Iterationsschritt teilen wir das Ergebnis
durch diesen größten Eigenwert, also
Sm = A
Sm−1
S0
= Am m .
λ1
λ1
Satz 3.11. Sm konvergiert gegen einen Eigenvektor von A zum größten
Eigenwert λ1 .
Beweis: Sei also λ1 der größte Eigenwert von A. Wir nehmen an, dass |λ1 | >
|λ2 |, . . . , |λn | gilt. Da A symmetrisch ist, existiert eine Orthonormalbasis aus
Eigenvektoren {u1 , . . . , un } von A zu den reellen Eigenwerten {λ1 , . . . , λn }
(Satz B.15). Dabei sei u1 ein Eigenvektor von λ1 mit ausschließlich nichtnegativen Einträgen [2]. Wegen span(u1 , . . . , un ) = Rn (Satz B.9) finden
Pn wir
mit geeigneten ci ∈ R, i = 1, . . . , n, eine Darstellung 1 = S0 = i=1 ci ui .
Multiplikation beider Seiten mit u1 T ergibt
u1 T · 1 = u1 T ·
=
n
P
n
P
ci ui
i=1
ci u1 T ui
i=1
= c1 6= 0,
da alle Einträge von u1 nichtnegativ sind und u1 6= (0, . . . , 0) gilt wegen
u1 T u1 = 1.
Es ist dann
3.2 Nachbarzentralitäten
Sm
49
S0
λm
1
1
Am · m
λ1
n c u
P
i i
Am ·
m
λ
i=1
1
n
P
Am ui
ci m
λ1
i=1
n
P λm
ui
ci i m
λ1
i=1
µ ¶m
n
P
λi
c1 u1 +
ui .
λ1
i≥2
= Am ·
=
=
=
=
=
Da wegen |λi | < |λ1 | für i = 2, . . . , n der Term (λi /λ1 )m für große m gegen
Null konvergiert, gilt Sm → c1 u1 für m → ∞.
lim Sm = c1 u1 ist wegen c1 6= 0 ein Eigenvektor zum Eigenwert λ1 .
m→∞
■
Wir definieren B(G) := lim Sm .
m→∞
Der schließlich erhaltene Index (der Ordnung ∞) wird also durch einen Eigenvektor zum größten Eigenwert dargestellt.
➌ Lineare Gleichungen Wir wollen den Zentralitätswert eines Individuums in direkter Abhängigkeit der Zentralitätswerte seiner Freunde beschreiben. Wir nehmen dazu an, dass der Wert eines Individuums vi (im
wesentlichen) der Summe der Werte der mit ihm befreundeten Individuen
vj , j ∈ J ⊂ {1, . . . , n} entspricht.
Betrachten wir eine allgemeine Gleichung zur Bestimmung eines Zentralitätsmaßes S := S(G) := (S(v1 ), . . . , S(vn )). Der Zentralitätswert Si := S(vi )
50
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
eines Knotens vi , i = 1, . . . , n, berechne sich also als Summe der Zentralitätswerte der zu ihm adjazenten Knoten, d.h.
Si =
X
Sj
j∈J
=
X
Sj
(vi ,vj )∈E
=
n
X
(3.2)
aij Sj
j=1
= ai1 S1 + · · · + ain Sn .
Dabei soll Sj ≥ 0 gelten für alle j = 1, . . . , n.
In Matrix-Darstellung schreibt sich dieses lineare Gleichungssystem also als
S = AS
oder
(A − I)S = 0
wobei S der Vektor der unbekannten Zentralitäten ist. Dieses Gleichungssystem hat jedoch nur unter der untypischen Nebenbedingung
det(A − I) = 0
eine von Null verschiedene Lösung. Daher verändern wir Gleichung (3.2)
durch Multiplikation der linken Seite mit der Konstanten λ und erhalten
λSi = ai1 S1 + ... + ain Sn .
In Matrix-Darstellung schreibt sich das lineare Gleichungssystem jetzt als
λS = AS.
Dies ist eine gewöhnliche Eigenwertgleichung, d.h. S ist Eigenvektor zum Eigenwert λ. Jede solche Matrix A hat Eigenvektoren und Eigenwerte, die Frage
ist jedoch, ob eine gefundene Lösung den von uns an sie gestellten Anforderungen genügt. Wir fordern, dass jedes der Si nichtnegativ ist. Außerdem soll
die Lösung eindeutig sein.
3.2 Nachbarzentralitäten
51
Satz 3.12. Jede symmetrische Adjazenzmatrix hat genau einen Eigenvektor
u1 mit auschließlich positiven Einträgen und <u1 , u1 > = 1.
Beweis: Da A eine symmetrische Adjazenzmatrix zu einem zusammenhängenden Graphen G ist, gibt es dazu einen Eigenvektor u1 = (u11 , . . . , u1n ) zum
größten Eigenwert λ1 , dessen Einträge alle positiv sind, d.h. u1j > 0 für
alle j = 1, . . . , n [2]. Da die Eigenvektoren {u1 , . . . , un } von A orthogonal
sind und bei entsprechender Normierung ein Orthonormalsystem bilden, und
daher insbesondere <ui , uj > = ui T uj = 0 für i 6= j gilt, enthält jeder der
Eigenvektoren u2 , . . . , un positive und negative Komponenten, denn
1. Für r = 1, . . . , n gilt <ur , ur > = 1, daher ur 6= (0, . . . , 0).
2. Für k = 1, . . . , n sei uk = (uk1 , . . . , ukn ) mit ukl ∈ R . Angenommen, es
gibt m ∈ {2, . . . , n}, so dass um nur nichtnegative Einträge hat. Dann
gilt
u1 T um = (u11 , . . . , u1n )T (um1 , . . . , umn )
= u11 · um1 + . . . + u1n · umn
> 0,
(da u1l · uml ≥ 0 für alle l = 1, . . . , n, und echt > 0 für mindestens ein
l, da alle Einträge von u1 positiv) im Widerspruch zur Orthogonalität.
3. Die Annahme der Existenz eines Eigenvektors mit nur nichtpositiven
Einträgen führt mit der gleichen Argumentation wie unter 2 zum Widerspruch.
Daher ist S := u1 der von uns gesuchte eindeutige Lösungsvektor.
■
Wir definieren also B(G) := S = u1 .
52
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
✫ Standardzentralität B am Beispielgraphen GB̃
Wir werden hier die Standardzentralität für einen Beispielgraphen bestimmen. Da wir uns hier auf symmetrische Graphen beschränken, ist eine Analyse des in den vorhergehenden Kapiteln betrachteten Beispielgraphen GB
nicht möglich. Daher werden wir GB “leicht“ modifizieren.
Betrachten wir daher nun den durch die folgende Adjazenzmatrix B̃ dargestellten Graphen GB̃ .







B̃ = 





0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0













Abb. 3.13 zeigt eine Einbettung des resultierenden Graphen.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.13: (“leicht“ modifizierter) Beispielgraph GB̃
3.2 Nachbarzentralitäten
53
Die Bestimmung des größten Eigenwertes führt zu
λmax ≈ 3.359.
Der zugehörige, auf 1 normierte Eigenvektor mit ausschließlich positiven Einträgen bestimmt sich approximativ zu
B(GB̃ ) = u1
≈ (0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500).
Abb. 3.14 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB̃ , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.14: Standardzentralität am Beispielgraph GB̃
54
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
➍ Vergleich mit Hubbell-Index Die Standardzentralität B(G) bestimmt
sich also als Eigenvektor zum größten Eigenwert der symmetrischen Adjazenzmatrix A ∈ {0, 1}n×n des ungerichteten, ungewichteten Graphen G =
(V, E), so auch als Lösung der Eigenwertgleichung
λS = AS.
Im Vergleich dazu betrachten wir den unter (3.2.2) vorgestellten HubbellIndex H, der sich bestimmt als Lösung des Gleichungssystems
S = q + W S.
n×n
Dabei ist H(G) := S der gesuchte Vektor der Zentralitätswerte. W ∈ (R+
0)
ist die Adjazenzmatrix des gerichteten, gewichteten Graphen G = (V, E).
q ist ein Vektor mit externen, d.h. von außen auf das System wirkenden
Einflüssen. Dieser beeinflusst die Zentralität der einzelnen Gruppenmitglieder
unabhängig von deren Beurteilung durch die anderen Gruppenmitglieder.
Hubbell macht keine Aussage darüber, auf welche Art und Weise dieser
Vektor q zu bestimmen sei. Es ist also durchaus nicht abwegig, bei fehlender
Information über diese externen Einflüsse die Definition q := 1 = (1, . . . , 1)T
oder ähnliches zuzulassen.
Umfassen die uns zur Analyse vorliegenden (soziometrischen) Daten also
lediglich die innerhalb einer Gruppe bestehenden Freundschaften, Beziehungen, Vorlieben, Ablehnungen oder ähnliches, gegeben durch eine Matrix W ,
und haben wir über externe Einflüsse in Form eines Vektors q keine Erkenntnisse, so betrachten wir eine passende Definition von q als mathematische
Annehmlichkeit, um ein abgesehen von der trivialen Nullösung i. a. unlösbares Gleichungssystem S = W S in ein lösbares inhomogenes System der Form
S = q + W S zu transformieren. Einen ähnlichen Effekt hatte die Einführung
des Parameters λ unter (➌, Lineare Gleichungen).
Die Techniken von Hubbell und Bonacich zur Bestimmung eines Zentralitätsmaßes sind ähnlich. Vorteile und Nachteile sind im folgenden aufgeführt.
1. Hubbell benötigt die (willkürliche) Annahme eines Vektors q, der in
keinem Bezug zu den innerhalb der Gruppe bzw. des Systems existierenden Zuständen steht. Der von Bonacich eingeführte Parameter λ ist
nicht willkürlich zu den existierenden Daten hinzugefügt, sondern wird,
als Eigenwert der inneren Struktur, von den Daten selbst “generiert“.
3.2 Nachbarzentralitäten
2. Der Vektor S := B(G) ist die auf eine Art optimale Datenreduktion
der Matrix A; denn die Matrix S T S ist die beste Approximation für A
bzgl. der Summe der quadratischen Abweichungen. Eine solche Interpretation gibt es für H(G) nicht.
3. Die Einträge von H(G) enthalten die Summen aller direkten und indirekten Pfade von einem Individuum zu allen anderen. Eine solche
Interpretation gibt es für B(G) nicht.
4. Ein sehr wichtiger Unterschied: Die Bestimmung von H(G) ist auch
bei nichtsymmetrischen Strukturen möglich, B(G) beschränkt sich auf
symmetrische Graphen G. Außerdem ist H auch für gewichtete Graphen definiert.
3.2.4
Verhandlungszentralität V
Bei den bisherigen Betrachtungen wurde einem Knoten eines Netzwerks immer dann ein (vergleichsweise) hoher Zentralitätswert zuerkannt, wenn er
in dem betrachteten Netzwerk eine zentrale Position einnahm. Insbesondere
wurde einem Individuum in den meisten Fällen dann ein höherer Wert zugewiesen, wenn es in Verbindung zu vielen anderen einflussreichen Individuen,
d.h. Individuen mit ihrerseits hohem Zentralitätswert stand.
Betrachtet man jedoch eine Menge in Verhandlung stehender Individuen,
und soll das zugewiesene Maß den jeweils potentiell zu erwartenden Verhandlungserfolg in der gegebenen Konstellation widerspiegeln, so ist leicht
einzusehen, dass der Kontakt zu schwachen Verhandlungspartnern (die beispielsweise nur wenige Kontakte haben) die eigene Position stärkt. Verbindungen zu starken Partnern, die ihrerseits viele Verhandlungspartner haben,
schwächen hingegen die eigene Position. So gesehen stellt die Verhandlung
eine negativ transitive Beziehung dar. Verhandelt nämlich P1 mit P2 und P2
mit P3 , so wird sich diese Verbindung zu P3 auf den von P1 zu erwartenden
Verhandlungserfolg negativ auswirken, da P2 eben auch mit P3 Geschäfte
macht.
55
56
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
1987 stellt Bonacich [4] eine weiteres Zentralitätsmaß vor, das flexibler als
die zuvor vorgestellte Standardzentralität ist und die angesprochenen Überlegungen berücksichtigt.
Gegeben seien n Individuen, die untereinander in Verhandlung stehen. Wir
modellieren diese Situation als gerichteten, ungewichteten Graph G = (V, E),
wobei V = {v1 , . . . , vn } die Menge der daran beteiligten Individuen repräsentiert und die Kanten in E die Verhandlungspartner miteinander verbinden,
d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “vi verhandelt mit vj“.
Sei also A die Adjazenzmatrix des gerichteten, ungewichteten Graphen G,
d.h. für die Einträge von A gilt
(
1 , falls “vi verhandelt mit vj“
aij =
.
0 , sonst
Das Zentralitätsmaß V wird von zwei Parametern α und β erzeugt. Der Parameter α bestimmt den Einfluss der Anzahl der Nachbarn eines Individuums
auf seinen Zentralitätswert. Der Parameter β bestimmt den Grad, zu dem der
Zentralitätswert eines Individuums eine Funktion der Werte seiner Nachbarn
ist.
Wir definieren dann die Verhandlungszentralität von vi durch
V{α,β} (vi ) := V(vi ) :=
n
X
(α + β · V(vj )) aij .
j=1
• Ist β positiv, so ist V ein “konventionelles“ Zentralitätsmaß, bei welchem der Wert eines jeden Individuums eine positive Funktion der mit
ihm verbundenen Individuen und deren Werten ist (vgl. 3.2.2).
• Wählen wir jedoch für β einen negativen Wert, so werden die oben angestellten Überlegungen bezüglich der veränderten Situation in einem
Verhandlungsnetzwerk berücksichtigt. Die Werte der direkten Verhandlungspartner werden dann bei der Berechnung des eigenen Wertes negativ gewichtet.
▲ Daher sind hier auch negative Zentralitätswerte möglich!
3.2 Nachbarzentralitäten
57
Falls β = 0, so ist V ein rein lokales Maß. Mit steigendem Betrag von β
werden die Zentralitätswerte der anderen Individuen stärker berücksichtigt.
Die Höhe des Betrags von β spiegelt also den Grad wider, zu dem V lokales
bzw. globales Zentralitätsmaß ist.
Wegen
n
n
X
X
V(vi ) = α ·
(aij · 1) + β ·
(aij · V(vj ))
j=1
j=1
erhalten wir in Matrixdarstellung
V(G)
= αA · 1 + βA · V(G)
⇔ (I − βA) · V(G)
= αA · 1
⇔
= α(I − βA)−1 · A · 1
V(G)
falls (I − βA)−1 existiert. Dazu folgender
Satz 3.13. Seien M ∈ Rn×n , und λ1 , . . . , λn die Eigenwerte von M . Dann
gilt:
(I − M )−1 existiert ⇔ λi 6= 1 für alle i ∈ {1, . . . , n}
Beweis: zu zeigen:
(I − M )x 6= 0 für alle x ∈ Rn \{0} ⇔ λi 6= 1 für alle i ∈ {1, . . . , n}
58
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
⇒:
Sei xi Eigenvektor von M zum Eigenwert λi mit (I − M )xi 6= 0
⇒
0 6=
⇒
λi
6=
(I − M )xi
= xi − λi xi =
(1 − λi )xi
1.
⇐:
Sei λi 6= 1 für alle i, sei xi Eigenvektor zu λi
⇒
(I − M )xi
= xi − λi xi
=
(1 − λ ) x
| {z i} i
6= 0.
6=0
Sei x ∈ Rn \{0} kein Eigenvektor von M
⇒
(I − M )x = x − M x 6= 0,
da M x 6= x.
■
Mit F := α · (I − βA)−1 · A lautet die Formel zur Bestimmung der Verhandlungszentralität
V(G) = F · 1.
Wir sehen folgende Analogien zu bereits betrachteten Zentralitäts-Indizes:
3.2 Nachbarzentralitäten
59
1. Wählen wir β = 0, so ist V(vi ) proportional zum Ausgangsgrad dout (vi ),
also nur von der Anzahl der zu vi adjazenten Knoten abhängig. V ist
dann demnach rein lokal bestimmt. Gilt zudem α = 1, so gilt
V(G) =
=
=
=
=
F ·1
¡
¢
α · (I − βA)−1 · A · 1
¢
¡
1 · (I − 0 · A)−1 · A · 1
A·1
¡ ¢
P GT .
V entspricht dann also genau dem Popularitätsindex P (3.1) für die
Transponierte AT der Adjazenzmatrix A, d.h. P(G) = V(GT ).
2. Setzen wir α := ϕ und β := ϕ ∈ [0, 1] (3.2.1), so erhalten wir wegen
(I − βA)−1 = I + βA + (βA)2 + · · ·
die Darstellung
V(G) =
=
=
=
=
=
=
F ·1
¡
¢
α · (I − βA)−1 · A · 1
ϕ · (I − ϕA)−1 · A · 1
ϕ · (I + ϕA + (ϕA)2 + · · · ) · A · 1
¡
¢
ϕA + (ϕA)2 + (ϕA)3 + · · · · 1
T ·1
¡ ¢
S GT .
Dies entspricht gerade dem Status-Index S (3.2.1) für die Transponierte
AT der Adjazenzmatrix A, d.h. S(G) = V(GT ).
60
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
3. Bleiben
Pn wir bei beliebigem α bei nichtnegativem β, wählen dazu qk :=
α · l=1 akl sowie wij := β · aij für k, l ∈ {1, . . . , n} (vgl. 3.2.2), so
erhalten wir für i = 1, . . . , n
H(vi ) = qi +
= α·
=
n
X
wij · H(vj )
j=1
n
X
n
X
j=1
j=1
n
X
aij +
β · aij · H(vj )
(α + β · H(vj )) · aij .
j=1
Dies entspricht der Definition von V. Für β ≥ 0 läßt sich V also durch
den in diesem Fall etwas allgemeineren Hubbell-Index H (3.2.2) darstellen.
▲ Daran sehen wir, dass, wie oben bereits erwähnt, die Verhandlungszentralität V nur für eine negative Wahl des Parameters β eine tatsächliche
Neuerung darstellt.
✫ Verhandlungszentralität V am Beispielgraphen GB
Da die Verhandlungszentralität auch für gerichtete Graphen definiert ist,
betrachten wir wieder den in (3.1, S. 25) definierten Graphen GB . Wählen
wir α = 1, und für β den negativen Wert −3/4, so erhalten wir wegen
3.2 Nachbarzentralitäten
¶−1
3
=
I+ B
4

1 0 0 0

 0 1 0 0

 0 0 1 0


=  0 0 0 1

 0 0 0 0

 0 0 0 0

0 0 0 0

224 0

 126 98

 −168 0
1 

=
0 0

98 
 −216 0


72 0

288 0
61
µ
−1
(I − βB)
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1










 3


+ 
 4








0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0

−168
126
0 0
0

−168
126
0 0
0 

224 −168
0 0
0 


0
98
0 0
0 

288 −258
224 0 −168 

−96
135 −42 98 −42 

−384
246 −168 0
224
und
VB = α · (I − βB)−1 · B
µ
¶−1
3
·B
= 1· I + B
4

−42 0
56

 −42 0
56

 56 0 −42
2 

=
0 0
0

49 
 72 0 −96

 −24 0
32

−96 0 128
−42
0 0
0
−42
0 0
0
56
0 0
0
0
0 0
0
86 −42 0
56
−45
14 0
14
−82
56 0 −42







.





0
0
0
0
1
1
0
−1












62
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Daher ergibt sich für unseren Beispielgraphen GB ein Verhandlungszentralitäts-Vektor von
V(GB ) = VB · 1

 
−42 0
56 −42
0 0
0
1

 
 −42 0
56 −42
0 0
0   1

 
 56 0 −42
 1
56
0 0
0 



2 
 
=
0 0
0
0
0 0
0 · 1

 
49 
 72 0 −96

86 −42 0
56 

  1
 −24 0

32 −45
14 0
14 

  1
−96 0 128 −82
56 0 −42
1
152 18 72
8 8 20
,− ,− )
= (− , − , , 0,
7 7 7
49
49 49
≈ (−1.143, −1.143, 2.857, 0, 3.102, −0.367, −1.469).













Auf eine Darstellung des Beispielgraphen GB mit größenveränderten Knoten
wie in den anderen Abschnitten, wird hier, aufgrund der negativen Bewertung
einzelner Knoten, verzichtet.
3.2.5
PageRank R
Sergey Brin und Lawrence Page stellen 1998 den Prototyp der WWW-Suchmaschine Google vor [6]. Mit dieser können die Seiten des WWW nach
beliebigen Wörtern durchsucht werden, d.h. es handelt sich um eine textbasierte Suchmaschine. Google hat sich inzwischen etabliert und wird mit
altgedienten Suchmaschinen wie Yahoo, Lycos oder Altavista in einem
Atemzug genannt. Das liegt nicht zuletzt, neben vielen anderen guten Eigenschaften, an der guten Filterung qualitativ minderwertiger Suchergebnisse.
Dies erspart dem Suchenden stundenlanges Durchkämmen von bezüglich einer Anfrage wenig relevanten Dokumenten. Um aus den auf Anfragen oft
unzähligen Antwortseiten möglichst qualitativ hochwertige auszuwählen, die
3.2 Nachbarzentralitäten
63
dem Suchenden dann als “erste Wahl“ präsentiert werden, wird hier das Zentralitätsmaß PageRank R benutzt. Dieses bewertet alle Seiten des WWW
aufgrund ihrer strukturellen Position in dem durch die Hyperlink-Struktur
des WWW gegebenen Graphen G. Die Reihenfolge der Präsentation der Seiten eines Suchergebnisses ergibt sich dann durch die nichtaufsteigende Sortierreihenfolge des PageRank-Vektors R(G).
Gegeben sei also eine (endliche) Menge von n WWW-Seiten, zusammen mit
den auf ihnen befindlichen Hyperlinks. Wir betrachten dabei nur Hyperlinks,
die wieder auf Seiten in der von uns betrachteten Menge verweisen. Für zwei
Seiten vi , vj gelte, dass vi höchstens einen Hyperlink auf vj enthält. Wir
modellieren dies als gerichteten, ungewichteten Graph G = (V, E), wobei
V = {v1 , . . . , vn } die Menge der WWW-Seiten repräsentiert und die Kanten
in E die Hyperlinks beschreiben, d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “Seite vi enthält einen
Hyperlink zu Seite vj“.
Sei also A die Adjazenzmatrix des gerichteten, ungewichteten Graphen G,
d.h. für die Einträge von A gilt
(
1 , falls “vi enthält einen Hyperlink zu vj “
aij =
.
0 , sonst
Wie bereits in (3.1) erwähnt, erscheint es als erste Näherung sinnvoll, einer
WWW-Seite aufgrund einer hohen Anzahl auf sie verweisender Links ein hohes Maß an Popularität zu bescheinigen. Aus verschiedenen Gründen erweist
es sich jedoch als nicht ausreichend, ein lokales Maß wie den Eingangsgrad
eines Knotens als einziges linkbasiertes Kriterium für die Beurteilung der
Qualität einer Seite heranzuziehen.
Unter anderem wäre es für jedermann möglich, sich eine große Menge
von Seiten zu generieren, und die darauf befindlichen Links zu nutzen, um
einer beliebigen Seite zu scheinbar hoher Qualität zu verhelfen. Es ist zu
bedenken, dass ein von einer Seite wie yahoo.com ausgehender Link eine
höhere Aufmerksamkeit verdient als ein Link auf meiner eigenen Homepage.
Die Beurteilung der WWW-Seiten soll vielmehr das Expertenwissen von
Millionen von Web-Designern widerspiegeln, und nicht durch einzelne xbeliebige Individuen (in nicht angemessener Weise) beeinflusst werden können.
Ein Web-Designer wird im allgemeinen dann einen Hyperlink zu einer Seite vj setzen, wenn er diese für sehenswert und damit auf eine gewisse Art
64
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
für qualitativ hochwertig hält. Diese sogenannten Backlinks (von vj ) werden
dann zur Beurteilung der Qualität dieser Seite vj , und damit bei der Vergabe ihres Zentralitätsmaßes R herangezogen. Die PageRanks der Seiten, auf
denen sich diese Backlinks befinden, sollen dabei ihrerseits eine wesentliche
Rolle spielen.
➤ Gefragt ist demnach ein Zentralitätsmaß, das bei der Indexierung einer Website die gesamte Webstruktur berücksichtigt, d.h. ein global
bestimmtes Maß.
Betrachten wir einen WWW-Surfer, der auf einer beliebigen Seite startet,
und dann unaufhörlich die Website wechselt, wobei er mit Wahrscheinlichkeit
q ∈ [0, 1] zufällig einen der Links auf der Seite anklickt, auf der er sich gerade
befindet, und mit Wahrscheinlichkeit p = 1 − q zufällig eine völlig neue
WWW-Seite aufruft. Eine solche Person (bzw. sein Vorgehen) bezeichnet
man als Random Surfer (Irrfahrer). Gehen wir davon aus, dass jeder der
auf der gerade aktuellen Seite zur Verfügung stehenden Links mit gleicher
Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, und dass auch, bei zufälliger Auswahl
einer völlig neuen Seite, die Wahrscheinlichkeit gleichverteilt ist, so ergibt sich
für einen auf der Seite vj befindlichen Random Surfer die Wahrscheinlichkeit
(probability)
P (j, i) =
p
q · aji
+
,
n dout (vj )
von vj nach vi zu wechseln. Dabei sind
p
q
n
dout (vj )
aji
=
=
=
=
=
Wahrscheinlichkeit, ganz neue Seite aufzurufen
Wahrscheinlichkeit, einem der Links zu folgen = 1 − p
Anzahl Seiten insgesamt
Anzahl ausgehender Links auf Seite vj
Anzahl Links auf vj , die auf die Seite vi zeigen (∈ {0, 1})
▲ Dabei wird dout (vj ) 6= 0 angenommen, um das Auftreten von 00 zu
verhindern. Befinden sich auf Seite vj keine Hyperlinks, so definieren
wir (q · aji )/dout (vj ) := 0.
3.2 Nachbarzentralitäten
65
Um unser Zentralitätsmaß definieren zu können, benötigen wir noch einen
Parameter λ, der uns die Existenz einer von Null verschiedenen Lösung garantiert.
Der PageRank einer Seite vi bestimmt sich nun im wesentlichen als Summe
der PageRanks aller Seiten vj , jeweils gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit,
von vj nach vi zu wechseln, d.h.
n
X
λR(vi ) =
(P (j, i) · R(vj ))
j=1
=
n µµ
X
p
j=1
so dass λ maximal und kR(G)k1 :=
q · aji
+
n dout (vj )
Pn
k=1
¶
¶
· R(vj ) ,
R(vk ) = 1.
Um das Auftreten von 00 zu verhindern, definieren wir die “pseudoinverse
Zeilensummenmatrix“ Dr−1 von A durch

 1
, falls i = j und dout (vi ) 6= 0
−1
.
(Dr )ij = dout (vi )

0
, sonst
Somit ergibt sich in Matrixdarstellung wegen kR(G)k1 = 1 also
λR(G) =
³p
n
= (X + A0 )T · R(G),
wo X :=
´T
· 1 · 1T + q · Dr−1 · A
· R(G)
p
· 1 · 1T , A0 := q · Dr−1 · A.
n
R(G) ist also Eigenvektor zum größten Eigenwert von (X + A0 )T .
66
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
✫ PageRank R am Beispielgraphen GB
Da die im WWW auftretenden Hyperlinks meist nicht bidirektional sind,
betrachten wir als Beispiel wieder den Graphen GB (siehe Definition unter
3.1, S. 25). Bewerten wir zudem die Wahrscheinlichkeit, eine ganz neue Seite
aufzurufen mit 14%, d.h. wählen wir p = 0.14, so erhalten wir
XB
=
=
p
· 1 · 1T
n 
1

 1

 1
0.14 

 1
7 
 1

 1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1













und
B 0 = q · Dr−1 · B

1 0

 0 1

 0 0


= 0.86  0 0

 0 0

 0 0

0 0
0 0 0
0 0 0
1
0 0
2
0 0 0
0 0 12
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
0
0
1
3













0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0













3.2 Nachbarzentralitäten
67





0.86 

=

6 




0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
6
0
0
0
2
2
0
0
3
0
3
0
2
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
0







.





Das führt zu

(XB + B 0 )T




1 

=

300 





6
6 135 6
6 6 6

6
6
6 6
6 6 6 

264 264
6 6
6 92 92 


6
6 135 6 135 6 92 

6
6
6 6
6 92 92 

6
6
6 6
6 6 6 

6
6
6 6 135 92 6
Die Bestimmung des größten Eigenwertes von (XB + B 0 )T ergibt
λmax ≈ 0.76508.
Der zugehörige, in der Summe seiner Komponenten auf 1 normierte Eigenvektor bestimmt sich approximativ zu
R(GB ) ≈ (0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071).
Abb. 3.15 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
68
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.15: PageRank am Beispielgraph GB
3.2.6
Authorities KA und Hubs KH
Ebenfalls 1998 betrachtet Jon M. Kleinberg [18] einen anderen Ansatz zur
Beurteilung der Qualität von WWW-Seiten. Dabei werden zwei verschiedene
Zentralitätsmaße in Graphen aufgezeigt, welche unterschiedliche Qualitätsansprüche beschreiben sollen.
1. Zum einen betrachten wir solche Seiten als qualitativ hochwertig, welche tatsächlich gute Informationen über das uns (als Informationssuchenden) interessierende Thema enthalten, sogenannte Authorities.
2. Zum anderen werden solche Seiten hoch eingestuft, die ihrerseits viele
Hyperlinks auf Authorities haben, sogenannte Hubs (Hilfsseiten).
Dazu betrachten wir einen Subgraphen des WWW, der aus Antwortseiten
einer Suche mit einer textbasierten Suchmaschine (wie Altavista) so generiert wird, dass die daran beteiligten WWW-Seiten mehr oder weniger direkt
mit dem uns interessierenden Suchbegriff zu tun haben.
Gegeben sei also eine (endliche) Menge von n WWW-Seiten, zusammen mit
den auf ihnen befindlichen Hyperlinks. Wir betrachten dabei nur die Hyperlinks, die wieder auf Seiten in der von uns betrachteten Menge verweisen. Wir
modellieren dies als gerichteten Graph G = (V, E), wobei V = {v1 , . . . , vn }
3.2 Nachbarzentralitäten
die Menge der WWW-Seiten repräsentiert und die Kanten in E die Hyperlinks beschreiben, d.h. (vi , vj ) ∈ E gdw. “Seite vi enthält einen Hyperlink zu
Seite vj“, d.h. G ist der von V knoteninduzierte Teilgraph des WWW.
Sei also A die Adjazenzmatrix des gerichteten, ungewichteten Graphen G,
d.h. für die Einträge von A gilt
(
1 , falls “vi enthält einen Hyperlink zu vj“
.
aij =
0 , sonst
Die Beurteilung der Seiten geschieht nun wie folgt:
• auf gute Authorities sollte von vielen guten Hubs verwiesen werden
• gute Hubs ihrerseits sollten möglichst viele Links auf gute Authorities
enthalten
Dazu verwenden wir einen iterativen Algorithmus, der die Authority- und
Hub-Werte verwaltet und updated. Sei x = (x<p> )p∈V ein Vektor, dessen
Koordinaten die (vorläufigen) Authority-Werte enthalten, ebenso enthalte
ein Vektor y = (y<p> )p∈V die (vorläufigen) Hub-Werte. Wir werden immer
dafür sorgen, dass P
die Quadratsummen über die
Maße normiert
P jeweiligen
2
2
2
2
sind, d.h. kxk2 := p∈V (x<p> ) = 1, kyk2 := p∈V (y<p> ) = 1. Seiten mit
höheren Werten sollten dabei als “besser“ angesehen werden.
Numerisch betrachtet ergibt sich die gegenseitig verstärkende Beziehung zwischen Hubs und Authorities wie folgt:
• Falls auf p von vielen Seiten mit hohem y-Wert gezeigt wird, so sollte
es einen hohen x-Wert erhalten.
• Falls p auf viele Seiten mit hohen x-Werten zeigt, so sollte es einen
hohen y-Wert erhalten.
Dazu definieren wir zwei Operationen I und O auf den Vektoren x und y.
Seien für p ∈ V die Werte x<p> und y<p> gegeben.
69
70
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
• Die I-Operation erneuert die x-Werte wie folgt:
x<p> ←
X
y<p>
q:(q,p)∈E
• Die O-Operation erneuert die y-Werte wie folgt:
y<p> ←
X
x<p>
q:(p,q)∈E
Um nun die erwünschten Gleichgewichtswerte zu erhalten, werden die Iund O-Operationen abwechselnd angewendet und geschaut, ob Konvergenz
erfolgt. Jetzt können wir unseren Algorithmus Iterate formulieren.
Iterate(G, k)
G: der betrachtete Graph G = (V, E) mit |V | = n
k: Anzahl durchzuführender Iterationen
Sei x0 := 1, y0 := 1
Für i = 1, . . . , k
Wende die I-Operation auf (xi−1 , yi−1 ) an,
erhalte neuen Vektor x0i
Wende die O-Operation auf(x0i , yi−1 ) an,
erhalte neuen Vektor yi0
x0
Normalisiere x0i , erhalte xi (xi := ||xii||2 )
Normalisiere yi0 , erhalte yi (yi :=
End
Return (xk , yk )
yi0
)
||yi ||2
3.2 Nachbarzentralitäten
Schließlich haben wir den folgenden Algorithmus zur Ermittlung der c besten
Authorities und der c besten Hubs:
Filter(G, k, c)
G: der betrachtete Graph G = (V, E)
k: Anzahl durchzuführender Iterationen
c: Anzahl auszugebender Top-Ergebnisse
(x, y) = Iterate(G, k)
Sortiere x und y nichtaufsteigend
Gib die Seiten mit den c größten x-Koordinaten
als Top-Authorities aus
Gib die Seiten mit den c größten y-Koordinaten
als Top-Hubs aus
Um darzulegen, dass der Algorithmus Iterate zu sinnvollen Ergebnissen
führt, zeigen wir jetzt, dass (xk ) und (yk ) gegen Grenzwerte x∗ und y∗ konvergieren. Dazu benötigen wir einige Eigenschaften aus der linearen Algebra.
Sei M eine symmetrische (n × n)-Matrix mit reellen Einträgen. Ein Eigenwert von M ist eine Zahl λ ∈ R, so dass für einen Vektor w ∈ Rn \{0} gilt:
M w = λw. Der Vektor w heißt Eigenvektor von M zum Eigenwert λ. Da
M symmetrisch ist, gibt es eine Orthonormalbasis von Rn bestehend aus Eigenvektoren von M . Seien λ1 , . . . , λn die zu diesen Eigenvektoren w1 , . . . , wn
gehörenden Eigenwerte. Wir nehmen an, dass |λ1 | > |λi |, i = 2, . . . , n für alle
in diesem Abschnitt betrachteten symmetrischen Matrizen gilt. Einen zu λ1
gehörenden Eigenvektor w1 bezeichnen wir dann als Haupteigenvektor.
Lemma 3.14. Sei A ∈ Rn×n , λ 6= 0. Dann gilt:
1. AAT und AT A sind symmetrisch
2. λ Eigenwert von AAT ⇔ λ Eigenwert von AT A
3. w Eigenvektor von AAT zum Eigenwert λ
⇒ AT w Eigenvektor von AT A zum Eigenwert λ
71
72
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Beweis:
1. (AAT )T = (AT )T (A)T = AAT
(AT A)T = (A)T (AT )T = AT A
2. Sei w Eigenvektor von AAT zum Eigenwert λ
⇒ AAT w = λw
⇒ AT A(AT w) = AT (AAT w) = AT λw = λAT w
⇒ λ Eigenwert von AT A
Sei w Eigenvektor von AT A zum Eigenwert λ
⇒ AT Aw = λw
⇒ AAT (Aw) = A(AT Aw) = Aλw = λAw
⇒ λ Eigenwert von AAT
3. Siehe 2.
■
Jetzt können wir beweisen, dass die Prozedur Iterate für k → ∞ konvergiert.
Satz 3.15. Die Folgen (xi ) bzw. (yi ) konvergieren gegen x∗ := w1 (AT A)
bzw. y∗ := w1 (AAT ), die Haupteigenvektoren von AT A bzw. AAT .
Beweis: Sei also G = (V, E), A die zugehörige Adjazenzmatrix. Offensichtlich können die I- und O-Operationen geschrieben werden als
x ← AT y
bzw.
y ← Ax.
Daher ist xk der Einheitsvektor in Richtung von (AT A)k−1 AT 1, und yk ist
der Einheitsvektor in Richtung von (AAT )k 1 (vollständige Induktion). Wegen (AT A)k−1 AT 1 = AT (AAT )k−1 1 ist also xk auch der Einheitsvektor in
Richtung AT yk−1 .
3.2 Nachbarzentralitäten
73
Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass, falls M eine symmetrische reelle (n × n)-Matrix ist, und w ein nicht zum Haupteigenvektor orthogonaler
Vektor, der Einheitsvektor in Richtung M k w gegen den Haupteigenvektor
w1 (M ) von M für k → ∞ konvergiert. Ebenso gilt, dass, falls M nur nichtnegative Einträge hat, es einen Haupteigenvektor mit ausschließlich nichtnegativen Einträgen gibt [2].
Da AT A und AAT symmetrisch sind und nur nichtnegative Einträge haben,
gilt also: Der Vektor 1 ist nicht orthogonal zum Haupteigenvektor w1 (AAT ),
und daher konvergiert die Folge (yk ) gegen y∗ = w1 (AAT ). Daher konvergiert
(xk ) gegen den Einheitsvektor in Richtung AT y∗ . Dies ist der Haupteigenvektor x∗ = w1 (AT A) von AT A (Lemma 3.14).
■
Die Konvergenz von (xi ) bzw. (yi ) ergibt sich also auf die gleiche Art und
Weise wie die Konvergenz von (Sm ) in (3.2.3). Lediglich die Vorgehensweise
bei der iterativen Normierung ist unterschiedlich (Satz 3.11).
Wir definieren
KA (G) := x∗
und
KH (G) := y∗ .
Die Bestimmung der Indexvektoren erfolgt also über die Eigenwertgleichungen
λKA (G) = (AT A)KA (G)
und
λKH (G) = (AAT )KH (G).
74
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
✫ Authorities KA und Hubs KH am Beispielgraphen GB
Da die im WWW auftretenden Hyperlinks meist nicht bidirektional sind,
betrachten wir als Beispiel wieder den Graphen GB (siehe Definition unter
3.1, S. 25).
Authorities KA
Zur Bestimmung der Authorities KA des Beispielgraphen GB berechnen wir
zunächst







BT B = 












= 





0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
2
0
1
1
0
1
3
1
0
1
0
0
2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
2














0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1






.





Die Bestimmung des größten Eigenwertes von B T B führt zu
λmax ≈ 6.55943.
Ein zugehöriger Eigenvektor bestimmt sich approximativ zu
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0













3.2 Nachbarzentralitäten
75
w1 (B T B) ≈ (0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348)
und normiert auf 1 ergibt sich
KA (GB ) ≈ (0.039, 0, 0.335, 0.219, 0.233, 0, 0.173).
Abb. 3.16 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.16: Authorities am Beispielgraph GB
Hubs KH
Zur Bestimmung der Hubs KH des Beispielgraphen GB berechnen wir zunächst

BB T






= 





0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0













0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0













76
KAPITEL 3.

1

 1

 0


=  0

 0

 1

1
ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN

1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 

0 2 0 1 0 1 


0 0 0 0 0 0 .

0 1 0 2 1 1 

1 0 0 1 3 2 

1 1 0 1 2 3
Die Bestimmung des größten Eigenwertes von BB T führt zu
λmax ≈ 6.55943.
Ein zugehöriger Eigenvektor bestimmt sich approximativ zu
w1 (BB T ) ≈ (0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620)
und normiert auf 1 ergibt sich
KH (GB ) ≈ (0.118, 0.118, 0.091, 0, 0.137, 0.260, 0.276).
Abb. 3.17 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.17: Hubs am Beispielgraph GB
3.2 Nachbarzentralitäten
3.2.7
Resümee
Unter Einbeziehung des Popularitätsindex P (3.1) haben wir in den vorhergehenden Abschnitten acht verschiedene Nachbarzentralitätsmaße vorgestellt.
Zunächst betrachten wir dabei Situationen aus der realen Welt, welche wir
durch Graphen modellieren. Mit Ausnahme der Standardzentralität B (3.2.3)
sind sämtliche Maße für gerichtete Graphen geeignet. Einzig der HubbellIndex H (3.2.2) erlaubt eine Kantengewichtung.
Bei der Bewertung der Knoten eines Graphen folgen wir dann jeweils intuitiv
nachvollziehbaren Beurteilungskriterien, wobei das einem Knoten zugewiesene Zentralitätsmaß jeweils von seinen Nachbarn und/oder deren Bewertungen
abhängt (z.B. in (3.1) Popularitätsindex P(vi ) = Anzahl der Freunde von vi ).
Diese Kriterien lassen sich nun mit Hilfe der den Graphen beschreibenden
Adjazenzmatrix relativ leicht in mathematische Form bringen (z.B. P(vi ) =
Anzahl der Freunde
Pn der Person vi = i-te Spaltensumme der Adjazenzmatrix
A, also P(vi ) = j=1 aji ).
Auf diese Art erhalten wir schließlich die im folgenden nochmals aufgeführten Formeln zur Bestimmung der einzelnen Zentralitätsmaße. Dabei seien
wie bisher A bzw. W die ungewichtete bzw. gewichtete Adjazenzmatrix des
Graphen G = (V, E), I die Einheitsmatrix, 1 sei der mit Einsen gefüllte
Spaltenvektor (1, . . . , 1) entsprechender Größe.
Dabei wird zum wiederholten Male deutlich, dass sich diese Formeln zur Bestimmung der Zentralitätsmaße stark ähneln und sich nur im Detail unterscheiden. Insbesondere sind dabei einige der Zentralitätsmaße als Spezialfälle
anderer darstellbar. Dies ermöglicht es uns, die Anzahl der vorliegenden Formeln zu reduzieren.
77
78
(3.1)
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Popularitätsindex P
(3.2.1) Status-Index S
P(G) = AT · 1
S(G) = T T · 1
T = ϕA + (ϕA)2 + · · ·
ϕ ∈ [0, 1] konstant
(3.2.2) Hubbell-Index H
H(G) = (I − W )−1 · q
q = Vektor der äußeren Einflüsse
(3.2.3) Standardzentralität B
λB(G) = A · B(G)
λ = größter Eigenwert von A
(3.2.4) Verhandlungszentralität V
V(G) = F · 1
F = α(I − βA)−1 A
α = Normierungskonstante
β = Globalisierungskonstante
(3.2.5) PageRank R
λR(G) = (B + A0 ) · R(G)
λ = größter Eigenwert von (B + A0 )
B = np 1 · 1T
A0 = qDr−1 A
Dr−1 = pseudoinverse
Zeilensummenmatrix von A
Wahrscheinlichkeiten p + q = 1
(3.2.6) Authorities KA
λKA (G) = (AT A) · KA (G)
(3.2.6) Hubs KH
λKH (G) = (AAT ) · KH (G)
3.2 Nachbarzentralitäten
79
So kann der Popularitätsindex P (3.1) als Spezialfall der Verhandlungszentralität V dargestellt werden, indem wir die Normierungskonstante α und die
Globalisierungskonstante β passend definieren (siehe 3.2.4).
Setzen wir nämlich α := 1, β := 0, so erhalten wir
¡ ¢
P(G) = V{1,0} GT .
Auch läßt sich der Status-Index S (3.2.1) mit Hilfe der Verhandlungszentralität V darstellen (siehe 3.2.4).
Setzen wir α := ϕ und β := ϕ ∈ [0, 1], so erhalten wir
¡ ¢
S(G) = V{ϕ,ϕ} GT .
Wegen
V(G) =
¡
¢
α(I − βA)−1 · A · 1
sind Popularitätsindex, Status-Index und Verhandlungszentralität also darstellbar durch ein Gleichungsystem der Form
Z = g(A) · 1
wobei g(A) ∈ Rn×n von der Adjazenzmatrix A abhängt.
▲ Der Hubbell-Index H stellt unter den vorgestellten Maßen einen Sonderfall dar, denn zum einen wird hier eine beliebige (nichtnegative, reelle) Kantengewichtung zugelassen, zum anderen wird der Zentralitätsvektor ganz wesentlich durch äußere Einflüsse geprägt. Diese können
unter Umständen so groß sein, dass sich die wirkliche Struktur des
Graphen nicht in dem Ergebnis der Berechnungen widerspiegelt. Daher wollen wir diese Formel trotz ihrer sehr allgemeinen Formulierung
hier nicht weiter betrachten.
80
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Die Formeln zur Bestimmung der Standardzentralität B, des PageRank R,
der Hubs KH sowie der Authorities KA sind allesamt vom gleichen Typ. Es
handelt sich dabei um Eigenwertgleichungen der Form
λZ = f (A) · Z
wobei f (A) ∈ R
n×n
durch die Adjazenzmatrix A bestimmt wird.
☞ Zentralitätsmaße dieser Art bezeichnet man daher
auch als Eigenvektorzentralitäten.
Die vorgestellten Zentralitätsindizes bestimmen sich also (mit Ausnahme des
Hubbell-Index)
• entweder durch die Lösung eines von der Matrix g(A) abhängenden
Gleichungssystems, d.h. durch
Z = g(A) · 1
• oder durch die Bestimmung eines Eigenvektors zum größten Eigenwert
einer Matrix f (A), also durch das Lösen von
λZ = f (A) · Z.
3.3
Entfernungszentralitäten
Im folgenden sollen nun, wie bereits in Kapitel 3 (S. 18) angekündigt, zum
zweiten allgemeinen Ansatz gehörende Zentralitätsmaße vorgestellt werden,
welche die Knoten eines Netzwerkes in Abhängigkeit von ihren Entfernungen
zu den anderen Knoten des Netzwerkes bewerten. Das Zentrum eines Sterns
wird hierbei teilweise eine Sonderstellung einnehmen, daher wird es jeweils
genauer untersucht werden.
Wir betrachten in dieser Reihenfolge die Stresszentralität, die Zwischenzentralität, die Entfernungszentralität und die Graphenzentralität.
3.3 Entfernungszentralitäten
3.3.1
81
Stresszentralität ST
Ein Konzept zur Bestimmung eines Zentralitätsmaßes für Knoten betrachtet
die Eigenschaft eines Knotens vi , zwischen Paaren anderer Knoten zu liegen.
Es basiert auf der Anzahl der kürzesten Wege zwischen solchen Knotenpaaren, auf denen vi liegt. In einem sozialen Netzwerk, bestehend aus Personen
und ihrer Kommunikation untereinander, beeinflusst eine solche Person vi
einen oder mehrere der kürzesten Kommunikationswege anderer Personenpaare. Dieser Einfluss einer Person auf die Kommunikation anderer soll hier
bestimmt werden.
1
3
4
5
2
Abbildung 3.18: Graph Gstress
Im Graph Gstress (Abb. 3.18) liegen die Knoten v1 , v2 und v5 nicht auf
kürzesten Wegen anderer Knotenpaare. Der Knoten v3 hingegen liegt auf
je einem kürzesten Weg der Paare {v1 , v2 }, {v1 , v4 }, {v1 , v5 }, {v2 , v4 } und
{v2 , v5 }, wogegen v4 auf den kürzesten Wegen von {v1 , v5 }, {v2 , v5 } und
{v3 , v5 } zu finden ist.
Für die Bestimmung der Stresszentralität ST (Shimbel, 1953) eines Knotens vi wird einfach die Anzahl sämtlicher kürzester Wege von Knotenpaaren
{vj , vk }, j, k 6= i bestimmt, auf denen vi liegt. ST (vi ) ergibt sich also durch
Aufsummieren der durch vi führenden kürzesten Wege aller Knotenpaare,
d.h. ist gjk (vi ) die Anzahl zu den Knoten vj und vk gehörender kürzester
Wege, auf denen vi liegt, so gilt
ST (vi ) =
X
gjk (vi ).
vj 6=vi 6=vk ∈V
Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung von ST ist nachfolgend aufgeführt.
82
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Stress(G, k)
G: der betrachtete Graph G = (V, E) mit |V | = n
Bestimme alle kürzesten Wege in G
Für i = 1, . . . , n
Führe für jedes Knotenpaar {vj , vk } durch
Zähle die kürzesten Wege zwischen vj und vk ,
auf denen vi liegt, erhalte gjk (vi )
End
Setze ST (vi ) =
P
vj 6=vi 6=vk ∈V
gjk (vi )
End
Gib ST (G) = (ST (v1 ), . . . , ST (vn )) aus
▲ Das Zentrum eines Sterns liegt zwar auf sämtlichen kürzesten Wegen anderer Knotenpaare, diesem wird aber nicht der maximal mögliche Zentralitätswert in einem Graph mit n Knoten zuerkannt. Dies verdeutlichen wir
nachfolgend an einem Beispiel.
6
1
5
7
2
4
3
Abbildung 3.19: Stern S7 mit 7 Knoten
3.3 Entfernungszentralitäten
83
Zunächst betrachten wir einen Stern mit 7 Knoten (Abb. 3.19). Der Knoten v7
liegt auf allen kürzesten Wegen anderer Knotenpaare {vi , vj }, i, j ∈ {1, . . . , 6}
von S7 . Die Anzahl ungeordneter Knotenpaare aus einer Menge von 6 Knoten
= 15, und daher erreichen wir für v7 einen Wert von
bestimmt sich zu 6∗(6−1)
2
X
ST (v7 ) =
gjk (vi ) = 15.
vj 6=v7 6=vk ∈V
1
7
2
4
6
3
5
Abbildung 3.20: Graph Gnostar mit 7 Knoten
Nun betrachten wir den Beispielgraphen Gnostar (Abb. 3.20) mit 7 Knoten
und zählen die durch den Knoten v4 führenden kürzesten Wege der Paare
der restlichen Knoten {v1 , v2 , v3 , v5 , v6 , v7 }. Alle durch v4 führenden kürzesten
Wege von Gnostar sind nachfolgend abgebildet (Abb. 3.21).
1:
2:
1
3:
7
2
1
4
6
1
7
2
4
4
5:
6:
4:
1
1
7
4
2
6
7
1
4
6
5
2
4
5
84
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
7:
8:
9:
7
1
1
4
4
10:
12:
7
7
7
4
4
4
3
3
13:
6
3
15:
2
5
4
3
4
5
17:
16:
3
5
18:
1
4
3
6
5
6
3
14:
4
6
3
11:
2
4
5
5
2
2
6
7
4
4
3
5
Abbildung 3.21: kürzeste Wege durch v4 von Gnostar
Wir sehen also, dass im Graph Gnostar 18 kürzeste Wege durch den Knoten
v4 führen. Es wird also eine höhere Stresszentralität erreicht als beim Stern
S7 , d.h. der Stern erfüllt keine Extremalbedingung. Gnostar ist der kleinste
bekannte Graph, der diese Eigenschaft hat.
3.3 Entfernungszentralitäten
85
✫ Stresszentralität SZ am Beispielgraphen GB̃
Für unseren Beispielgraphen GB̃ ergibt sich hier durch Bestimmung aller in
ihm vorkommenden kürzesten Wege der Länge ≥ 2 der StresszentralitätsVektor
ST (GB̃ ) = (0, 0, 14, 3, 1, 3, 4).
Abb. 3.22 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB̃ , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.22: Stresszentralität am Beispielgraph GB̃
3.3.2
Zwischenzentralität ZW
Ein zur Stresszentralität (3.3.1) sehr ähnliches Konzept zur Bestimmung eines Zentralitätsmaßes für Knoten betrachtet wiederum die Eigenschaft eines Knotens vi , auf kürzesten Wegen von Paaren anderer Knoten zu liegen.
Die Zwischenzentralität ZW (Anthonisse, 1971) entspricht dabei genau der
Stresszentralität, wenn wie bei dem Stern je zwei Knoten nur durch jeweils
einen kürzesten Weg verbunden sind.
86
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
2
1
3
4
5
Abbildung 3.23: Stern S5 mit 5 Knoten
Betrachten wir den Stern S5 mit 5 Knoten (Abb. 3.23), so sehen wir, dass
das Zentrum v3 auf allen kürzesten Wegen anderer Knotenpaare liegt. Alle
kürzesten Wege durch v3 von S5 sind nachfolgend abgebildet (Abb. 3.24).
1:
3:
2
1
3
2:
1
1
3
3
4
5
5:
2
4:
6:
2
3
4
3
3
5
5
Abbildung 3.24: kürzeste Wege durch v3 von Stern S5
4
3.3 Entfernungszentralitäten
87
Ist ein Knotenpaar durch mehrere kürzeste Wege verbunden, so wird die
Situation komplizierter. Liegt ein Knoten vi nämlich dann nur auf einigen,
nicht aber auf allen dieser kürzesten Wege, so wird dies nur anteilig in seinen Zentralitätswert eingerechnet. Man könnte sagen, er hat bezüglich dieses
Paares nur eingeschränkte Kontrolle. In einem sozialen Netzwerk würde das
bedeuten, dass nur einige der kürzesten Kommunikationswege zweier Personen über eine dritte Person vi laufen, nicht aber alle. Daher hat vi auf diese
Kommunikation auch nur teilweise Einfluss.
1
2
4
3
Abbildung 3.25: Graph Ggeo
Bei dem Graph Ggeo (Abb. 3.25) verbinden zwei kürzeste Wege die Knoten v1
und v3 , wobei der eine über v2 läuft und der andere über v4 . Daher haben v2
und v4 jeweils nur eingeschränkte Kontrolle bzgl. des Knotenpaares {v1 , v3 }.
Diese teilweise Kontrolle wird in das Maß der Zwischenzentralität anteilig
eingerechnet.
Beschreibt gjk die Anzahl aller kürzesten Wege eines Knotenpaares {vj , vk },
und gjk (vi ) die Anzahl solcher kürzester Wege, auf denen vi liegt, so bestimmen wir den Einfluss von vi auf {vj , vk } als
gjk (vi )
.
gjk
Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass vi auf einem zufällig ausgewählten kürzesten Weg von vj und vk liegt.
bjk (vi ) =
88
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Um die Zwischenzentralität eines Knotens vi zu bestimmen, werden diese
Einflüsse von vi auf alle anderen Knotenpaare {vj , vk }, j, k 6= i, aufsummiert,
d.h.
ZW(vi ) :=
X
bjk (vi ).
vj 6=vi 6=vk ∈V
Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung von ZW ist nachfolgend aufgeführt.
Zwischen(G, k)
G: der betrachtete Graph G = (V, E) mit |V | = n
Bestimme alle kürzesten Wege in G
Für i = 1, . . . , n
Führe für jedes Knotenpaar {vj , vk } durch
Zähle die kürzesten Wege zwischen vj und vk ,
auf denen vi liegt, erhalte gjk (vi )
Zähle alle kürzesten Wege zwischen vj und vk ,
erhalte gjk
Setze bjk (vi ) =
gjk (vi )
gjk
End
Setze ZW(vi ) :=
P
vj 6=vi 6=vk ∈V
bjk (vi )
End
Gib ZW(G) = (ZW(v1 ), . . . , ZW(vn )) aus
Freeman [10] zeigte, dass der maximale Wert, den ZW in einem Netzwerk
mit n Knoten annehmen kann, nur vom Zentrum eines Sterns erreicht wird,
nämlich (n−1)(n−2)
.
2
3.3 Entfernungszentralitäten
89
✫ Zwischenzentralität ZW am Beispielgraphen GB̃
Für unseren Beispielgraphen GB̃ ergibt sich hier durch Bestimmung aller in
ihm vorkommenden kürzesten Wege der Zwischenzentralitäts-Vektor
µ
¶
1
1
1
ZW(GB̃ ) =
0, 0, 9 , 1, , 1, 1
3
3
3
≈ (0, 0, 9.333, 1, 0.333, 1, 1.333).
Abb. 3.26 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB̃ , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.26: Zwischenzentralität am Beispielgraph GB̃
90
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
3.3.3
Abstandszentralität AB
Die in (3.3.1) und (3.3.2) vorgestellten Zentralitätsmaße können theoretisch
für alle ungerichteten Graphen bestimmt werden, ob sie zusammenhängend
sind oder nicht. Wie wir im folgenden sehen werden, ist die Bestimmung der
Abstandszentralität (und auch der im nachfolgenden Abschnitt behandelten
Graphenzentralität) nur für zusammenhängende Graphen sinnvoll.
Wie der Name schon sagt, wird bei der Abstandszentralität AB (Sabidussi,
1966) der gesamte Abstand eines Knotens vi zu den anderen Knoten bestimmt und daraus unser gewünschtes Maß berechnet. Der Abstand oder die
Entfernung zweier Knoten ist dabei die Länge eines kürzesten Weges zwischen
diesem Knotenpaar. Der Gesamtabstand von vi zu den anderen Knoten ist
dann die Summe der Einzelabstände.
Betrachten wir wieder den Stern mit 5 Knoten (Abb. 3.23, S. 86), so sehen
wir, dass das Zentrum v3 zu jedem anderen Knoten den Abstand 1 hat.
Der Gesamtabstand, den wir als Summe der Einzelentfernungen bestimmen,
beträgt für v3 daher 4. Jeder der anderen Knoten hat von v3 den Abstand 1
und von den restlichen Knoten den Abstand 2. Für diese beträgt die Summe
der Einzelentfernungen daher jeweils 7.
Wie erwartet erfüllt der zentrale Knoten eines Sterns wiederum eine Extremalbedingung, denn durch seine direkte Verbindung zu allen anderen Knoten
hat er zu diesen den in einem Graphen mit n Knoten minimal möglichen Gesamtabstand, nämlich n − 1.
In einem sozialen Netzwerk würde das bedeuten, dass eine Person v3 in einer
solch zentralen Position optimale Kontakte zu den anderen Gruppenmitgliedern unterhält. Daher wollen wir den Knoten, die zu den anderen Knoten
einen geringen Gesamtabstand haben, ein hohes Maß an Abstandszentralität
zuweisen, wogegen Knoten, die weit von den anderen Knoten entfernt sind,
auf eine gewisse Art und Weise peripher sind, und daher nur einen kleinen
Zentralitätswert erhalten.
3.3 Entfernungszentralitäten
91
Bezeichnen wir die Länge eines kürzesten Weges eines Knotenpaares {vi , vk }
mit dist(vi , vk ), so definieren wir das Maß der Abstandszentralität durch
AB(vk ) = P
n
1
.
dist(vi , vk )
i=1
Diese Definition ist nur in einem zusammenhängenden Graph sinnvoll, denn
in einem nichtzusammenhängenden Graph ist jeder Knoten vi von mindestens
einem anderen Knoten vk aus nicht erreichbar, d.h. deren Abstand beträgt
dist(vi , vk ) = ∞. Daher wäre AB(vi ) = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}, unabhängig
von der sonstigen Struktur des Graphen.
Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung von AB ist nachfolgend aufgeführt.
Abstand(G, k)
G: der betrachtete Graph G = (V, E) mit |V | = n
Bestimme alle kürzesten Wege in G
Für i = 1, . . . , n
Für j = 1, . . . , n
Bestimme die Länge eines kürzesten Weges
von vi nach vj , erhalte dist(vi , vj )
End
Setze AB(vi ) =
n
P
j=1
1
dist(vi ,vj )
End
Gib AB(G) = (AB(v1 ), . . . , AB(vn )) aus
92
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
✫ Abstandszentralität AB am Beispielgraphen GB̃
Für unseren Beispielgraphen GB̃ ergibt sich hier also durch Bestimmung der
Abstände aller Knotenpaare der Abstandszentralitäts-Vektor
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
AB(GB̃ ) =
, , , , , ,
12 12 7 9 11 9 8
≈ (0.083, 0.083, 0.143, 0.111, 0.091, 0.111, 0.125).
Abb. 3.27 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB̃ , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.27: Abstandszentralität am Beispielgraph GB̃
3.3 Entfernungszentralitäten
3.3.4
93
Graphenzentralität GR
Die in (3.3.1) und (3.3.2) vorgestellten Zentralitätsmaße können für alle ungerichteten Graphen bestimmt werden, ob sie zusammenhängend sind oder
nicht. Wie wir im folgenden sehen werden, ist die Bestimmung der Graphenzentralität (sowie der im vorigen Abschnitt behandelten Abstandszentralität)
nur für zusammenhängende Graphen sinnvoll.
Für die Bestimmung der Graphenzentralität GR (Hage and Harary, 1995)
eines Knotens vi wird die maximale Entfernung, bzw. der maximale Abstand
von vi zu allen anderen Knoten im Graphen bestimmt und daraus unser
gewünschtes Maß berechnet. Die Entfernung von vi zu einem Knoten vk ist
dabei die Länge eines kürzesten Weges zwischen dem Knotenpaar (vi , vk ).
Betrachten wir wieder den Stern mit 5 Knoten (Abb. 3.23, S. 86), so sehen
wir, dass das Zentrum v3 zu jedem anderen Knoten die Entfernung 1 hat. Die
maximale Entfernung von v3 zu den restlichen Knoten des Graphen beträgt
für v3 daher 1. Jeder der anderen Knoten hat von v3 die Entfernung 1 und
von den restlichen Knoten die Entfernung 2. Für diese beträgt das Maximum
daher jeweils 2.
Wie erwartet erfüllt der zentrale Knoten eines Sterns wiederum eine Extremalbedingung, denn durch seine direkte Verbindung zu allen anderen Knoten
hat er zu diesen die in einem Graphen minimal mögliche Maximalentfernung,
nämlich 1.
In einem sozialen Netzwerk würde das bedeuten, dass eine Person v3 in einer
solch zentralen Position optimale Kontakte zu allen anderen Gruppenmitgliedern unterhält. Daher wollen wir den Knoten, die zu den anderen Knoten des
Graphen eine geringe Maximalentfernung haben, ein hohes Maß an Graphenzentralität zuweisen, wogegen Knoten, die weit von irgendeinem der anderen
Knoten entfernt sind, nur einen kleinen Zentralitätswert erhalten. Bezeichnen wir die Länge eines kürzesten Weges eines Knotenpaares {vi , vk } mit
dist(vi , vk ), so definieren wir das Maß der Graphenzentralität durch
GR(vk ) =
1
.
max dist(vi , vk )
k∈{1,...,n}
94
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Diese Definition ist nur in einem zusammenhängenden Graph sinnvoll, denn
in einem nichtzusammenhängenden Graph ist jeder Knoten vi von mindestens
einem anderen Knoten vk aus nicht erreichbar, d.h. deren Entfernung beträgt
dist(vi , vk ) = ∞. Daher wäre GR(vi ) = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}, unabhängig
von der sonstigen Struktur des Graphen.
Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung von GR ist nachfolgend aufgeführt.
Graphen(G, k)
G: der betrachtete Graph G = (V, E) mit |V | = n
Bestimme alle kürzesten Wege in G
Für i = 1, . . . , n
Für j = 1, . . . , n
Bestimme die Länge eines kürzesten Weges
von vi nach vj , erhalte dist(vi , vj )
End
Setze GR(vk ) =
max
k∈{1,...,n}
1
dist(vi ,vk )
End
Gib GR(G) = (GR(v1 ), . . . , GR(vn )) aus
✫ Graphenzentralität GR am Beispielgraphen GB̃
Für unseren Beispielgraphen GB̃ ergibt sich hier also durch Bestimmung
der Maximallängen der kürzesten Abstände jedes Knotens zu den anderen
Knoten der Graphenzentralitäts-Vektor
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
GR(GB̃ ) =
, , , , , ,
3 3 2 2 3 2 2
≈ (0.333, 0.333, 0.5, 0.5, 0.333, 0.5, 0.5).
3.3 Entfernungszentralitäten
95
Abb. 3.28 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GB̃ , wobei die Größe
der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
2
4
3
7
1
5
6
Abbildung 3.28: Graphenzentralität am Beispielgraph GB̃
3.3.5
Resümee
Unter Einbeziehung des Popularitätsindex P (3.1) haben wir in den vorhergehenden Abschnitten fünf verschiedene Entfernungszentralitätsmaße vorgestellt. Dabei gehen wir jeweils aus von einem sozialen Netzwerk, welches
wir durch einen Graphen modellieren. Mit Ausnahme des Popularitätsindex P (3.1) sind sämtliche Maße nur auf ungerichteten Graphen definiert.
Nur ungewichtete Graphen sind zugelassen. Bei der Bewertung der Knoten eines Graphen folgen wir intuitiv nachvollziehbaren Beurteilungskriterien, wobei das einem Knoten zugewiesene Maß jeweils von seiner Entfernung zu den anderen Knoten abhängt (z.B. in (3.3.4) Graphenzentralität
GR(vi ) = [Maximalabstand von vi zu den anderen Knoten]−1 )
Die vorgestellten Maße sind im folgenden nochmals aufgeführt.
Alle Entfernungszentralitäten eines Graphen G können bestimmt werden,
indem man zunächst die Menge der in G vorkommenden kürzesten Pfade
ermittelt, und diese anschließend nach unterschiedlichen Kriterien auswertet.
96
KAPITEL 3. ZENTRALITÄTEN IN GRAPHEN
Bei der Suche nach der maximal möglichen Zentralität erreicht das Zentrum eines Sterns vZ (z.B. Abb. 3.23, S. 86) eine herausragende Stellung.
Die in einem Graphen gleicher Größe maximal erreichbare Zwischenzentralität ZW (3.3.2) wird nur von vZ angenommen. Popularitätsindex P (3.1),
Abstandszentralität AB (3.3.3) und Graphenzentralität GR (3.3.4) nehmen
den maximal möglichen Wert genau auf allen Knoten maximalen Grades an,
insbesondere also auch auf vZ . Die maximale Stresszentralität SZ (3.3.1)
wird nicht von vZ angenommen.
Popularitätsindex P
der einem Knoten zugewiesene Wert
entspricht der Anzahl der Knoten
der Entfernung 1
(3.3.1) Stresszentralität ST
der einem Knoten zugewiesene Wert
entspricht der Anzahl der von
ihm geschnittenen kürzesten Wege
anderer Knotenpaare
(3.3.2) Zwischenzentralität ZW
ein Knoten wird in Abhängigkeit
seiner Lage auf den kürzesten
Wegen anderer Knotenpaare beurteilt
(3.3.3) Abstandszentralität AB
die Summe der Abstände eines
Knotens zu den anderen Knoten
ist invers zu seinem Bewertungsmaß
(3.3.4) Graphenzentralität GR
der Wert eines Knotens entspricht
dem Inversen des maximalen
Abstandes zu einem anderen
Knoten des Graphen
(3.1)
Kapitel 4
Normierung
Die in Kapitel 3 vorgestellten Zentralitätsmaße dienen der Beurteilung von
Objekten in Netzwerken aus der realen Welt. Dazu werden diese Netzwerke
durch Graphen modelliert, deren Knoten, welche diese Objekte repräsentieren, dann eine Beurteilung in Form von sogenannten Zentralitätswerten
erhalten. Ein solcher Wert eines Knotens vi besitzt nun relativ zu den Werten der anderen Knoten eine Aussagekraft über die Zentralität von vi in der
Netzwerkstruktur, welcher Art diese Zentralität auch immer sein mag.
So können beispielsweise die Werte des Popularitätsindexes P (3.1) eines
Abstimmungsnetzwerkes nichtaufsteigend sortiert werden. Es entsteht eine
Liste, an deren Anfang die Personen mit den meisten erhaltenen Stimmen
stehen, und an deren Ende die mit den wenigsten. So kann die Popularität
der einzelnen Personen relativ zu den anderen bestimmt werden.
Die Einzelwerte jedoch geben wenig Aufschluß über die wahre Popularität. So würde die Bewertung einer Person vi von P(vi ) = 3 in einem Netzwerk von 4 Personen von hoher (hier sogar maximaler) Popularität zeugen,
in einem Netzwerk von 1000000 Personen dagegen eher nicht. Die einzelnen Werte eines Zentralitätsmaßes sind dabei noch weniger aussagekräftig,
wenn zu ihrer Bestimmung kompliziertere Verfahren (als beispielsweise die
Bestimmung des Eingangsgrades eines Knotens) verwendet werden.
➤ Wir suchen daher zu einem Zentralitätsvektor Z einen normierten Zentralitätsvektor Z 0 , der die relativen Verhältnisse der ursprünglichen
Werte untereinander respektiert und dessen Einzelwerte bereits gute
Aussagen über die Zentralität der einzelnen Objekte ermöglichen.
98
KAPITEL 4. NORMIERUNG
4.1
Ansätze am Popularitätsindex P
Betrachten wir zunächst den Popularitätsindex P (3.1). Wie wir gesehen
haben, entspricht der einem Knoten vi zugewiesene Wert P(vi ) dem Eingangsgrad dieses Knotens, also din (vi ). Dieser Wert ist für manche Belange
durchaus aussagekräftig, gibt er doch beispielsweise in einem sozialen Netzwerk die Anzahl der Freunde oder Wähler der mit dem Knoten vi identifizierten Person an. Bei der hier vorliegenden Untersuchung interessieren wir
uns jedoch auch für die relative Stellung einer Person in der Gruppe, d.h.
für deren Beliebtheit bzw. Popularität im Vergleich zu den anderen Gruppenmitgliedern. Aussagen darüber lassen sich allerdings aus einem einzelnen
Popularitätswert nicht ableiten. Dazu sind Kenntnisse über die Größe (=
Anzahl der Objekte/Knoten) eines Netzwerkes und/oder über die Bewertung
der anderen Objekte/Knoten erforderlich.
Um dies an einem Beispiel zu verdeutlichen, betrachten wir einen ungerichteten, ungewichteten Graphen G = (V, E), V = {v1 , . . . , vn }, n > 10. Der
Popularitätswert des Knotens v1 sei mit P(v1 ) = 10 angegeben, d.h. 10 andere Knoten sind zu v1 adjazent.
• Ist die Größe des Graphen n = |V | = 11, so erreicht v1 eine hohe, hier
sogar maximale Popularität, denn alle anderen Knoten sind dann zu v1
adjazent.
• Wählen wir dagegen n = |V | = 106 , so ist die Popularität von v1 recht
gering, zumindest relativ zu der Größe des Netzwerkes.
• Gilt jedoch, bei beliebigem n (> 10), dass P(v1 ) > P(vj ) für sehr viele
j ∈ {2, . . . , n}, so werden wir v1 eine relativ hohe Popularität innerhalb
der Gruppe bestätigen.
• Andererseits bescheinigt die Eigenschaft P(v1 ) < P(vj ) für sehr viele
j ∈ {2, . . . , n} dem Knoten v1 nur eine relativ zu den anderen Knoten
geringe Popularität.
Dies bestätigt unsere Aussage, dass ein einzelner Popularitätswert P(vi ) nur
ungenügend dazu geeignet ist, die Popularität von vi innerhalb einer Gruppe zu beurteilen. Daher möchten wir den Popularitäts-Vektor P(G) eines
Graphen G = (V, E) so in einen Vektor Px (G) transformieren, dass die
4.1 Ansätze am Popularitätsindex P
Vorzeichen und Verhältnisse der Werte untereinander erhalten bleiben, d.h.
P(v )
P (v )
P (vi ) 6= 0 vorausgesetzt, dass bei gleichen Vorzeichen P(vji ) = PXx (vij) für
i, j ∈ {1, . . . , n} gilt, und dass jeder Wert P(vi ) bereits Informationen über
die Popularität von vi relativ zur Gruppe enthält.
Im folgenden sei G = (V, E) ein einfacher, gerichteter, ungewichteter Graph
ohne Schleifen mit V = {v1 , . . . , vn }. G enthalte mindestens n = 2 Knoten
und eine Kante.
4.1.1
äußere Relativ-Popularität P1
Das äußere Maximum Pmax (n), d.h. der maximal erreichbare Popularitätswert Pmax in einem Graphen mit n Knoten entspricht dem maximal möglichen Eingangsgrad, d.h.
Pmax (n) =
=
max max P(v)
G=(V,E) v∈V
|V |=n
max max din (v)
G=(V,E) v∈V
|V |=n
= n − 1.
Da G mindestens n = 2 Knoten enthält, gilt Pmax (n) > 0.
Wir definieren die äußere Relativ-Popularität P1 durch
P(G)
Pmax (n)
P(G)
=
n−1
µ
¶
P(v1 )
P(vn )
=
,...,
n−1
n−1
= (P1 (v1 ), . . . , P1 (vn )) .
P1 (G) :=
Ein Wert P1 (vi ) beschreibt also nun, wie groß die Popularität von vi relativ
zur maximal erreichbaren Popularität ist. P1 (vi ) bewegt sich im Intervall
99
100
KAPITEL 4. NORMIERUNG
[0, 1], wobei Werte nahe 1 auf eine relativ zur Netzwerkgröße hohe Popularität
schließen lassen, im Gegensatz zu Werten, die sich nahe bei Null bewegen. Der
Wert 1 wird von allen Knoten mit maximalem Eingangsgrad n − 1 erreicht,
Null wird von den Knoten angenommen, deren Eingangsgrad gleich 0 ist. In
ungerichteten zusammenhängenden Graphen ist dies nicht möglich.
✫ äußere Relativ-Popularität P1 am Beispielgraphen GB
Für unseren Beispielgraphen GB ergab sich bei der Berechnung des Popularitätsindex P (3.1) der Vektor
P(GB ) = (1, 0, 4, 3, 2, 0, 2).
Damit ergibt sich für GB und einer damit verbundenen Knotenzahl von n = 7
eine äußere Relativ-Popularität von
P(GB )
Pmax (n)
P(GB )
=
7−1
(1, 0, 4, 3, 2, 0, 2)
=
6
µ
¶
1
2 1 1
1
=
, 0, , , , 0,
.
6
3 2 3
3
P1 (GB ) :=
4.1.2
innere Relativ-Popularität P2
Das innere Maximum maxP(G), d.h. der bei der Bestimmung des Popularitätsindex P(G) maximal erreichte Wert ist
maxP(G) := max P(vi ).
i∈{1,...,n}
Da G mindestens eine Kante enthält, gilt maxP > 0.
Wir definieren die innere Relativ-Popularität P2 durch
4.1 Ansätze am Popularitätsindex P
101
P(G)
maxP(G)
µ
¶
P(v1 )
P(vn )
=
,...,
maxP(G)
maxP(G)
= (P2 (v1 ), . . . , P2 (vn )) .
P2 (G) :=
Ein Wert P2 (vi ) beschreibt also, wie groß die Popularität von vi relativ zu
der maximal erreichten Popularität ist. P2 (vi ) bewegt sich im Intervall [0, 1],
wobei es mindestens einen Knoten vj gibt, von dem der Wert 1 angenommen wird, für den also P2 (vj ) = 1 gilt. Auch hier wird der Wert Null von
den Knoten angenommen, deren Eingangsgrad gleich 0 ist. In ungerichteten
zusammenhängenden Graphen ist dies nicht möglich.
✫ innere Relativ-Popularität P2 am Beispielgraphen GB
Für unseren Beispielgraphen GB ergab sich bei der Berechnung des Popularitätsindex P (3.1) der Vektor
P(GB ) = (1, 0, 4, 3, 2, 0, 2).
Der hierbei maximal erreichte Popularitätswert ist demnach
maxP(GB ) = 4.
Damit ergibt sich für GB eine innere Relativ-Popularität von
P(GB )
maxP(GB )
P(GB )
=
4
(1, 0, 4, 3, 2, 0, 2)
=
4
µ
¶
1
3 1
1
=
, 0, 1, , , 0,
.
4
4 2
2
P2 (GB ) :=
102
4.1.3
KAPITEL 4. NORMIERUNG
prozentuale Relativ-Popularität P3
Die bei der Bestimmung des Popularitätsindex P(G) erhaltenen Werte werden zur Gesamtpopularität sumP(G) aufsummiert, d.h.
sumP(G) :=
n
X
P(vi ).
i=1
Da G mindestens eine Kante enthält, gilt sumP > 0.
Wir definieren die prozentuale Relativ-Popularität P3 durch
P(G)
sumP(G)
µ
¶
P(v1 )
P(vn )
=
,...,
sumP(G)
sumP(G)
= (P3 (v1 ), . . . , P3 (vn )) .
P3 (G) :=
Ein Wert P3 (vi ) beschreibt also den prozentualen Anteil, den vi an der gesamten Popularität des Graphen hat. Auch P3 (vi ) bewegt sich im Intervall
[0, 1] und es gilt hier
n
X
P3 (vi ) = 1.
i=1
Der Wert 1 wird nur von Knoten angenommen, welche die gesamte Zentralität eines Graphen in sich vereinen. Dies ist nur möglich, wenn alle anderen
Knoten den Eingangsgrad 0 haben. Die Werte Null und 1 werden in ungerichteten Graphen (n > 1) nicht erreicht.
✫ prozentuale Relativ-Popularität P3 am Beispielgraphen GB
Für unseren Beispielgraphen GB ergab sich bei der Berechnung des Popularitätsindex P (3.1) der Vektor
P(GB ) = (1, 0, 4, 3, 2, 0, 2).
4.2 Verallgemeinerung
103
Der hierbei erreichte Gesamtpopularität ist demnach
sumP(GB ) =
n
X
P(vi )
i=1
= 1+0+4+3+2+0+2
= 12.
Damit ergibt sich für GB eine prozentuale Relativ-Popularität von
P(GB )
sumP(GB )
P(GB )
=
12
(1, 0, 4, 3, 2, 0, 2)
=
12
µ
¶
1
1 1 1
1
=
, 0, , , , 0,
.
12
3 4 6
6
P3 (GB ) :=
4.2
Verallgemeinerung
Im folgenden wollen wir versuchen, die oben betrachteten Normierungsansätze,
dargestellt am Beispiel des Popularitätsindex, auf die übrigen, in der vorliegenden Arbeit aufgeführten Zentralitätsmaße auszudehnen.
4.2.1
äußere Relativ-Zentralität Z1
Ganz allgemein müssen wir nun also zu einem Zentralitätsindex Z das äußere Maximum Zmax (n), also den maximal erreichbaren Zentralitätswert
Zmax in einem Graphen mit n Knoten bestimmen. Dann können wir die
äußere Relativ-Zentralität Z1 definieren durch
Z(G)
Zmax (n)
= (Z1 (v1 ), . . . , Z1 (vn )) .
Z1 (G) :=
104
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Die Bestimmung des äußere Maximums Zmax (n) erweist sich in manchen
Fällen als äußerst schwierig, wie es bereits an dem noch recht einfach zu
handhabenden Status-Index S (3.2.1) deutlich wird. Dieser ergibt sich durch
S(G) = (S(v1 ), . . . , S(vn ))
!
à n
n
X
X
tj1 , . . . ,
tjn
=
j=1
j=1
= T · 1,
T
wo
T := ϕA + ϕ2 A2 + · · · + ϕk Ak + · · ·
∞
X
=
ϕ l Al .
l=1
Zunächst soll also der maximal erreichbare Statuswert Smax (n) eines Graphen
mit n Knoten bestimmt werden. Dabei ist zu beachten, dass der Bereich (das
Intervall), aus dem die Abschwächungskonstante ϕ gewählt werden kann, direkt von dem aktuell betrachteten Graphen G = (V, E) abhängt. Es muss
nämlich 1/ϕ größer als der größte EigenwertP
der zu G gehörenden Adjazenzl l
matrix A sein, um die Konvergenz von T = ∞
l=1 ϕ A zu gewährleisten. Ein
fest gewähltes, für G = (V, E) zulässiges ϕ, könnte also durchaus für einige
Graphen G0 = (V 0 , E 0 ) mit |V 0 | = |V | außerhalb des zulässigen Bereiches
liegen. Dies soll an diesem einfachen Beispiel verdeutlicht werden:
Betrachten wir die folgenden einfachen Graphen:
1
1
2
2
Beispielgraph G1
mit zugehörigen Adjazenzmatrizen
und
Beispielgraph G2
4.2 Verallgemeinerung
Ã
A1 =
0 1
0 0
105
!
Ã
und
A2 =
0 1
1 0
!
.
!
!
Ã
0
0
0
0
Für A1 gilt dann (A1 )2 =
und somit (A1 )k =
für belie0 0
0 0
biges k ≥ 2. Die Matrix T1 bestimmt sich also zu
Ã
T1 :=
∞
X
ϕl (A1 )l
l=1
1
= ϕ(A1 ) +
∞
X
ϕl (A1 )l
l=2
= ϕA1 ,
d.h. T1 existiert für jedes beliebig gewählte ϕ(∈ [0, 1]).
Ã
Für A2 gilt (A2 )2 =
1 0
0 1
Exponenten und (A2 )2k+1
!
Ã
1 0
0 1
!
und somit (A2 )2k =
für geradzahlige
Ã
!
0 1
=
für ungeradzahlige Exponenten.
1 0
Wählen wir insbesondere das für A1 zulässige ϕ = 1, so sehen wir, dass
T2 :=
∞
X
ϕl (A2 )l
!
!
Ã
X
0
1
1
0
)+
)
=
ϕl (
ϕl (
1
0
0
1
l ungerade
l gerade
Ã
!
Ã
!
∞
∞
X
X
0 1
1 0
=
(
)+
(
)
1 0
0 1
k=1
k=1
Ã
!
∞
X
1 1
=
(
)
1 1
k=1
l=1
X
Ã
106
KAPITEL 4. NORMIERUNG
nicht konvergiert, dass ϕ = 1 für G2 also nicht zulässig ist. Es sei darauf
hingewiesen, dass der Fall ϕ = 1 keinen Sonderfall darstellt, sondern dass es
zu jedem ϕ 6= 0 einen Graphen gibt, für den dieses ϕ nicht zulässig ist.
Folgende Fragen stellen sich nun: Wie soll mit diesen, zu einem gewissen Abschwächungsfaktor ϕ nicht passenden Graphen verfahren werden? Sollen sie
bei der Bestimmung des maximal erreichbaren Statuswertes vernachlässigt
werden? Oder soll ein maximales ϕn so bestimmt werden, dass es für alle Graphen mit n Knoten einen zulässigen Abschwächungsfaktor darstellt?
Beide Vorschläge wären sicherlich keine wünschenswerten Lösungen des Problems.
Da sich der Status-Index S als Spezialfall des Hubbell-Index H und auch
der Verhandlungszentralität V darstellen lässt, werden sich auch für H und
V keine zufriedenstellenden Normierungen bezüglich des äußeren Maximums
ergeben.
Die Standardzentralität B hingegen lässt sich bzgl. des äußeren Maximums
normieren. Darauf werden wir in Abschnitt 4.3.3 eingehen.
Die Normierung des PageRank R ist problematisch, da die bei dessen Bestimmung eingehenden Wahrscheinlichkeiten p und q den maximal erreichbaren
Wert verschieben.
6
1
5
7
2
4
3
Abbildung 4.1: nach innen gerichteter Stern mit 7 Knoten
4.2 Verallgemeinerung
107
• Bewegt sich der Wert von p, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganz
neue Seite aufgerufen wird, gegen Null, so erreicht das Zentrum eines
nach innen gerichteten Sterns (Abb. 4.1) in einem euklidisch normierten
Vektor den Wert 1.
• Tendiert p jedoch gegen 1, so verliert die Linkstruktur des WWW ihren Einfluss auf die Bewertung der einzelnen Seiten. In einem euklidisch
q
normierten Vektor werden dann alle Komponenten den Wert
nehmen.
1
n
an-
Eine genauere Untersuchung der Normierung des PageRank bzgl. des äußeren
Maximums werden wir nicht vornehmen.
Die Maße Authorities KA und Hubs KH lassen sich wiederum bzgl. des äußeren Maximums normieren. Dies wird im Abschnitt 4.3.6 behandelt.
Jedes der Maße Zwischenzentralität ZW, Abstandszentralität AB und Graphenzentralität GR hat seine eigene allgemeine Formel zur Bestimmung des
maximal erreichbaren Zentralitätswertes in irgendeinem (ungerichteten) Graphen mit n Knoten. Jede dieser Formeln ergibt sich aus den für diese Maße
zugrundeliegenden Extremaleigenschaften des Sterns und wird jeweils im entsprechenden Abschnitt vorgestellt.
Die Bestimmung des äußeren Maximums der Stresszentralität ST lässt sich
nicht vom Stern ableiten, da dieser bezüglich dieses Maßes keine in diesem
Sinne extremale Stellung einnimmt. Eine allgemeine Funktion zur Bestimmung des äußeren Maximums der Stresszentralität ist nicht bekannt.
4.2.2
innere Relativ-Zentralität Z2
Wir sehen sofort, dass dieser Ansatz auf alle betrachteten Zentralitätsmaße
verallgemeinert werden kann. Dazu berechnen wir einen Zentralitäts-Vektor
Z(G) gemäß den in Kapitel 3 vorgestellten Möglichkeiten. Wir gehen davon
aus, dass es sich hierbei nicht um den Nullvektor handelt.
Anschließend bestimmen wir den Maximalwert seiner Komponenten, das innere Maximum maxZ(G), durch
maxZ(G) := max Z(vi ).
i∈{1,...,n}
108
KAPITEL 4. NORMIERUNG
▲ Ausnahme Verhandlungszentralität V (3.2.4): Ein Index-Vektor V(G)
der Verhandlungszentralität V (3.2.4) kann negative Werte enthalten.
Um eine sinnvolle Normierung zu erhalten, wird dessen inneres Maximum über die Beträge seiner Komponenten bestimmt, d.h.
maxV(G) := max |V(vi )| .
i∈{1,...,n}
Wir definieren die innere Relativ-Zentralität Z2 durch
Z(G)
maxZ(G)
¶
µ
Z(vn )
Z(v1 )
,...,
=
maxZ(G)
maxZ(G)
= (Z2 (v1 ), . . . , Z2 (vn )) .
Z2 (G) :=
Insbesondere bei den Eigenvektorzentralitäten ist es dabei unerheblich, welche Länge der ursprünglich gewählte Eigenvektor Z(G) hat. Betrachten wir
eine Konstante µ > 0, so ist mit Z(G) auch Z̃(G) := µ·Z(G) ein Eigenvektor
und es gilt
maxZ̃(G) :=
=
max Z̃(vi )
i∈{1,...,n}
max µ · Z(vi )
i∈{1,...,n}
= µ · max Z(vi )
i∈{1,...,n}
= µ · maxZ(G)
und daher
Z̃(G)
maxZ̃(G)
µ · Z(G)
=
µ · maxZ(G)
= Z2 (G).
Z̃2 (G) :=
4.2 Verallgemeinerung
109
Bei den anderen (Nicht-Eigenvektor-)Zentralitätsmaßen sind bereits die ursprünglichen Zentralitäts-Vektoren eindeutig bestimmt, und daher sind auch
die normierten Vektoren eindeutig.
4.2.3
prozentuale Relativ-Zentralität Z3
Wie bei dem inneren Maximum ist auch bei diesem Ansatz sofort erkennbar,
dass er leicht auf alle betrachteten Zentralitätsmaße (Ausnahme: Verhandlungszentralität V, s.u.) verallgemeinert werden kann. Wieder berechnen wir
einen der in Kapitel 3 vorgestellten Zentralitäts-Vektoren, Z(G). Wir gehen
davon aus, dass es sich hierbei nicht um den Nullvektor handelt.
Anschließend bestimmen wir die Gesamtzentralität sumZ(G), die Summe
seiner Komponenten, d.h.
sumZ(G) :=
n
X
Z(vi ).
i=1
Die prozentuale Relativ-Zentralität Z3 wird dann definiert durch
Z(G)
sumZ(G)
µ
¶
Z(v1 )
Z(vn )
=
,...,
sumZ(G)
sumZ(G)
= (Z3 (v1 ), . . . , Z3 (vn )) .
Z3 (G) :=
Auch hier ist es bei der Betrachtung der Eigenvektorzentralitäten unerheblich, welche Länge der ursprünglich gewählte Eigenvektor Z(G) hat. Betrachten wir wieder eine Konstante µ > 0, so ist mit Z(G) auch Z̃(G) := µ · Z(G)
ein Eigenvektor und es gilt
110
KAPITEL 4. NORMIERUNG
sumZ̃(G) :=
=
n
X
i=1
n
X
Z̃(vi )
µ · Z(vi )
i=1
= µ∗
n
X
Z(vi )
i=1
= µ · sumZ(G).
Daher gilt
Z̃(G)
sumZ̃(G)
µ · Z(G)
=
µ · sumZ(G)
= Z3 (G).
Z̃3 (G) :=
Bei den anderen (Nicht-Eigenvektor-)Zentralitätsmaßen sind bereits die ursprünglichen Zentralitäts-Vektoren eindeutig bestimmt, und daher sind auch
die normierten Vektoren eindeutig.
▲ Ausnahme Verhandlungszentralität V (3.2.4): Die Bestimmung der prozentualen Relativ-Verhandlungszentralität nach der vorgestellten Methode
ist nicht sinnvoll, da mögliche auftretende negative Komponenten in V(G)
einen negativen prozentualen Anteil an der Gesamtzentralität zur Folge hätten.
Dies ist sicherlich nicht wünschenswert. Auch ein ähnliches Vorgehen wie bei
der Bestimmung der inneren Relativ-Verhandlungszentralität, nämlich das
Aufsummieren der Beträge der Komponenten des Vektors V(G), löst dieses
Problem nicht. Eine lineare Verschiebung der Komponenten in den nichtnegativen Bereich hingegen würde die Aussagekraft des ursprünglichen Verhandlungsmaßes zu sehr verzerren, weswegen wir hierauf verzichten.
Um nicht ganz mit leeren Händen dazustehen, können wir den Vektor V(G)
aufteilen, und zwar zum einen in seine negativen (Verlust-)Komponenten,
4.2 Verallgemeinerung
111
zum anderen in seine nichtnegativen (Gewinn-)Komponenten. Zu jedem dieser Teile können wir dann zunächst die prozentualen Relativ-Verhandlungszentralitäten V− (G) und V+ (G) bestimmen. V− (vi ) beschreibt dann den prozentualen Anteil, den vi am Gesamtverlust (=Verlust aller Verlierer) hat, und
V+ (vj ) eben den prozentualen Anteil, den vj am Gesamtgewinn (=Gewinn
aller Gewinner) hat.
Dazu definieren wir V− (G) = (V− (v1 ), . . . , V− (vn )) durch
(
V(vi ) , falls V(vi ) < 0
V− (vi ) =
0
, sonst
und V+ (G) = (V+ (v1 ), . . . , V+ (vn )) durch
(
V(vi ) , falls V(vi ) > 0
.
V+ (vi ) =
0
, sonst
Damit gilt
V(G) = V− (G) + V+ (G).
Weiterhin definieren wir den Gesamtverlust sumV− (G) durch
sumV− (G) =
n
X
V− (vi )
i=1
sowie den Gesamtgewinn sumV+ (G) durch
sumV+ (G) =
n
X
V+ (vi ).
i=1
Die prozentuale Relativ-Verlustzentralität V3− bestimmt sich dann durch
V− (G)
sumV− (G)
µ
¶
V− (v1 )
V− (vn )
=
,...,
sumV− (G)
sumV− (G)
¢
¡
= V3− (v1 ), . . . , V3− (vn ) .
V3− (G) =
112
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Entsprechend erhalten wir die prozentuale Relativ-Gewinnzentralität
V3+ durch
V+ (G)
sumV+ (G)
µ
¶
V+ (v1 )
V+ (vn )
=
,...,
sumV+ (G)
sumV+ (G)
¢
¡
= V3+ (v1 ), . . . , V3+ (vn ) .
V3+ (G) =
Die prozentuale Relativ-Verhandlungszentralität V3 definieren wir dann
durch
V3 (G) = V3+ (G) − V3− (G).
4.3
Normierung der Nachbarzentralitäten
In den folgenden Abschnitten werden die verschiedenen Normierungen für die
Nachbarschaftszentralitäten bestimmt. Dabei betrachten wir für den StatusIndex S, den Hubbell-Index H, die Verhandlungszentralität, den PageRank
R und die Kleinberg-Zentralitäten Hubs KH und Authorities KA den in (3.1,
S. 25) definierten gerichteten Graphen GB . Bei den Standardzentralität B
werden die Ergebnisse des in (3.2.3, S. 52) definierten ungerichteten Graphen
GB̃ normiert.
▲ Im folgenden werden die Zentralitäts-Vektoren als Zeilenvektoren betrachtet! Die Dezimalzahlen in diesem Abschnitt sind auf drei Stellen
gerundet.
äußere Relativ-Zentralität
Wenn möglich, bestimmen wir hier zu einem Zentralitäts-Index Z(G) also
zunächst sein äußeres Maximum,
Zmax (n) = max max Z(v)
G=(V,E) v∈V
|V |=n
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
113
und kommen so zur äußeren Relativ-Zentralität
Z(G)
.
Zmax (n)
Z1 (G) =
innere Relativ-Zentralität
Hier bestimmen wir zu einem Zentralitäts-Index Z(G) also zunächst sein
inneres Maximum,
maxZ(G) = max Z(vi )
i∈{1,...,n}
und kommen so zur inneren Relativ-Zentralität
Z2 (G) =
Z(G)
.
maxZ(G)
prozentuale Relativ-Zentralität
In diesem Fall bestimmen wir zu einem Zentralitäts-Index Z(G) zunächst
seine Gesamtzentralität,
sumZ(G) =
n
X
Z(vi )
i=1
und kommen so zur prozentualen Relativ-Zentralität
Z3 (G) =
4.3.1
Z(G)
.
sumZ(G)
Status-Index S
Der Status-Index des Graphen GB wurde in (3.2.1) bestimmt, er beträgt
µ
S(GB ) =
¶
8
13 17
, 0, , , 2, 0, 2 .
3
3 3
114
KAPITEL 4. NORMIERUNG
innerer Relativ-Status-Index
Das innere Maximum von S(GB ) berechnet sich zu
max S(vi )
µ
¶
8
13 17
= max
, 0, , , 2, 0, 2
3
3 3
17
=
.
3
maxS(GB ) =
i∈{1,...,n}
Damit ergibt sich für den inneren Relativ-Status-Index der Vektor
S2 (GB ) =
=
S(GB )
maxS(GB )
¢
¡8
13 17
,
0,
,
,
2,
0,
2
3
3 3
17
3
µ
¶
8
13
6
6
=
, 0, , 1, , 0,
17
17
17
17
= (0.471, 0, 0.765, 1, 0.353, 0, 0.353).
prozentualer Relativ-Status-Index
Die Gesamtzentralität von S(GB ) berechnet sich zu
sumS(GB ) =
n
X
S(vi )
X µ8
¶
13 17
=
, 0, , , 2, 0, 2
3
3 3
13 17
8
+0+
+
+2+0+2
=
3
3
3
50
=
.
3
i=1
Damit ergibt sich für den prozentualen Relativ-Status-Index der Vektor
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
S3 (GB ) =
=
S(GB )
sumS(GB )
¢
¡8
, 0, 13
, 17 , 2, 0, 2
3
3 3
50
3
µ
¶
8
13 17 6
6
=
, 0, , , , 0,
50
50 50 50
50
= (0.16, 0, 0.26, 0.34, 0.12, 0, 0.12).
4.3.2
Hubbell-Index H
Der Hubbell-Index des Graphen GB wurde in (3.2.2) bestimmt, er beträgt
µ
H(GB ) =
¶
11
16 20
, 1, , , 3, 1, 3 .
3
3 3
innerer Relativ-Hubbell-Index
Das innere Maximum von H(GB ) berechnet sich zu
max H(vi )
µ
¶
11
16 20
= max
, 1, , , 3, 1, 3
3
3 3
20
.
=
3
Damit ergibt sich für den inneren Relativ-Hubbell-Index der Vektor
maxH(GB ) =
H2 (GB ) =
=
i∈{1,...,n}
H(GB )
maxH(GB )
¢
¡ 11
16 20
,
1,
,
,
3,
1,
3
3
3 3
µ
20
3
¶
11 3 16
6 3 6
=
, , , 1, , ,
20 20 20
20 20 20
= (0.55, 0.15, 0.8, 1, 0.3, 0.15, 0.3).
115
116
KAPITEL 4. NORMIERUNG
prozentualer Relativ-Hubbell-Index
Die Gesamtzentralität von H(GB ) berechnet sich zu
sumH(GB ) =
n
X
H(vi )
X µ 11
¶
16 20
=
, 1, , , 3, 1, 3
3
3 3
16 20
11
+1+
+
+3+1+3
=
3
3
3
71
=
.
3
i=1
Damit ergibt sich für den prozentualen Relativ-Hubbell-Index der Vektor
H3 (GB ) =
=
H(GB )
sumH(GB )
¢
¡ 11
, 1, 16
, 20 , 3, 1, 3
3
3 3
µ
71
3
¶
11 3 16 20 9 3 9
=
, , , , , ,
71 71 71 71 71 71 71
= (0.155, 0.042, 0.225, 0.282, 0.127, 0.042, 0.127).
4.3.3
Standardzentralität B
Die Standardzentralität des Graphen GB̃ wurde in (3.2.3) bestimmt, sie beträgt
B(GB̃ ) = (0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500).
äußere Relativ-Standardzentralität
Wir wollen das äußere Maximum der Standardzentralität B bestimmen. Dazu betrachten wir einen ungerichteten, einfachen Graphen G mit Adjazenzmatrix A. Die Standardzentralität B bestimmt sich als Eigenvektor v̄ zum
größten Eigenwert λ̄ der Gleichung
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
117
Av = λv.
v̄ wird dabei jeweils so gewählt, dass er ausschließlich nichtnegative Einträge hat. Um die zu verschiedenen Graphen gehörenden Vektoren sinnvoll
vergleichen zu können, werden wir diese zunächst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2
normieren.
[21] zeigt, dass der maximal mögliche Eintrag in einem solchen Vektor durch
√1 nach oben beschränkt ist. Außerdem wird der Wert √1 genau vom Zen2
2
trum eines Sterns angenommen [20], d.h.
1
Bmax (n) = √ .
2
Daher definieren wir
B1 (G) :=
=
=
B(G)
Bmax (n)
B(G)
√1
2
√
2 · B(G)
die äußere Relativ-Standardzentralität von G.
Das äußere Maximum ist von der Größe des betrachteten Graphen unabhängig,
auch für unseren ungerichteten Beispielgraphen GB̃ mit 7 Knoten berechnet
es sich demnach zu
1
Bmax (7) = √ .
2
Da der uns vorliegende Standardzentralitäts-Vektor bereits euklidisch normiert ist, ergibt sich für die äußere Relativ-Standardzentralität der Vektor
B(GB̃ )
Bmax (7)
(0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500)
=
0.707
= (0.199, 0.199, 0.672, 0.576, 0.552, 0.576, 0.707).
B1 (GB̃ ) =
118
KAPITEL 4. NORMIERUNG
innere Relativ-Standardzentralität
Das innere Maximum von B(GB̃ ) berechnet sich zu
maxB(GB̃ ) =
max B(vi )
i∈{1,...,n}
= max(0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500)
= 0.500.
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Standardzentralität der Vektor
B(GB̃ )
maxB(GB̃ )
(0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500)
=
0.500
= (0.282, 0.282, 0.950, 0.814, 0.782, 0.814, 1).
B2 (GB̃ ) =
prozentuale Relativ-Standardzentralität
Die Gesamtzentralität von B(GB̃ ) berechnet sich zu
sumB(GB̃ ) =
n
X
B(vi )
i=1
X
=
(0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500)
= 0.141 + 0.141 + 0.475 + 0.407 + 0.391 + 0.407 + 0.500
= 2.462.
Damit ergibt sich für die prozentuale Relativ-Standardzentralität der Vektor
B(GB̃ )
sumB(GB̃ )
(0.141, 0.141, 0.475, 0.407, 0.391, 0.407, 0.500)
=
2.462
= (0.057, 0.057, 0.193, 0.165, 0.159, 0.165, 0.203).
B3 (GB̃ ) =
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
4.3.4
119
Verhandlungszentralität V
Die Verhandlungszentralität des Graphen GB wurde in (3.2.4) bestimmt, sie
beträgt
V(GB ) = (−1.143, −1.143, 2.857, 0, 3.102, −0.367, −1.469).
innere Relativ-Verhandlungszentralität
Das innere Maximum von V(GB ) berechnet sich in diesem Fall durch das
Maximum der Beträge der Komponenten (4.2.2) zu
maxV(GB ) =
max |V(vi )|
i∈{1,...,n}
= max (| − 1.143|, | − 1.143|, |2.857|, |0|, |3.102|, | − 0.367|, | − 1.469|)
= 3.102.
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Verhandlungszentralität der Vektor
V(GB )
maxV(GB )
(−1.143, −1.143, 2.857, 0, 3.102, −0.367, −1.469)
=
3.102
= (−0.368, −0.368, 0.921, 0, 1, −0.118, −0.474).
V2 (GB ) =
prozentuale Relativ-Verhandlungszentralität
Wie in (4.2.3) bereits angekündigt, werden wir den VerhandlungszentralitätsVektor V(GB ) zunächst in einen Verlust-Vektor V− (GB ) und einen GewinnVektor V+ (GB ) zerlegen. Wir erhalten
V− (GB ) = (−1.143, −1.143, 0, 0, 0, −0.367, −1.469).
und
V+ (GB ) = (0, 0, 2.857, 0, 3.102, 0, 0).
120
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Daher errechnet sich der Gesamtverlust sumV− (GB ) durch
sumV− (GB ) =
n
X
V− (vi )
i=1
= (−1.143) + (−1.143) + 0 + 0 + 0 + (−0.367) + (−1.469)
= −4.122
sowie der Gesamtgewinn sumV+ (GB ) durch
sumV+ (GB ) =
n
X
V+ (vi )
i=1
= 0 + 0 + 2.857 + 0 + 3.102 + 0 + 0
= 5.959.
Die prozentuale Relativ-Verlustzentralität bestimmt sich dann durch
V− (GB )
sumV− (GB )
(−1.143, −1.143, 0, 0, 0, −0.367, −1.469)
=
−4.122
= (0.277, 0.277, 0, 0, 0, 0.089, 0.356).
V3− (GB ) =
Entsprechend erhalten wir die prozentuale Relativ-Gewinnzentralität durch
V+ (GB )
sumV+ (GB )
(0, 0, 2.857, 0, 3.102, 0, 0)
=
5.959
= (0, 0, 0.479, 0, 0.521, 0, 0).
V3+ (GB ) =
Somit erhalten wir eine prozentuale Relativ-Verhandlungszentralität von
V3 (GB ) = V3+ (GB ) − V3− (GB )
= (0, 0, 0.479, 0, 0.521, 0, 0) − (0.277, 0.277, 0, 0, 0, 0.089, 0.356)
= (−0.277, −0.277, 0.479, 0, 0.521, −0.089, −0.356).
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
4.3.5
PageRank R
Der PageRank des Graphen GB wurde in (3.2.5) bestimmt, er beträgt
R(GB ) = (0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071).
innerer Relativ-PageRank
Das innere Maximum von R(GB ) berechnet sich zu
maxR(GB ) =
max R(vi )
i∈{1,...,n}
= max(0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071)
= 0.330.
Damit ergibt sich für den inneren Relativ-PageRank der Vektor
R(GB )
maxR(GB )
(0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071)
=
0.330
= (0.639, 0.079, 1, 0.827, 0.191, 0.079, 0.215).
R2 (GB ) =
prozentualer Relativ-PageRank
Die Gesamtzentralität von R(GB ) berechnet sich zu
sumR(GB ) =
n
X
R(vi )
i=1
X
=
(0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071)
= 0.211 + 0.026 + 0.330 + 0.273 + 0.063 + 0.026 + 0.071
= 1.
Damit ergibt sich für den prozentualen Relativ-PageRank der Vektor
121
122
KAPITEL 4. NORMIERUNG
R(GB )
sumR(GB )
(0.211, 0.026, 0.330, 0.273, 0.063, 0.026, 0.071)
=
1
= R(GB ).
R3 (GB ) =
4.3.6
Authorities KA und Hubs KH
Authorities
Der Authorities-Vektor des Graphen GB wurde in (3.2.6) bestimmt, er lautet
KA (GB ) = (0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348).
äußere Relativ-Authorities
Wir wollen das äußere Maximum der Authorities KA bestimmen. KA bestimmt sich als Eigenvektor zum größten Eigenwert der Gleichung
AT Av = λv.
1
2
3
8
9
7
6
4
5
Abbildung 4.2: nach innen gerichteter Stern mit 9 Knoten
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
123
Um die zu verschiedenen Graphen gehörenden Vektoren sinnvoll vergleichen
zu können, werden wir diese zunächst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2 normieren.
Der maximale Eintrag eines solchen Vektors ist ganz allgemein durch 1 nach
oben beschränkt. Dieser Wert 1 wird vom Zentrum eines nach innen gerichteten Sterns (Abb. 4.2) angenommen. Daher gilt
KAmax (n) = 1.
Da für die Authorities KA bereits euklidisch normierte Vektoren gefordert
werden, gilt für die äußeren Relativ-Authorities
KA1 (GB ) :=
KA (GB )
= (0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348).
1
innere Relativ-Authorities
Das innere Maximum von KA (GB ) berechnet sich zu
maxKA (GB ) =
max KA (vi )
i∈{1,...,n}
= max(0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348)
= 0.676.
Damit ergibt sich für die inneren Relativ-Authorities der Vektor
KA (GB )
maxKA (GB )
(0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348)
=
0.676
= (0.117, 0, 1, 0.654, 0.695, 0, 0.515).
KA2 (GB ) =
prozentuale Relativ-Authorities
Die Gesamtzentralität von KA (GB ) berechnet sich zu
124
KAPITEL 4. NORMIERUNG
n
X
sumKA (GB ) =
KA (vi )
i=1
X
=
(0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348)
= 0.079 + 0 + 0.676 + 0.442 + 0.470 + 0 + 0.348
= 2.015.
Damit ergibt sich für die prozentualen Relativ-Authorities der Vektor
KA (GB )
sumKA (GB )
(0.079, 0, 0.676, 0.442, 0.470, 0, 0.348)
=
2.015
= (0.039, 0, 0.335, 0.219, 0.233, 0, 0.173).
KA3 (GB ) =
Hubs
Der Hubs-Vektor des Graphen GB wurde in (3.2.6) bestimmt, er lautet
KH (GB ) = (0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620).
äußere Relativ-Hubs
Wir wollen das äußere Maximum der Hubs KH bestimmen. KH bestimmt
sich als Eigenvektor zum größten Eigenwert der Gleichung
AAT v = λv.
Um die zu verschiedenen Graphen gehörenden Vektoren sinnvoll vergleichen
zu können, werden wir diese zunächst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2 normieren. Der maximale Eintrag eines solchen Vektors ist ganz allgemein durch 1
nach oben beschränkt. Dieser Wert 1 wird vom Zentrum eines nach außen
gerichteten Sterns (Abb. 4.3) angenommen. Daher gilt
KH max (n) = 1.
4.3 Normierung der Nachbarzentralitäten
125
1
2
3
8
9
7
6
4
5
Abbildung 4.3: nach außen gerichteter Stern mit 9 Knoten
Da für die Hubs KH bereits euklidisch normierte Vektoren gefordert werden,
gilt für die äußeren Relativ-Hubs
KH1 (GB ) :=
KH (GB )
= (0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620).
1
innere Relativ-Hubs
Das innere Maximum von KH (GB ) berechnet sich zu
maxKH (GB ) =
max KH (vi )
i∈{1,...,n}
= max(0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620)
= 0.620.
Damit ergibt sich für die inneren Relativ-Hubs der Vektor
KH (GB )
maxKH (GB )
(0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620)
=
0.620
= (0.426, 0.426, 0.329, 0, 0.497, 0.940, 1).
KH2 (GB ) =
126
KAPITEL 4. NORMIERUNG
prozentuale Relativ-Hubs
Die Gesamtzentralität von KH (GB ) berechnet sich zu
sumKH (GB ) =
n
X
KH (vi )
i=1
X
=
(0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620)
= 0.264 + 0.264 + 0.204 + 0 + 0.308 + 0.583 + 0.620
= 2.243.
Damit ergibt sich für die prozentualen Relativ-Hubs der Vektor
KH (GB )
sumKH (GB )
(0.264, 0.264, 0.204, 0, 0.308, 0.583, 0.620)
=
2.243
= (0.118, 0.118, 0.091, 0, 0.137, 0.260, 0.276).
KH3 (GB ) =
4.4
Normierung der Entfernungszentralitäten
Da die den folgenden Abschnitten behandelten Entfernungszentralitäten nur
für ungerichtete Graphen definiert sind, werden wir bei den Beispielen jeweils
den in (3.2.3, S. 52) definierten Graphen GB̃ betrachten.
▲ Im folgenden werden die Zentralitäts-Vektoren als Zeilenvektoren betrachtet! Außerdem beinhalten die Gleichheitszeichen in diesem Abschnitt numerische Rundungsfehler.
4.4.1
Stresszentralität ST
Die Stresszentralität des Graphen GB̃ wurde in (3.3.1) bestimmt, sie beträgt
ST (GB̃ ) = (0, 0, 14, 3, 1, 3, 4).
4.4 Normierung der Entfernungszentralitäten
innere Relativ-Stresszentralität
Das innere Maximum von ST (GB̃ ) berechnet sich zu
maxST (GB̃ ) =
max ST (vi )
i∈{1,...,n}
= max(0, 0, 14, 3, 1, 3, 4)
= 14.
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Stresszentralität der Vektor
ST (GB̃ )
maxST (GB̃ )
(0, 0, 14, 3, 1, 3, 4)
=
14
µ
¶
3 1 3 2
=
0, 0, 1, , , ,
14 14 14 7
= (0, 0, 1, 0.214, 0.071, 0.214, 0.285).
ST 2 (GB̃ ) =
prozentuale Relativ-Stresszentralität
Die Gesamtzentralität von ST (GB̃ ) berechnet sich zu
sumST (GB̃ ) =
n
X
ST (vi )
i=1
= 0 + 0 + 14 + 3 + 1 + 3 + 4
= 25.
Damit ergibt sich für die prozentuale Relativ-Stresszentralität der Vektor
ST (GB̃ )
sumST (GB̃ )
(0, 0, 14, 3, 1, 3, 4)
=
25
µ
¶
14 3 1 3 4
=
0, 0, , , , ,
25 25 25 25 25
= (0, 0, 0.56, 0.12, 0.04, 0.012, 0.16).
ST 3 (GB̃ ) =
127
128
4.4.2
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Zwischenzentralität ZW
Die Zwischenzentralität des Graphen GB̃ wurde in (3.3.2) bestimmt, sie beträgt
µ
ZW(GB̃ ) =
1
1
1
0, 0, 9 , 1, , 1, 1
3
3
3
¶
.
äußere Relativ-Zwischenzentralität
Wir suchen also ein Maß, das den Wert der Zwischenzentralität eines Graphen G relativ zum maximal möglichen Wert eines Graphen gleicher Größe
angibt. Zunächst ist also das äußere Maximum zu berechnen. [10] zeigt, dass
dieser maximale Wert ZW max (n), den ZW in einem Graphen mit n Knoten
annehmen kann, nur von dem Zentrum eines Sterns erreicht wird. Er beträgt
ZW max (n) =
n2 − 3n + 2
.
2
Daher definieren wir für einen Graphen G
ZW 1 (G) :=
=
ZW(G)
ZW max (n)
2 · ZW(G)
n2 − 3n + 2
die äußere Relativ-Zwischenzentralität von G.
Selbstverständlich bewegt sich ZW 1 (vk ) im Intervall [0, 1]. Nur das Zentrum
eines Sterns erreicht hierbei den Wert 1. Der Wert Null wird z.B. von den
Knoten eines vollständigen Graphen angenommen.
Das äußere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph
GB̃ , berechnet sich demnach zu
72 − 3 · 7 + 2
2
= 15.
ZW max (7) =
4.4 Normierung der Entfernungszentralitäten
129
Damit ergibt sich für die äußere Relativ-Zwischenzentralität von GB̃ der Vektor
ZW(GB̃ )
ZW max (7)
¢
¡
0, 0, 9 13 , 1, 13 , 1, 1 13
=
15
µ
¶
28 1 1 1 4
=
0, 0, , , , ,
45 15 45 15 45
= (0, 0, 0.622, 0.067, 0.022, 0.067, 0.089).
ZW 1 (GB̃ ) =
innere Relativ-Zwischenzentralität
Das innere Maximum von ZW(GB̃ ) berechnet sich zu
max ZW(vi )
µ
¶
1
1
1
= max 0, 0, 9 , 1, , 1, 1
3
3
3
1
= 9 .
3
maxZW(GB̃ ) =
i∈{1,...,n}
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Zwischenzentralität der Vektor
ZW(GB̃ )
maxZW(GB̃ )
¢
¡
0, 0, 9 13 , 1, 13 , 1, 1 13
=
9 13
µ
¶
3 1 3 4
=
0, 0, 1, , , ,
28 28 28 28
= (0, 0, 1, 0.107, 0.036, 0.107, 0.143).
ZW 2 (GB̃ ) =
prozentuale Relativ-Zwischenzentralität
Die Gesamtzentralität von ZW(GB̃ ) berechnet sich zu
130
KAPITEL 4. NORMIERUNG
sumZW(GB̃ ) =
n
X
ZW(vi )
i=1
1
1
1
= 0+0+9 +1+ +1+1
3
3
3
= 13.
Damit ergibt sich für die prozentuale Relativ-Zwischenzentralität der Vektor
ZW(GB̃ )
sumZW(GB̃ )
¢
¡
0, 0, 9 13 , 1, 13 , 1, 1 13
=
13
µ
¶
28 1 1 1 4
=
0, 0, , , , ,
39 13 39 13 39
= (0, 0, 0.718, 0.077, 0.026, 0.077, 0.103).
ZW 3 (GB̃ ) =
4.4.3
Abstandszentralität AB
Die Abstandszentralität des Graphen GB̃ wurde in (3.3.3) bestimmt, sie beträgt
µ
AB(GB̃ ) =
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , ,
12 12 7 9 11 9 8
¶
.
äußere Relativ-Abstandszentralität
Wie in den vorangegangenen Abschnitten ist auch die Abstandszentralität
abhängig von der Anzahl der Knoten des betrachteten Netzwerks. Um Graphen unterschiedlicher Größe vergleichen zu können, wollen wir diesen Einfluss daher auch hier eliminieren.
Die in einem Graphen mit n Knoten minimal mögliche Gesamtentfernung
eines Knotens zu allen anderen Knoten entspricht dem maximal möglichen
Grad eines Knoten, nämlich
4.4 Normierung der Entfernungszentralitäten
min
min
n
X
G=(V,E) k∈{1,...,n}
i=1
|V |=n
d(vi , vk ) =
max
131
max d(vk )
G=(V,E) k∈{1,...,n}
|V |=n
= n − 1.
Die maximal erreichbare Abstandszentralität beträgt daher
1
.
n−1
AB max (n) =
Diese wird genau von den Knoten erreicht, welche zu allen anderen Knoten
des Netzwerks adjazent sind. Wir definieren daher für k = 1, . . . , n
AB 1 (vk ) :=
=
=
AB(vk )
AB max (n)
µn
¶−1
P
d(vi , vk )
i=1
1
n−1
n
P
n−1
.
d(vi , vk )
i=1
die äußere Relativ-Abstandszentralität des Knotens vk .
AB 1 (vk ) bewegt sich im Intervall (0, 1] ⊂ [0, 1], wobei der Wert 1 genau
von den Knoten maximalen Eingangsgrades angenommen wird. Der Wert
Null wird nicht angenommen, da, ausgehend von Graphen mit mindestens
zwei Knoten, für den Zähler n − 1 > 0 gilt, und der Nenner wegen der
Beschränkung auf zusammenhängende Graphen immer < ∞ ist.
Das äußere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph
GB̃ , berechnet sich demnach zu
1
7−1
1
=
.
6
AB max (7) =
132
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Damit ergibt sich für die äußere Relativ-Abstandszentralität der Vektor
AB 1 (GB̃ ) =
=
AB(GB̃ )
AB max (7)
¡ 1 1 1 1 1 1 1¢
, , , , , ,
12 12 7 9 11 9 8
1
6
µ
¶
1 1 6 2 6 2 3
=
, , , , , ,
2 2 7 3 11 3 4
= (0.5, 0.5, 0.857, 0.667, 0.545, 0.667, 0.75).
innere Relativ-Abstandszentralität
Das innere Maximum von AB(GB̃ ) berechnet sich zu
max AB(vi )
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
= max
, , , , , ,
12 12 7 9 11 9 8
1
.
=
7
maxAB(GB̃ ) =
i∈{1,...,n}
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Abstandszentralität der Vektor
AB 2 (GB̃ ) =
=
AB(GB̃ )
maxAB(GB̃ )
¡ 1 1 1 1 1 1 1¢
, , , , , ,
12 12 7 9 11 9 8
µ
1
7
¶
7 7
7 7 7 7
=
, , 1, , , ,
12 12
9 11 9 8
= (0.583, 0.583, 1, 0.778, 0.636, 0.778, 0.875).
prozentuale Relativ-Abstandszentralität
Die Gesamtzentralität von AB(GB̃ ) berechnet sich zu
4.4 Normierung der Entfernungszentralitäten
sumAB(GB̃ ) =
n
X
133
AB(vi )
i=1
1
1
1 1
1
1 1
+
+ + +
+ +
12 12 7 9 11 9 8
= 0.748.
=
Damit ergibt sich für die prozentuale Relativ-Abstandszentralität der Vektor
AB(GB̃ )
sumAB(GB̃ )
¡ 1 1 1 1 1 1 1¢
, , , , , ,
= 12 12 7 9 11 9 8
0.748
= (0.111, 0.111, 0.191, 0.149, 0.122, 0.149, 0.167).
AB 3 (GB̃ ) =
4.4.4
Graphenzentralität GR
Die Graphenzentralität des Graphen GB̃ wurde in (3.3.4) bestimmt, sie beträgt
µ
GR(GB̃ ) =
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , ,
3 3 2 2 3 2 2
¶
.
äußere Relativ-Graphenzentralität
Wie in den vorangegangenen Abschnitten ist auch die Graphenzentralität
abhängig von der Anzahl der Knoten des betrachteten Netzwerks. Um Graphen unterschiedlicher Größe vergleichen zu können, wollen wir diesen Einfluss daher auch hier eliminieren.
Das äußere Maximum der Graphenzentralität bestimmt sich als Inverses des minimal möglichen Maximalabstandes. Dieser ist sicherlich bei allen
Knoten maximalen Grades gleich 1, da deren Entfernung zu allen Knoten
gleich 1 ist, d.h.
GRmax (n) = 1.
134
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Die äußere Relativ-Graphenzentralität GR1 entspricht daher der (gewöhnlichen) Graphenzentralität GR, d.h. für k ∈ {1, . . . , n} gilt
GR(vk )
GRmax (n)
GR(vk )
=
1
= GR(vk ).
GR1 (vk ) =
GR und GR1 bewegen sich im Intervall (0, 1] ⊂ [0, 1], wobei der Wert 1 genau
von den Knoten maximalen Grades angenommen wird. Der Wert Null wird
nicht angenommen, da in endlichen Graphen der maximale Abstand zu den
anderen Knoten immer endlich ist, und das Inverse daher ungleich Null.
Das äußere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph
GB̃ , berechnet sich demnach zu
GRmax (7) = 1.
Damit ergibt sich für unseren Beispielgraph GB̃ eine äußere Relativ-Graphenzentralität von
GR1 (GB̃ ) = GR(GB̃ )
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
=
, , , , , ,
3 3 2 2 3 2 2
= (0.333, 0.333, 0.5, 0.5, 0.333, 0.5, 0.5).
innere Relativ-Graphenzentralität
Das innere Maximum von GR(GB̃ ) berechnet sich zu
max GR(vi )
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
= max
, , , , , ,
3 3 2 2 3 2 2
1
=
.
2
maxGR(GB̃ ) =
i∈{1,...,n}
4.4 Normierung der Entfernungszentralitäten
135
Damit ergibt sich für die innere Relativ-Graphenzentralität der Vektor
GR(GB̃ )
maxGR(GB̃ )
¡1 1 1 1 1 1 1¢
, , , , , ,
3 3 2 2 3 2 2
GR2 (GB̃ ) =
=
1
2
¶
2
2 2
, , 1, 1, , 1, 1
=
3 3
3
= (0.667, 0.667, 1, 1, 0.667, 1, 1).
µ
prozentuale Relativ-Graphenzentralität
Die Gesamtzentralität von GR(GB̃ ) berechnet sich zu
sumGR(GB̃ ) =
n
X
GR(vi )
i=1
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
3 3 2 2 3 2 2
= 3.
=
Damit ergibt sich für die prozentuale Relativ-Graphenzentralität der Vektor
GR(GB̃ )
sumGR(GB̃ )
¡1 1 1 1 1 1 1¢
, , , , , ,
= 3 3 2 2 3 2 2
3
µ
¶
1 1 1 1 1 1 1
=
, , , , , ,
9 9 6 6 9 6 6
= (0.111, 0.111, 0.167, 0.167, 0.111, 0.167, 0.167).
GR3 (GB̃ ) =
136
KAPITEL 4. NORMIERUNG
Kapitel 5
Zusammenfassung
In Kapitel 3 haben wir verschiedene Ansätze zur Definition von Zentralitätsmaßen betrachtet. Dabei gehen wir jeweils aus von einer Problemstellung
aus der realen Welt. Die Vorgaben dabei sind eine Menge von Objekten O
(z.B. Personen, Webpages) und eine darauf existierende Struktur, die durch
Beziehungen zwischen den einzelnen Objekten gegeben ist. Bei diesen Beziehungen handelt es sich zum Beispiel um Freundschaften zwischen Personen
oder um die Verlinkung von Webpages. Den Objekten wird nun aufgrund ihrer strukturellen Lage ein sogenanntes Zentralitätsmaß zugeordnet. Die Höhe
des zugeordneten Wertes soll dabei für etwas stehen wie Beliebtheit, Qualität,
Wichtigkeit, usw., kurz Zentralität des bewerteten Objektes.
Um das gegebene Problem lösen zu können, werden die Grundmengen an
Objekten und Beziehungen modelliert durch einen Graph G = (V, E), d.h.
jedes Objekt oi ∈ O wird identifiziert mit einem Knoten vi ∈ V , die Beziehungen zwischen den Objekten werden dargestellt durch Kanten e ∈ E,
wobei e := (vi , vj ) ∈ E gdw. “Objekt oi steht in Beziehung zu Objekt oj“.
Unser so entstandenes Graphenmodell kann nun dargestellt werden durch eine Adjazenzmatrix A = (aij )i,j=1,...,n , deren Einträge bestimmt werden durch
die Zuordnung
(
1 , falls (vi , vj ) ∈ E
.
aij =
0 , sonst
138
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG
Manchmal erweist es sich als sinnvoll, die Intensität einer Beziehung durch die
Angabe eines Wertes auszudrücken. Daher wird noch eine Gewichtsfunktion
c : E → R+ für die Bewertung der Kanten vorgesehen.
Unser Graphenmodell wird dann dargestellt durch die gewichtete Adjazenzmatrix W = (wij )i,j=1,...,n , wobei
(
c(vi , vj ) , falls (vi , vj ) ∈ E
.
wij =
0
, sonst
Die Vorgaben aus der realen Welt sind damit vollständig modelliert durch
einen Graphen G bzw. die dazugehörende Adjazenzmatrix A (oder W ).
Zur Bewertung der Knoten eines Graphen werden zwei verschiedene Ansätze
betrachtet.
1. Nachbarzentralitäten:
Die Bewertung eines Knotens hängt ab von seinen Nachbarn und/oder
ihrer Bewertung.
Die Bestimmung der Maße erfolgt jeweils über die Lösung eines linearen
Gleichungssystems oder einer Eigenwertgleichung.
2. Entfernungszentralitäten:
Die Bewertung eines Knotens hängt ab von seiner Entfernung zu den
anderen Knoten.
Die Bestimmung der Maße erfolgt über verschiedene Graphenalgorithmen, wobei jeweils die Bestimmung der Menge der kürzesten Wege
eines Graphen hilfreich sein kann.
139
Die so bestimmten Werte sind auch von der Größe des betrachteten Graphen abhängig. Daher ist es nicht sinnvoll möglich, Graphen unterschiedlicher
Größe untereinander zu vergleichen. In Kapitel 4 werden drei verschiedene
Ansätze aufgezeigt, um diese Abhängigkeit zu eliminieren.
1. äußere Relativ-Zentralität:
Das äußere Maximum, d.h. der maximal erreichbare Zentralitätswert in
einem Graphen gleicher Größe wird bestimmt. Die tatsächlich erreichten Werte werden dazu in Relation gestellt.
Es stellt sich heraus, dass die Bestimmung des äußeren Maximums nicht
für alle Zentralitätsmaße möglich ist.
2. innere Relativ-Zentralität:
Die berechneten Werte werden durch das innere Maximum, d.h. den
im betrachteten Graphen maximal erreichten Zentralitätswert geteilt.
Da bei der Verhandlungszentralität V (3.2.4) negative Werte auftreten können, wird das innere Maximum über die Beträge der erreichten
Werte bestimmt.
3. prozentuale Relativ-Zentralität:
Der Zentralitätsvektor wird durch die Gesamtzentralität, d.h. die Summe seiner Komponenten dividiert.
Da bei der Verhandlungszentralität V (3.2.4) negative Werte auftreten
können, wird der Zentralitätsvektor für die Normierung in Gewinn- und
Verlust-Vektor zerlegt.
Damit stehen uns vielfältige Möglichkeiten zur Auswahl und Bestimmung
von Zentralitätsmaßen in Graphen zur Verfügung. Die Beispiele zeigen, dass
die Auswertung von Graphen durch unterschiedliche Maße zu verschiedenen
Ergebnissen führen kann (s.a. Anhang A). Dies macht die passende Auswahl
eines Maßes notwendig. Die Kriterien hierfür sind nicht mathematischer Natur.
140
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG
Anhang A
Beispielgraph GC
In den Kapiteln 3 und 4 wurden die vorgestellten Zentralitätsmaße anhand
von Beispielgraphen ausgewertet. Da einige der Maße für gerichtete, andere
lediglich für ungerichtete Graphen geeignet sind, wurden dabei zwei unterschiedliche Graphen betrachtet. Zum einen der gerichtete Graph GB , zum
anderen der ungerichtete Graph GB̃ . Ein direkter Vergleich der Zentralitätswerte dieser beiden Graphen ist wenig sinnvoll. Daher werden wir hier sämtliche vorgestellten normierten Zentralitätsmaße für einen ausgewählten ungerichteten Graphen bestimmen und visualisieren.
Im folgenden betrachten wir den durch die Adjazenzmatrix C dargestellten
Graph GC .










C=









0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0




















142
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
Abb. A.1 zeigt eine Einbettung des resultierenden Graphen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.1: Beispielgraph GC
Nachfolgend werden für GC zu jedem der Zentralitätsmaße die normierten
Vektoren, d.h. äußere Relativ-Zentralität Z1 (GC ), innere Relativ-Zentralität
Z2 (GC ) und prozentuale Relativzentralität Z3 (GC ) angegeben und in einem
Diagramm dargestellt. Die Bestimmung der Zentralitätswerte erfolgte, wenn
möglich, mit Visone (www.visone.de).
Bemerkung: Der Graph GC ist der kleinste bekannte Graph, der auf vier
unterschiedlichen Knoten die Maximalwerte der vier Zentralitätsmaße Popularitätsindex, Standardzentralität, Zwischenzentralität und Abstandszentralität annimmt.
An der Vielfältigkeit der aufgeführten Zentralitätsmaße und ihrer Ergebnisse
bei der Auswertung von Beispielgraphen erkennen wir, dass die sorgfältige
Auswahl des zu einer Situation aus der realen Welt passenden Zentralitätsmaßes wesentlich für die Aussagekraft des Bewertungsergebnisses ist.
143
(3.1) Popularitätsindex P:
P1 (GC ) = (0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.4, 0.1, 0.1)
P2 (GC ) = (0.25, 0.25, 0.75, 0.75, 0.5, 0.75, 0.75, 0.5, 1, 0.25, 0.25)
P3 (GC ) = (0.042, 0.042, 0.125, 0.125, 0.083, 0.125, 0.125, 0.083, 0.167, 0.042, 0.042)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P1 (GC )
P2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P3 (GC )
Die folgende Abb. A.2 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.2: Popularitätsindex am Beispielgraph GC
144
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.2.1) Status-Index S:
S1 (GC ) = nicht bekannt
S2 (GC ) = (0.268, 0.268, 0.662, 0.873, 0.669, 0.944, 0.965, 0.690, 1, 0.352, 0.352)
S3 (GC ) = (0.038, 0.038, 0.094, 0.124, 0.095, 0.134, 0.137, 0.098, 0.142, 0.050, 0.050)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
nicht bekannt
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
S1 (GC )
S2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
S3 (GC )
Die folgende Abb. A.3 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.3: Status-Index am Beispielgraph GC
145
(3.2.2) Hubbell-Index H (wo W := 14 A, q := 1):
H1 (GC ) = nicht bekannt
H2 (GC ) = (0.481, 0.481, 0.760, 0.911, 0.762, 0.957, 0.971, 0.781, 1, 0.541, 0.541)
H3 (GC ) = (0.059, 0.059, 0.093, 0.111, 0.093, 0.117, 0.119, 0.096, 0.122, 0.066, 0.066)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
nicht bekannt
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
H1 (GC )
H2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
H3 (GC )
Die folgende Abb. A.4 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.4: Hubbell-Index am Beispielgraph GC
146
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.2.3) Standardzentralität B:
B1 (GC ) = (0.114, 0.114, 0.252, 0.551, 0.400, 0.564, 0.682, 0.501, 0.543, 0.244, 0.244)
B2 (GC ) = (0.167, 0.167, 0.370, 0.809, 0.586, 0.827, 1, 0.735, 0.796, 0.358, 0.358)
B3 (GC ) = (0.027, 0.027, 0.060, 0.131, 0.095, 0.134, 0.162, 0.119, 0.129, 0.058, 0.058)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
B1 (GC )
B2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
B3 (GC )
Die folgende Abb. A.5 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.5: Standardzentralität am Beispielgraph GC
147
(3.2.4) Verhandlungszentralität V:
V1 (GC ) = nicht bekannt
V2 (GC ) = (0.214, 0.214, 0.143, 1, −0.286, −0.143, 0.714, 0.286, 0.714, −0.071, −0.071)
V3 (GC ) = (0.065, 0.065, 0.043, 0.304, −0.5, −0.25, 0.217, 0.087, 0.217, −0.125, −0.125)
1.0
0.8
0.6
0.4
nicht bekannt
0.2
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
V1 (GC )
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
V2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
V3 (GC )
Auf eine Darstellung des Beispielgraphen GC mit größenveränderten Knoten
wie bei den anderen Zentralitätsmaßen, wird hier, aufgrund der negativen
Bewertung einzelner Knoten, verzichtet.
148
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.2.5) PageRank P:
P1 (GC ) = nicht bekannt
P2 (GC ) = (0.361, 0.361, 0.861, 0.715, 0.494, 0.684, 0.690, 0.5, 1, 0.329, 0.329)
P3 (GC ) = (0.057, 0.057, 0.136, 0.113, 0.078, 0.108, 0.109, 0.079, 0.158, 0.052, 0.052)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
nicht bekannt
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P1 (GC )
P2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P3 (GC )
Die folgende Abb. A.6 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.6: PageRank am Beispielgraph GC
149
(3.2.6) Authorities KA :
KA1 (GC ) = (0.071, 0.071, 0.204, 0.342, 0.325, 0.455, 0.425, 0.313, 0.440, 0.153, 0.153)
KA2 (GC ) = (0.156, 0.156, 0.448, 0.753, 0.714, 1, 0.935, 0.688, 0.968, 0.338, 0.338)
KA3 (GC ) = (0.024, 0.024, 0.069, 0.116, 0.110, 0.154, 0.144, 0.106, 0.149, 0.052, 0.052)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KA1 (GC )
KA2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KA3 (GC )
Die folgende Abb. A.7 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.7: Authorities am Beispielgraph GC
150
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.2.6) Hubs KH :
KH1 (GC ) = (0.077, 0.077, 0.187, 0.378, 0.294, 0.413, 0.467, 0.342, 0.401, 0.169, 0.169)
KH2 (GC ) = (0.166, 0.166, 0.401, 0.809, 0.631, 0.881, 1, 0.732, 0.860, 0.363, 0.363)
KH3 (GC ) = (0.026, 0.026, 0.063, 0.127, 0.099, 0.139, 0.157, 0.115, 0.135, 0.057, 0.057)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KH1 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KH2 (GC )
KH3 (GC )
Die folgende Abb. A.8 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.8: Hubs am Beispielgraph GC
151
(3.3.1) Stresszentralität ST :
ST 1 (GC ) = nicht bekannt
ST 2 (GC ) = (0, 0, 0.790, 0.533, 0.185, 0.464, 0.464, 0.185, 1, 0, 0)
ST 3 (GC ) = (0, 0, 0.218, 0.147, 0.051, 0.128, 0.128, 0.051, 0.276, 0, 0)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
nicht bekannt
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ST 1 (GC )
ST 2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ST 3 (GC )
Die folgende Abb. A.9 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.9: Stresszentralität am Beispielgraph GC
152
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.3.2) Zwischenzentralität ZW:
ZW 1 (GC ) = (0, 0, 0.378, 0.486, 0.134, 0.337, 0.304, 0.123, 0.397, 0, 0)
ZW 2 (GC ) = (0, 0, 0.778, 1, 0.276, 0.693, 0.627, 0.253, 0.818, 0, 0)
ZW 3 (GC ) = (0, 0, 0.175, 0.225, 0.062, 0.156, 0.141, 0.057, 0.184, 0, 0)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ZW 1 (GC )
ZW 2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ZW 3 (GC )
Die folgende Abb. A.10 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.10: Zwischenzentralität am Beispielgraph GC
153
(3.3.3) Abstandszentralität AB:
AB 1 (GC ) = (0.279, 0.279, 0.370, 0.458, 0.437, 0.479, 0.458, 0.416, 0.400, 0.295, 0.295)
AB2 (GC ) = (0.583, 0.583, 0.774, 0.957, 0.913, 1, 0.957, 0.870, 0.835, 0.617, 0.617)
AB 3 (GC ) = (0.067, 0.067, 0.089, 0.11, 0.105, 0.115, 0.11, 0.1, 0.096, 0.071, 0.071)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
AB 1 (GC )
AB 2 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
AB 3 (GC )
Die folgende Abb. A.11 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.11: Abstandszentralität am Beispielgraph GC
154
ANHANG A. BEISPIELGRAPH GC
(3.3.4) Graphenzentralität GR:
GR1 (GC ) = (0.167, 0.167, 0.200, 0.250, 0.333, 0.333, 0.250, 0.250, 0.200, 0.167, 0.167)
GR2 (GC ) = (0.5, 0.5, 0.604, 0.754, 1, 1, 0.754, 0.754, 0.604, 0.5, 0.5)
GR3 (GC ) = (0.067, 0.067, 0.081, 0.101, 0.134, 0.134, 0.101, 0.101, 0.081, 0.067, 0.067)
1.0
1.0
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
0.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
GR1 (GC )
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
GR2 (GC )
GR3 (GC )
Die folgende Abb. A.12 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC , wobei
die Größe der Knoten die Höhe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Abbildung A.12: Graphenzentralität am Beispielgraph GC
Anhang B
Grundlagen
Definition B.1. Mit 0 := (0, . . . , 0)T bezeichnen wir den Nullvektor, mit
1 := (1, . . . , 1)T den mit Einsen gefüllten Spaltenvektor jeweils passender Dimension. Mit I bezeichnen wir die Einheitsmatrix mit jeweils zum Kontext
passender Größe, d.h.
(
1 , falls i = j
.
Iij :=
0 , sonst
Definition B.2. Sei A = (aij ) ∈ Rn×n eine quadratische, reellwertige Matrix, x = (x1 , . . . , xn ) ein reellwertiger Vektor der Dimension n. Das MatrixVektor-Produkt Ax = y = (y1 , . . . , yn ) ist definiert durch
(Ax)r = yr =
n
X
k=1
ark xk für alle r ∈ {1, . . . , n}.
156
ANHANG B. GRUNDLAGEN
Definition B.3. Seien A = (aij ), B = (bij ) ∈ Rn×n quadratische, reellwertige Matrizen. Das Matrix-Produkt A · B = AB = C = (cij ) ist definiert
durch
cij =
n
X
aik bkj für alle i, j ∈ {1, . . . , n}.
k=1
Definition B.4. Sei A eine quadratische Matrix mit reellwertigen Einträgen.
Mit Al bezeichnen wir die l−te Potenz von A, d.h.
Al := A
· · · A} .
| · ·{z
l-mal
Mit (Al )ij bezeichnen wir ihre Einträge.
Allgemein definieren wir A0 := I.
Satz B.5. Seien A = (aij ), B = (bij ) ∈ Rn×n quadratische, reellwertige
Matrizen. Dann gilt
(AB)T = B T AT .
Beweis: siehe [9]
■
157
Definition B.6. Sei {x1 , . . . , xk } ⊂ Rn . Dann heißt
span(x1 , . . . , xn ) := {y ∈ Rn : y = c1 x1 + · · · + ck xk , ci ∈ R}
der von {x1 , . . . , xk } aufgespannte Raum.
Definition B.7. Eine Menge von Vektoren {x1 , . . . , xp } ⊂ Rn heißt linear
unabhängig, wenn für alle λ1 , . . . , λp ∈ R gilt
p
X
λi xi = 0 ⇒ λ1 = · · · = λp = 0.
i=1
Definition B.8. Eine Menge {x1 , . . . , xn } ⊂ Rn von n linear unabhängigen
Vektoren heißt Basis des Rn .
Satz B.9. Sei {x1 , . . . , xn } ⊂ Rn eine Basis des Rn . Dann gilt
span(x1 , . . . , xn ) = Rn .
Beweis: siehe [9]
■
158
ANHANG B. GRUNDLAGEN
Definition B.10. Eine Abbildung (., .) : Rn ×Rn → R mit den Eigenschaften
(S1)
(x, x) ≥ 0
(Positivität)
(S2)
(x, x)
=
0⇔x=0
(Definitheit)
(S3)
(x, y)
=
(y, x)
(Symmetrie)
(S4)
(αx + βy, z)
=
α(x, z) + β(y, z)
(Linearität)
für alle x, y, z ∈ Rn und alle α, β ∈ R heißt Skalarprodukt auf Rn .
Definition B.11. Seien x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . Dann heißt
n
P
<x, y> =
xi yi
i=1
= xT y
das Standardskalarprodukt des Rn .
Definition B.12. Eine Menge von Vektoren {x1 , . . . , xp } ⊂ Rn heißt orthonormal, falls gilt:
und
<xi , xj > =
0
für alle i 6= j
<xi , xi > =
1
für alle i
Definition B.13. Eine Basis {x1 , . . . , xn } ⊂ Rn aus orthonormalen Vektoren heißt Orthonormalbasis des Rn .
159
Definition B.14. Seien A = (aij ) ∈ Rn×n , eine Konstante λ ∈ R und ein
vom Nullvektor verschiedener Vektor x ∈ Rn gegeben. Eine Gleichung
Ax = λx
heißt Eigenwertgleichung. x ist dann Eigenvektor von A zum Eigenwert λ.
Satz B.15. Sei A ∈ Rn×n . Ist A symmetrisch, so existiert eine Menge
von Eigenvektoren {x1 , . . . , xn } von A, die eine Orthonormalbasis des Rn
bilden.
Beweis: siehe [9]
■
Definition B.16. Eine Abbildung k k : Rn → R mit den Eigenschaften
(N1)
kxk ≥ 0
(Positivität)
(N2)
kxk
=
0 ⇔ x = 0 (Definitheit)
(N3)
kγxk
=
|γ|kxk
(N4)
kx + yk
≤ kxk + kyk
(Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
für alle x, y ∈ Rn und alle γ ∈ R heißt Norm auf Rn .
160
ANHANG B. GRUNDLAGEN
Definition B.17. Die euklidische Norm eines Vektors x = (x1 , . . . , xn )
ist definiert durch
v
u n
uX
kxk2 = t (xi )2 .
i=1
Definition B.18. Sei A ∈ Rn×n gegeben. Die von einer Vektornorm k k
induzierte Matrixnorm ist definiert durch
kAxk
x6=0 kxk
= sup kAxk.
kAk∗ : = sup
kxk=1
Definition B.19. Zu einer Matrix A ist die euklidische Matrixnorm
daher gegeben durch
kAk∗2 =
=
sup kAxk2
kwk2 =1
v
u n
uX
sup t ((Ax)i )2 .
kwk2 =1
i=1
Satz B.20. Seien A, B ∈ Rn×n . Dann gilt
kABk∗ ≤ kAk∗ kBk∗ .
Beweis: siehe [19]
■
161
Satz B.21. Sei A ∈ Rn×n , λmax der größte Eigenwert von A. Dann gibt es
einen positiven Wert ² ∈ R+ und eine Norm k k² auf Rn so, dass für die
induzierte Matrixnorm gilt:
λmax ≤ kAk∗² ≤ λmax + ²
Beweis: siehe [19]
■
Definition B.22. Zwei Normen k ka und k kb heißen äquivalent, wenn
positive Zahlen c und C existieren, so dass
ckxka ≤ kxkb ≤ Ckxka für alle x ∈ Rn .
Satz B.23. Im Rn sind alle Normen äquivalent.
Beweis: siehe [19]
■
162
ANHANG B. GRUNDLAGEN
Literaturverzeichnis
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164
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