CAD CAM-Special

SPECIAL
CAD CAM-Special
Berechnung von
Maschinenelementen
Eine Übersicht über die
Rechenmethoden
Ein Betrieb muss wissen, wo die Versagensgrenzen von Bauteilen in spezifischen Belastungszuständen liegen. Dieses Wissen
überträgt man auf Entwürfe, wofür Methoden zur Anpassung
der Erfahrung an die neuen Randbedingungen benötigt werden. Für die meisten Maschinenelemente gibt es Rechenvorschriften, welche genau das leisten. Heute ist eine sinnvolle
Auslegung von Maschinenelementen nicht mehr einem kleinen
Kreis von Spezialisten vorbehalten. Diese Fähigkeit wird vielmehr auch von jedem allgemeinen Konstrukteur erwartet.
In den Beiträgen seiner Serie stellte Dr. Stefan Beermann, KiSSsoft, diese Rechenmethoden vor. Dabei wurden ausgewählte
Probleme bei der Anwendung betrachtet. Der vorliegende vierte und letzte Teil konzentriert sich auf die Geometrie von Zahnrädern, nachdem der Autor in den vorangegangenen Folgen die
Zahnräder selbst, Wellen und Schrauben behandelt hatte.
Die Geometrie der Zahnräder
Zahnräder gelten als komplizierte Bauteile, da eine relativ
große Zahl an Parametern definiert werden muss. Die Parame-
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ter sind oft nicht intuitiv, wie es etwa der Durchmesser einer
Welle ist. Es bleibt beim unerfahrenen Anwender daher oft ein
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Nicht zur Verwendung in Intranet- und Internet-Angeboten sowie elektronischen Verteilern.
METHODEN BERECHNUNG
EVOLVENTISCHES PROFIL. Der
größte Teil an Zahnrädern basiert
auf einem evolventischen Zahnprofil, das heißt, die Zahnflanke
entspricht von der Form her einer
Evolvente. Diese Flankenform bietet einige entscheidende Vorteile.
Der wichtigste ist sicherlich die
Möglichkeit, die Verzahnung mit
geradflankigen Werkzeugen herstellen zu können.
Damit verbunden ist die Tatsache, dass Zahnräder mit unterschiedlicher Zähnezahl mit demselben Werkzeug verzahnt werden
Gefühl von Unsicherheit, ob auch alles richtig gemacht wurde.
Die wichtigsten Parameter sollen hier vorgestellt werden, um
diesem Gefühl abzuhelfen.
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können. Das ist nicht selbstverständlich; bei Zykloiden oder Kreisbogenverzahnungen geht das nicht.
Bild 1 zeigt, wie mit einer Geraden die Evolvente definiert wird. Am
einfachsten stellt man sich die Gerade als Lineal vor. Am Anfang liegt
das Lineal mit dem Nullpunkt tangential am Grundkreis an. Dann
rollt das Lineal über den Grundkreis, das Maß auf dem Lineal im aktuellen Berührpunkt gibt die Bogenlänge auf dem Grundkreis vom
Startpunkt aus gemessen an. Die
Kurve, die der Nullpunkt des Lineals
Bild 1: Evolvente, die durch
Abrollen einer Geraden
(Lineal) auf dem Grundkreis
erzeugt wird.
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BERECHNUNG
Bild 2: Die Achsabstandsänderung ändert den Eingriffswinkel α.
beschreibt, ist dann die Evolvente.
Ein weiterer Vorteil der Evolvente
ist die Unempfindlichkeit gegenüber (kleinen) Achsabstandsänderungen. Der Eingriff erfolgt bei einer Evolvente immer entlang einer
gemeinsamen Tangente an die
Grundkreise, wobei diese Gerade
gleichzeitig die erzeugende Gerade
für die Evolvente ist; gewissermaßen ein sehr schmales Lineal, das
zwischen die beiden Grundkreise
eingeklemmt wird.
Wie in Bild 2 zu erkennen ist,
ändert sich bei einem modifizierten
Achsabstand allenfalls der Betriebseingriffswinkel α, und das normalerweise so wenig, dass die Auswirkungen nicht relevant sind.
Um ein Zahnrad zu definieren,
könnte man auf die Definition der
Evolvente zurückgehen, das heißt
den Grundkreis vorgeben, dann
den Abstand der beiden Evolventen
zwischen einer rechten und einer
linken Flanke festlegen, also die
Zahndicke an einem festgelegten
Durchmesser, die Teilung bezie-
hungsweise die Anzahl der Zähne
und schließlich Kopf- und Fußkreis
sowie einen Radius im Fußbereich
vorgeben. Damit wäre ein Zahnrad
mit sechs Parametern beschrieben.
In der Praxis wird das aber so
nicht gemacht. Der Grund hierfür
ist, dass metallische Zahnräder
überwiegend gefräst werden. Ein
Zahnrad wird daher in der Regel
durch die Beschreibung des Werkzeuges definiert.
Definition des Zahnrads:
zwei Optionen
Es gibt zwei Ansätze. In Deutschland ist die Definition eines Bezugsprofils und einer Profilverschiebung üblich, während vor allem im englischsprachigen Ausland
stärker auf die hergestellte Geometrie des Zahnrads (Durchmesser
oder Zahnhöhen) abgehoben wird.
Die beiden Ansätze sind nicht
prinzipiell verschieden, es soll ja
auch dasselbe Zahnrad definiert
werden. Es ist eher die Philosophie
der Betrachtung. Und daraus fol-
METHODEN
gend eine leicht andere Auswahl der
festgelegten Parameter. An dieser
Stelle werden wir uns auf die deutsche Philosophie beschränken.
Bild 3 zeigt die Definition des
Zahnrades auf der Grundlage eines
zahnstangenförmigen Bezugsprofils. Im Gegensatz zu einem Fräser
fasst das Bezugsprofil normalerweise alle Bearbeitungsschritte zusammen (zum Beispiel das Fräsen
der Zähne und Schleifen einer Profilkorrektur) und weist kein Spiel
zwischen Zahnkopf und Bezugsprofil auf. Der Abstand von zwei
Punkten auf aufeinanderfolgenden
linken (oder rechten) Flanken des
Bezugsprofils ist gleich dem Modul
m multipliziert mit π, also der Teilung. Die Bezugslinie eines Bezugsprofils, von der aus die Zahnkopfhöhe hap und die Zahnfußhöhe hfp gemessen werden, ist immer
auf der Höhe, an der die Zahndicke
der halben Teilung entspricht. Dabei wird hap in Richtung Zahnkopf
positiv gemessen, hfp in Richtung
Fuß.
Wichtig bei der Definition des
Bezugsprofils ist, ob es sich um das
Bezugsprofil des Zahnrades (das
wäre das Übliche) oder um das des
Werkzeuges handelt. Es drehen sich
dann nämlich die Bezeichnungen
gerade um: hfp0 = hap, wobei der
Index 0 andeutet, dass es sich um
das Werkzeugprofil handelt.
Profilverschiebung
beeinflusst Zahnform
Wenn die Bezugslinie des Bezugsprofils Tangente an dem Teilkreis
des Zahnrades ist, ist die Profilver-
Bild 3: Es gibt zwei Ansätze für die Definition eines Zahnrads:
hier die in Deutschland übliche durch
das Bezugsprofil.
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Bild 4: Einfluss der
Profilverschiebung
bei unterschiedlicher Zähnezahl.
schiebung x gleich null. Liegt die
Bezugslinie weiter außen, definiert
der Abstand von Bezugslinie zum
Teilkreis eine positive Profilverschiebung, liegt die Bezugslinie
weiter innen, entsprechend eine negative. Der Abstand vom Mittelpunkt des Zahnrades zur Bezugslinie ist der Herstellachsabstand.
Da die Profilverschiebung keine
Mehrkosten bei der Fertigung verursacht, ist sie einer der wichtigsten
Parameter, um die Eigenschaften
eines Zahnradpaares zu beeinflussen. Der Einfluss der Profilverschie-
bung erstreckt sich dabei sowohl
auf die Kopf- und Fußkreisdurchmesser als auch auf die Zahnform
selbst. Die Auswirkungen auf die
Durchmesser sind trivial, eine Profilverschiebung von 1 mm vergrößert den Kopf- und den Fußkreisdurchmesser um 2 mm (Radien
um 1 mm).
Bei der Zahnform ist der Einfluß
hingegen stark von der Zähnezahl
abhängig (Bild 4) – je mehr Zähne,
desto weniger stark. Im Grenzübergang zu unendlich vielen Zähnen
landet man bei einer Zahnstange,
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METHODEN BERECHNUNG
Bild 5: Vorgehensweise zur Festlegung der Mindestsicherheiten für die Auslegung.
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die gerade dem Bezugsprofil entspricht. Hier kann man hin- und
herschieben so viel man möchte,
die Zahnform ändert sich nicht. Ist
die Profilverschiebung zu klein,
werden die Zähne unterschnitten,
das heißt im Fußbereich werden
Teile der evolventischen Flanke
hinterschnitten.
Ab 15 Zähnen abwärts empfiehlt
sich eine positive Profilverschiebung, um dem in diesem Bereich
natürlicherweise auftretenden Unterschnitt entgegenzuwirken. Eine
zu große Profilverschiebung führt
zu einem spitzen Zahn, die Zahndicke am Kopf geht gegen null. Das
ist vor allem bei gehärteten Zahnrädern unerwünscht, da die Zahnköpfe sonst durchhärten. Das kann
dazu führen, dass der komplette
Zahnkopf wegbricht.
Rechnen
mit Methode
Zu einer der häufigsten Fragen, die
wir als Hersteller eines Berechnungsprogramms gestellt bekommen, gehört interessanterweise:
»Ich habe einen Sicherheitsfaktor
von 1.134 als Ergebnis bekommen.
Hält das denn jetzt?« Offenbar ist
das Verständnis und die korrekte
Durchführung der in dieser Serie
vorgestellten Methoden gar nicht
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BERECHNUNG
METHODEN
das eigentliche Problem, sondern
Je genauer man in diesem Abschnitt
die Anwendung in der Praxis. Daarbeitet, und je mehr vergleichbare
bei sind Fragen zu klären wie: WelKonstruktionen man zur Verfügung
che Werkstoffdaten werden für die
hat, desto klarer zeichnet sich in der
Berechnung verwendet, welches ist
Regel eine Grenze ab. Das erklärt
die Nennlast, wie behandle ich die
dann auch, warum die Platzhirsche
unterschiedlichen Belastungszudes Markts gegenüber den Neuanstände, welche Sicherheitsfaktoren
fängern einen Vorteil haben.
brauche ich?
In einem dritten Schritt werden
Die Vorgehensweise, die ich zur
nun Mindestsicherheiten festgelegt,
Anwendung der Rechenmethoden
die für die Neuauslegung verwendet
hier vorstellen möchte, ist im Laufe
werden. Soll eine vorhandene Konder Jahrzehnte entstanden und hat
struktion modifiziert und dabei opsich in der Praxis bewährt. Letztlich
timiert werden (zum Beispiel soll
läuft es darauf hinaus, das firmenmehr Leistung übertragen werden),
interne Know-how zur Auslegung
so ist das obige Verfahren noch etvon neuen Konstruktionen zu nutwas strenger anwendbar: Der akzen, das in Form von älteren Kontuelle Zustand wird analysiert, dann
struktionen vorliegt. Bei diesen ist
wird genau der Parameter geändert,
im Regelfall bekannt, welche der
der das neue Ziel darstellt (also die
Konstruktionen sich bewährt hatLeistung in der Berechnung erhöht),
ten und welche nicht. Bei Letzteren
und anschließend werden die Konweiß man normalerweise, was die
struktionsparameter so lange geänProbleme beziehungsweise die Verdert, bis die alten Sicherheitsfaktosagensarten waren.
ren mindestens wieder erreicht sind.
Die Idee der Vorgehensweise ist
Der Vorteil dieser Vorgehensnahe liegend und einfach: Soll eine
weise ist, dass sehr viele Unsicherneue Konstruktion ausgelegt werheiten in die Festlegung der Minden, werden in einem ersten Schritt
destsicherheiten verschoben werso viele vorhandene Konstruktioden. So streuen die Werkstoffwerte
nen nachgerechnet wie möglich.
je nach Qualität um bis zu 30 ProMan fixiert allgemeine Einflussfakzent, die Lasten sind oft nur bis auf
toren; es werden also beispielsweise
50 Prozent genau bekannt. Viele
einheitliche Werkstoffdaten, AnFaktoren sind in den Rechenmethowendungsfaktoren, Schmierstoffden nicht scharf definiert, allen vordaten und Nenndrehmomente anan der Betriebs- oder Anwendungsgesetzt. Es ist wichtig,
faktor.
dass diese Faktoren im
Da sich der errechLaufe des Prozesses
nete Sicherheitsfaktor
nicht geändert werden,
durch die Division von
da sonst die Vergleichertragbarer Spannung
barkeit der Ergebnisse
durch die tatsächliche
verloren geht.
Spannung ergibt, werIn einem zweiten
den die Unsicherheiten
Schritt werden die sich
durch die Skalierung
ergebenden Sicherheitsder Mindestsicherheit
faktoren sortiert nach
automatisch ausgegli›ausreichend dimensiochen. Bild 5 zeigt in einiert‹ und ›unterdimen- Dr. Stefan Beermann,
nem Blockschaltbild
sioniert, hat im Betrieb Kisssoft: »Letztlich
die Vorgehensweise im
versagt‹. Es ergibt sich läuft es darauf hinaus,
Überblick.
hoffentlich eine Trennli- das firmeninterne
Dr. Stefan Beermann,
nie zwischen den beiden Know-how zur AusleKiSSsoft
Gruppen: Ab einem ge- gung von neuen Konwissen Mindestsicher- struktionen zu nutzen,
heitsfaktor abwärts gab das in Form von älteren
es Schadensfälle, ober- Konstruktionen vorhalb dieses Wertes nicht. liegt.«
@ www.KISSsoft.ag
CAD_CAM_Jumpstart_268x60.indd 1
15.03.2006 15:50:48