3. Foliensatz (4 pro Seite)

2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Hypothesentests
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Einführendes Beispiel I
Bisher betrachtet:
Punkt- bzw. Intervallschätzung des unbekannten Mittelwerts
Hierzu: Verwendung der
1
2
Interessierende Zufallsvariable Y :
Von einer speziellen Abfüllmaschine abgefüllte Inhaltsmenge von
Müslipackungen mit Soll-Inhalt µ0 = 500 (in [g ]).
theoretischen Information über Verteilung von X
empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X
zur Konstruktion einer
I
I
Punktschätzung
Intervallschätzung, bei der jede Stichprobenziehung mit einer vorgegebenen
Chance ein realisiertes (Konfidenz-)Intervall liefert, welches den (wahren)
Mittelwert (Erwartungswert) enthält.
Nächste Anwendung (am Beispiel des Erwartungswerts): Hypothesentests:
Entscheidung, ob der (unbekannte!) Erwartungswert von Y in einer
vorgegebenen Teilmenge der denkbaren Erwartungswerte liegt
( Nullhypothese“ H0 ) oder nicht ( Gegenhypothese/Alternative“ H1 ).
”
”
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 89
Schließende Statistik 2.3
Einführendes Beispiel II
Verteilungsannahme:
Y ∼ N(µ, 42 ) mit unbekanntem Erwartungswert µ = E (Y ).
Es liege eine Realisation x1 , . . . , x16 einer einfachen Stichprobe X1 , . . . , X16
vom Umfang n = 16 zu Y vor.
Ziel: Verwendung der Stichprobeninformation (über X bzw. x), um zu
entscheiden, ob die tatsächliche mittlere Füllmenge (also der wahre,
unbekannte Parameter µ) mit dem Soll-Inhalt µ0 = 500 übereinstimmt
(H0 : µ = µ0 = 500) oder nicht (H1 : µ 6= µ0 = 500).
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 90
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Verteilungen von X
0.4
für verschiedene Erwartungswerte µ bei σ = 4 und n = 16
Also: Entscheidung für Nullhypothese H0 : µ = 500, wenn x nahe bei 500,
und gegen H0 : µ = 500 (also für die Gegenhypothese H1 : µ 6= 500), wenn x
weit weg von 500.
Aber: Wo ist die Grenze zwischen in der Nähe“ und weit weg“? Wie kann
”
”
eine geeignete“ Entscheidungsregel konstruiert werden?
”
0.2
0.1
I
0.0
I
X schwankt um den wahren Mittelwert µ; selbst wenn H0 : µ = 500 gilt, wird
X praktisch nie genau den Wert x = 500 annehmen!
Realisationen x in der Nähe“ von 500 sprechen eher dafür, dass H0 : µ = 500
”
gilt.
Realisationen x weit weg“ von 500 sprechen eher dagegen, dass H0 : µ = 500
”
gilt.
fX(x|µ)
I
µ = 500
µ = 494
µ = 499
µ = 503
0.3
Offensichlich gilt:
494
496
498
500
502
504
506
x
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 91
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 92
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Beispiel für nahe“ Grenze
”
Fällen einer Entscheidung zwischen H0 : µ = 500 und H1 : µ 6= 500 führt zu
genau einer der folgenden vier verschiedenen Situationen:
I
0.1
Wünschenswert:
Sowohl Fehler 1. Art“ als auch Fehler 2. Art“ möglichst selten begehen.
”
”
Aber: Zielkonflikt vorhanden:
Je näher Grenze zwischen in der Nähe“ und weit weg“ an µ0 = 500, desto
”
”
I
0.2
0.3
Tatsächliche Situation:
H1 wahr (µ 6= 500)
Fehler
2. Art
richtige
Entscheidung
µ = 500
µ = 494
µ = 499
µ = 503
0.0
Tatsächliche Situation:
H0 wahr (µ = 500)
richtige
Entscheidung
Fehler
1. Art
Für µ 6= 500 (gegen µ = 500) entscheiden, wenn Abstand zwischen x und 500 größer als 1
fX(x|µ)
Entscheidung
für H0 (µ = 500)
Entscheidung
für H1 (µ 6= 500)
Schließende Statistik 2.3
0.4
Entscheidungsproblem
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
seltener Fehler 2. Art
häufiger Fehler 1. Art
494
496
498
500
502
504
506
x
und umgekehrt für fernere Grenzen zwischen in der Nähe“ und weit weg“.
”
”
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 93
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
0.4
Beispiel für ferne“ Grenze
”
Für µ 6= 500 (gegen µ = 500) entscheiden, wenn Abstand zwischen x und 500 größer als 3
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 94
Schließende Statistik 2.3
Konstruktion einer Entscheidungsregel I
µ = 500
µ = 494
µ = 499
µ = 503
0.3
Unmöglich, Wahrscheinlichkeiten der Fehler 1. Art und 2. Art gleichzeitig für
alle möglichen Situationen (also alle denkbaren µ) zu verringern.
Übliche Vorgehensweise: Fehler(wahrscheinlichkeit) 1. Art kontrollieren!
0.2
Also: Vorgabe einer kleinen Schranke α ( Signifikanzniveau“) für die
”
Wahrscheinlichkeit, mit der man einen Fehler 1. Art (also eine Entscheidung
gegen H0 , obwohl H0 wahr ist) begehen darf.
Festlegung der Grenze zwischen in der Nähe“ und weit weg“ so, dass man
”
”
den Fehler 1. Art nur mit Wahrscheinlichkeit α begeht, also die Realisation x
bei Gültigkeit von µ = µ0 = 500 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von α
jenseits der Grenzen liegt, bis zu denen man sich für µ = µ0 = 500
entscheidet!
0.0
0.1
fX(x|µ)
Ökonometrie (SS 2014)
494
496
498
500
502
504
506
x
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 95
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 96
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Konstruktion einer Entscheidungsregel II
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Beispiel für Grenze zum Signifikanzniveau α = 0.05
0.4
Grenzen aus Schwankungsintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 − α = 0.95
0.2
0.1
0.0
σ
σ
P X ∈ µ0 − √ · N1− α2 , µ0 + √ · N1− α2
=1−α .
n
n
fX(x|µ)
Gilt tatsächlich µ = µ0 , dann natürlich auch E(X ) = µ0 , und man erhält
den gesuchten Bereich gerade als Schwankungsintervall (vgl. Folie 76)
σ
σ
µ0 − √ · N1− α2 , µ0 + √ · N1− α2
n
n
mit
µ = 500
µ = 494
µ = 499
µ = 503
0.3
Gesucht ist also ein Bereich, in dem sich X bei Gültigkeit von
H0 : µ = µ0 = 500 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − α realisiert (und
damit nur mit Wahrscheinlichkeit α außerhalb liegt!).
494
496
498
500
502
504
506
x
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 97
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Entscheidung im Beispiel I
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 98
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Entscheidung im Beispiel II
Bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 entscheidet man sich im Beispiel
also für H0 : µ = µ0 = 500 genau dann, wenn die Realisation x von X im
Intervall
4
4
500 − √ · N0.975 , 500 + √ · N0.975 = [498.04, 501.96] ,
16
16
dem sog. Annahmebereich des Hypothesentests, liegt.
Statt Entscheidungsregel auf Grundlage der Realisation x von X (unter
2
Verwendung der Eigenschaft X ∼ N(µ0 , σn ) falls µ = µ0 ) üblicher:
Äquivalente Entscheidungsregel auf Basis der sog. Testgröße oder
Teststatistik
X − µ0 √
N :=
n.
σ
Entsprechend fällt die Entscheidung für H1 : µ 6= 500 (bzw. gegen
H0 : µ = 500) aus, wenn die Realisation x von X in der Menge
Bei Gültigkeit von H0 : µ = µ0 ensteht N als Standardisierung von X und
ist daher daher (für µ = µ0 ) standardnormalverteilt:
(−∞, 498.04) ∪ (501.96, ∞) ,
X − µ0 √
n ∼ N(0, 1)
σ
dem sog. Ablehnungsbereich oder kritischen Bereich des Hypothesentests,
liegt.
falls µ = µ0
Durch Angabe eines dieser Bereiche ist die Entscheidungsregel offensichtlich
schon vollständig spezifiziert!
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 99
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 100
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Entscheidung im Beispiel III
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Entscheidung im Beispiel IV
Man rechnet leicht nach:
σ
σ
X − µ0 √
X ∈ µ0 − √ · N1− α2 , µ0 + √ · N1− α2 ⇔
n ∈ −N1− α2 , N1− α2
σ
n
n
√
0
Als
A für die Testgröße N = X −µ
n erhält man also
σ
Annahmebereich
−N1− α2 , N1− α2 , als kritischen Bereich K entsprechend
K = R\A = −∞, −N1− α2 ∪ N1− α2 , ∞
und damit eine Formulierung der Entscheidungsregel auf Grundlage von N.
Man kann ( Veranstaltung Schließende Statistik“) die Verteilung von X
”
bzw. N auch in der Situation µ 6= µ0 (also bei Verletzung von H0 ) näher
untersuchen. Damit lassen sich dann auch (von µ abhängige!)
Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art berechnen.
Im Beispiel erhält man so zu den betrachteten Szenarien (also
unterschiedlichen wahren Parametern µ):
Wahrscheinlichkeit der
Wahrscheinlichkeit der
Annahme von µ = 500 Ablehnung von µ = 500
P{N ∈ A}
P{N ∈ K }
µ = 500
0.95
0.05
µ = 494
0
1
µ = 499
0.8299
0.1701
µ = 503
0.1492
0.8508
(Fettgedruckte Wahrscheinlichkeiten entsprechen korrekter Entscheidung.)
Test aus dem Beispiel heißt auch zweiseitiger Gauß-Test für den
”
Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit bekannter Varianz“.
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 101
Schließende Statistik 2.3
Zweiseitiger Gauß-Test für den Ewartungswert
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 102
Schließende Statistik 2.3
Beispiel: Qualitätskontrolle (Länge von Stahlstiften)
bei bekannter Varianz
Anwendung
als exakter Test, falls Y normalverteilt und Var(Y ) = σ 2 bekannt,
als approximativer Test, falls Y beliebig verteilt mit bekannter Varianz σ 2 .
Testrezept“ des zweiseitigen Tests:
”
1
Hypothesen: H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 für ein vorgegebenes µ0 ∈ R.
2
Teststatistik:
N :=
3
4
5
X − µ0 √
•
n mit N ∼ N(0, 1) (bzw. N ∼ N(0, 1)), falls H0 gilt (µ = µ0 ).
σ
Kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α:
K = −∞, −N1− α2 ∪ N1− α2 , ∞
Berechnung der realisierten Teststatistik N
Entscheidung: H0 ablehnen ⇔ N ∈ K .
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 103
Untersuchungsgegenstand: Weicht die mittlere Länge der von einer
bestimmten Maschine produzierten Stahlstifte von der Solllänge µ0 = 10 (in
[cm]) ab, so dass die Produktion gestoppt werden muss?
Annahmen: Für Länge Y der produzierten Stahlstifte gilt: Y ∼ N(µ, 0.42 )
Stichprobeninformation: Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang
n = 64 zu Y liefert Stichprobenmittel x = 9.7.
Gewünschtes Signifikanzniveau (max. Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art):
α = 0.05
Geeigneter Test:
(Exakter) Gauß-Test für den Mittelwert bei bekannter Varianz
1
Hypothesen: H0 : µ = µ0 = 10 gegen H1 : µ 6= µ0 = 10
√
0
2
Teststatistik: N = X −µ
n ∼ N(0, 1), falls H0 gilt (µ = µ0 )
σ
3
Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05:
K = (−∞, −N0.975 ) ∪ (N0.975 , ∞) = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞)
√
4
Realisierter Wert der Teststatistik: N = 9.7−10
64 = −6
0.4
5
Entscheidung: N ∈ K
H0 wird abgelehnt und die Produktion gestoppt.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 104
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Einseitige Gauß-Tests für den Ewartungswert I
Einseitige Gauß-Tests für den Ewartungswert II
bei bekannter Varianz
bei bekannter Varianz
Auch für einseitige Tests fasst Teststatistik
Neben zweiseitigem Test auch zwei einseitige Varianten:
H0 : µ ≤ µ0
H0 : µ ≥ µ0
gegen
H1 : µ > µ0
(rechtsseitiger Test)
gegen
H1 : µ < µ0
(linksseitiger Test)
N=
Konstruktion der Tests beschränkt Wahrscheinlichkeit, H0 fälschlicherweise
abzulehnen, auf das Signifikanzniveau α.
Entscheidung zwischen beiden Varianten daher wie folgt:
die empirische Information über den Erwartungswert µ geeignet zusammen.
Allerdings gilt nun offensichtlich
I
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 105
Schließende Statistik 2.3
im Falle des rechtsseitigen Tests von
H0 : µ ≤ µ0
H0 : Nullhypothese ist in der Regel die Aussage, die von vornherein als
glaubwürdig gilt und die man beibehält, wenn das Stichprobenergebnis bei
Gültigkeit von H0 nicht sehr untypisch bzw. überraschend ist.
H1 : Gegenhypothese ist in der Regel die Aussage, die man statistisch absichern
möchte und für deren Akzeptanz man hohe Evidenz fordert.
Die Entscheidung für H1 hat typischerweise erhebliche Konsequenzen, so dass
man das Risiko einer fälschlichen Ablehnung von H0 zugunsten von H1
kontrollieren will.
Ökonometrie (SS 2014)
X − µ0 √
n
σ
I
gegen
H1 : µ > µ0 ,
dass große (insbesondere positive) Realisationen von N gegen H0 und für H1
sprechen, sowie
im Falle des linksseitigen Tests von
H0 : µ ≥ µ0
gegen
H1 : µ < µ0 ,
dass kleine (insbesondere negative) Realisationen von N gegen H0 und für
H1 sprechen.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 106
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Beispiel für Verteilungen von N
bei bekannter Varianz
Rechtsseitiger Test (µ0 = 500) zum Signifikanzniveau α = 0.05
0.4
Rechtsseitiger Gauß-Test für den Ewartungswert I
Um die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art unter Einhaltung der Bedingung an
die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art möglichst klein zu halten, wird kα gerade
so gewählt, dass P{N ∈ (kα , ∞)} = α für µ = µ0 gilt.
0.2
0.1
0.0
Offensichtlich wird P{N ∈ (kα , ∞)} mit wachsendem µ größer, es genügt
also, die Einhaltung der Bedingung P{N ∈ (kα , ∞)} ≤ α für das
größtmögliche µ mit der Eigenschaft µ ≤ µ0 , also µ = µ0 , zu gewährleisten.
fN(x|µ)
Konkreter sucht man bei rechtsseitigen Tests einen Wert kα mit
P{N ∈ (kα , ∞)} ≤ α für alle µ ≤ µ0 .
Man rechnet leicht nach, dass kα = N1−α gelten muss, und erhält damit
insgesamt den kritischen Bereich K = (N1−α , ∞) für den rechtsseitigen Test.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 107
µ = 500
µ = 499
µ = 502
µ = 504
0.3
Noch nötig zur Konstruktion der Tests:
Geeignetes Verfahren zur Wahl der kritischen Bereiche so, dass
Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art durch vorgegebenes Signifikanzniveau α
beschränkt bleibt.
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 108
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Rechtsseitiger Gauß-Test für den Ewartungswert II
Linksseitiger Gauß-Test für den Ewartungswert I
bei bekannter Varianz
bei bekannter Varianz
Anwendung
als exakter Test, falls Y normalverteilt und Var(Y ) = σ 2 bekannt,
Für linksseitigen Test muss zur Konstruktion des kritischen Bereichs ein
kritischer Wert bestimmt werden, den die Teststatistik N im Fall der
Gültigkeit von H0 maximal mit einer Wahrscheinlichkeit von α unterschreitet.
2
als approximativer Test, falls Y beliebig verteilt mit bekannter Varianz σ .
Testrezept“ des rechtsseitigen Tests:
”
1
Hypothesen: H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 für ein vorgegebenes µ0 ∈ R.
2
Offensichtlich wird P{N ∈ (−∞, kα )} mit fallendem µ größer, es genügt
also, die Einhaltung der Bedingung P{N ∈ (−∞, kα )} ≤ α für das
kleinstmögliche µ mit µ ≥ µ0 , also µ = µ0 , zu gewährleisten.
Teststatistik:
N :=
3
Gesucht ist also ein Wert kα mit P{N ∈ (−∞, kα )} ≤ α für alle µ ≥ µ0 .
X − µ0 √
•
n mit N ∼ N(0, 1) (N ∼ N(0, 1)), falls H0 gilt (mit µ = µ0 ).
σ
Um die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art unter Einhaltung der Bedingung an
die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art möglichst klein zu halten, wird kα gerade
so gewählt, dass P{N ∈ (−∞, kα )} = α für µ = µ0 gilt.
Kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α:
Man rechnet leicht nach, dass kα = Nα = −N1−α gelten muss, und erhält
damit insgesamt den kritischen Bereich K = (−∞, −N1−α ) für den
linksseitigen Test.
K = (N1−α , ∞)
4
Berechnung der realisierten Teststatistik N
5
Entscheidung: H0 ablehnen ⇔ N ∈ K .
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 109
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 110
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Schließende Statistik 2.3
Linksseitiger Gauß-Test für den Ewartungswert II
Linksseitiger Test (µ0 = 500) zum Signifikanzniveau α = 0.05
bei bekannter Varianz
0.4
Beispiel für Verteilungen von N
Anwendung
µ = 500
µ = 496
µ = 498
µ = 501
als exakter Test, falls Y normalverteilt und Var(Y ) = σ 2 bekannt,
Testrezept“ des linksseitigen Tests:
”
1
Hypothesen: H0 : µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0 für ein vorgegebenes µ0 ∈ R.
2
0.2
fN(x|µ)
0.3
als approximativer Test, falls Y beliebig verteilt mit bekannter Varianz σ 2 .
Teststatistik:
0.1
N :=
3
X − µ0 √
•
n mit N ∼ N(0, 1) (N ∼ N(0, 1)), falls H0 gilt (mit µ = µ0 ).
σ
Kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α:
0.0
K = (−∞, −N1−α )
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 111
4
Berechnung der realisierten Teststatistik N
5
Entscheidung: H0 ablehnen ⇔ N ∈ K .
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 112