Versuchsanleitung Wechselstrom

Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil II
Wechselstrom
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: 0Hhttp://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
WS 2
1. Stoffgebiet
- Komplexe Darstellung von Wechselspannungen und -strömen
- Komplexe Widerstände (Zeigerdiagramme)
- Wechselstromnetzwerke
- Elektrische. Resonanzen
- Wechselstromleistung
- Freie Ladungsträger
- CASSY®-Lab
2. Literatur
- H. Vogel
Gerthsen Physik
22., neu berarb. Aufl. 2004, Springer-Verlag
- Bergmann/Schäfer
Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 2: Elektromagnetismus
8. Auflage 1999, Walter de Gruyter
- CASSY® Anleitung
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WS 3
3. Fragen
1. Welche Kräfte wirken auf ein Elektron, das sich in einem elektrischen Feld bewegt? Welche auf ein ruhendes und ein bewegtes geladenes Teilchen in einem magnetischen Feld?
Welche kinetische Energie gewinnt es beim Durchlaufen der Felder?
2. Wie kann man mit dem Oszillografen den zeitlichen Verlauf von Spannungen messen.
Welche Modifikationen müssen am Oszilloskop erfolgen um Ströme messen zu können?
Wie realisiert man solche Messungen mit dem Cassy Lab.
3. Wie kann man Wechselspannungen bzw. -ströme erzeugen? Durch welche physikalischen
Größen sind sie bestimmt? Wie ist der Effektivwert Ueff einer Wechselspannung U(t) definiert? Berechnen Sie als Beispiel Ueff der in Abb. 1 gegebenen Sägezahnspannung!
Abbildung 1 : Sägezahnspannung
4. Erläutern Sie elektrische Wirk-, Blind- und Scheinleistung anhand der beiden in Aufgabe
1 gegebenen Schaltkreise. Wozu können diese Schaltungen verwendet werden?.
5. Skizzieren Sie Impedanz Z( ω ) und Phasenverschiebung ϕ bei Serien- und Parallelresonanz als Funktion der Kreisfrequenz. Zu welchen Zwecken werden solche Schaltkreise
gebraucht?
6. Leiten Sie aus der Parameterdarstellung x = x 0 ⋅ sin(ωt ) , y = y 0 ⋅ sin(ωt + ϕ) die Ellipsengleichung
x2
y2
x y
+
−
2
⋅
⋅
⋅ cos ϕ − sin 2 ϕ = 0
2
2
x
y
x0 y0
0
0
explizit her.
7. Bestimmen Sie aus den gegebenen Werten Uxo, Uyo, a und b von Aufgabe 1 die Impedanz
|Z( ω )|, den Phasenwinkel ϕ sowie die Wirkleistung Pw an R?
WS 4
Wechselstrom
8. Berechnen Sie die Impedanz Z( ω ) des Netzwerkes aus Aufgabe 2. Vernachlässigen Sie
dabei R (da R<< R1 ). Berechnen Sie ferner jeweils Z'=Re(Z) und Z''= Im(Z) für die 3
1
und ω → ∞ und tragen Sie die 3 Punkte in der komExtremalfälle ω → 0 , ω =
R2C ⋅
plexen Ebene (|Z''| als Funkion von |Z'|) auf. Welcher Teil einer geschlossenen Kurve
(Ortskurve), wird durch die Punkte beschrieben?
9. Berechnen Sie das sogenannte Übertragungsverhältnis Ua/Ue der drei Netzwerke aus Aufgabe 3. Ermitteln Sie Nullstellen, Polstellen und Asymptoten und skizzieren Sie die Funktionen!
Speziell: Welche Werte für ω erhält man für die Polstellen mit C=1 μ F und L=13mH?
10. Berechnen Sie das Übertragungsverhältnis Ua/Ue des in Ab. 2 dargestellten Vierpols und
diskutieren Sie den Verlauf in Abhängigkeit von ω . Berechnen Sie die Breite Δω des
Bereiches mit U 2 = U1 / 2 gilt! Wovon hängt Δω ab und wozu kann diese Schaltung
eingesetzt werden?
Abbildung 2: Vierpol
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4. Grundlagen
4.1 Aufbau und Funktionsweise eines Zweistrahloszillografen
Abbildung 3:Schnittbild einer Oszillografenröhre
1) Kathodenheizung
2) Kathode
3) Fokussiereinrichtung
4) Anode
5) Y-Ablenkplatten
6) X-Ablenkplatten
7) Nachbeschleuniger
8) Leuchtschirm
WS 6
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Abbildung 4:Blockschaltbild des Oszillografen
und zeitlicher Verlauf der Spannnung
U1:
T:
Eingangssignal (hervorgehoben gezeichnet: Signal, das auf dem
Bildschrim erscheint)
Strahllaufzeit von Bildschirmrand zu Bildschirmrand
Moderne Oszillografen bestehen aus mehreren Baugruppen, deren Bedeutung kurz erläutert
werden soll:
Um sich den Aufbau der Oszillografenröhre und den zeitlichen Verlauf der verschiedenen
Spannungen zu verdeutlichen, betrachte man Abb. 3 und Abb. 4.
1) Der Kern eines Oszillografen ist die Oszillografenröhre. Aus einer geheizten Kathode treten Elektronen aus und bilden eine Raumladungszone um die Kathode. Aus dieser Raumladungszone werden die Elektronen durch ein elektrisches Feld zur Anode hin beschleu-
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WS 7
nigt und durch eine Fokussiereinrichtung zu einem dünnen Strahl gebündelt. Dieser
Strahl passiert eine Bohrung in der Anode und gelangt in das Ablenksystem. Das Ablenksystem besteht aus zwei um 90° gegeneinander versetzte Plattenkondensatoren. Dort
wird der Strahl in jedem Kondensator jeweils um einen Winkel α abgelenkt, zum einen
in x-Richtung, zum anderen in y-Richtung.
(1)
UA:
l:
UB:
d:
Es gilt: tan α =
U A ⋅l
.
2 ⋅U B ⋅ d
Ablenkspannung an der jeweiligen Kondensatorplatte.
Länge der Bahn innerhalb der Kondensatorplatten.
Beschleunigungsspannung zwischen Anode und Kathode.
Abstand der jeweiligen Ablenkplatten.
Moderne Zweistrahloszillografen besitzen entweder zwei getrennte Elektronenstrahlquellen und zwei Ablenkeinheiten, oder die Ablenkeinheit wird abwechselnd den beiden Signalquellen "zugeteilt". Durch die Trägheit des Auges erscheinen dann die beiden Signale
als stehende Bilder. Nachdem der Strahl die Ablenkeinheit passiert hat, werden die Elektronen durch eine zweite Anode nachbeschleunigt, wodurch die Auflösung des Bildes verbessert wird. Am Ende treffen sie auf dem Leuchtschirm der Röhre auf.
Zum Betrieb der Heizung, der Anode, des Nachbeschleunigers und der Fokussiereinrichtung sind eine Reihe von Baugruppen vorhanden, auf die hier nicht weiter eingegangen
werden soll.
2) Die an den Eingängen anliegenden Spannungssignale werden zunächst von einem einstellbaren Vorverstärker verstärkt. Zusätzlich wird ihnen eine Gleichspannung (sogenannter Offset) überlagert. Damit läßt sich die Lage der Signale auf dem Bildschirm verändern. Wünscht man einen X-Y-Betrieb, so wird ein Spannungssignal an den YAblenkkondensator gelegt, das andere an den X-Ablenkkondensator.
3) Will man den Oszillografen im x-t-Betrieb nutzen, so wird an den Y-Ablenkkondensator
ein verstärktes Spannungseingangssignal gelegt. Um ein stehendes Bild zu erhalten, benötigt man ein zweites Signal, das dieselbe Frequenz oder ein Vielfaches der Frequenz
des Eingangssignales besitzt. Dieses Signal liefert der Triggeroszillator (Trigger). Überschreitet das Signal eine einstellbare Amplitude (Trigger-Level) innerhalb einer bestimmten Zeit (die von der Zeitbasis vorgegeben wird), so erzeugt der Triggeroszillator einen
kurzen Synchronisationspuls. (Triggerimpuls)
4) Sobald der Triggerimpuls U 2 am Eingang U 3 der Zeitbasis erscheint, beginnt diese, die
Spannung am X-Ablenkkondensator linear mit der Zeit zu erhöhen. Die Steigung dieser
Sägezahnspannung ist einstellbar und ergibt den Zeitmaßstab auf der x-Achse. Hat die
Sägezahnspannung eine bestimmte Amplitude erreicht (d.h. etwa den rechten Bildschirmrand), so geht sie auf null zurück, der Strahl wird dunkelgetastet und läuft unsichtbar zum
linken Bildschirmrand zurück. Der Triggeroszillator wird freigegeben und erreicht das
Eingangssignal wieder den Trigger-Level, wird die Zeitbasis von neuem getriggert. Dadurch wird gewährleistet, daß auf dem Oszillografenbildschirm immer ein stehendes Bild
erscheint, da altes und neues Bild auf dem Bildschirm immer übereinanderliegen. Durch
die Trägheit des Auges erscheint dann auf dem Bildschirm eine durchgehende Linie.
WS 8
Wechselstrom
Im Experiment wird die Kombination Power / Sensor – CASSY verwendet mit digitalem
Input / Output. Der Computermonitor stellt ebenfalls eine Braun’sche Röhre dar. Das zum
Oszilloskop Gesagte ist wichtig, da es immer noch zur Standardausrüstung im Labor gehört,
und gerade für hohe Frequenzen Vorteile gegenüber digitalen Systemen mit sich bringt. Im
Übrigen werden auch in anderen Teilen des Grundpraktikums Oszilloskope eingesetzt (Akkustik, Transistor, Digitalelektronik, Franck–Hertz).
4.2 Wechselstromrechnung
Bei Wechselstromkreisen gibt es außer ohm'schen Widerständen sogenannte Blindwiderstände, die als Speicher für elektromagnetische Energie dienen und diese mit einer Phasenverschiebung von 90° an die Stromquelle zurückgeben. Mit Hilfe komplexer Zahlen läßt sich die
Wirkung dieser Blindwiderstände formal durch ein ohm'sches Gesetz beschreiben. Somit lassen sich selbst komplexe Netzwerke aus Blind- und Wirkwiderständen mit Hilfe der Kirchhoff'schen Regeln berechnen.
Man trifft folgende Zuordnung:
(2)
(3)
(4)
ohm'scher Widerstand Rω = R
induktiver Widerstand RL= i ω L
1
i
kapazitiver Widerstand R C =
=−
ωC
iωC
Der resultierende komplexe Widerstand eines solchen Netzwerkes ist im allgemeinen eine
komplexe Funktion der Kreisfrequenz ω und wird als Impedanz Z( ω ) bezeichnet.
Legt man an eine Impedanz eine sinusförmige Wechselspannung der Amplitude Uo an, so
fließt durch die Impedanz ein ebenfalls sinusförmiger Wechselstrom, der um einen Phasenwinkel ϕ gegen die Spannung verschoben ist.
Teilen wir die Impedanz Z in einen Realteil Z'=Re(Z) und einen Imaginärteil Z''=Im(Z) auf,
so daß Z = Z′+ i ⋅ Z′ ′ , gelten folgende Beziehungen:
(5)
(U 0 / I 0 )2 = Z′ 2 + Z′ ′ 2 , tan ϕ = Z′ ′ / Z′
(6)
Z′ = U 0 / I 0 ⋅ cosϕ , Z′ ′ = U 0 / I 0 ⋅ sin ϕ
Die mittlere elektrischeLeistung, die in einer solchen Impedanz umgesetzt wird, ergibt sich
bei sinusförmigen Wechselspannungen zu :
T
(7)
P=
1
⋅ U( t ) ⋅ I( t ) ⋅ dt = U eff ⋅ I eff ⋅ cosϕ
T ∫0
Die Effektivwerte der sinusförmigen Ströme und Spannungen sind:
I eff = I 0 / 2 ; U eff = U 0 / 2
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4.3 Dämpfung und Pegel
Neben der Darstellung der Größen U, I und Z in ihren physikalischen Einheiten sind auch
Darstellungen üblich, bei denen nur Verhältnisse von Größen angegeben werden. Diese Verhältnisse sind dimensionslose Größen, jedoch wird durch eine Bezeichnung gekennzeichnet,
auf welche Weise das Verhältnis gebildet wurde. Die Größe im Nenner ist die Bezugsgröße.
Ist diese Größe nicht normiert, spricht man von Pegel. Man definiert:
Leistungsdämpfung:
Spannungsdämpfung:
v = 10 log P1/P2,
v = 20 log U1/U2,
Einheit: dB,
Einheit: dB.
Bei Pegelangaben (in Form von Spannungen) ist ein absoluter Bezugspunkt von 0.775V (= 0
dBm) üblich. Bei allen derartigen absoluten Pegelangaben wird ein Zusatz "m" an die dBAngabe angehängt. Das "m" rührt daher, daß bei einem Lastwiderstand von 600 Ω ein Leistungsabfall von P2 = 1 mW gerade eine Spannung von 0.775V erfordert. Der Wert für den
Lastwiderstand von 600 Ω hat historische Ursprünge.
4.4 Darstellung komplexer Funktionen
Betrachten wir eine komplexe Funktion Z( ω ), so sind verschiedene Darstellungsmethoden
üblich:
1)
2)
3)
Ortskurve (Zeigerdiagramm)
Wir schreiben die Impedanz als Z = Z'+ i Z'' und tragen Z' auf der x-Achse ab, Z'' auf
der y-Achse. Die Frequenz ist dabei der Parameter, durch dessen Änderung man eine
geschlossene Kurve erhält.
Frequenzgang
Wir schreiben die Impedanz als Z = Z ⋅ e iϕ ; Z ist der Betrag der Impedanz, also die
Wurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil. Aufgetragen werden
in dieser Darstellung Z und ϕ als Funktion der Kreisfrequenz.
Bode-Plot
Beim Bode-Plot werden die Dämpfung und der Phasenwinkel einer Größe als Funktion von log( ω ), dem Zehnerlogarithmus der Kreisfrequenz, aufgetragen. Man verwendet zur grafischen Darstellung meist eine semilogarithmische. Darstellung.
Welche Auftragungsart man wählt, hängt vom jeweiligen Problem ab, jedoch ist eine logarithmische Auftragung empfehlenswert, wenn eine Größe im betrachteten Bereich sich stark
ändert.
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4.5 Messungen mit dem Zweistrahloszillografen und CASSY
Legt man an die Eingänge eines Zweistrahloszillografen oder CASSY zwei sinusförmige
Spannungen mit den Scheitelwerten U1 und U2, der Kreisfrequenz ω 1 und ω 2, die um den
Winkel ϕ zeitlich gegeneinander verschoben sind, so lassen sich diese Größen direkt gemäß
Abb. 5 vom Oszillografenschirm ablesen.
Dazu beachtet man zunächst, daß Zeitbasis und Eingangsverstärkung geeicht sind und liest
die entsprechenden Strecken auf dem Bildschirm ab.
2π ⋅ l1
, die anderen Größen
Den Phasenwinkel ϕ im Bogenmaß erhält man dann als ϕ =
l2
durch Multiplikation mit den entsprechenden Faktoren. Zu beachten ist vorallem, daß der
Nullpunkt beider Kurven bekannt ist und auf dem Bildschirm übereinander liegt.
Abbildung 5: Messung mit dem Zweistrahloszillografen
Bemerkungen:
Im Gegensatz zum Oszillographen fallen beim Cassy Lab die Eichung weg.
Die Auswertemethode ist jedoch identisch.
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4.6 Messungen nach der Ellipsenmethode (Oszilloskop / CASSY)
Legt man an die Eingänge eines X-Y-Oszillografen oder an die entsprechenden Eingänge des
Power/ Sensor Cassys zwei Spannungen mit dem zeitlichen Verlauf
U x ( t ) = U x 0 ⋅ sin(ωt ) und U y ( t ) = U y 0 ⋅ sin(ωt + ϕ ) ,
so entsteht aus der Überlagerung dieser Spannungen auf dem Bildschirm eine Ellipse. Rechnerisch erhält man diese Ellipse, indem man in den obigen Gleichungen die Zeit eliminiert.
U 2x
U 2y
Ux Uy
+
−
2
⋅
⋅
⋅ cos ϕ − sin 2 ϕ = 0
2
2
U
U
Ux
Uy
x0
y0
0
0
Aus dieser Ellipse lassen sich die Amplituden U x 0 , U y 0 und der Phasenwinkel ϕ bestimmen. Zunächst legt man auf dem Oszillografenschirm ein Koordinatensystem fest und eicht
die Achsen. Hierbei wähle man die Koordinatenachsen so,daß die Ellipse den Bildschirm
möglichst ausfüllt, um mögliche Ablesefehler klein zu halten. Dann bestimmt man die Amplituden U x 0 und U y 0 aus der maximalen X- bzw. Y-Ablenkung. Den Phasenwinkel kann man
aus den Schnittpunkten a und b der Ellipse mit den Achsen bestimmen (vgl. Frage 8 und
Abb.6).
Abbildung 6: Messung nach der Ellipsenmethode
Zur Bestimmung von ω schaltet man den Oszillografen in den x-t-Betrieb und liest die Periodendauer T auf der x-Achse ab.
2π
.
Es gilt folgende Beziehung: ω =
T
Überlegen Sie sich die Schaltung mit dem Sensor / Power Cassy!
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5. Versuchsdurchführung
Aufgabe 1:
Gegeben sind zwei Wechselstromwiderstände in Form der Serienschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C bzw. einer Spule L:
Abbildung 7: RC- und RL- Serienkreis (R=100 Ω, C=1μF, L=13 mH)
Messen Sie nach der Ellipsenmethode U x 0 , U y 0 , a und b für mindestens 20 verschiedene
Frequenzen zwischen 100 Hz und 4 kHz.
Berechnen Sie daraus die Impedanz |Z| und den Phasenwinkel ϕ (siehe Frage 8).
Zeichnen Sie den Frequenzgang (|Z| bzw. ϕ als Funktion der Kreisfrequenz ω ).
Bestimmen Sie den Pegel der im Widerstand umgesetzten Wirkleistung und tragen Sie ihn als
Funktion der Kreisfrequenz ω in der gleichen Grafik auf. Verwenden Sie am besten drei verschiedene Farben!
Hinweis:
Pegel v = 10 ⋅ l o g
Pw
1 mW
mit Pw = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ =
Ux0
2
⋅
Uy0
2 ⋅R
⋅ cos ϕ
Aufgabe 2:
Gegeben ist ein Netzwerk der folgenden Form, wobei R1, R2 und C unbekannt sind. (R dient
lediglich der Strommessung und kann wegen R<<R1 vernachlässigt werden.)
Abbildung 8: Unbekanntes Netzwerk (R= 100 Ω)
Messen Sie Ux und Uy sowie den Phasenwinkel ϕ für Frequenzen von 20 Hz bis 2.5 kHz (von
20 Hz bis 200 Hz in 20-Hz- Schritten, von 200 Hz bis 1 kHz in 200-Hz-Schritten und von 1
kHz bis 2.5 kHz in 500-Hz-Schritten.) Achten Sie auf die korrekte Messung von ϕ , da die
Winkel nur sehr klein sind.
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Tragen Sie |Z''| = |Im(Z( ω ))| als Funktion von |Z'| = |Re(Z( ω ))| - komplexe Ebenendarstellung - auf und bestimmen Sie durch Extrapolation ( ω → 0 und ω → ∞ ) R1 und R2 sowie die
Relaxationsfrequenz ω 1 und daraus C. (Vgl. Frage 9, R kann wieder vernachlässigt werden!)
Aufgabe 3:
Realisieren Sie einen Frequenz-Durchlassfilter (Abb.10), bei dem U 2 / U1 = 1 ist, bei einer
Frequenz von etwa f=16 Hz und dessen Frequenzbreite Δω ca. 40 Hz beträgt. Messen Sie
den von Ihnen gebaute Filter aus.
Abbildung 9: Vierpol
Aufgabe 4:
Abbildung 10: Tief-, Band und Hochpaß (C= 1μF, L= 13mH)
Berechnen Sie für die gezeigten Vierpole das Übertragungsverhältnis |Ua/Ue| sowie die Phasenverschiebung zwischen beiden Spannungen als Funktion der Frequenz.
(Hinweis: In vielen Büchern zum Thema Elektronik / E-Technik werden solche Schaltungen
unter dem Stichwort „Vierpoltheorie“, „Kettenschaltungen von Vierpolen“ behandelt.)
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6. Versuchsausstattung
- 1 Sensor CASSY
- 1 Power-CASSY
- 1 Schaltbrett mit Kondensatoren, Widerständen und Spulen
- Computer
- Drucker
- CASSY® Lab
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