Evakuierung in Notsituationen

Proseminar:
Mathematische Modellierung
Thema:
Evakuierung in Notsituationen
Bearbeitet von:
Patrick Volkmer
Carolin Krämer
Eva Jennewein
Sandra Dörr
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0. Einleitung:
Wahrscheinlich war jeder schon einmal in der Situation, dass er sich in einer Menschenmenge
wiedergefunden hat und sich Gedanken darüber gemacht hat, was passiert, wenn just in
diesem Moment Panik ausbrechen würde. Dazu kommt noch, dass es in der Vergangenheit
zahlreiche solche Situationen gab, bei denen häufig Opfer zu beklagen waren. Zum Beispiel
musste 1997 im Düsseldorfer Stadion eine Person während eines Konzertes sterben und über
300 wurden verletzt. Dies hätte vielleicht verhindert werden können, wenn vorher ein
geeigneter Evakuierungsplan vorgelegen hätte! Hier beginnt unser Proseminar
„Mathematische Modellierung“ mit dem Thema: Evakuierung in Notsituationen.
Ziel ist es eine realistische Einschätzung der Evakuierungszeit eines beliebigen Gebäudes zu
erhalten. Hierbei ist es wichtig auftauchende Probleme frühzeitig aufzudecken und in unsere
Überlegungen einzubringen. Fragen, die wir uns gestellt haben, sind zum Beispiel:
Wo befinden sich Ausgänge? Welche davon werden primär genutzt? Wo besteht die Gefahr,
dass sich in Gängen oder Fluren ein Stau bildet? Wieviele Personen befinden sich
durchschnittlich in dem Gebäude? …
0.1. Aufgabenstellung:
Mit diesem Hintergrund sollen wir ein Programm entwickeln, das uns ermöglicht eine
Evakuierungszeit zu berechnen. Um dies ein wenig zu vereinfachen und zu veranschaulichen
beziehen wir uns hier auf das Gebäude 42 der Universität Kaiserslautern.
Grundriss Gebäude 42, Uni KL
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1. Phasenmodell:
Bei unserer Vorgehensweise brauchen wir so etwas wie einen roten Faden, der uns bei der
Lösung des Problems leitet. Hierzu verwenden wir aus der Informatik ein sehr bekanntes
Modell, das SE-Phasenmodell:
Problem
↓ Anforderungsanalyse
Anforderungsspezifikation
↓ Systementwurfsanalyse
Systementwurfsspezifikation
↓ Detailentwurfsanalyse
Detailentwurfsspezifikation
↓ Codierung und Integration
Ausführbares Programm
Anforderungsspezifikation: Eine Anforderunsanalyse wird durchgeführt, um das Problem
vollständig zu verstehen.
Wir haben uns in dieser Phase Gedanken darüber gemacht,
welche Faktoren eine Evakuierung beeinflussen können.
(siehe Kapitel 1.1)
Systementwurfsspezifikation:
Man sucht sich in der Umwelt passende Modelle, um das
Problem angemessen zu modellieren.
Unsere Modell-Ansätze werden wir zu einem späteren
Zeitpunkt vorstellen.
(siehe Kapitel 2.)
Detailentwurfsspezifikation: Ein gefundenes Modell wird nun speziell auf das gestellte
Problem angepasst. Daraus entstehen fertige Algorithmen.
Wir haben hierzu einen Lösungsansatz näher bearbeitet.
Ausführbares Programm:
Nach der Kodierung und Integration der eben gefundenen
Algorithmen, steht nun ein fertiges Software-System zur
Verfügung.
Hier haben wir einen ersten Programmentwurf implementiert.
1.1 Anforderungsspezifikation:
Unsere Anforderungsanalyse hat eine Reihe von Faktoren ergeben, die eine Evakuierung
beeinflussen. Diese haben wir in einer Tabelle zusammengefasst. Die Tabelle ist sicher nicht
vollständig, zeigt aber, dass das Problem der Evakuierung ein sehr komplexes Problem ist.
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Tabelle: Faktoren, die eine Evakuierung beeinflussen
Notfallart
Feuer
Gas
Wasser
Explosion
Notfallort
Nachbargebäude
Abgeschlossener Raum
Oberes Stockwerk
Erdgeschoss
Keller
Ausgang
Zeitpunkt der Notfalls
Während des Semesters
Vorlesungsfreie Zeit
Veranstaltung
Messe
Pause
Personenanzahl
Vollbesetzung
Kleinere Gruppen
Einzelpersonen
Art der Personen
Studenten
Kinder/Jugendliche
Erwachsenen
Senioren
Behinderte Menschen
Gemischt
Ausgänge
Türen
Notausgänge
Fenster
Größe
Anzahl
Ort
Notsignale
Schilder
Feuermelder
Rauchmelder
Gebäudeausstattung
Sitzreihen
Tische
Stühle
Informationstafeln
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2. Unsere Lösungsansätze:
1. Strom
• Flüssigkeitsstrom
• Elektrischer Strom
2. Verkehrsplanung
3. Automaten
4. Knoten und Kanten
Wie man anhand der Lösungsansätze sehen kann, könnte man unser Problem auf ganz
unterschiedliche Art und Weise angehen.
2.1.
Modelle aus der Physik: Strom
Unsere erste Idee zur Lösung unseres Problems kam aus der Physik. Wir wollten die
Menschenmenge, die das Gebäude verlassen muss, als Menschenstrom modellieren,
also als eine zusammenhängende Menge.
Die Physik lieferte uns dazu zwei Modellansätze. Zum einen das Modell des
Flüssigkeitsstroms, zum anderen das des elektrischen Stroms.
2.1.1. Flüssigkeitsstrom:
Bei Flüssigkeiten unterscheidet man drei Arten der Strömung.
Tritt bei einer Strömung keinerlei Reibung auf, so spricht man von idealer Strömung.
Diese Art der Strömung kommt in der Realität allerdings nicht vor.
Von laminarer Strömung spricht man immer dann, wenn die inneren Reibungskräfte
groß im Verhältnis zu den beschleunigenden Kräften sind. Gedachte
Flüssigkeitsschichten können ungehindert aneinander vorbeigleiten und durchmischen
sich nicht.
Sind dagegen die beschleunigenden Kräfte der Flüssigkeit groß im Verhältnis zu den
inneren Reibungskräften, die inneren Reibungskräfte damit vernachlässigbar, so
spricht man von turbulenter Strömung. Es kommt zur Ausbildung von Wirbeln, die
gedachten Flüssigkeitsschichten durchmischen sich.
Wir gehen bei unserem Problem zunächst von laminarer Strömung der
Menschenmenge aus. Uns stellt sich dann die Frage, was an Hindernissen und
Weggabelungen mit der Strömung passiert, ob „Turbulenzen“ entstehen, ob die
laminare Strömung dort also in turbulente Strömung umschlägt.
Zur Beschreibung laminarer Strömungen sind uns aus der Physik einige wichtige
Größen bekannt.
Die Reibungskraft FR, die der Bewegung der Flüssigkeit entgegengesetzt ist, ist
proportional zum Querschnitt A und zum Geschwindigkeitsgefälle dv/dh.
FR =
η ∗ A ∗ dv
dt
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Die Proportionalitätskonstante η wird als Viskosität bezeichnet. Sie ist eine
Stoffkonstante.
(
2 g ∗ r 2 ∗ ∆ρ
∗
9
v
η =
)
(g: Erdbeschleunigung, r: Kugelradius, ∆ρ: Dichte, v: Sinkgeschwindigkeit der Kugel)
Durchströmt eine laminare Flüssigkeit ein Rohr, so gilt das Gesetz von HagenPoiseuille. Der Strom ist die Änderung des Volumens mit der Zeit.
I=
dV π ∗ r 4 ∗ ∆p
=
dt
8 ∗η ∗ l
(r: Rohrradius, ∆p: Druckdifferenz, η: Viskosität, l: Rohrlänge)
Aus dem Gesetz von Hagen-Poiseuille ergeben sich eine Gleichung für die
Reibungskraft der Rohrströmung
FR = 8 ∗ π ∗ η ∗ l ∗ v
und das Stokessche Gesetz
FR = 6 ∗ π ∗ η ∗ r ∗ v
Die Reynolds-Zahl gibt den Wert an, an dem eine laminare Strömung in eine
turbulente Strömung umschlägt. Sie ist definiert durch
Re =
ρ ∗r ∗v
η
Bei unserer Arbeit mit dem Modell des Flüssigkeitsstroms sind wir allerdings leider
relativ schnell auf eine Tatsache gestoßen, die sich auf unseren Menschenstrom nicht
übertragen lässt.
Für Flüssigkeiten, die ein Rohr durchfließen gilt
A ∗ v = constant
das heißt, verkleinert sich der Querschnitt der Rohrs, so erhöht sich die
Fließgeschwindigkeit.
Dies ist für eine Menschenmenge, die ein Gebäude verlässt, unrealistisch. An
Engstellen, wie z. B. Türen, wird sich die Geschwindigkeit der hinausströmenden
Menge sicher nicht erhöhen. Dieser Widerspruch zum gewählten Modell hat uns
veranlasst, den Ansatz nicht mehr weiter zu verfolgen.
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2.1.2. Elektrischer Strom:
Bei dem elektrischen Strom muss man zwei verschiedene Schaltungen unterscheiden,
die Reihenschaltung und die Parallelschaltung. Wir zeigen in einer kleinen
Gegenüberstellung die Unterschiede zwischen diesen beiden Schaltungen:
Widerstand R
Reihenschaltung
R ges = ∑ R i i=1,…,n
Stromstärke I
I ges = I1 = I 2 = ... = I n
Spannung U
U ges = ∑ U i
Ohmsches Gesetz
U = R *I
⇒
I ges = ∑ I i
i=1,…,n
Ui U j
=
= I ges
Ri R j
Parallelschaltung
1
R ges = ∑
i=1,…,n
Ri
i=1,…,n
U ges = U 1 = U 2 = ... = U n
⇒ I i * R i = I j * R j = U ges
Widerstand, Stromstärke und Spannung können auch noch anders definiert werden.
Bei diesen Definitionen können wir verschiedene Variablen auf unser Problem
übertragen.
Widerstand:
Leiterlänge
1
R = ρ * = spezifischer Widerstand * Leiterquerschnitt
A
= spezifischer Widerstand *
Stromstärke:
∆Q Ladung
I=
=
Zeit
∆t
=
Spannung:
U=
Menschenanzahl(n )
Zeit
∆E elektr.Energie
=
Ladung
∆Q
=
" Panik"
Menschenanzahl(n )
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Ganglänge
Gangbreite
Mit diesen Gleichungen können wir nun eine Gleichung für die Zeit herleiten.
U
I
∆Q ∆n
=
I=
∆t
∆t
R=
Es gilt:
P
U=
I
⇒R=
⇒U=
U
∆n
∆t
P
n
t
wobei die Leistung P so definiert ist:
P=
=
⇒R=
⇒t=
w Arbeit
=
t
Zeit
F * s Kraft * Weg
=
t
Zeit
F*s * t
n²
R * n²
F*s
An diesem Punkt lassen wir diesen Ansatz fallen, da wir keine Werte für ρ und F
finden können, die auf unser Problem passen. Wir haben Verschiedenes ausprobiert,
um auf die Werte zu kommen, aber stoßen dabei immer wieder auf Widersprüche.
Zum Beispiel kommt es vor, dass sich die Zeit rauskürzt, oder das die Proportionalität
zwischen Kraft und Widerstand mit der Realität nicht übereinstimmt.
Anmerkung:
Um auf die Evakuierungszeit zu kommen, können wir auch eine andere, einfachere
s
s
⇒t=
Gleichung benutzen: v =
t
v
Wenn wir dabei von einer Person ausgehen, die sich in der Mitte des Audimax befindet
und mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 1,3 m/s in Richtung Ausgang
des Gebäudes geht, erhalten wir einen Wert von t ≈ 21,56s. Die Schrittgeschwindigkeit
wurde von uns empirisch ermittelt. Da wir dieses Modell aber nicht auf mehrere
Personen übertragen konnten, ließen wir diesen Ansatz auch fallen.
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2.2.
Modell aus der Verkehrsplanung
Ein weiterer Ansatz zur Lösung unseres Problems war die Verkehrsplanung. Dabei
sollte die Menschenmenge analog zu Autoströmen betrachtet werden. Diesen Ansatz
haben wir allerdings gleich verworfen, da fahrende Autos wesentlich mehr
eingeschränkt sind als sich fortbewegende Menschen. Während Autos im fließenden
Verkehr nur geradeaus bzw. an Kreuzungen zusätzlich links und rechts fahren können,
sind Menschen in der Lage, spontan ihre Richtung zu ändern. Außerdem müssen
Menschen keine Verkehrsregeln beachten.
2.3.
Modell aus der Informatik: Automaten
Eine kurze Definition vorweg: Ein Automat ist ein Modell zum Beschreiben des
Ablaufs der Problemlösung.
Wir werden das spätere Programm in der Programmiersprache Java implementieren.
Dazu muss bemerkt werden, dass Java eine objekt-orientierte (OO) Sprache ist. Mit
diesem Hintergrund machen wir uns Gedanken über die Modellierung von Menschen
als Automaten. Nun ist jedes Objekt definiert durch seine Zustände und die Werte
seiner Variablen. Diese sind in unserem Fall:
-
momentane Position
getPos();
Bewegungsrichtung
moveforward(double meter);
Richtung ändern
turn(double grad);
bevorzugter Ausgang
getDoor();
alternativer Ausgang
getAltDoor();
Parameter für Zulässigkeit obiger Operationen
boolean isOK;
Stellen wir uns also vor, eine Menschenmasse sei als Menge von Automaten
implementiert. Da unser Algorithmus später auf ein beliebiges Szenario “losgelassen“
wird, hat er iterative Gestalt.
Nehmen wir aber zur Verdeutlichung des auftretenden Problems bei diesem Ansatz
das konkrete Beispiel Audimax 42-115 der UNI KL:
Irgendein Mensch sitzt zunächst in einer beliebigen Reihe des Hörsaals. Bei Eintritt
der Notsituation ermittelt die Methode getPos() den aktuellen Aufenthaltsort. Dann
wird per getDoor() der bevorzugte Ausgang errechnet. Je nachdem, wie die bisher
gesammelten Daten zueinander stehen, entschließt sich die Person mittels turn und
anschließendem moveforward links oder recht die Sitzreihe entlang zu gehen, bis
sie ans Ende des Ganges kommt. Dort wird überprüft ob der mit getDoor()
gefundene Ausgang immer noch isOK = true ist, sollte dies nicht der Fall sein, so
errechnet getAltDoor() einen alternativen Ausgang. isOK = false wird genau
dann angenommen, wenn der Ausgang blockiert ist, egal ob durch Personen oder
durch verschlossene Türen. Sukzessive geht dies mit turn
moveforward
und getDoor bzw. getAltDoor so weiter, bis die Person an einem Ausgang
angekommen ist. Prinzipiell geht das. Aber:
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Es treten Konfliktsituationen auf, wenn zum Beispiel zwei Personen an sich
kreuzenden Wegen aufeinander treffen. Wer hat hier Priorität und bekommt somit die
Ressourcen zugesprochen? Dies lässt sich noch durch eine Zufallsfunktion
entscheiden, allerdings muss jetzt gespeichert werden, dass mindestens eine Person in
mindestens einem wartenden Zustand ist. Da es sich aber um einen
speicheraufwendigen Algorithmus handelt, nehmen die einzelnen Speicherzustände in
unserem Audimax mit etwa 660 Menschen astronomische Werte an. Um diese Werte
zu verwalten stehen uns heute zwar normale PC’s zur Verfügung, allerdings auf
Kosten der Rechenzeit. Der PC berechnet zuerst alle Zustände und arbeitet diese erst
danach schrittweise ab. Da wir es im wahrsten Sinne des Wortes “eilig“ haben und es
sich um Rechenzeiten um circa 15 bis 20 Minuten dreht, eignet sich diese Art der
Lösung für unser Problem nicht.
Für spätere Ansätze diesbezüglich sei dem Leser nochmals gesagt, dass der
Algorithmus prinzipiell umsetzbar ist!
2.4.
Modell aus der Graphentheorie: Knoten und Kanten
2.4.1. Allgemeine Grundlagen
Dieses Thema war für uns ein ganz ungekanntes Gebiet und wir mussten uns erst in
den Stoff einarbeiten. Hierzu ist es erst mal wichtig herauszufinden, was überhaupt ein
Knoten bzw. eine Kante ist.
In der Theorie unterscheidet man zwischen den statischen Komponenten und den
dynamischen Komponenten.
- Statische Komponenten sind Komponenten, die vorgegeben sind und die wir nicht
verändern können, wie Knoten und Kanten. Knoten entsprechen
Entscheidungspunkten, das können bei uns Ende von Sitzreihen, Ausgänge von
Räumen/Gebäuden oder Kreuzungen sein. Kanten sind die Verbindungswege
zwischen den einzelnen Knoten, wie z.B. Gänge, Flure, Wege oder Straßen.
- Dynamische Komponente können sich jederzeit verändern. Sie sind individuell.
Dazu gehören u.a. Bewegungsgeschwindigkeit, Kapazität (Fassungsvermögen) und
Ausfallwahrscheinlichkeit. Diese kann man als zeitabhängige Funktionen über die
Knoten und Kanten darstellen.
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2.4.2. Anwendung auf unser Problem
Diese Grundlagen galt es jetzt auf unser Problem anzuwenden.
Als erstes betrachten wir den Audimax. Hierzu überlegen wir uns zuerst, wie wir die
Verteilung der Knoten im Raum wählen müssen. Anschließend verbinden wir die
Knoten miteinander. Die Knoten und Kanten orientieren sich an den Sitzreihen des
Audimax. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
Diese Bild zeigt unser Ergebnis. Die drei roten Punke stellen die Ausgänge dar. Wenn
man dort angekommen ist, ist man außerhalb des Gebäudes. Die schwarzen Punkte
befinden sich alle im Inneren des Gebäudes. Der Punkt A kennzeichnet den
Eingangsbereich, der für mehrere Räume als Fluchtweg dient.
Als nächstes belegten wir die Kanten mit ihren Abständen zwischen den Knoten.
Diese Zahlen errechneten wir aus dem Grundriss des Audimax. Die Angabe ist in
Meter gewählt.
Mit Hilfe dieser Daten berechneten wir, von jedem Knoten den schnellsten Weg, um
ins Freie zugelangen. Dies machten wir nach der Methode des „Kürzesten Weg“.
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Knoten nach
Ausgang
A nach 1
B nach 1
C nach 1
C nach 2
D nach 1
D nach 2
E nach 1
E nach 3
F nach 1
F nach 3
G nach 2
H nach 2
I nach 3
J nach 3
Berechnete
Entfernung
22,56 m
16,2 m
33,9 m
18 m
31,2
26 m
31,2 m
26 m
33,9 m
18 m
10 m
18 m
18 m
10 m
Kürzester
Weg
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Diese Tabelle zeigt das Ergebnis, welches sich aus dieser Methode ergab. Wir haben
der Einfachheit halber unwahrscheinliche Ergebnisse weggelassen. Die mit einem +
gekennzeichneten Ergebnisse sind diejenigen, mit dem geringsten Abstand zum
Ausgang. Hier nach wären die Ausgänge 2 und 3 die am Meisten genutzten Ausgänge,
wenn alle Anwesenden sich nur nach dem kürzesten Weg entscheiden würden. Die
Menschen würden sich an diesen beiden Ausgänge stauen. Mit der Realität wäre
dieses Ergebnis nicht zu vereinbaren.
Nun überlegen wir, wie wir unser Modell verbessern können, um ein sinnvolleres
Ergebnis zu erhalten.
Die Kanten, die ja unsere Gänge im Hörsaal sind, können nicht beliebig viele
Menschen fassen. Deshalb müssen wir uns Kapazitäten der einzelnen Kanten
überlegen, die uns angeben, wie viele Menschen pro Zeiteinheit durch die Gänge
gehen können.
Dazu betrachteten wir die einzelnen Weglängen. Eine Person braucht einen Meter
nach vorne und es können immer zwei Personen nebeneinander gehen, ohne sich
gegenseitig zu behindern. Das heißt auf eine Kante mit einer Weglänge von 8m passen
16 Personen Kante ( Dieses Verfahren haben wir in manchen Fällen etwas geändert,
da uns die Begebenheiten des Raumes bekannt sind, z.B. die Kante C nach G fasst nur
8 Personen, da dieser Weg für mehr Personen zu eng ist.
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Dies führte uns zu folgendem Ergebnis:
Rote Punkte: Ausgänge; schwarze Punkte: Knoten; schwarze Zahlen: Abstände in m;
blaue Zahlen: Kapazitäten; grüne Zahlen: Anzahl der Personen im jeweiligen
Abschnitt.
Um einen Raum evakuieren zu können, müssen sich Leute in diesem befinden. In
unserem Fall sind das 660 Personen ( im Audimax). Um die Rechnung etwas zu
vereinfachen belegen wir unsere Knoten mit Personen, das heißt wir gehen davon aus,
dass sich die Personen an den einzelnen Punkten befinden.
Hierzu überlegen wir uns erst, wie viel Personen sich zwischen den Knoten befinden.
Die stellen die grünen Zahlen im Bild oben dar. Dieses Ergebnis erhält man durch
Auszählen der Sitzplätze Es befinden sich also 440 Personen im gesamten oberen Teil
( zwischen den Knoten B, C, D, E und F) und jeweils 110 rechts und links der grünen
Linie im unteren Teil.
Diese Personen müssen jetzt im nächsten Schritt auf die einzelnen Knoten verteilt
werden. Hierzu teilen wir die Zahlen erst einmal auf die einzelnen Gebiete auf.
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Aus diesen Zahlen ermitteln wir dann die Belegung unserer Knoten. Wir überlegen
uns dabei nur, wo werden die einzelnen Leute wohl hingehen. Nehmen wir einmal
Knoten D. Dieser Knoten bekommt aus vier Teilgebieten Leute zugeteilt. Aus dem
Viereck, in dem 60 Personen sitzen werden etwa 15 zu D gehen (60/ Anzahl der
Knoten) und aus dem Stück, wo sich 50 Personen befinden wird etwa die Hälfte
diesen Knoten wählen, also 25 Personen. Von den 220 werden 55 Leute zu Knoten D
gehen und etwa 27 Menschen kommen aus dem letzten Teil zum Knoten D.
( Es sollte hierbei erwähnt werden, dass wir uns bei den letzten beiden Werten überlegt
hatten, dass der Knoten B doppelt zählt, was bedeutet, dass ihm wegen den räumlichen
Begebenheiten – hier befindet sich eine Doppeltür - die doppelte Anzahl von
Menschen zufließen)
Für Knoten D erhalten wir: 15+25+55+27=122 Personen.
Knoten
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Anzahl der
Personen
0
222
42
122
122
42
15
40
40
15
Diese Tabelle stellt unsere Wahl, der Belegung der Punkte dar.
Jetzt fehlt eigentlich nur noch zu erläutern, was mit einer Zeiteinheit gemeint ist. Diese
Größe wird berechnet, in dem man sich überlegt, wie lange brauch eine Person zum
Beispiel vom Punkt G durch den Ausgang 2 bis sie draußen ist. Hierzu dient die
Gleichung v = s/t. Wir erhalten, wenn wir die Formel nach t auflösen:
t = s/v.
Die Strecke s ist uns mit 10m bereits bekannt und v ist variabel, denn die
Geschwindigkeit von einer reinen Männergruppe ist anders, als die von einer
Frauengruppe oder gemischten Gruppe. Wir gehen hier immer von einer
Männergruppe aus, die sich mit einer Geschwindigkeit von 1,3 m/s bewegt. Hieraus
folgt:
t = 10m/ 1,3m/s
= 7,7s
Dieser Wert entspricht einer Zeiteinheit.
Anhand dieser jetzt vorgestellten
Evakuierungszeit nun beginnen.
14
Größen
kann
unsere
Berechnung
der
2.4.3. Berechnung der Evakuierungszeit
a: Audimax
Ausgangssituation:
Schwarze Zahlen: Anzahl der Personen an den Knoten; blaue Zahlen: Kapazitäten;
rote Zahlen: Anzahl der evakuierten Personen
Diese Situation rechnen wir auf eine Zeiteinheit um. Dies ist nicht unbedingt
notwendig, jedoch macht es die Rechnung leichter.
Bei der Rechnung haben wir überlegt, wie viele Menschen sich wo nach jeweils einer
Zeiteinheit befinden. Schauen wir uns das einmal bei der ersten Zeiteinheit an:
Betrachten wir Knoten E. Während einer Zeiteinheit verlassen 50 Personen diesen
Knoten. Diese Zahl kommt zustanden, wenn man sich überlegt, dass nach Knoten F 20
und nach Knoten I auch 20 Personen „abfließen“. Zu Knoten B gehen 10 Personen.
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Dieses Verfahren macht man für jeden Knoten. Dieses System wird solange
durchgeführt, bis alle
Personen aus dem Gebäude sind. Die Rechnung sieht folgendermaßen aus:
16
17
Wir erhielten, dass der Audimax nach 12 Zeiteinheiten vollkommen leer war. Da eine
Zeiteinheit ja 7,7s ist erhalten wir: 12 *7,7 = 92,4s. Nach dieser Zeit ist der Raum
evakuiert.
Dieses Verfahren ist nun auf alle anderen Räume übertragbar. Dies haben wir dann
auch für die anderen Hörsäle analog gemacht.
18
b: Mittlerer Hörsaal
Hier sitzen 150 Personen. In diesem Hörsaal ist ein Notausgang.
19
c: Kleiner Hörsaal
Dieser Raum ist mit 60 Personen belegt und hat keinen Notausgang.
20
Diese Zeiten geben an, wie schnell man die einzelnen Säle evakuieren kann, wenn
immer nur einer besetzt ist. Was ist aber wenn alle Säle belegt sind?
Unsere Überlegung hierbei ist, dass wir davon ausgehen, dass alle Personen, die durch
den Eingangsbereich das Gebäude verlassen, alle den selben Ausgang benutzen. Die
Zeit ändert sich auch nur in diesem Bereich. Die Personen, die durch die Notausgänge
gehen sind nicht betroffen.
Dazu ist es notwendig noch einmal zuschauen, wie die Leute im Eingangsbereich,
sprich am Knoten A, an- bzw. abfließen.
.
Man sieht, da sich die Personen am Knoten A erst ansammeln und dann ab der 11ten
abfließen. Die drei Hörsäle sind nach 15 Zeiteinheiten evakuiert. Das entspricht einer
Zeit von 115,5s. In dieser Zeit sind insgesamt 870 Personen evakuiert, wenn sich alle
diese Leute mit einer Geschwindigkeit von 1,3m/s bewegen und keine Panik ausbricht.
21
3.
Das Programm
Nachdem unser Modell nun steht, gilt es ein Programm zu schreiben, das dem
Benutzer die voraussichtliche Evakuierungszeit berechnet und Vorschläge zur
Raumaufteilung, je nach den individuellen Voraussetzungen, ausgibt. In diesem
Abschnitt wird die Funktionsweise unseres fertigen Programms erklärt. Wichtig zu
wissen ist für den Leser, dass wir in der Implementierung selbst eigentlich zweigleisig
fahren:
Zum einen werden ausschließlich die oben genannten Ausgaben berechnet und zum
anderen die eingelesenen Daten bezüglich einer normierten Grafik angezeigt. Zur
besseren Verständlichkeit beschäftigen wir uns zuerst mit der Ermittlung der
Evakuierungszeit und Platzierung der Ausgänge.
Der Benutzer tätigt zu Beginn verschiedene Eingaben:
- Anzahl der Personen im Hörsaal
- Art des Publikums (hat Einfluss auf die Bewegungsgeschwindigkeit)
- Fläche des Gebäudes
- Anzahl der zur Verfügung stehenden Ausgänge
- deren jeweilige Breite
- Genauigkeitsgrad
Als erstes berechnet das Programm den Radius des Hörsaals und den Umfang. Dann
werden die Ausgänge generiert, dies geschieht, indem, dem Kreis entsprechend, 360°
durch die Anzahl der gewünschten Ausgänge geteilt wird. Verbindet man nun die
Ausgänge miteinander, entsteht ein regelmäßiges n-Eck. Somit ist die Genauigkeit in
Stufe 1 erreicht. Die Kantenlänge nennen wir S1. Da es sich bei einem Teilstück des
n-Ecks um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und wir schon einen Winkel und die
beiden Längen der Schenkel wissen, können wir mittels: „In jedem beliebigen Dreieck
ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden
anderen Seiten, verringert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten
und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.“ die Länge von S1 errechnen.
Formel: a² = b² + c² - 2*a*b*cos(α). Wobei α der eingeschlossene Winkel zwischen b
und c ist.
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Um einen weiteren Knoten zu setzen und somit die Genauigkeit zu verbessern, rechnet
der Algorithmus T1 aus und setzt bei (r/2, T1) weitere Knoten. Das entspricht der
Genauigkeit der Stufe 2. Von diesen Knoten ausgehend lässt sich wiederum ein
regelmäßiges n-Eck konstruieren. Sukzessive erhalten wir S2, ... und T2, ... . Je mehr
Knoten wir setzen, desto realistischer ist am Ende die berechnete Evakuierungszeit,
allerdings ist es auch hier sinnvoll bei etwa T5 zu stoppen, da sonst zu große
Ungenauigkeiten seitens der graphischen Darstellung auftreten.
Wir sind nun an einer Stelle angelangt, wo wir über die gegebene Örtlichkeit ein Netz
aus Knoten und Kanten gelegt haben. Mittels eines stochastischen Prinzips lässt sich
die Menschenmenge auf die einzelnen Knoten aufteilen, was dem Zustand unmittelbar
nach Eintritt der Notsituation entspricht. Jetzt gelangen die Personen über die
jeweiligen Kanten Ti, deren Kapazitäten sich durch deren Länge und Breite ergeben,
sukzessive zu den Ausgängen. Natürlich kommt es durch die verschiedenen
Kapazitäten der Gänge und Breiten der Ausgänge zu Stauungen, wie im richtigen
Leben.
Sobald der Letzte das Gebäude verlassen hat werden die einzelnen Zeiten über den
Kanten miteinander verrechnet und die Evakuierungszeit ausgegeben.
Jetzt muss noch die graphische Ausgabe implementiert werden:
Da ein Hörsaal mit 1000 Quadratmeter genauso dargestellt werden muss wie ein
Übungsraum mit 100 Quadratmeter, müssen wir eine normierte Grafik erstellen.
Unsere Fenstergröße wird auf 600 x 600 dpi festgelegt. Mittels verschiedener von Java
bereitgestellter Funktionen lassen wir zunächst einen Kreis zeichnen. Auf diesem
werden wie oben beschrieben die Ausgänge generiert. Dann wird vom selben
Mittelpunkt aus ein Kreis mit dem Radius r/2 gezeichnet. So erhalten wir sukzessive
obiges Bild. Wenn noch die Knoten untereinander und mit den Ausgängen verbunden
wurden, steht die fertige Ausgabe.
Zwar gibt die Simulation nur das Ergebnis für einen Saal aus, doch können mehrere
Gebäude durch Hintereinanderausführung des Algorithmus modelliert werden.
23
4.
Ausblick:
Dieses Programm kann man nun ganz nach den Vorlieben eines eventuellen Käufers
individuell erweitern. Wenn der potentielle Käufer eine wesentlich genauere
Zeitangabe wünscht, dann müsste man den Raum mit mehr Knoten belegen. Vielleicht
würde auch eine Simulation der Evakuierung in Echtzeit einen Interessenten
überzeugen. Aber was auf jeden Fall noch zugefügt werden müsste, wäre die
Möglichkeit, den Grundriss eines beliebigen Gebäudes vorgeben zu können.
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