Übungsblatt 2 mit Musterlösung
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Musterlösung Übungsblatt 1 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Mit der Anfangsbedingung I L ( 0 ) = 0 ergibt sich dieser lineare Stromverlauf: Musterlösung Übungsblatt 2 Prof. Baitinger / Lammert Aufgabe 1 U1 I L ( t ) = ------- ⋅ t L Besprechung: 16.11.2000 2 A ⋅ 10 ⋅ 10 –3 H T 1 = -------------------------------------- = 2ms 10V Spule an Gleichspannung Gegeben ist die Schaltung nach Abb. 1-1. Die Spannung U1 beträgt 10V. Die Spule hat die Induktivität L = 10mH . Der Drahtwiderstand R sei ebenfalls bekannt und habe den Wert R = 10Ω . Zunächst sind beide Schalter geöffnet und die Spule ist nicht stromdurchflossen. S1 U1 = Nun wird der abklingende Vorgang durch einen Widerstand gebremst. Es ergibt sich ein exponentiell abklingender Verlauf des Stromes IL. S2 IL L UL b) Sobald der Spulenstrom I L = 2 A erreicht hat, wird der Schalter S1 wieder geöffnet und der Schalter S2 geschlossen. Stellen Sie nun die neue Differentialgleichung auf und berechnen Sie den Strom IL(t). Geben Sie die Zeitkonstante τ an. R dI L mit t′ = t – T 1 d t′ I L ( t′ ) = I e + I f ( t′ ) UR 0 = IL ⋅ R + L ⋅ Ie = 0 0 = If ⋅ R+L⋅ Abbildung 1-1: Spulenschaltung a) Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter S1 geschlossen. Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms IL(t) durch Aufstellen und Lösen der entsprechenden Differentialgleichung (DGL). Nach welcher Zeit T1 erreicht der Spulenstrom den Wert I L = 2 A ? Aus der Gleichung für die Spule läßt sich die Differentialgleichung aufstellen. An der Spule fällt die ganze Spannung U1 ab und der Spulenstrom IL hat keinen eingeschwungenen Anteil, weil ein Widerstand fehlt, der den Strom begrenzt. U1 = UL U1 = L ⋅ ∫ dt R = – --- ∫ dt′ L R ln I f = – ---t′ + const L I f ( t′ ) = e const – t′ --- τ L τ = --R = B⋅e t′ – --τ Mit der Anfangsbedingung I L ( t′ = 0 ) = I L ( t = T 1 ) = 2 A = B ergibt sich: dI L dt UL = L ⋅ dI f ∫ ------If dI f d t′ I L ( t′ ) = 2 A ⋅ e dI L dt t′ – --τ ⇒ I L(t ) = 2 A ⋅ e t–T – -------------1 τ und τ errechnet sich zu: L = ------- ∫ dI L U1 L t = ------- ⋅ I L + const U1 L 10mH τ = --- = --------------- = 1ms R 10Ω Seite 1 von 17 Seite 2 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1 c) Zeichnen Sie den Stromverlauf IL(t) durch die Spule in ein Schaubild ein. Markieren Sie die Zeitkonstante τ . Betrachtet wird zuerst folgender Teil der Schaltung: IL(t) R U1 2A = UC IC C Abbildung 2-2: Aufladen des Kondensators τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t[ms] Für den Kondensator gilt folgende Beziehung zwischen der Spannung und dem Strom: Abbildung 1-2: Strom durch Spule IC = C ⋅ Aufgabe 2 Kondensator an Gleichspannung dU C dt Aus Abb. 2-2 läßt sich eine Maschengleichung aufstellen: Gegeben sei die Schaltung nach Abb. 2-1. U1 = IC ⋅ R + UC = R ⋅ C ⋅ S1 U1 = dU C + UC dt S2 R UC IC R UC wird als die Addition des eingeschwungenen- und des flüchtigen Anteils der Kondensatorspannung geschrieben: UR C UC(t) = Ue + U f (t) Abbildung 2-1: Kondensatorschaltung Der Kondensator ist am Anfang ungeladen. Beide Schalter sind geöffnet. a) Zum Zeitpunkt t 1 = 0 wird der Schalter S1 geschlossen. Berechnen Sie die Spannung UC(t) und den Strom IC(t). Seite 3 von 17 Uf (t) stellt den Einschwingvorgang und Ue den eingeschwungenen (stationären) Zustand dar. Ue kann man aus der Gleichstrombetrachtung herleiten. Hier fließt, nachdem der Kondensator aufgeladen ist, kein Strom. Deshalb fällt die Spannung U1 am Seite 4 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1 Kondensator ab und es gilt: U e = U 1 . Uf (t) ergibt sich durch Aufstellen und Lösen der Differentialgleichung: 0 = R⋅C⋅ Nun wird der rechte Teil der Schaltung aus Abb. 2-1 betrachtet: dU f + Uf dt –U dU f -----------f- = R⋅C dt dU f –1 - = ------------ ⋅ ∫ dt ∫ --------R⋅C Uf t const – -τ = A⋅e R UC IC UR C –1 ln U f = ------------ ⋅ t + const R⋅C U f (t) = e b) Zum Zeitpunkt t 2 = 5τ habe sich der Kondensator C auf die Versorungsspannung U1 aufgeladen. Jetzt wird der Schalter S1 geöffnet und der Schalter S2 geschlossen. Berechnen Sie die Spannung UC (t) und den Strom IC (t). τ = R⋅C t – -τ Abbildung 2-3: Entladen des Kondensators Die Konstante A wird durch Einsetzen der Anfangsbedingung errechnet. Hier ist der Kondensator anfangs ungeladen, daraus folgt: Genau wie beim Einschwingvorgang geht man bei einem abklingenden Vorgang vor, nur ergeben sich hier andere Werte für den eingeschwungenen- und flüchtigen Anteil der Kondensatorspannung: Ue = 0 UC(0) = Ue + U f (0) = 0 U1 + A = 0 A = –U 1 U f ( t′ ) = A ⋅ e t′ – --τ mit t′ = t – t 2 U f ( t′ = 0 ) = U f ( t = t 2 ) = U 1 Damit ergibt sich für den Spannungsverlauf am Kondensator: U C ( t′ ) = U 1 ⋅ e t – -- τ U C(t ) = U 11 – e t′ – --τ ⇒ UC(t) = U1 ⋅ e t–t – ----------2τ t′ I C ( t′ ) = C ⋅ – --dU C 1 τ = – C ⋅ U 1 ⋅ ------------ ⋅ e R⋅C d t′ Den Stromverlauf erhält man durch: t′ t IC(t) = C t – t2 U 1 – --τU 1 – ---------τ I C ( t′ ) = – ------- ⋅ e ⇒ I C ( t ) = – ------- ⋅ e R R – -dU C 1 τ = C ⋅ U 1 ⋅ ------------ ⋅ e R⋅C dt t U 1 – -τI C ( t ) = ------- ⋅ e R Seite 5 von 17 Seite 6 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1 c) Skizzieren Sie in einem Schaubild den Spannungs- und Stromverlauf UC(t) und IC(t) im Bereich 0 ≤ t < 10τ . UC(t) U1 Aufgabe 3 Überlagerungssatz Gegeben sei ein Spannungsversorgungsgerät nach Abb. 3-1 mit U1=5V, U2=10V, I1=25mA, R1=1k Ω , R2=2k Ω , R3=3k Ω und R4=4k Ω , das an den Anschlüssen A und B die Spannung UAB liefert. A Ri R1 R3 = U1 R4 0 τ 5τ 10τ t U2 I1 UAB U0 UAB = = R2 IC(t) U1 R A B B Spannungsversorgungsgerät Ersatzspannungsquelle Abbildung 3-1: Spannungsversorgungsgerät mit Ersatzspannungsquelle a) Wandeln Sie das Spannungsversorgungsgerät in eine äquivalente Ersatzspannungsquelle um, indem Sie U0 und Ri in Abb. 3-1 berechnen. 0 τ 5τ 10τ t U1 R Um eine gegebene Spannungsquelle in eine Ersatzspannungsquelle umzuwandeln, muss zunächst die Leerlaufspannung UAB an den beiden Anschlüssen A und B mit Hilfe des Überlagerungssatzes berechnet werden. Beim Überlagerungssatz wird nacheinander immer genau eine Spannungsoder Stromquelle betrachtet wobei alle übrigen Spannungsquellen kurzgeschlossen werden und alle übrigen Stromquellen aufgetrennt werden: Abbildung 2-4: Auf- und Entladen des Kondensators Seite 7 von 17 Seite 8 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1 I) Betrachtung von U1 mit Kurzschluss von U2 und Auftrennung von I1: Es ergibt sich die in Abb. 3-2 auf der linken Seite gezeigte Schaltung, die sich noch zu der rechts dargestellten Schaltung zusammenfassen lässt. III) Betrachtung von I1 mit Kurzschluss von U1 und U2: A R1 A R1 R1 R3 = U1 R4 R3 = U1 UAB,I R4 R2 R 3 || R 4 I1 UAB,III RX I1 UAB,III R2 A R2 A I1 B UAB,I B B B Abbildung 3-4: Betrachtung von I1 Abbildung 3-2: Betrachtung von U1 ( R1 + R2 ) ⋅ R3 R x = ( ( R 1 + R 2 ) || R 3 ) || R 4 = ---------------------------------- || R 4 = 1, 5kΩ || R 4 = 1, 091kΩ R1 + R2 + R3 Für die Parallelschaltung der Widerstände R3 und R4 gilt: U AB, III = R x ⋅ I 1 = 27, 275V R3 ⋅ R4 = 1, 714kΩ R 3 || R 4 = -----------------R3 + R4 IV) Überlagerung der Spannungen: U AB = U AB, I + U AB, II + U AB, III = 32, 729V ≈ 32, 7V Die Spannung U0 der Ersatzspannungsquelle muss denselben Wert haben wie die Leerlaufspannung UAB, d. h. U0=UAB=32,7V Daraus lässt sich UAB,I berechnen: R 3 || R 4 U AB, I = U 1 ⋅ ------------------------------------------- = 5V ⋅ 363, 6 = 1, 818V R 1 + R 2 + R 3 || R 4 II) Betrachtung von U2 mit Kurzschluss von U1 und Auftrennung von I1: A R1 R3 R3 R4 U2 UAB,II U2 = A = R1+R2 R2 B R4 UAB,II B V) Berechnung des Innenwiderstandes Ri: Für die Berechnung des Innwiderstandes müssen alle Spannungsquellen kurzgeschlossen werden und alle Stromquellen aufgetrennt werden und anschließend der Widerstand zwischen den Anschlüssen A und B bestimmt werden. Das resultierende Widerstandsnetzwerk ergibt sich, wenn man aus Abb. 3-4 noch die Stromquelle entfernt. Daher gilt: R i = R x = 1, 091kΩ ≈ 1, 09kΩ b) Wie groß ist der Kurzschlussstrom Imax, den das Spannungsversorgungsgerät beim Kurzschluss der Anschlüsse A und B liefert ? Da die Ersatzspannungsquelle äquivalent zum Spannungsversorungsgerät ist, kann sie zur Berechnung des Kurzschlussstromes Imax benutzt werden. Abbildung 3-3: U AB, II U I max = ------0- = 30mA Ri ( R 1 + R 2 ) || R 4 = U 2 ⋅ ----------------------------------------------- = 3, 636V R 3 + ( R 1 + R 2 ) || R 4 Seite 9 von 17 Seite 10 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Aufgabe 4 Musterlösung Übungsblatt 1 Zeigerdiagramm Gegeben sei die Schaltung nach Abb. 4-1, die mit der Spannung u ( t ) = û sin ( ωt ) betrieben wird. Erstellen Sie ein qualitatives Zeigerdiagramm für die Größen u, i, uR, uL, uC, iL und iC. i Spruch zum Merken der Phasenverschiebungen: - Am Kondensator eilt der Strom vor. - An den Induktivitäten die Ströme sich verspäten. iL R C IC L UL uR u ≈ uC iC L uL C IL UC Abbildung 5-1: Zeigerdiagramm von Kondensator und Spule Abbildung 4-1: Passive Schaltung b) Gegeben sei das Oszillogramm nach Abb. 5-1. Geben Sie die beiden trigonometrischen Funktionen für u(t) und i(t) an. An welchem Bauelement kann dieser Strom-/Spannungsverlauf gemessen werden? Hier beginnt man am besten mit iL als Bezugsgröße: I IC UC=U UL IL î i(t) û u(t) UR Abbildung 4-2: Zeigerdiagram 0 π 2π Abbildung 5-2: Spannungs- und Stromverlauf am Bauteil Aufgabe 5 u ( t ) = û ⋅ cos ( ωt ) Passive Bauelemente a) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm einer idealen Spule und eines idealen Kondensators. Seite 11 von 17 i ( t ) = î ⋅ sin ( ωt ) Der Strom eilt nach: Spule. Seite 12 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1 c) Tragen Sie in einem Schaubild den Wirkwiderstand R ( ω ) sowie die Blindwiderstände X C ( ω ) und X L ( ω ) ein. Welche passiven Bauelemente lassen hohe und welche tiefe Frequenzen besonders gut durch? Aufgabe 6 Hoch- und Tiefpass Gegeben seien die Schaltungen nach Abb. 6-1 mit folgenden Werten: u 1 ( t ) = û 1 sin ( ωt ) , û 1 = 10V , f = 100Hz , R = 10Ω , C = 100µF und L = 10mH . XL läßt tiefe f durch R L u1 unabhängig von f R XC läßt hohe f durch C R u2 u1 R u2 Abbildung 6-1: Vierpole ω a) Zeichnen Sie das jeweilige (Blind-)Widerstands-Zeigerdiagramm bei 100 Hz. Abbildung 5-3: Die Widerstände der passiven Bauelemente Die Blindwiderstände berechnen sich bei 100Hz wie folgt: d) Gegeben seien folgende Vierpole: • Hochpass • Tiefpass • Bandpass • Bandsperre. ua Skizzieren Sie für diese Vierpole die jeweilige Übertragungsfunktion ----- ( ω ) in ue je ein Schaubild. Markieren Sie die Grenzfrequenzen ω g . Ua ------Ue Ua ------Ue Hochpass X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 6, 3Ω 1 X C = --------------------------- = 16Ω 2⋅π⋅ f ⋅C Rges XL R Tiefpass 1 1 0,7 0,7 R ωg Ua ------Ue ωg ω Ua ------Ue Bandpass ω Bandsperre 1 1 0,7 0,7 XC ωu ωr ωo ω ωu ωr ωo Rges ω Abbildung 6-2: Zeigerdiagramme der Vierpole Abbildung 5-4: Frequenzverhalten von Vierpolen Seite 13 von 17 Seite 14 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 b) Musterlösung Übungsblatt 1 Bestimmen Sie für beide Schaltungen das Verhältnis U2 ------- und berechnen Sie dann U2 als Funktion der Frequenz f. U1 U R R ------2- = ---------- = ----------------------U1 R ges 2 2 R + XL U2 1 ------- = -------------------U1 2 X 1 + ------2L R 1 U 2 = U 1 ⋅ -----------------------------------------------L 2 1 + 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ --- R e) Handelt es sich jeweils um einen Hoch- oder Tiefpass? Bei der RL-Schaltung handelt es sich um einen Tiefpass und die RC-Schaltung stellt einen Hochpass dar. U R R ------2- = ---------- = -----------------------U1 R ges 2 2 R + XC Impulsbetrieb: Die gegebenen Schaltungen nach Abb. 6-1 werden jetzt mit folgendem RechteckSignal gespeist: U 1 ------2- = --------------------U1 2 X 1 + ------C2R U1 1 U 2 = U 1 ⋅ --------------------------------------------------------2 1 1 + ----------------------------------- 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ R ⋅ C 5V 0 T1 t T2 c) Ermitteln Sie jeweils die Grenzfrequenz fg. 1 Die Grenzfrequenz ist durch folgende Formel definiert: U 2 = U 1 ⋅ ------- . Durch 2 einsetzen in die oberen Gleichungen erhält man: L 2 ⋅ π ⋅ f g ⋅ --- = 1 R fg fg Für die Ausgangsspannung am RL-Glied ergibt sich folgender Verlauf: d) Zeichnen Sie für beide Schaltungen den Funktionsverlauf der Spannung –1 1 U 2 = g ( f ) für den Frequenzbereich 10 f g ≤ f ≤ 10 f g . Verwenden Sie einen logarithmischen Maßstab für die Frequenz f. U2 U2 10 V 7V 7V 1V 1V 0,1 fg fg 10 fg f τ = R ⋅ C = 10Ω ⋅ 100µF = 1ms g) Zeichnen Sie den Verlauf beider Ausgangspannungen u2(t) für T 1 = 5ms und T 2 = 10ms (siehe Abb. 6-4). 1 f g = --------------------------2⋅π⋅R⋅C f g = 159Hz 10 V f) Berechnen Sie jeweils die Zeitkonstante τ für beide Schaltungen. L 10mH τ = --- = --------------- = 1ms R 10Ω 1 -------------------------------------- = 1 2 ⋅ π ⋅ fg ⋅ R ⋅ C R = -----------------2⋅π⋅L = 159Hz Abbildung 6-4: Rechtecksignal u2 5V 0 5 10 15 20 25 t[ms] Abbildung 6-5: Ausgangssignal am RL-Glied 0,1 fg fg 10 fg f Abbildung 6-3: Spannungsverlauf am Tief- und Hochpass Seite 15 von 17 Seite 16 von 17 Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Die Ausgangsspannung am RC-Glied verläuft wie folgt: u2 5V 0 5 10 15 20 25 t[ms] -5V Abbildung 6-6: Ausgangssignal am RC-Glied h) Entspricht das Verhalten der Schaltungen jeweils einem Differentierglied, Logarithmirglied, Integrierglied, Differenzglied oder Multiplizierglied? Das RL-Glied zeigt das Verhalten eines Integriergliedes und das RC-Glied verhält sich wie ein Differentierglied. Seite 17 von 17
