Mathematik -Theorie 1 2. Klasse Bezirksschule
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Mathematik –
Theorie
Bezirksschule
2. Klasse
Mathematik -Theorie
1
2. Klasse Bezirksschule
Inhaltsverzeichnis 2. Klasse
A
Terme, Variablen und Mengen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Der Taschenrechner als Rechenhilfe
Variablen in Termen
Variablen in Termen: Potenzen
Werte von Termen berechnen
Multiplizieren und Dividieren mit algebraischen Termen
Terme bilden: Weitere Beispiele
Zahlenmengen
Schnittmengen
ggT und kgV
B
Weitere Grundlagen zur Geometrie
1
2
3
4
5
Mengen von Punkten
Winkel und Messen der Winkelweite
Anwendungen
Achsenspiegelung
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
C
Brüche und Prozente
1
2
3
4
Brüche und Bruchteile
Verschiedene Formen der gleichen Zahl
Brüche und Dezimalbrüche
Bruchteile und Prozente
D
Operationen mit Brüchen
1
2
3
4
5
6
Vergleich von Brüchen
Addition und Subtraktion von Brüchen
Vervielfachen und Teilen eines Bruchs
Multiplikation von Brüchen
Division durch Brüche
Mal so, mal so
Mathematik -Theorie
2
4
5
6
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38
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42
44
2. Klasse Bezirksschule
E
Zuordnungen
1
2
3
4
5
6
7
Darstellen von Zuordnungen: Diagramme und Tabellen
Proportionale Zuordnungen
Berechnungen bei proportionalen Zuordnungen
Umgekehrt proportionale Zuordnungen
Allgemeine Darstellung von Zuordnungen
Weitere Übungen zu Berechnungen bei proportionalen und
umgekehrt proportionalen Zuordnungen
Weitere Betrachtungen zu Zuordnungen
F
Arithmetik im Alltag
1
2
3
4
5
Prozentrechnen: Begriffe, Prozentwert
Prozentrechnen: Prozentsatz, Grundwert
Anwendungen des Prozentrechnens
Fremde Währungen
Mittelwert und Zentralwert
G
Geometrische Berechnungen
1
2
3
4
Berechnungen am Parallelogramm
Flächeninhalt von Dreiecken
Berechnungen an senkrechten Prismen
Beispiele für Anwendungen
Mathematik -Theorie
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63
65
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70
2. Klasse Bezirksschule
A Terme, Variablen und Mengen
1
Der Taschenrechner als Rechenhilfe
Der Taschenrechner ist ein handlicher elektronischer
Rechner im Taschenformat, der mit Batterie- oder
Solarzellen betrieben wird.
Er ist aus Mikroprozessoren aufgebaut, welche die
gewünschten Rechnungsschritte ausführen. Eingaben
und Resultate können über eine Flüssigkristallanzeige
(LCD) abgelesen werden.
Der Taschenrechner beherrscht die Grundoperationen + , - , · , : mit
ganzen Zahlen und mit Dezimalzahlen.
Beispiel:
25,89 · 1,65 = 42,7185 .
Er bewältigt verkettete Operationen.
Beispiel:
88,5 · 4,66 : 2,5 = 164,964 .
Zahlenterme mit Klammern können berechnet werden:
Beispiel:
50,6 - 0,8 · (61 - 47,95) = 40,16 .
Der Rechner beachtet die Vereinbarung "Punkt- vor Strichoperation".
Beispiel:
50,8 + 4,5 · 10,2 = 96,7 .
Der Taschenrechner besitzt die Möglichkeit, Zahlen zu speichern und wieder
abzurufen.
Zudem gibt es eine Reihe weiterer Funktionen, welche der Taschenrechner
ausführen kann: Potenzieren, Wurzeln ziehen, ... .
Der Taschenrechner liefert kein richtiges Resultat, wenn du falsch
eintippst!
Mache daher zuerst eine Überschlagsrechnung (schätzen)!
Mathematik -Theorie
4
2. Klasse Bezirksschule
2
Variablen in Termen
Variablen sind Platzhalter für Zahlen. In der Mathematik verwendet man dafür
Kleinbuchstaben ( z.B. x, y, z).
Terme sind Gebilde aus Zahlen und/oder Variablen (z.B. 35x – 4,2) .
Für das Produkt einer Zahl und einer/mehrerer Variablen gelten betreffend
der Schreibweise folgende Punkte:
-
6·a = 6a
1·b = b
3·a·b = 3ab .
Terme können zusammengefassst werden, indem gleichartige Ausdrücke
(gleiche Buchstaben oder Buchstabenkombination) addiert bzw. subtrahiert
werden.
Beispiele:
-
5a + 7b + 3c + 4a + 6b + 5c - 8a = a + 13b + 8c
6ab + 3ac - 4ab + 5bc + 9ac = 2ab + 12ac + 5bc
4a2 + 5ab3 – 2a2 + 3ab3 = 2a2 + 8ab3
Beim Vereinfachen von Termen gilt ebenfalls die Regel „Punktoperationen
vor Strichoperationen“ (d.h. Multiplikation und Division vor der Addition und
Subtraktion ausführen).
Beispiele:
Mathematik -Theorie
-
a + b · 4 = a + 4b
3 · a - b · 6 = 3a - 6b
10x + 20y : 5 – 5x = 10x + 4y – 5x = 5x + 4y .
5
2. Klasse Bezirksschule
3
Variablen in Termen: Potenzen
Die Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren kann als Potenz abgekürzt
notiert werden.
Beispiel:
5·5·5·5 = 5 4
4
5
(lies: 5 hoch 4).
heisst Potenz , 5 ist die Basis und 4 der Exponent.
Ebenso können Potenzen mit Variablen gebildet werden.
Beispiel:
x·x·x·x·x = x 5 .
Potenzen von Klammerausdrücken sind möglich.
Beispiele:
(3x)2 = 3x · 3x = 9x2
(8a)3 = 8a · 8a · 8a = 512a3
2
(3x) ≠ 3x
Beachte:
2
!
Potenzen werden bei der Berechnung von Flächen und Rauminhalten
verwendet.
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt
der grauen Figur.
2w
(es handelt sich um Quadrate)
A = (5w)2 - (2w)2
= 25w2 - 4w2
5w
2
= 21 w
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
4
Werte von Termen berechnen
Der Taschenrechner ist beim Rechnen mit grossen Zahlen eine echte Hilfe.
Mit wenig Aufwand kann beispielsweise der Wert eines Terms bestimmt
werden, wenn für die Variable(n) Zahlen eingesetzt werden.
Beispiel:
Bestimme den Wert des Terms T = 15x2 + 8xy – 92y
für x = 12 und y = 21.
T = 15·(12)2 + 8·12·21 - 92·21
2 160 + 2 016 – 1 932
=
= 2 244
Bei der Berechnung von Potenzen entstehen grosse Zahlen mit vielen
Stellen. Der Taschenrechner besitzt aber nur begrenzt viele Anzeigestellen.
Aus diesem Grunde werden grosse Zahlen als Zehnerpotenzen dargestellt.
Beispiel:
Berechne 2030. Im Display des Rechners erscheint:
1.073741824
39
Zehnerpotenz
.
Die eigentliche Lösung lautet:
1.073741824 · 1039 !
Die Basis der Zehnerpotenz (eben die Zahl 10!) wird aufgrund der beschränkten Anzahl
Stellen in der Anzeige weggelassen!
Formeln werden mit Termen dargestellt. Die Formel für die Gesamtoberfläche
eines Würfels beispielsweise lautet: O = 6x2 (x ist die Kantenlänge des
Würfels). Häufig ist das Bestimmen einer Lösung mit Hilfe eines Termes
einfacher.
Beispiel:
Bestimme die Oberfläche eines Würfels
mit der Kantenlänge 32cm.
O = 6x2 = 6 · (32cm)2 = 6 · 1 024 cm2
= 6 144 cm2
Mathematik -Theorie
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x
2. Klasse Bezirksschule
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Multiplizieren und Dividieren mit algebraischen
Termen
Algebraische Terme sind Gebilde aus Zahlen und/oder Variablen.
Bezüglich der Multiplikation von Termen gelten folgende Regeln:
- 5·3z
=
5·3·z
=
15·z
=
15z
- 4x·3x
=
4·x·3·x
=
4·3·x·x
=
12·x2
=
12x2
- 6a·9b
=
6·a·9·b
=
6·9·a·b
=
54·ab
=
54ab
- 8y2·6y3
=
8·y·y·6·y·y·y
=
8·6·y·y·y·y·y
=
48·y5
=
48y5
- 3c2d·4cd3
=
3·c·c·d·4·c·d·d·d =
3·4·c·c·c·d·d·d·d =
12·c3·d4 =
12c3d4
Die Division wird als Umkehroperation der Multiplikation aufgefasst.
Bezüglich der Division von Termen gelten folgende Regeln:
1.
50 : 10 = 5
,
2.
12x : 3 = 4x
3.
48x5 : 6x2 = 8x3
4.
45a6b5c2 : 9a5b2c2 = 5ab3
,
,
,
denn :
5 · 10 = 50
denn :
4x · 3 = 12x
denn :
8x3 · 6x2 = 48x5
denn :
5ab3 · 9a5b2c2 = 45a6b5c2
Umkehroperationen
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
6
Terme bilden: Weitere Beispiele
Es ist ein wichtiges Ziel im Mathematikunterricht, dass Sachverhalte in Form
von Texten in Terme umgewandelt (übersetzt!) werden können und
umgekehrt.
"Vom Text zum Term" und "Vom Term zum Text" sind elementare
mathematische Schritte, welche genaue algebraische Grundkenntnisse
voraussetzen.
Beispiele:
1.
Vom Text zum Term
Gesucht ist der Term, welcher folgende Bedeutung hat:
"Das 3fache der um 2 vergrösserten Zahl" .
Lösung:
2.
3(x + 2) .
Vom Term zum Text
2
Was stellt der Term (x + 4) − 5 dar?
Lösung:
Mathematik -Theorie
"Das Quadrat der um 4 vergrösserten Zahl, vermindert um 5" .
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2. Klasse Bezirksschule
7
Zahlenmengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten, die man genau
voneinander unterscheiden kann, zu einem Ganzen.
Die Objekte, aus denen die Menge besteht, nennt man Elemente.
Beispiele:
1
36
Element
25
Menge von Quadratzahlen
16
49
9
4
Menge von geometrischen Figuren
Element
Mengen werden mit grossen Blockbuchstaben bezeichnet, Elemente mit
kleinen Buchstaben.
Beispiel:
M = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
(Menge M der Quadratzahlen)
Gehört ein Element a zu einer bestimmten Menge A, so schreibt man:
a ∈ A (lies: a ist Element von A).
Gehört ein Element b nicht zu einer Menge B, so schreibt man:
b ∉ B (lies: b ist nicht Element von B).
Beispiele:
Gegeben sei die Menge der natürlichen Zahlen:
N = {1, 2, 3, 4, ...} .
Es gilt:
8 ∈N
− 8 ∉N
Mathematik -Theorie
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(8 ist Element von N)
(-8 ist nicht Element von N)
2. Klasse Bezirksschule
Endliche und unendliche Mengen
Enthält eine Menge eine endliche Anzahl Elemente, so heisst sie endliche
Menge.
Enthält eine Menge unendlich viele Elemente, so nennen wir sie unendliche
Menge.
Beispiele:
M1 = {2, 4, 6, 8}
(endliche Menge)
M2 = {2, 4, 6, 8, ...}
(unendliche Menge)
Darstellungsformen von Mengen
Werden die einzelnen Elemente einer Menge (endlich oder unendlich)
der Grösse nach geordnet aufgezählt, heisst die Darstellungsform
aufzählende Form.
Werden die Elemente einer Menge durch ihre gemeinsame, charakteristische
Eigenschaft beschrieben, heisst die Darstellungsform beschreibende Form.
Beispiele:
C = {2, 4, 6, 8, ...}
(aufzählende Form)
C = {x | x ist eine gerade Zahl}
(beschreibende Form)
C ist die Menge aller x
für welche gilt
Die Grundmenge
Die Grundmenge G ist eine Art Vorratskammer aus Zahlen, welche für eine
bestimmte Aufgabe zur Verfügung stehen.
Die Grundmenge G entspricht meistens einer der folgenden Zahlenmengen:
-
N = {1, 2, 3, 4, ...}
(Menge der natürlichen Zahlen ohne 0)
-
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
(Menge der natürlichen Zahlen mit 0)
-
Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
(Menge der ganzen Zahlen)
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
Teilermengen
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man Teilermenge T.
Teilermengen sind endliche Mengen!
Beispiel:
Bestimme die Teilermenge von 24.
T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} .
Vielfachenmengen
Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl nennt man
Vielfachenmenge V.
Vielfachenmengen sind unendliche Mengen!
Beispiel:
Bestimme die Vielfachenmenge von 24.
V24 = {24, 48, 72, 96, ...} .
Mathematik -Theorie
12
2. Klasse Bezirksschule
8
Schnittmengen
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält sämtliche Elemente, die zu
A und B gehören, also beiden gemeinsam sind.
Die Schnittmenge wird geschrieben als A ∩ B
Beispiel:
A =
{3,6,9,12,15,18, 21,24}
B =
{4,8,12,16,20,24}
(lies: A geschnitten mit B).
A ∩ B = {12,24}
Die Schnittmenge lässt sich mit Hilfe eines Venn-Diagrammes
veranschaulichen.
21
18
3
6
A
15
21
4
12
24
8
20
16
B
A∩B
Schnittmengen von Teilermengen und Vielfachenmengen
Beispiele:
T24 = {1,2,3, 4, 6,8,12,24}
T30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}
T24 ∩ T30 = {1,2,3,6}
V24 = {24, 48,72,96,...}
V30 = {30,60,90,120,...}
V24 ∩ V30 = {120,240,360, 480,...}
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
9
ggT und kgV
Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehreren natürlichen
Zahlen ist diejenige natürliche Zahl, welche Teiler dieser Zahlen ist und
zudem möglichst gross ist.
Beispiel:
Der ggT der Zahlen 12 und 18 ist 6, da 6 die grösste Zahl
ist, die sowohl 12 als auch 18 ganz teilt.
Dies wird wie folgt notiert:
ggT (12, 18) = 6
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehreren
natürlichen Zahlen ist diejenige natürliche Zahl, in der jede dieser Zahlen als
Faktor enthalten ist und die zudem möglichst klein ist.
Beispiel:
Das kgV der Zahlen 12 und 18 ist 36, da 36 die kleinste
Zahl ist, die ganzzahlig durch 12 und durch 18 teilbar ist.
Dies wird wie folgt notiert:
kgV (12, 18) = 36
Mit Hilfe der sogenannten Primfaktorzerlegung kann der ggT und das kgV
problemlos bestimmt werden.
Beispiele:
12 = 2 · 2 · 3
18 = 2 ·
3· 3
12 = 2 · 2 · 3
18 = 2 ·
3· 3
ggT = 2 · 3 = 6
kgV = 2 · 2 · 3 · 3 = 36
540 = 2 · 2 · 3 · 3· 3 · 5
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7
ggt (540, 630) = 2 · 3 · 3· 5 = 90
kgV (540, 630) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 = 3’780
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
B Weitere Grundlagen zur Geometrie
1
Mengen von Punkten
Jedes geometrische Gebilde - beispielsweise eine Gerade oder ein Kreis - ist
als Punktemenge definiert. Dabei bildet eine unendliche Menge von Punkten
aneinandergereiht diese Gerade oder diesen Kreis.
Einzelne Punkte werden mit Grossbuchstaben notiert, die Punktemengen
Gerade, Strecke, Strahl und Kreis mit Kleinbuchstaben.
- Eine Gerade ist eine geradlinige Verbindungslinie zweier Punkte, wobei die
Ausdehnung beidseitig unendlich ist.
- Eine Strecke ist die kürzestmögliche Verbindungslinie zweier Punkte.
- Ein Strahl ist eine einseitig begrenzte Gerade.
- Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem Punkt (dem
Mittelpunkt) gleich gross ist.
Beispiele:
P
Punkt P
g
Gerade g = AB
B
A
P
Strecke s = PQ
s
Q
h
Strahl h = XY+
Y
X
Kreis k (M, r)
k
Mathematik -Theorie
15
M
r
2. Klasse Bezirksschule
Wichtige Notationen
-
Liegt ein Punkt z.B. auf einer Geraden
oder auf einem Kreis, so sagt man
auch, er sei Element der Geraden
bzw. des Kreises.
Dies wird wie folgt notiert:
P∈g ,
-
g
P
Q∈k
Liegt ein Punkt nicht auf einer
Punktemenge - z.B. einer Strecke -, so
sagt man auch, er sei nicht Element
dieser Punktemenge.
Dies wird wie folgt notiert:
s
P
P∉s
-
k
Q
Schneiden sich zwei Geraden, so
entsteht ein Schnittpunkt .
Dies wird wie folgt notiert:
g
P
h
g∩h ={P}
-
Zwei parallele Geraden besitzen
keinen Schnittpunkt.
Dies wird wie folgt notiert:
g h ,
-
g
h
g∩h ={}
Wird ein Kreis von einer Geraden
geschnitten, entstehen zwei
Schnittpunkte.
Dies wird wie folgt notiert:
Q
g
P
k
k ∩ g = { P, Q }
-
Wird ein Kreis von einer Geraden
berührt, so nennt man den
gemeinsamen Punkt Berührpunkt.
Dies wird wie folgt notiert:
B
g
k
k∩g ={B}
Mathematik -Theorie
16
2. Klasse Bezirksschule
P2
-
Schneiden sich zwei Kreise, entstehen
zwei Schnittpunkte.
Dies wird wie folgt notiert:
k1
k1 ∩ k2 = { P1, P2 }
-
Berühren sich zwei Kreise, so entsteht
ein gemeinsamer Berührpunkt.
Dies wird wie folgt notiert:
k1 ∩ k2 = { P }
P1
k2
k1
P
k2
Beschreibung von Punktemengen durch Abstände: 2 Beispiele
1.
Zwei Punkte P und Q sind 5cm voneinander entfernt. Bestimme die
Menge aller Punkte, die mindestens 4cm von P, aber höchstens 3cm
von Q entfernt sind.
Mathematik -Theorie
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2. Klasse Bezirksschule
2.
Zeichne die Menge aller Punkte, die von der Geraden g 2,5cm und von
der Geraden h 1,8cm Abstand haben, wenn gilt:
g = AB mit A(2/3), B(8/6,5) und h = CD mit C(2/7), D(10/3).
Mathematik -Theorie
18
2. Klasse Bezirksschule
2
Winkel und Messen der Winkelweite
Ein Winkel entsteht durch die Drehung einer Halbgeraden um ihren
Anfangspunkt im Gegenuhrzeigersinn.
Bei der Drehung wird die Halbgerade g auf die Halbgerade h abgebildet.
Diese Halbgeraden nennt man Schenkel des Winkels. Der gemeinsame
Anfangspunkt der Halbgeraden heisst Scheitel des Winkels.
Man kennzeichnet Winkel mit griechischen Buchstaben (α, β, γ, δ).
Winkel können aber auf verschiedene Arten bezeichnet werden:
Mathematik -Theorie
19
2. Klasse Bezirksschule
Die Grundeinheit bei der Winkelmessung ist das Grad.
1
des Vollwinkels.
1 Grad (1°) entspricht
360
(Die auf die Babylonier zurückgehende Gradmessung der Winkel ordnet dem Vollwinkel 360° zu!)
Je nach Grösse haben die Winkel unterschiedliche Namen.
Winkel werden mit Hilfe der Skala auf dem Geodreieck gemessen.
Beispiel:
α
---> α = 70°
Mathematik -Theorie
20
2. Klasse Bezirksschule
Winkel im Kreis
Kreissektor nennt man eine Fläche im Kreis, welche von zwei Radien (r) und
einem Bogen (b) des Kreises begrenzt wird.
Zentriwinkel
M
r
r
α
b
Kreissektor
Die Grösse des Kreissektors wird einerseits bestimmt durch den Kreisradius
r, andererseits durch den sogenannten Zentriwinkel α.
Kreissektoren werden in Kreisdiagrammen verwendet. Ein Kreisdiagramm ist
eine graphische Darstellung, welche die Aufteilung einer Grösse in
verschiedene Anteile veranschaulicht.
Beispiel:
In einer Schulklasse wohnen 4 Schüler in Riniken, 6 in Remigen, 2 in Villigen und 8
in Brugg.
Zeichne dazu ein Kreisdiagramm.
Vorgehen:
Die ganze Klasse (20 Schüler) entspricht der ganzen Kreisfläche (360°).
Entsprechend der Anzahl Schüler pro Gemeinde wird die Winkelweite pro Sektor
berechnet.
Die vier Kreissektoren werden in einen Kreis abgemessen.
Gemeinde
Riniken
Remigen
Villigen
Brugg
Anzahl Schüler
4
6
2
8
Grad (°)
72°
108°
36°
144°
Riniken
Brugg
Remigen
Villigen
Mathematik -Theorie
21
2. Klasse Bezirksschule
3
Anwendungen
Anwendungsmöglichkeiten der Winkelmessung in der Praxis gibt es viele.
Beispiel:
Bestimme den Neigungswinkel α eines Hausdaches, wenn
gilt: h = 0,75a.
α
Mit Hilfe einer Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks
im Dachstock wird der Winkel α bestimmt. Man wählt
dazu für a eine beliebige Länge, z.B. a = 10 cm.
Durch Messung erhält man: α ≅ 56°.
h = 0,75a
= 7,5 cm
α
a/2 = 5cm
Mathematik -Theorie
22
2. Klasse Bezirksschule
4
Achsenspiegelung
Die Achsenspiegelung ist eine geometrische Abbildung, welche jeden Punkt
einer Originalfigur auf seinen zugehörigen Bildpunkt abbildet, indem jener an
der Spiegelachse gespiegelt wird.
Beispiel 1:
Spiegelachse
Originalfigur
Bildfigur
Eigenschaften der Achsenspiegelung
1.
Die Strecken AA’, BB’ und CC’ stehen senkrecht zur Spiegelachse g.
2.
Die Punkte A und A’ sind gleich weit von der Spiegelachse g entfernt
(gilt auch für B und B’, sowie C und C’).
3.
Punkte auf der Spiegelachse werden auf sich selber abgebildet. Man
nennt sie Fixpunkte.
4.
Durch eine Achsenspiegelung wird der Umlaufsinn der Figur
umgekehrt, d.h. die Beschriftung erfolgt nachher im Uhrzeigersinn.
5.
Die Originalfigur und die Bildfigur sind deckungsgleich (kongruent).
Mathematik -Theorie
23
2. Klasse Bezirksschule
Beispiel 2:
Spiegelachse
Achsensymmetrie
Bei bestimmten Figuren lässt sich eine Spiegelachse so einzeichnen, dass
die Figur bei einer Spiegelung auf sich selber abgebildet wird.
Solche Figuren nennt man achsensymmetrisch. Die Spiegelachse wird in
solchen Fällen auch Symmetrieachse genannt.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
Symmetrieachsen
24
2. Klasse Bezirksschule
5
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Die Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte m einer Strecke AB ist die Gerade, welche rechtwinklig
zu dieser Strecke ist und durch deren Mittelpunkt geht.
Die Mittelsenkrechte ist der geometrische Ort der Punkte, die von A und B
gleichen Abstand haben.
Konstruktion
Um die Punkte A und B zeichnet man
Kreisbögen mit gleichem Radius. Der Radius
muss grösser als die halbe Streckenlänge
sein. Die Kreisbögen schneiden sich in P1
und P2. Die Gerade durch P1 und P2 ist die
Mittelsenkrechte m. M ist der Mittelpunkt der
Strecke AB.
m
Die Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende w eines Winkels <gh ist die Gerade, welche das durch
die Schenkel g und h begrenzte Winkelfeld in zwei kongruente Winkelfelder
teilt.
Die Winkelhalbierende ist der geometrische Ort der Punkte, die von den
Schenkeln g und h gleichen Abstand haben.
h
Konstruktion
w
g
Mathematik -Theorie
Um den Scheitelpunkt S des Winkels zeichnet
man einen Kreisbogen mit beliebigem Radius.
Er schneidet die Schenkel g und h in den
Punkten P1 und P2. Um diese Punkte zeichnet
man Kreisbögen mit gleichem Radius. Diese
schneiden sich im Punkt P3. Die Gerade durch
den Scheitelpunkt S und den Punkt P3 ist die
Winkelhalbierende w des Winkels.
25
2. Klasse Bezirksschule
C Brüche und Prozente
1
Brüche und Bruchteile
Gemeine Brüche
Teilt man ein Ganzes in 4 gleiche Teile, so erhält man als Bruchstücke
Viertel.
1
4
Zähler
Es gilt: 1 Viertel =
1
4
Nenner
Die Anzahl der Teile, in die man ein Ganzes unterteilt, nennt man Nenner.
Er steht unter dem Bruchstrich.
Die Anzahl, die angibt, wie viele dieser Teile gemeint sind, nennt man Zähler.
Er steht über dem Bruchstrich.
Brüche, welche mit einem Bruchstrich dargestellt werden, heissen gemeine
Brüche.
Man unterscheidet verschiedene Arten von gemeinen Brüchen:
1
Stammbrüche:
der Zähler ist 1
1 1 1 1
( , , , , ... ) .
2 3 4 5
2
Echte Brüche:
der Zähler ist kleiner als der Nenner
2 5 3 25
( , ,
,
, ... ) .
3 8 10 26
3
Unechte Brüche:
der Zähler ist grösser als der Nenner
3 16 9 31
( , , , , ... ) .
2 5 8 18
Mathematik -Theorie
26
2. Klasse Bezirksschule
4
Scheinbrüche:
der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners
4 6 4 20
, ... ) .
( , , ,
2 3 4 5
Es gilt ferner zu beachten :
-
Unechte Brüche können als gemischte Zahl geschrieben werden.
(Beispiele:
-
Scheinbrüche können durch eine natürliche Zahl ersetzt werden.
(Beispiele:
-
5
11
83
>1 ,
>1 ,
> 1)
4
10
82
Brüche haben den Wert 1, wenn der Zähler gleich gross wie der Nenner
ist.
(Beispiele:
-
3
9
81
<1 ,
<1 ,
<1)
4
10
82
Brüche sind grösser als 1, wenn der Zähler grösser als der Nenner ist.
(Beispiele:
-
4
4
20
=2,
= 1,
=4 )
2
4
5
Brüche sind kleiner als 1, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist.
(Beispiele:
-
3
1 17
2 15
7
=1 ,
= 3 ,
=1 )
2
2
5
5
8
8
4
10
82
=1 ,
=1 ,
=1)
4
10
82
Gemeine Brüche werden meistens in gekürzter Form notiert.
(Beispiele:
Mathematik -Theorie
6
3
24
4
120
1
,
,
)
=
=
=
8
4
30
5
240
2
27
2. Klasse Bezirksschule
Dezimalbrüche
Dividiert man bei einem gemeinen Bruch den Zähler durch den Nenner, erhält
man einen Dezimalbruch.
1
= 1 : 4 = 0,25
4
Beispiel:
gemeiner Bruch
Dezimalbruch
Gemeine Brüche lassen sich immer in Dezimalbrüche verwandeln, doch
entstehen verschiedene Formen. Es gibt drei Fälle:
1
Der entstehende Dezimalbruch ist endlich (bricht ab).
Beispiel:
2
1
= 0,125
8
Der entstehende Dezimalbruch ist unendlich (bricht nicht ab) und
periodisch (sich regelmässig wiederholende Ziffernfolge).
1
1
= 0,333... = 0,3 ,
= 0,090909... = 0,09
Beispiele:
3
11
Die sich regelmässig wiederholende Ziffernfolge wird in der Kurzschreibweise überstrichen !
3
Der entstehende Dezimalbruch ist unendlich und erst von einer
gewissen Stelle an periodisch.
Beispiele:
1
1
= 0,1666... = 0,16 ,
= 0,08333... = 0,083
6
12
Nur die sich regelmässig wiederholende Ziffernfolge wird in der Kurzschreibweise überstrichen !
Umgekehrt lassen sich viele, aber nicht alle Dezimalbrüche in gemeine
Brüche verwandeln.
35
7
=
100
20
1
0,35 =
2
π = 3,141592654...
Mathematik -Theorie
(nicht abbrechender, nicht periodischer Dezimalbruch!)
28
2. Klasse Bezirksschule
Der gemeine Bruch als Operator
Wenn ein gemeiner Bruch als Operator eingesetzt wird, wird in zwei Schritten
das Resultat bestimmt.
Der Nenner ist der Divisor, der Zähler der Multiplikator .
Beispiel:
„ Bestimme
2
von 21.“
3
Die dazugehörige Gleichung lautet:
21 ⋅
2
= 14 .
3
Zahlenmengen
-
Natürliche Zahlen:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
-
Ganze Zahlen:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
-
Rationale Zahlen:
Q+ = {alle positiven Brüche}
Q = {alle Brüche}
Mathematik -Theorie
29
2. Klasse Bezirksschule
2
Verschiedene Zahlen der gleichen Form
Unterteilt man einen Kreis in vier gleich grosse Teile und nimmt einen Teil
davon, erhält man gleich viel, wie wenn man denselben Kreis in acht gleich
grosse Teile unterteilt und zwei Teile davon nimmt.
· 2
1
4
Es gilt folglich:
2
8
=
· 2
Multipliziert man Zähler und Nenner des ersten Bruches mit 2, erhält man den
zweiten Bruch. Dieser Vorgang heisst Erweitern.
→
Beim Erweitern wird die Form eines Bruches verändert, nicht aber
dessen Wert!
Beispiele:
Mathematik -Theorie
Erweitere
3
mit 5
8
→
3 ⋅ 5 15
=
8 ⋅ 5 40
Erweitere
2a
mit 4ab
3b
→
2a ⋅ 4ab 8a 2b
=
3b ⋅ 4ab 12ab2
Erweitere
6x 2
2
mit 12xy
25xy 2
→
6x 2 ⋅ 12xy 2
72x 3 y 2
=
25xy 2 ⋅ 12xy 2 300x 2 y 4
30
2. Klasse Bezirksschule
Weisen Zähler und Nenner eines Bruches einen oder mehrere gemeinsame
Teiler auf, kann der Bruch gekürzt werden, indem Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl dividiert werden.
Die kann schrittweise oder direkt erfolgen!
:2
36
120
Beispiel:
=
:2
18
60
:2
=
:3
9
30
=
:2
3
10
(schrittweise)
:3
:12
36
120
=
3
10
(direkt)
:12
→
Beim Kürzen wird die Form eines Bruches verändert, nicht aber
dessen Wert!
Kann ein Bruch nicht mehr weiter gekürzt werden, steht er in der
sogenannten Grundform.
18
48
Beispiel:
=
9
24
=
3
8
Grundform
Auch Bruchterme (Brüche mit Buchstaben) lassen sich kürzen!
Beispiel:
12x 2 y
20xy 3
Mathematik -Theorie
=
12 ⋅ x ⋅ x ⋅ y
20 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y
31
=
3⋅x
5⋅y⋅y
=
3x
5y 2
2. Klasse Bezirksschule
3
Brüche und Dezimalbrüche
Es gibt 2 Arten von Brüchen: Dezimalbrüche und gemeine Brüche.
Beispiele:
- Dezimalbrüche:
- Gemeine Brüche:
0,58 / 3,0654 / 0,0001
1
5
9
/
/
5
3
28
Gemeine Brüche können in Dezimalbrüche umgewandelt werden und
umgekehrt.
Beispiel:
1
= 0,5
2
Es ist wichtig, dass man die Umwandlungstechniken kennt.
Umformung von gemeinen Brüchen in Dezimalbrüche
Gemeine Brüche lassen sich immer in Dezimalbrüche verwandeln. Es gibt
drei Arten von Dezimalbrüchen, die entstehen können.
1.
Abbrechende Dezimalbrüche:
Beispiel:
2.
3
= 3 : 8 = 0,375 .
8
Rein periodische Dezimalbrüche (nicht abbrechend):
Beispiel:
4
= 4 : 9 = 0,444... = 0,4 .
9
→ Die Ziffer 4 ist die Periode.
3.
Periodische Dezimalbrüche mit Vorziffer/n (nicht abbrechend):
Beispiel:
5
= 5 : 12 = 0,41666... = 0,416 .
12
→ Die Ziffern 4 und 1 sind die Vorziffern , die Ziffer 6 ist die Periode.
Mathematik -Theorie
32
2. Klasse Bezirksschule
Umformung von Dezimalbrüchen in gemeine Brüche
Man unterscheidet zwei Umwandlungsarten:
1.
Umwandlung von abbrechenden Dezimalbrüchen:
Hier erfolgt die Umwandlung, indem die Ziffernfolge rechts des Kommas durch die
Stelleneinheit der letzten Ziffer dividiert wird. Anschliessend wird gekürzt.
Beispiel:
2.
0,325 =
325
1000
=
13
.
40
Umwandlung von nicht abbrechenden Dezimalbrüchen:
Hier wird unterschieden zwischen den rein periodischen Dezimalbrüchen und den
periodischen Dezimalbrüchen mit Vorziffer/n.
Rein periodische Dezimalbrüche
Beispiele:
0,1 =
1
9
1
99
/ 0,01 =
/
0,001 =
1
999
/ etc.
Daraus lässt sich ableiten:
0,6 =
6
2
=
9
3
/ 0,36 =
36
4
618
206
=
/ 0,618 =
=
.
99
11
999
333
Periodische Dezimalbrüche mit Vorziffer/n
Beispiele:
0,01 =
1
90
/ 0,001 =
1
990
/ 0,0001 =
1
9990
/ etc.
Daraus lässt sich ableiten:
6
1
36
2
=
/ 0,036 =
=
90
15
990
55
618
103
0,0618 =
=
.
9990
1665
0,06 =
/
Falls die Vorziffer ≠ 0 ist, erfolgt die Umwandlung wie folgt:
0,53 = 0,5 + 0,03 =
1
2
Mathematik -Theorie
+
3
1
1
15
1
16
8
=
+
=
+
=
=
.
90
2
30
30
30
30
15
33
2. Klasse Bezirksschule
4
Bruchteile und Prozente
Der Begriff "Prozent " ist lateinisch und heisst "von Hundert ".
Als Abkürzung für "Prozent" verwendet man das Zeichen " % ".
Es gilt:
1%
Beispiel:
Berechne 1% von 5’625Fr.
→
=
1 von 100
5’625Fr. ⋅
1
100
=
1
100
= 5’625Fr. : 100 = 56,25Fr.
Bei der Berechnung von mehr als 1% erhalten wir in zwei Schritten das
Resultat:
Beispiel:
Berechne 6% von 1’040kg
⋅
→
1’040kg
: 100
→
Da die Gleichung
1’040kg ⋅
6% =
in einem Schritt lösen:
Mathematik -Theorie
6
100
6
100
10,4kg
6
100
62,4kg
⋅6
= (1’040kg : 100) ⋅ 6 = 62,4kg
= 0,06
gilt, lässt sich die Aufgabe auch
1’040kg ⋅ 0,06 = 62,4kg .
34
2. Klasse Bezirksschule
D Operationen mit Brüchen
1
Vergleich von Brüchen
Es geht in diesem Kapitel ausschliesslich um den Grössenvergleich von
gemeinen Brüchen !
Der Vergleich von Dezimalbrüchen ist wegen der Stellenwertschreibweise
problemlos.
Beispiel:
0,7358 > 0,7349
Haben gemeine Brüche entweder den gleichen Nenner oder den gleichen
Zähler, ist der Grössenvergleich ebenfalls nicht schwierig.
Beispiele:
5
8
<
6
8
3
4
>
3
5
Um aber nicht nur in diesen Ausnahmefällen gemeine Brüche vergleichen zu
können, brauchen wir eine allgemein gültige Regel. Diese lautet:
Brüche mit verschiedenen Nennern müssen durch Erweitern zuerst gleichnamig
gemacht werden , d.h. auf den gleichen Nenner - den sogenannten Hauptnenner gebracht werden .
Beispiel:
2
5
oder
?
3
7
Welcher Bruch ist grösser :
2 14
=
,
3
21
5 15
=
7
21
→
5
2
>
7
3
Hauptnenner
Mathematik -Theorie
35
2. Klasse Bezirksschule
Das Gleichnamigmachen der Brüche ist eigentlich problemlos, denn im
Prinzip brauchten die gegebenen Nenner nur miteinander multipliziert zu
werden. Dies kann unter Umständen aber sehr grosse Zahlen ergeben!
3
5
,
.
32
48
Beispiel:
3
3 ⋅ 48
144
=
=
32 32 ⋅ 48 1536
,
5
5 ⋅ 32
160
=
=
48 48 ⋅ 32 1536
Es geht deshalb bei der Bestimmung des Hauptnenners darum, das kleinste
gemeinsame Vielfache (kgV) der gegebenen Nenner zu bestimmen!
Bei kleineren Zahlen findet man das kgV oft durch Probieren, bei grösseren
Zahlen verwendet man das Prinzip der Primfaktorzerlegung.
Hauptnenner bestimmen mit Hilfe der Primfaktorzerlegung
Die Brüche
1.
2.
3.
3
5
7
,
und
sollen der Reihe nach geordnet werden.
32
48
60
Die Nenner 32 , 48 und 60 in ein Produkt aus Primfaktoren zerlegen.
→
→
→
32
48
60
= 2⋅2⋅2⋅2⋅2
= 2⋅2⋅2⋅2⋅3
= 2⋅2⋅3⋅5
→
kgV = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 480
Die Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner 480 bringen.
→
3
45
=
32
480
→
5
50
=
48
480
→
7
56
=
60
480
Die Brüche ordnen:
→
7
5
3
>
>
60
48
32
Mathematik -Theorie
36
2. Klasse Bezirksschule
2
Addition und Subtraktion von Brüchen
Bei der Addition und Subtraktion von gemeinen Brüchen besteht die
Schwierigkeit darin, dass wir diese Operationen nur durchführen können,
wenn die Brüche alle denselben Nenner aufweisen.
Weil das meistens nicht der Fall ist, müssen wir vorher gleichnamig machen,
d.h. alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen.
Beispiel:
4
5
+
= ?
15
12
1.
Hauptnenner ( = kgV ) bestimmen:
2.
3.
→
15 = 3 ⋅ 5
→
12 = 3 ⋅ 4
→
kgV = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60
Gleichnamig machen durch Erweitern:
→
4
16
=
15
60
→
5
25
=
12
60
Gleichnamig gemachte Brüche addieren und ev. kürzen:
→
4
5
16
25
41
+
=
+
=
15
12
60
60
60
Falls gemischte Zahlen addiert oder subtrahiert werden, müssen diese zuerst
in unechte Brüche verwandelt werden!
Beispiel:
2
3
1
1
+ 1 − 3
8
3
18
171
96
220
+
−
72
72
72
Mathematik -Theorie
=
=
37
19
4
55
+
−
8
3
18
=
47
72
2. Klasse Bezirksschule
3
Vervielfachen und Teilen eines Bruches
Bei der Multiplikation eines gemeinen Bruches mit einer natürlichen Zahl gilt
folgende Regel:
Ein gemeiner Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem
man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.
Beispiele:
5
⋅ 3
8
=
3
⋅ 2
10
Achtung:
=
15
8
6
10
=
3
5
Nicht vergessen zu kürzen !
Bei der Division eines gemeinen Bruches durch eine natürliche Zahl gilt
folgende Regel:
Ein gemeiner Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man:
-
den Zähler durch diese Zahl dividiert und den Nenner beibehält,
oder (falls dies nicht möglich ist):
-
den Nenner mit dieser Zahl multipliziert und den Zähler beibehält.
Beispiele:
8
: 4
15
=
2
15
3
: 2
10
=
3
20
4
: 6
5
Achtung:
Mathematik -Theorie
=
4
30
=
2
15
Nicht vergessen zu kürzen !
38
2. Klasse Bezirksschule
Bei der Multiplikation oder Division von gemischten Zahlen mit natürlichen
Zahlen, werden erstere zuerst in unechte Brüche verwandelt.
Beispiele:
2
3
2
⋅ 4
3
=
3
: 4
8
=
8
⋅ 4
3
=
32
3
27
: 4
8
=
27
32
Bei der Multiplikation und Division von gemeinen Brüchen mit Buchstaben ist
das Vorgehen analog.
Besonders wichtig ist hier, dass sorgfältig gekürzt wird !
Beispiele:
a
⋅ c
b
2x ⋅
ac
b
=
3y
4
6xy
4
=
5a
⋅ 2ab
6b
=
a
: c
b
a
bc
4a
: 6a
5b
=
=
10a 2b
6b
4a
30ab
16pq2
: 24p 2q2r 2 =
81r
2
2
=
81⋅ 3pr 3
243pr 3
Mathematik -Theorie
3xy
2
=
39
=
=
5a 2
3
2
15b
16pq2
81⋅ 24p2 q2r 3
=
2. Klasse Bezirksschule
4
Multiplikation von Brüchen
Zwei gemeine Brüche werden miteinander multipliziert, indem man die beiden
Zähler miteinander multipliziert und die beiden Nenner miteinander
multipliziert.
a
c
a⋅c
⋅
=
b
d
b⋅d
Regel:
Beispiele:
1
3
5
3⋅5
15
⋅
=
=
4
7
4⋅7
28
→ Mit Hilfe eines Operatordiagrammes lässt sich
das Produkt auch bestimmen!
2
3
2
3⋅2
6
1
⋅
=
=
=
4
3
4⋅3
12
2
→ Besser:
falls möglich vor dem Multiplizieren
Zähler und Nenner kürzen !
1
1
3
2
3⋅2
⋅
=
=
4
3
4
3
⋅
2
1
3
2
1
2
1
2
9
17
9 ⋅ 17
153
⋅ 3
=
⋅
=
=
4
5
4
5
4⋅5
20
→ Gemischte Zahlen werden vor dem Multiplizieren in
unechte Brüche verwandelt!
Mathematik -Theorie
40
2. Klasse Bezirksschule
a
a
8b
⋅
2b
5a
2
4
3
=
4b2
a ⋅ 8b3
2b ⋅ 5a
2
1
=
1
4ab2
5
→ Bruchterme (gemeine Brüche mit Buchstaben) werden analog
multipliziert!
Vergrössern und verkleinern
Bei der Multiplikation eines Ausdruckes ist es vom Multiplikator abhängig, ob
das Resultat grösser oder kleiner ist als der ursprüngliche Wert.
Regeln:
-
Das Produkt wird grösser, wenn die Zahl, mit der multipliziert
wird, grösser als 1 ist.
2 ⋅
Beispiel:
-
=
6
2
= 3
→
3 > 2
Das Produkt wird kleiner, wenn die Zahl, mit der multipliziert
wird, kleiner als 1 ist.
2 ⋅
Beispiel:
-
3
2
3
4
=
6
4
3
2
=
3
2
→
< 2
Das Produkt bleibt gleich gross, wenn die Zahl, mit der
multipliziert wird, gleich gross wie 1 ist.
2 ⋅
Beispiel:
3
3
=
6
3
= 2
→
2 = 2
Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten werden oft mit gemeinen Brüchen angegeben.
Beispiele:
-
Die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne
mit 1 blauen und 1 schwarzen Kugel
die blaue Kugel zu ziehen, beträgt
1
w =
.
2
-
Die Wahrscheinlichkeit, zweimal
hintereinander die blaue Kugel
aus derselben Urne zu ziehen
(mit Zurücklegen!), beträgt
1
w =
⋅
2
Mathematik -Theorie
1
2
=
1
.
4
41
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
2. Klasse Bezirksschule
5
Division durch Brüche
Werden Zähler und Nenner eines gemeinen Bruches vertauscht, erhält man
den sogenannten Kehrwert (Reziprokwert) des Bruches.
Beispiel:
Der Kehrwert von
3
4
ist
.
4
3
Multipliziert man einen gemeinen Bruch mit seinem Kehrwert, erhält
man immer 1.
3 4
12
⋅
=
= 1
4 3
12
Beispiel:
Dividiert man einen gemeinen Bruch durch sich selber, erhält man
ebenfalls 1.
3 3
:
= 1
4 4
Beispiel:
Daraus folgt, dass die Division durch einen gemeinen Bruch der Multiplikation
mit dessen Kehrwert entspricht.
3
3
:
4
4
Beispiel:
=
3
4
⋅
4
3
=
1
Die allgemeine Formel lautet:
:
a
b
=
Mathematik -Theorie
⋅
b
a
42
2. Klasse Bezirksschule
Beispiele:
1
1 1
1 4
4
:
=
⋅
=
= 2
2 4
2 1
2
2
2 5
2 6
12
4
:
=
⋅
=
=
3 6
3 5
15
5
Umkehroperatoren : Betrachtungen am Operatordiagramm
Beispiel:
⋅
12
Mathematik -Theorie
2
3
2
:
3
3
2
/
:
/
3
⋅
2
8
→
Von links nach rechts gelangt man mit den Operatoren
2
3
oder :
.
⋅
2
3
→
Von rechts nach links gelangt man mit den Operatoren
2
3
:
oder ⋅
.
3
2
→
Der Umkehroperator von ⋅
2
3
ist :
2
!
3
→
Der Umkehroperator von :
3
2
ist ⋅
3
!
2
43
2. Klasse Bezirksschule
6
Mal so, mal so ...
Es ist bei vielen Aufgaben der Fall, dass gemeine Brüche und Dezimalbrüche
zusammen auftreten.
Solche Aufgaben sind meistens einfacher zu lösen, wenn ausschliesslich mit
gemeinen Brüchen operiert wird, vor allem wenn nicht abbrechende Dezimalbrüche enthalten sind.
Beispiele:
5
1
5
5
8
20
15
13
− 0,625 =
+
−
=
+
−
=
6
3
6
8
24
24
24
24
0,3 +
1,5 :
4
5 4
14 4
14 9
7
:
= 1 :
=
=
⋅
=
9
9 9
9
9
9
4
2
2
1
7
2 3
1
7
2 4
⋅ ( 0,75 + ) =
−
⋅( + ) =
−
⋅
=
3
4
10
3
4
4
10
3 4
7
2
21
20
1
−
=
−
=
10
3
30
30
30
0,7 −
Auch bei Sätzchenaufgaben ist es meistens einfacher, mit gemeinen Brüchen
zu rechnen!
Beispiel:
„Zerlege 1,1 in zwei Summanden, so dass der eine um
ist als der andere.“
1,1
x
Mathematik -Theorie
=
=
3
⋅x)
4
x + (x +
1,1 : 2
3
4
=
1. Summand :
2
5
2. Summand:
1
11
10
=
:
11
4
x + (1
=
3
⋅x)
4
11
10
⋅
3
grösser
4
=
4
11
2
=
3
⋅x
4
2
5
3 2
7 2
7
⋅
=
⋅
=
4 5
4 5
10
44
2. Klasse Bezirksschule
E Zuordnungen
1
Darstellen von Zuordnungen : Diagramme und
Tabellen
Bei einer Zuordnung wird einem Element einer Ausgangsmenge ein Element
einer Zielmenge zugeordnet.
Beispiel:
Ausgangsmenge:
Gewicht in kg
(z.B. von Brot)
Zielmenge:
Preis in Fr.
(von Brot)
Zuordnung:
Gewicht in kg
Preis in Fr.
z.B.
12,60 Fr.
3 kg
Ausgangsmenge
Zielmenge
Häufig verwendet man Pfeile für die Darstellung:
3 kg
12,60 Fr.
Zuordnungen sind aus mathematischer Sicht dann von Bedeutung, wenn es
sich um gesetzmässige Zuordnungen handelt, d.h. wenn eine eindeutige
Zuordnungsvorschrift vorliegt.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
Zuordnungsvorschrift:
a
3⋅a
Zuordnung von Elementen:
2
6
5
15
7
21
45
2. Klasse Bezirksschule
Zur übersichtlichen Darstellung einer Zuordnung mehrerer Elemente
(Zahlen oder Grössen) verwendet man eine sogenannte Wertetabelle.
Beispiel:
Zuordnungsvorschrift:
x
4⋅x
Zuordnung:
x
4⋅x
Wertetabelle
2
8
3
12
5
20
8
32
Diese einander zugeordneten Zahlen können als Punkte in einem
Koordinatensystem dargestellt werden.
4⋅⋅x
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1
Mathematik -Theorie
2
3
4
5
6
46
7
8
x
2. Klasse Bezirksschule
2
Proportionale Zuordnungen
Gehört bei einer Zuordnung zum Doppelten / Dreifachen / ... der ersten
Grösse das Doppelte / Dreifache ... der zweiten Grösse, so nennt man diese
Zuordnung proportionale Zuordnung.
Beispiel:
Gewicht
⋅2
⋅3
Preis
1 kg
4 Fr.
2 kg
8 Fr.
6 kg
24 Fr.
⋅2
⋅3
In der graphischen Darstellung im Koordinatensystem ergibt die proportionale
Zuordnung immer eine Gerade durch den Nullpunkt.
Preis, Fr.
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
6
7
8
Gewicht, kg
Mathematik -Theorie
47
2. Klasse Bezirksschule
3
Berechnungen bei proportionalen Zuordnungen
Bei Berechnungen dieser Art ist jeweils ein Grössenpaar mit zwei einander
zugeordneten Werten gegeben.
Von einem zweiten oder dritten Grössenpaar ist dann nur eine Grösse
gegeben, die zweite muss berechnet werden.
Beispiel:
„1 kg Teigwaren kostet 3 Fr. Wie teuer sind 2 kg / 6 kg ?“
Gewicht, kg
⋅2
Preis, Fr.
1
3
2
6
6
18
Senkrechte Operatoren
⋅2
⋅3
⋅3
⋅3
Waagrechter Operator
Mit Hilfe der senkrechten Operatoren bzw. des waagrechten Operators
lassen sich die fehlenden Grössen bestimmen.
Falls die gegebenen Grössen ungünstig sind für das Bestimmen der
senkrechten Operatoren bzw. des waagrechten Operators, erfolgt der
„Umweg über 1“.
Beispiel:
„x m Stoff kosten 45 Fr. Wie teuer sind y m ?“
Länge, m
:x
⋅y
Preis, Fr.
x
45
:x
45
x
1
45 ⋅ y
x
y
Mathematik -Theorie
⋅y
48
2. Klasse Bezirksschule
4
Umgekehrt proportionale Zuordnungen
Gehört bei einer Zuordnung zum Doppelten / Dreifachen / ... der ersten
Grösse die Hälfte / ein Drittel ... der zweiten Grösse, so nennt man diese
Zuordnung umgekehrt proportionale Zuordnung.
Beispiel:
„1 Arbeiter benötigt zum Ausheben einer Grube 12 Tage.
Welche Zeit benötigen 3 / 6 Arbeiter dazu?“
Arbeiter
⋅3
Tage
1
⋅
12
3
⋅
4
6
⋅
2
:3
:2
⋅2
=
12 „Arbeitertage“
=
12 „Arbeitertage“
=
12 „Arbeitertage“
Umkehroperatoren
Konstantes Produkt
In der graphischen Darstellung im Koordinatensystem ergibt die umgekehrt
proportionale Zuordnung immer eine Hyperbel .
Tage
12
11
10
9
8
Hyperbel
7
6
5
4
3
2
1
0
Mathematik -Theorie
1
2
3
4
5
6
7
8
49
9
10
11
12
Arbeiter
2. Klasse Bezirksschule
5
Allgemeine Darstellung von Zuordnungen
Zwei Mengen M1 und M2 sind vorgegeben. Durch eine Zuordnungsvorschrift
wird jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zugeordnet.
Beispiel:
M1 = {1, 2, 3, 4} ,
x
M1
M2 = {5, 6, 7, 8}
x+4
(Zuordnungsvorschrift)
1
5
4
8
3
7
2
6
M2
Ist eine Zuordnungsvorschrift gegeben, können Zuordnungen in einer
Wertetabelle und im Koordinatensystem dargestellt werden.
Beispiel:
4
y
y
12
y
4
y
0.5
8
1
4
2
2
4
1
8
0.5
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Mathematik -Theorie
1
2
3
4
5
6
50
7
8
9
10
11
12
2. Klasse Bezirksschule
6
Weitere Berechnungen bei proportionalen und
umgekehrt proportionalen Zuordnungen
Beispiele: „Ein quaderförmiger, 30 cm langer, 12 cm breiter und 15 cm
hoher Holzblock wiegt 3,24 kg.
Wie viel wiegt ein Würfel mit 15cm Kantenlänge aus dem
gleichen Holz?“
VQuader = 30 cm ⋅ 12 cm ⋅ 15 cm = 5 400 cm3
VWürfel = 15 cm ⋅ 15 cm ⋅ 15 cm = 3 375 cm3
Volumen, cm3
Gewicht, g
5 400
3 240
3 375
2 025
Proportionale
Zuordnung
„Die Vorderräder eines Wagens drehen sich auf dem Weg von A
nach B 2'300 mal. Sie haben einen Umfang von 108 cm.
Wie oft drehen sich die Hinterräder auf der gleichen Fahrt, wenn
sie 120 cm Umfang haben?“
Umdrehungen
Umfang,cm
2 300
108
2 070
120
Mathematik -Theorie
Umgekehrt proportionale
Zuordnung
51
2. Klasse Bezirksschule
7
Weitere Betrachtungen zu Zuordnungen
Beispiel:
„Trage im Koordinatensystem den Punkt A (2/6) ein. Zeichne mit
Hilfe entsprechender Wertetabellen die graphische Darstellung
einer Proportionalität bzw. einer umgekehrten Proportionalität, die
den Punkt A enthält.“
Proportionalität
Umgekehrte Proportionalität
x
y
x
y
2
6
2
6
1
3
1
12
3
9
3
4
4
12
4
3
6
2
12
1
y
12
11
10
9
8
7
A
6
5
4
3
2
1
0
Mathematik -Theorie
1
2
3
4
5
6
7
52
8
9
10
11
12
x
2. Klasse Bezirksschule
F Arithmetik im Alltag
1
Prozentrechnen: Begriffe und Berechnung des
Prozentwertes
Der Begriff Prozent ist lateinisch und heisst von Hundert .
1 % einer Grösse entspricht also 1 Hundertstel dieser Grösse.
Es gilt folglich:
1%
Daraus folgt:
100 %
1
100
=
=
100
100
=
0,01
=
1
=
„das Ganze“
Ein Operatordiagramm stellt die Struktur des Prozentrechnens dar :
⋅p%
→
G
W
G
:
Grundwert (das Ganze = 100 %)
p%
:
Prozentsatz
W
:
Prozentwert
Die entsprechende Gleichung sieht wie folgt aus:
G
⋅
p%
=
W
-
Das Ganze, von dem ein Teil ermittelt wird, heisst Grundwert G und
entspricht immer 100 %.
-
Der Teil, der vom Ganzen ermittelt wird, heisst Prozentwert W.
-
Der Prozentsatz p % gibt an, welcher prozentuale Anteil des Ganzen
ermittelt wird.
Mathematik -Theorie
53
2. Klasse Bezirksschule
Beispiel:
„Von den 25 Schülern einer Klasse sind 60% Knaben.
Bestimme die Anzahl der Knaben.“
Grundwert G :
25 Schüler
Prozentwert W :
Anzahl der Knaben (gesucht)
Prozentsatz p % :
60 % = 0,6
⋅ 60 %
→
25 Schüler
W
G ⋅ p%
=
W
25 Schüler ⋅ 0,6
=
=
15 Schüler
Promille
Bei Versicherungsprämien oder Alkoholtests kommen Angaben vor, die
häufig kleiner als 1 % des Grundwertes sind.
Aus diesem Grunde rechnet man dort häufig mit Tausendsteln.
Es gilt :
1
1000
=
10 00
=
1 Promille
Prozentangaben
Es gilt:
25 %
aber:
p%
Mathematik -Theorie
=
=
25
100
p
100
=
≠
0,25
0,0p oder 0,p
54
2. Klasse Bezirksschule
2
Prozentrechnen: Berechnung von Prozentsatz und
Grundwert
Berechnung des Prozentsatzes
Die Grundgleichung des Prozentrechnens lautet:
G
⋅
p%
=
W
Um den Prozentsatz p% zu bestimmen, muss die obige Gleichung nach p%
umgeformt werden. Es gilt folglich:
p%
W
G
=
Beispiel:
Wie viel % sind 45kg von 1 500 kg ?
G = 1’500 kg
W = 45 kg
p% =
W
45 kg
=
= 0,03 = 3%
G
1500 kg
Bruchteile und Prozente
Prozentsätze kann man in gemeine Brüche verwandeln (und umgekehrt).
Beispiele:
20% =
3
4
Mathematik -Theorie
20
1
=
100
5
= 0,75 = 75%
55
2. Klasse Bezirksschule
Was ist G , was ist W ?
In einigen Aufgaben muss zuerst aufgrund des Sachverhaltes entschieden
werden, welche Grösse dem Grundwert G und welche Grösse dem
Prozentwert W entspricht.
Beispiel:
„Christoph ist 1,80 m gross, Bettina 1,60 m.
Um wie viel % ist Christoph grösser als Bettina?“
→
Was nach ‚als’ folgt entspricht dem Grundwert G ,
folglich ist der Grundwert G = 1,60 m !
G = 1,60 m
W = 1,80 m
p% =
→
W
1,80 m
=
= 1,125 = 112,5%
G
1, 60 m
Christoph ist um 12,5% grösser als Bettina.
Absolut und relativ
Beispiel:
„In einer Schulklasse mit 20 Schülern wohnen
6 Schüler in Brugg.“
→
6 Schüler ist eine absolute Angabe .
→
6 Schüler von 20 Schülern =
6
3
=
= 0,3 = 30%
20
10
ist eine relative Angabe (in Bruchform und in %).
Mathematik -Theorie
56
2. Klasse Bezirksschule
Berechnung des Grundwertes
Um den Grundwert G zu bestimmen, muss die Grundgleichung nach G
umgeformt werden. Es gilt folglich:
G =
W
p%
Beispiel:
„Eine Fabrik produziert Schrauben. 2% aller Schrauben
sind unbrauchbar. Wie viele Schrauben wurden hergestellt,
wenn 80 aussortiert werden mussten?“
W = 80 Schrauben
p% = 2%
G =
Mathematik -Theorie
W
80 Schrauben
=
= 4 000 Schrauben
p%
0,02
57
2. Klasse Bezirksschule
3
Anwendungen des Prozentrechnens
Bei Aufgaben, in denen das Prozentrechnen zur Anwendung kommt, muss
zuerst die vorgegebene Situation mit den Begriffen des Prozentrechnens
(Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%) in Verbindung gebracht
werden.
In erster Linie stellt sich dabei die Frage, welche Grösse dem Grundwert G
entspricht.
In den folgenden vier Sachsituationen ist es von entscheidender Bedeutung,
den verschiedenen neuen Ausdrücken die korrekten Begriffe ( G, W, p%)
zuordnen zu können.
Rabatt
Das Wort Rabatt stammt aus dem Italienischen und bedeutet Preisnachlass.
Damit ist ein prozentualer Preisabschlag auf den eigentlichen Verkaufspreis
gemeint.
Rabatt wird zum Beispiel gewährt beim Bezug von grossen Mengen
(Mengenrabatt) oder beim Verkauf von beschädigten oder auslaufenden
Artikeln (Sonderrabatt).
Beispiel:
„Auf eine leicht zekratzte Stereoanlage, welche eigentlich
2 500 Fr. kostet, gewährt der Händler 15% Rabatt.
Wie gross ist der Rabatt in Fr. und wie viel muss noch
bezahlt werden?“
G = 2 500 Fr.
p% = 15%
W = G ⋅ p% = 2 500 Fr. ⋅ 0,15 = 375 Fr.
2 500 Fr. – 375 Fr. = 2 125 Fr.
Mathematik -Theorie
58
2. Klasse Bezirksschule
Skonto
Das Wort Skonto stammt ebenfalls aus dem Italienischen und bedeutet
Abzug.
Damit ist ein prozentualer Abzug vom eigentlichen Rechnungsbetrag bei
sofortiger Zahlung (oder innerhalb einer Frist, meistens 30 Tagen) gemeint.
Skonto wird zum Beispiel gewährt, weil sich der Händler bei prompter
Bezahlung Umtriebe erspart (Mahnungen) und dafür den Kunden belohnt.
Beispiel:
„Ein Autohändler gewährt einem Käufer 3% Skonto auf den
Verkaufspreis von 22 500 Fr., wenn er bar bezahlt.
Wie gross ist der Skonto und wie lautet der neue Preis?“
G = 22 500 Fr.
p% = 3%
W = G ⋅ p% = 22 500 Fr. ⋅ 0,03 = 675 Fr.
22 500 Fr. – 675 Fr. = 21 825 Fr.
Brutto, Netto, Tara
Die Begriffe Brutto, Netto und Tara stammen auch aus dem Italienischen und
bedeuten roh, rein und Abzug.
Bei Warensendungen heisst das Gesamtgewicht Bruttogewicht, das Gewicht
der Ware allein Nettogewicht und das Gewicht der Verpackung allein
Taragewicht.
Es gilt:
Mathematik -Theorie
-
Bruttogewicht = 100%
-
Brutto = Netto + Tara
59
2. Klasse Bezirksschule
Im Zusammenhang mit Geld spricht man auch von
-
Brutto- und Nettoeinnahmen (mit und ohne Abzug der Unkosten),
Brutto- und Nettolohn (mit und ohne Sozialabzüge),
Brutto- und Nettopreis (vor und nach Abzug des Rabatts).
Beispiele:
„Eine Warensendung wiegt brutto 27 kg.
Wie viel wiegt die Verpackung, wenn die Tara 10% beträgt,
und wie gross ist das Nettogewicht?“
G = 27 kg
p% = 10%
W = G ⋅ p% = 27 kg ⋅ 0,1 = 2,7 kg
27 kg – 2,7 kg = 24,3 kg
„Der Bruttolohn von Herrn Müller beträgt 5 400 Fr.
Wie gross ist sein Nettolohn, wenn die Sozialabzüge
12% betragen?“
G = 5 400 Fr.
p% = 100% - 12% = 88%
W = G ⋅ p% = 5 400 Fr. ⋅ 0,88 = 4 752 Fr.
Mathematik -Theorie
60
2. Klasse Bezirksschule
Selbstkosten, Erlös (Verkaufspreis), Gewinn, Verlust
Bevor ein Händler eine Ware verkauft, berechnet er die eigenen Kosten
(Ankaufspreis, Produktionskosten, Miete, Löhne, Versicherungen, ...).
Diese Kosten nennt man Selbstkosten.
Den Preis, den er beim Verkauf der Ware erzielt, nennt man Erlös oder
Verkaufspreis.
Es ist der Geldbetrag, den der Händler für die verkaufte Ware erhält.
Ist der Erlös einer Ware höher als die Selbstkosten, wird ein Gewinn erzielt.
Ist der Erlös einer Ware niedriger als die Selbstkosten, wird ein Verlust
gemacht.
Es gilt:
Beispiel:
-
Selbstkosten = 100%
-
Selbstkosten + Gewinn = Erlös
-
Selbstkosten - Verlust = Erlös
„Ein Goldschmied hat eine Goldkette hergestellt und
ausgerechnet, dass sein Selbstkostenpreis 3 000 Fr.
beträgt.
Wie gross ist der Erlös, wenn er die Kette mit 20% Gewinn
verkauft?“
G = 3 000 Fr.
p% = 120%
W = G ⋅ p% = 3 000 Fr. ⋅ 1,2 = 3 600 Fr.
Mathematik -Theorie
61
2. Klasse Bezirksschule
4
Fremde Währungen
Jeder Staat besitzt sein eigenes Geldsystem. Geld wird von einer hierzu
ermächtigten Bank ausgegeben und ist gesetzliches Zahlungsmittel.
Dieses gesetzliche Zahlungsmittel eines Landes bezeichnet man als
Währung.
Die Währung in der Schweiz ist Franken (Fr.) bzw. Rappen (Rp.),
wobei 1 Fr. = 100 Rp. ist.
Wechselt man Geld von einer Währung in eine andere, braucht man einen
sogenannten Wechselkurs. Der Wechselkurs drückt aus, in welchem
Verhältnis sich eine nationale Währung gegen eine andere austauscht.
Wechselkurse ändern täglich und können bei Banken, in der Zeitung oder im
Internet nachgelesen werden.
Wechselkurstabelle:
Belgien , Euro
Deutschland , Euro
Finnland , Euro
Frankreich , Euro
Griechenland , Euro
Irland , Euro
Italien , Euro
Luxemburg , Euro
Niederlande , Euro
Oesterreich , Euro
Portugal , Euro
Spanien , Euro
1•
1.467
1•
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
1.467
USA , Dollar
Japan , Yen
Grossbritannien , Pfund
Kanada , Dollar
1 USD
100 JPY
1 GBP
1 CAD
Land , Währung
Beispiele:
Mathematik -Theorie
1•
1•
1•
1•
1•
1•
1•
1•
1•
1•
Anzahl Einheiten der
Fremdwährung und
Währungsabkürzung
1.794
1.496
2.487
1.181
Euro - Banknoten
Wechselkurs ( in CHF )
-
1 Euro kostet gemäss obigem Wechselkurs
etwa 1,467 CHF.
-
1 USD kostet etwa 1,79 CHF.
62
2. Klasse Bezirksschule
5
Mittelwert und Zentralwert
Will man Messreihen (z.B. Noten) vergleichen, so berechnet man deren
Mittelwert x.
Unter dem Begriff Mittelwert zweier oder mehrerer Zahlen versteht man das
arithmetische Mittel. Der Mittelwert ist also gleich der Summe aller
Einzelwerte einer Messreihe, dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte.
Beispiel:
Zwei Schüler vergleichen ihre bisherigen Mathematiknoten.
Felix weist folgende Noten auf: 4,6 / 4,2 / 3,8 / 5,3 / 5,0 / 4,1 .
Hans-Ueli fehlte bei einer Probe und hat folglich eine Note
weniger: 5,2 / 4,9 / 3,2 / 3,4 / 5,8.
Um die Leistungen der beiden Schüler anhand der Noten
miteinander vergleichen zu können, berechnet man je
den Mittelwert:
x
=
x =
Fazit :
Mathematik -Theorie
4,6 + 4,2 + 3,8 + 5,3 + 5,0 + 4,1
=
6
4,5
5,2 + 4,9 + 3,2 + 3,4 + 5,8
= 4,5
5
Da die Mittelwerte identisch sind,
sind ihre bisherigen Leistungen gleichwertig!
63
2. Klasse Bezirksschule
Werden die Einzelwerte einer Messreihe zuerst der Grösse nach geordnet,
entsteht eine "Rangliste".
∼
Der Wert in der Ranglistenmitte heisst Zentralwert x.
Er weicht bei derselben Messreihe meistens vom Mittelwert ab !
Bei einer geraden Anzahl von Einzelwerten ergibt sich der Zentralwert aus
dem Mittelwert der beiden benachbarten Einzelwerte in der Ranglistenmitte!
Beispiel:
Es soll nun für die beiden Notenreihen von vorher
der jeweilige Zentralwert berechnet werden.
Zuerst werden die beiden Notenreihen der Grösse nach geordnet.
Felix :
3,8 / 4,1 / 4,2 / 4,6 / 5,0 / 5,3
∼
x =
Hans-Ueli :
4,2 + 4,6
2
= 4,4
3,2 / 3,4 / 4,9 / 5,2 / 5,8
∼
x = 4,9
Fazit :
Mathematik -Theorie
Die beiden Zentralwerte sind verschieden und weichen
auch von dem gemeinsamen Mittelwert ab!
64
2. Klasse Bezirksschule
G Geometrische Berechnungen
1
Berechnungen am Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei welchem die zwei sich gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.
D
c
δ
d
A
b
β
α
a
Es gilt:
C
γ
B
→
a // c
und
b // d
→
a = c
und
b = d
→
α = γ
und
β = δ
Besondere Parallelogramme sind der Rhombus (die Raute), das Rechteck
und das Quadrat.
Der Rhombus besitzt vier gleich lange Seiten, beim Rechteck stehen die
Seiten senkrecht zueinander, und das Quadrat besitzt vier gleich lange
Seiten, welche senkrecht zueinander stehen.
Rhombus
Mathematik -Theorie
Rechteck
65
Quadrat
2. Klasse Bezirksschule
Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch eine
Flächenverwandlung bestimmen.
Dabei wird das Parallelogramm in ein flächengleiches Rechteck verwandelt.
D
C
ha
a
A
Es gilt:
AP
=
B
a ⋅
ha
=
b ⋅
hb
hb
ha
b
a
Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet:
AP
=
Grundlinie ⋅ Höhe
Mathematik -Theorie
66
2. Klasse Bezirksschule
2
Der Flächeninhalt von Dreiecken
Eckpunkte, Seiten und Winkel werden im Dreieck wie folgt beschriftet:
Achtung:
Seite a liegt gegenüber des
Eckpunktes A , etc.
Achtung:
Beschriftung der Eckpunkte,
Seiten und Winkel erfolgt im
Gegenuhrzeigersinn!
Die drei Höhen ha , hb und hc eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem
Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt H.
Mathematik -Theorie
67
2. Klasse Bezirksschule
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mit Hilfe der
Flächenformel des Parallelogramms bestimmen.
Wenn das unten dargestellte Parallelogramm entlang einer Diagonalen
entzweigeschnitten wird, entstehen zwei kongruente Dreiecke, d.h. zwei
Dreiecke die form- und flächengleich sind.
C
hc
A
B
c
Somit ist die Dreiecksfläche halb so gross wie die Fläche des
Parallelogramms und es gilt:
AD
=
c ⋅ hc
2
=
a ⋅ ha
2
=
b ⋅ hb
2
Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:
AD
=
Grundlinie ⋅ Höhe
2
Mathematik -Theorie
68
2. Klasse Bezirksschule
3
Berechnungen an senkrechten Prismen
Ein senkrechtes Prisma ist ein Körper, der von zwei parallelen und
kongruenten Flächen (der Grund- und Deckfläche) begrenzt wird.
Die Seitenflächen sind Rechtecke, welche senkrecht zu der Grund- und
Deckfläche stehen. Diese Rechtecke bilden den Mantel des Prismas.
Beispiele:
D
D
G
G : Grundfläche
G
,
D
D
G
G
D
G
D : Deckfläche
Es gelten folgende Formeln für das Prisma:
Volumen :
V
=
G ⋅ h
Mantelfläche :
M
=
u ⋅ h
h
G
u
Oberfläche :
Mathematik -Theorie
O
=
2⋅G + M
69
2. Klasse Bezirksschule
4
Beispiele für Anwendungen
Mit praktischen Anwendungsbeispielen werden nun die in den vorangegangenen Kapiteln erworbenen Grundkenntnisse in geometrischen
Berechnungen angewandt.
Beispiel 1:
„Ein quaderförmiger Heizöltank ist 3,8 m lang, 2,75 m breit und
1,85 m hoch. Wie viele Liter Heizöl können getankt werden, wenn
aus Sicherheitsgründen 6% des Raums frei bleiben müssen?“
V1 = a ⋅ b ⋅ c = 3,8 m ⋅ 2,75 m ⋅ 1,85 m
= 19,3325 m3 = 19 332,5 dm3 = 19 332,5 l
V2 = 0,94 ⋅ V1 = 0,94 ⋅ 19 332,5 l = 18 172,55 l
Beispiel 2:
„Berechne das Volumen des Hauses über Boden, wenn die
Gesamthöhe 7 m beträgt.“
2,2 m
4,8 m
7,5 m
→
Körper ist ein Prisma mit einem Fünfeck als Grundfläche
(Front des Hauses) !
V = G ⋅ h = (a ⋅ b +
= (7,5 m ⋅ 4,8 m +
g ⋅ h
)⋅h
2
7, 5 m ⋅ 2, 2 m
) ⋅ 10,4 m
2
= 460,2 m3
Mathematik -Theorie
70
2. Klasse Bezirksschule
