2. informatik-klausur

2. INFORMATIK-KLAUSUR
Name:
Info 13 GK (GA)
Aufgabe 1:
02.12.2003
− Seite 1 −
Bearbeitungszeit: 225 min
Graphentheorie – Zusammenhang
Karl Vorwerk ist Staubsaugervertreter und möchte in
Odenthal und Umgebung seine Staubsauger loswerden.
Heute stehen die Orte Altenberg, Blecher, Glöbusch,
Höffe, Neschen, Odenthal, Pistershausen und Scheuren
auf seinem Plan. Diese hat er in einer schematischen Karte
zusammengetragen, welche wie rechts abgebildet aussieht
(Entfernungen in km):
a) Stellen Sie den Graphen in Form einer Adjazenzmatrix
und in Form einer Adjazenzliste dar. Dabei sollen die
Knoten in beiden Darstellungen alphabetisch sortiert
sein.
B
1,5
1,8
G
A
2,8
2,3
3,1
N
0,5
2,1
O
S
3,9
2,4
H
0,9
P
2,9
b) Herr Vorwerk will feststellen, ob es möglich ist, alle Orte zu erreichen. Dazu verwendet er die
Traversierungen BREITENSUCHE und TIEFENSUCHE (siehe Anlage I) mit Startknoten Blecher.
(1) Zeigen Sie mit Hilfe der BREITENSUCHE, dass es Herrn Vorwerk möglich ist, alle Orte
zu erreichen. Veranschaulichen Sie dafür jedes Mal, wenn Sie im Algorithmus die mit
{∗} markierte Stelle erreichen, den aktuellen Inhalt der Schlange.
Zeichnen Sie anschließend den sogenannten „Breitensuchbaum“, der nur die Kanten
enthält, die für die BREITENSUCHE benutzt wurden.
(2) Verwenden Sie nun die TIEFENSUCHE. Veranschaulichen Sie auch hier an gleicher
Stelle den aktuellen Inhalt des Stapels. Zeichnen Sie anschließend den
„Tiefensuchbaum“.
c) Der Algorithmus von WARSHALL ist auch ein Verfahren, mit dem man testen kann, ob ein
Graph zusammenhängend ist oder nicht. Erläutern Sie die Vor- und Nachteile gegenüber
dem Algorithmus der BREITENSUCHE. Warum ist das Verfahren für die Fragestellung aus
Teilaufgabe b „zu mächtig“
d) Herr Vorwerk hat sich anders entschieden. Statt Staubsauger zu verkaufen möchte er lieber
von Blecher aus startend das schöne bergische Land erkunden. Der Reiseführer empfiehlt
zwei Routen:
Route 1: Die Sightseeing-Tour: Alle Städte werden auf kürzestem Weg besucht. Die
Tour endet wieder in Blecher.
Route 2: Die Motorrad-Tour: Alle Straßen werden abgefahren. Die Tour endet wieder in
Blecher.
(1) Geben Sie sowohl die Sightseeing- als auch die Motorrad-Tour an. Sind die Touren in
diesem Beispiel eindeutig?
(2) Sei nun allgemein ein ungerichteter (!) Graph gegeben.
(i) Geben Sie eine allgemeine Bedingung dafür an, dass es in diesem Graphen eine
Sightseeing-Tour gibt.
(ii) Geben Sie ebenso eine allgemeine Bedingung dafür an, dass es in dem Graphen
eine Motorrad-Tour gibt.
Geben Sie zusätzlich eine Bedingung dafür an, dass sie eindeutig ist.
(3) Im Unterricht wurden zu beiden Problemen Algorithmen entwickelt, welche optimale
Touren ermitteln.
Nennen Sie beide Algorithmen und diskutieren Sie ihre Unterschiede im Hinblick auf
ihre Laufzeitkomplexität.
2. INFORMATIK-KLAUSUR
Name:
Info 13 GK (GA)
Aufgabe 2:
Bearbeitungszeit: 225 min
02.12.2003
− Seite 2 −
Graphentheorie – kürzeste Wege
Gegeben ist der rechts abgebildete Graph:
a) Suchen Sie die kürzesten Entfernungen vom Startknoten S8 mit Hilfe
des Algorithmus von DIJKSTRA (Anlage II). Veranschaulichen Sie dafür
jedes Mal, wenn Sie im Algorithmus die mit {
∗} markierte Stelle
erreichen, den aktuellen Inhalt der Variablen Distanz und
Vorgaenger.
b) Erläutern Sie, was man allgemein unter einem Greedy-Algorithmus
versteht und begründen Sie, dass der Algorithmus von DIJKSTRA zu
dieser Gruppe von Algorithmen gehört.
Nennen Sie Problembeispiele auch außerhalb der Graphentheorie, bei
denen der Greedy-Ansatz zum raschen Erfolg führen könnte.
c) Nimmt man den Algorithmus von DIJKSTRA als Grundlage, so lässt sich mit minimalen
Änderungen ein Algorithmus erstellen, welcher einen minimalen Spannbaum im Graphen
berechnet.
(1) Welche Änderungen müssen lediglich vorgenommen werden?
Hinweis: Bitte notieren Sie nur die Änderungen, nicht den ganzen Algorithmus.
(2) Die Bedeutung der Variablen Distanz und Vorgaenger haben nun eine andere als
beim DIJKSTRA. Erläutern Sie diese im Unterschied zur ursprünglichen Bedeutung.
(3) Nach welchem Namen wird dieser Algorithmus benannt?
(4) Begründen Sie, dass die Laufzeit dieses Algorithmus in der Klasse O(n2) liegt.
d) Im Unterricht haben Sie den Algorithmus von FLOYD (siehe Anlage III) als Alternative zur
Bestimmung des kürzesten Weges kennen gelernt.
(1) Beschreiben Sie in eigenen Worten, welche Idee dem Algorithmus
zugrunde liegt. Worin liegt der wesentliche Unterschied zum Verfahren
von DIJKSTRA?
(2) Führen Sie das Verfahren anhand des rechts abgebildeten gerichteten (!)
Graphen durch. Geben Sie jedes Mal, wenn Sie im Algorithmus die mit
{∗} markierte Stelle erreichen, den aktuellen Inhalt der Variablen
Distanz und Zwischenknoten an.
(3) Mit Hilfe der Matrix Zwischenknoten ist eine Rekonstruktion des
kürzesten Weges zwischen beliebigen Start- und Zielpunkt möglich.
Schreiben Sie diesen Algorithmus in DELPHI!
ALGORITHMUS Rekonstruiere_Weg
Input:
Distanz:
TAdjazenzmatrix
Zwischenknoten:
TZwischenknotenMatrix { Array[1..n,1..n] of integer }
Start, Ziel:
integer
Output:
Weg:
???
Lokal:
???
???
(4) Die Äußere Schleife des FLOYD-Algorithmus untersucht zuerst alle Zwischenpunkte
(Mitte); im Inneren der Schleife werden dann alle Start- und alle Zielknoten
abgearbeitet.
In wie fern wirkt sich die Vertauschung der beiden Indizes Start und Mitte auf die
Korrektheit des Algorithmus aus? Veranschaulichen Sie dies am Beispielgraphen aus (2).
Name:
Info 13 GK (GA)
Aufgabe 3:
2. INFORMATIK-KLAUSUR
Bearbeitungszeit: 225 min
02.12.2003
− Seite 3 −
Graphentheorie − gerichtete Graphen
a) Die Tatsache, ob ein Graph gerichtet ist oder nicht spielt bei vielen Algorithmen eine große
Rolle. So ist z. B. der Algorithmus von KRUSKAL nur auf ungerichteten Graphen
anzuwenden.
Existiert in einem gerichteten Graphen zu jeder Kante a→b auch eine Kante b→a, so
spricht man von einem symmetrischen Graphen, welchen man in einen ungerichteten
Graphen konvertieren kann.
Geben Sie einen DELPHI-Algorithmus an, welcher feststellt, ob ein Graph symmetrisch ist
oder nicht.
Bestimmen und begründen Sie das Laufzeitverhalten Ihres Algorithmus.
ALGORITHMUS Prüfe_auf_Symmetrie
Input:
Matrix:
TAdjazenzmatrix
{ Array[1..n,1..n] of integer }
Output:
symmetrisch:
boolean
Lokal:
???
???
b) Sei G ein gerichteter Graph mit n Knoten.
Eine Senke ist ein Knoten mit Eingangsgrad n−1 und Ausgangsgrad 0;
eine Quelle ist ein Knoten mit Eingangsgrad 0 und Ausgangsgrad n−1.
Hinweis: Der Ausgangsgrad eines Knotens ist die Anzahl der abgehenden Kanten; der
Eingangsgrad die Anzahl der eingehenden Kanten.
(1) Zeichnen Sie eine Graphen mit 6 Knoten, welcher eine Senke und eine Quelle enthält.
(2) Begründen Sie: Jeder gerichtete Graph besitzt höchstens eine Senke und höchstens
eine Quelle.
(3) Entwickeln Sie einen Algorithmus, welcher mit Hilfe der Adjazenzliste oder der
Adjazenzmatrix in Laufzeit O(n2) feststellt, ob es eine Senke gibt.
Begründen Sie, dass Ihr Algorithmus in der geforderten Laufzeitkomplexität liegt.
2. INFORMATIK-KLAUSUR
Anlage I zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Breitensuche
Startknoten:
integer
Liste:
Ergebniskanten:
Besucht:
Schlange:
Zielknoten:
{ Initialisierung }
• Ergebniskanten ← „neue Liste“
• Schlange ← „neue Schlange“
• Für alle Zielknoten
tue: • Besucht ← false
• Liste[Zielknoten].AnAnfang
• Schlange.Enqueue(Startknoten)
• Besucht[Startknoten] ← true
TAdjazenzliste
TLinList
array of boolean
TQueue
integer
{ über TKantenelement }
{ über TKnotenelement }
{ Algorithmus }
• Solange NICHT Schlange.Empty
tue: • Startknoten ← Schlange.Front
• Solange NICHT Liste[Startknoten].AmEnde UND
Besucht[Liste[Startknoten].Aktuell]
tue: • Liste[Startknoten].Vor
• Falls NICHT Besucht[Liste[Startknoten].Aktuell]
dann: • Zielknoten ← Liste[Startknoten].Aktuell
• Schlange.Enqueue(Zielknoten)
• Besucht[Zielknoten] ← true
• Ergebniskanten.Einfuegen(Startknoten − Zielknoten)
sonst: • Schlange.Dequeue
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Tiefensuche
Startknoten:
integer
Liste:
Ergebniskanten:
Besucht:
Stapel:
Zielknoten:
TAdjazenzliste
TLinList
array of boolean
TStack
integer
Ersetze in Breitensuche:
Schlange
durch Stapel
sowie die Methodenaufrufe
Enqueue
Dequeue
Front
{∗}
durch
durch
durch
Push
Pop
Top
{ über TKantenelement }
{ über TKnotenelement }
2. INFORMATIK-KLAUSUR
Anlage II zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Dijkstra
Matrix:
Startknoten:
Distanz:
Vorgaenger:
Erledigt:
MinKnoten:
Knoten:
{ Initialisierung }
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Distanz[Knoten] ← maxInt
• Vorgaenger[Knoten] ← −1
• Erledigt[Knoten] ← false
• Distanz[Startknoten] ← 0
TAdjazenzmatrix
{ Array[1..n,1..n] of integer }
integer
array[1..n] of integer
array[1..n] of integer
array[1..n] of boolean
integer
{ hat kleinste Distanz zum Startknoten }
integer
{ durchläuft alle möglichen Knoten }
{ bedeutet soviel wie: ∞ }
{ Algorithmus }
• Wiederhole n mal:
• MinKnoten ← Knoten_mit_kleinster_Distanz
{∗}
• Falls MinKnoten ≠ −1
dann: • Erledigt[MinKnoten] ← true
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Falls NICHT Erledigt[Knoten] UND
Distanz[MinKnoten] + Matrix[MinKnoten, Knoten] < Distanz[Knoten]
dann: • Distanz[Knoten] ←
Distanz[MinKnoten] + Matrix[MinKnoten, Knoten]
• Vorgaenger[Knoten] ← MinKnoten
Hilfsfunktion zur Bestimmung des Knotens mit minimaler Distanz zum Startknoten:
ALGORITHMUS Knoten_mit_kleinster_Distanz
Output:
MinKnoten: integer
{ hat kleinste Distanz zum Startknoten }
Lokal:
MinDistanz: integer
Knoten:
integer
{ durchläuft alle möglichen Knoten }
• MinDistanz ← maxInt
{ erst mal von größtmöglicher Distanz ausgehen }
• MinKnoten ← −1
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Falls NICHT Erledigt[Knoten] UND Distanz[Knoten] < MinDistanz
dann: • MinDistanz ← Distanz[Knoten]
• MinKnoten ← Knoten
Anlage III zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
2. INFORMATIK-KLAUSUR
Floyd
Matrix:
Distanz:
Zwischenknoten:
Start, Ziel, Mitte:
TAdjazenzmatrix
TAdjazenzmatrix
TZwischenknotenMatrix
integer
{ Array[1..n,1..n] of integer }
{ Array[1..n,1..n] of integer }
Lokal:
{ Initialisierung }
• Für Start ← 1 bis n
tue: • Für Ziel ← 1 bis n
tue: • Zwischenknoten[Start, Ziel] ← −1
{ es gibt noch keinen Zwischenknoten }
• Distanz ← Matrix
{ Distanz[x,y] = maxInt ⇔ Es existiert keine Kante von Knoten x nach Knoten y }
{ Algorithmus }
• Für Mitte ← 1 bis n
{ d. h. durchlaufe mit Mitte alle Knoten }
tue: • Für Start ← 1 bis n
{ d. h. durchlaufe mit Start alle Knoten }
tue: • Für Ziel ← 1 bis n
{ d. h. durchlaufe mit Ziel alle Knoten }
tue: • Falls Distanz[Start, Mitte] + Distanz[Mitte, Ziel] < Distanz[Start, Ziel]
UND Start ≠ Ziel
dann: • Distanz[Start, Ziel] ← Distanz[Start, Mitte] + Distanz[Mitte, Ziel]
• Zwischenknoten[Start, Ziel] ← Mitte
{∗}
2. INFORMATIK-KLAUSUR
02.12.2003
− Seite 1 −
LÖSUNGEN
Graphentheorie − Zusammenhang
Lösungen Aufgabe 1:
a) Adjazenzmatrix:
A
A
B
G
H
N
O
P
S
B G H
1,5
1,5
1,8
1,8
2,8
2,3
3,1
→
→
→
→
→
→
→
→
2,1
2,4 2,9
2,1 2,4
2,9
S
3,1
0,5
3,9
0,9
0,5 3,9 0,9
Adjazenzliste:
A
B
G
H
N
O
P
S
N O P
2,8 2,3
B (1,5)
A (1,5)
B (1,8)
O (2,4)
A (2,8)
A (2,3)
H (2,9)
A (3,1)
→
→
→
→
→
→
→
→
N (2,8) → O (2,3) → S (3,1)
G (1,8)
O (2,1)
P (2,9)
S (0,5)
G (2,1) → H (2,4) → S (3,9)
S (0,9)
N (0,5) → O( 3,9) → P (0,9)
b.1) Die Reihenfolge lautet: B, A, G, N, O, S, H, P, der zugehörige Baum und die Schlange
sehen wie folgt aus:
B
B, A
B, A, G
A, G
A, G, N
A, G, N, O
A, G, N, O, S
G, N, O, S
N, O, S
O, S
O, S, H
S, H
S, H, P
H, P
P
B
1,5
1,8
G
A
2,8
2,3
3,1
N
S
O
0,9
P
2,4
H
b.2) Die Reihenfolge lautet: B, A, N, S, O, G, H, P, der zugehörige Baum und der Stack
sehen wie folgt aus:
B
B, A
B, A, N
B, A, N, S
B, A, N, S, O
B, A, N, S, O, G
B, A, N, S, O
B, A, N, S, O, H
B, A, N, S, O, H, P
B, A, N, S, O, H
B, A, N, S, O
B, A, N, S
B, A, N
B, A
B
B
1,5
A
2,8
N
G
0,5
2,1
O
3,9
2,4
H
S
P
2,9
2. INFORMATIK-KLAUSUR
LÖSUNGEN
02.12.2003
− Seite 2 −
c) Tabellarische Darstellung der...
Vorteile von WARSHALL gegenüber BS
Nachteile gegenüber BS
Verbindbarkeit von jedem Knoten zu jedem Laufzeit: O(k3) statt O(k2)
Knoten wird überprüft
Einfache Implementierung über Matrix
viel Speicherplatz O(k2) für
Ergebnisspeicherung
Leichte Erweiterung zur kürzeste-Wegebenötigt Adjazenzmatrix als Eingabe
Algorithmus (FLOYD)
Algorithmisch leicht nachzuvollziehen.
Keine dyn. Datenstruktur Queue nötig.
Der Algorithmus ist zu mächtig, da lediglich die Verbindbarkeit von Blecher gefragt war.
Dafür reicht die Breitensuche (Tiefensuche) vollkommen aus.
d.1) Sightseeing-Tour: B,G,O,H,P,S,N,A,B
Motorrad-Tour: B,G,O,H,P,S,O,A,S,N,A,B
Die Sightseeing-Tour ist in diesem Beispiel eindeutig, die Motorrad-Tour dagegen
nicht. So ist z. B. B,G,O,H,P,S,O,A,N,S,A,B (Dreieck A,S,N andersherum) auch eine
gültige Motorrad-Tour.
d.2) (i) Ist ein ungerichteter Graph zusammenhängend, so gibt es eine Sightseeing Tour.
Sie ist allerdings nicht immer eindeutig.
(ii) Ist ein ungerichteten Graph zusammenhängend und jeder Knoten hat geraden
Grad, so gibt es eine Motorrad-Tour. Sie ist allerdings in den seltensten Fällen
eindeutig.
Eindeutig wird die Tour erst, wenn alle Knoten den Grad 2 haben.
d.3) Das Sightseening-Tour-Problem kommt dem TRAVELING-SALESMAN-PROBLEM (TSP)
gleich. Das Motorrad-Tour-Problem kommt dem EULER-Kreis-Problem gleich.
Die optimale Lösung des TSP-Problems ist nur per Backtracking zu ermitteln. Zwar
können die Verwendung von Schranken und bestimmte Auswahlmechanismen (Greedy)
die Laufzeit verbessern, allerdings bleibt der Aufwand des TSP-Problems in dieser
Form in der Klasse O(n!), das heißt es ist ein Problem, welches sich nicht in
polynomieller Zeit lösen lässt. Man spricht deshalb auch von einem NP-Problem (Nicht
Polynomiell)
Eine Lösung des EULER-Kreis-Problems benötigt eine Laufzeit von O(n2), da jede
Kante definitiv nur einmal betrachtet wird. Das heißt, das Problem ist in polynomieller
Zeit lösbar. Man spricht deshalb auch von einem P-Problem.
2. INFORMATIK-KLAUSUR
LÖSUNGEN
Lösungen Aufgabe 2:
02.12.2003
− Seite 3 −
Graphentheorie − kürzeste Wege
a) Die Suche mit Hilfe des DIJKSTRA-Algorithmus liefert folgende Entwicklung der Arrays
Distanz und Vorgaenger:
Distanz:
Vorgaenger:
b) Ein Greedy-Algorithmus versucht bei der Zusammensetzung einer Lösung immer den
vielversprechendsten Zweig zuerst. Man spricht deshalb auch von gierigen Algorithmen,
weil man hofft, durch die lokal am besten bewertete Lösungserweiterung auch eine
optimale Gesamtlösung zu erhalten. Bei vielen Problemen – unter anderem dem Problem
des kürzesten Weges − führt dieses Verfahren auch direkt zur optimalen Lösung.
Der Algorithmus von DIJKSTRA arbeitet ebenfalls nach dem Greedy-Prinzip. Dies wird
darin deutlich, dass er in jedem Schleifendurchlauf die Teillösung um die Kante erweitert,
welche die minimalste Distanz zum Startknoten hat. Die Teillösung wird also um die lokal
betrachtet am besten bewertete Lösungserweiterung ergänzt.
Außerhalb der Graphentheorie sind Greedy-Algorithmen für alle Probleme denkbar,
welche schrittweise Teillösungen aufbauen. Beispiele:
i) Im Irrgarten geht man beim Backtracking-Algorithmus an Kreuzungen nicht nach
einer vorher festgelegten Reihenfolge die Wege ab, sondern untersucht, welcher Weg
von der Richtung her der vielversprechendste ist.
ii) Beim Einkauf im Supermarkt mit begrenztem Budget packt man zuerst die wichtigsten
(Kosten-Nutzen-Relation) Sachen in den Einkaufskorb.
iii) Beim Vier-Gewinnt versuche ich, immer möglichst schnell möglichst viele Steine in
eine Reihe zu bringen. Diese Strategie ist allerdings sehr schlecht.
iv) Beim Anbringen von verschieden großen Bildern an der Wand versucht man immer
zuerst die größten Bilder anzubringen. Man hofft, dass die kleineren Bilder später
irgendwo dazuwischen passen.
v) ...
c.1) Zur Erweiterung des DIJKSTRA-Algorithmus:
• Falls MinKnoten ≠ −1
dann: • Erledigt[MinKnoten] ← true
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Falls NICHT Erledigt[Knoten]
UND
Matrix[MinKnoten, Knoten] < Distanz[Knoten]
dann: • Distanz[Knoten] ← Matrix[MinKnoten, Knoten]
• Vorgaenger[Knoten] ← MinKnoten
c.2) Die Variable Distanz bedeutet nun nicht wie im Algorithmus DIJKSTRA die Entfernung
zum Startknoten, sondern sie bedeutet vor der Hinzunahme zur
Zusammenhangskomponente die Entfernung zu eben dieser und nach Hinzunahme zur
2. INFORMATIK-KLAUSUR
02.12.2003
LÖSUNGEN
− Seite 4 −
Zusammenhangskomponente die Gewichtung, welche diese Kante zum Gesamtgewicht
des Spannbaums beiträgt.
Die Variable Vorgaenger beinhaltet nach wie vor den Vorgänger, von dem aus dieser
Knoten erreicht wurde, allerdings ist diese Information für den gesamten Spannbaum
eher uninteressant. Vielmehr ist es durch diese Variable möglich, den Spannbaum zu
rekonstruieren. Durchläuft man alle Knoten k und fügt die Kante (k,Vorgaenger[k]) in
den Graphen ein, so erhält man den minimalen Spannbaum des ursprünglichen
Graphen.
c.3) Der Algorithmus hat den Namen PRIM-Algorithmus.
c.4) Der Algorithmus durchläuft mit einer äußeren Schleife alle Knoten (Wiederhole n
mal...). Innerhalb dieser Schleife wird
a) ein Knoten mit minimaler Distanz gesucht (Knoten_mit_kleinster_Distanz). Dies
geschieht mit Laufzeit O(n), da alle Knoten nur einmal betrachtet werden müssen.
b) für alle Knoten geprüft, ob ein Umweg über den aktuellen Knoten günstiger ist als
die bisherige Verbindung. Auch dies geschieht mit einer O(n)-Schleife, welche für
jeden Knoten die Distanz einmal vergleicht und evtl. neu berechnet.
Insgesamt ergibt sich also eine Laufzeit von O(n⋅n) = O(n2).
d.1) Die Idee des Algorithmus liegt darin, dass alle möglichen Wege bis zur Kantenzuglänge
n untersucht werden. Im ersten Schleifendurchlauf werden alle Wege betrachtet welche
maximal einen Zwischenknoten haben. Im zweiten Durchlauf werden die Wege
untersucht, welche maximal zwei Zwischenknoten haben. Usw. Nach dem letzen
Schleifendurchlauf sind also alle Wege betrachtet worden, welche maximal n−1
Zwischenknoten besitzen. Damit sind aber auch alle Wege betrachtet worden und man
hat definitiv den kürzesten Weg für alle Start- und Zielpunkte gefunden.
Der Unterschied liegt darin, dass der FLOYD-Algorithmus im Gegensatz zum DIJKSTRAAlgorithmus die kürzesten Wege für alle Start- und Zielpunkte ermittelt, wogegen beim
DIJKSTRA der Startpunkt vorher fest stehen muss. Der FLOYD-Algorithmus leistet also
weitaus mehr als der DIJKSTRA-Algorithmus. Deshalb benötigt allerdings der FLOYD
auch eine Laufzeit von O(n3) wogegen der DIJKSTRA nur die Laufzeit von O(n2)
benötigt.
d.2) Distanz und Zwischenknoten beim Start des Algorithmus:
Dann wird wie folgt geändert:
→
→
2. INFORMATIK-KLAUSUR
LÖSUNGEN
02.12.2003
− Seite 5 −
→
d.3) Die Rekonstruktion kann z. B. mit folgendem DELPHI-Algorithmus hergestellt werden
(ZK = Zwischenknoten):
procedure Rekonstruiere(Distanz: TAdjazenzmatrix;
ZK: TZKMatrix;
von,nach: integer;
var Weg: TLinList);
var zwischen: integer;
begin
if von <> nach
then begin
zwischen:= ZK[von,nach];
if (zwischen = -1) and (Distanz [von,nach] < maxEntfernung)
then Weg.Einfuegen(TKantenelement.Create(von,nach))
else begin
Rekonstruiere(Distanz, ZK, von, zwischen, Weg);
Rekonstruiere(Distanz, ZK, zwischen, nach, Weg);
end;
end;
end;
Der Aufruf sieht wie folgt aus:
Weg:= TLinList.Create;
Rekonstruiere(Distanz, Zwischenknoten, Start, Ziel, Weg);
d.4) Würde man die Schleifenindizes vertauschen, so würde der Algorithmus nie den
kürzesten Weg vom Knoten S1 zu den Knoten S2 und S3 finden. Die endgültige
Entfernungsmatrix und Zwischenknotenmatrix sähen dann wie folgt aus:
und
.
Dies liegt daran, dass der kürzeste Weg zu S3 (und S2) über den Zwischenknoten S4
führt. Dieser kürzeste Weg (S1→S4) wird allerdings erst dann gefunden, wenn der
Zwischenknoten S5 heißt. Dann ist allerdings eine Suche über den Zwischenknoten S4
bereits abgeschlossen. Somit kann kein kürzester Weg mehr gefunden werden.
2. INFORMATIK-KLAUSUR
LÖSUNGEN
Lösungen Aufgabe 3:
02.12.2003
− Seite 6 −
Graphentheorie − gerichtete Graphen
a) Ein Algorithmus der dies leistet lautet z. B.:
function TGraph.Symmetrisch: boolean;
var von, nach: integer;
A: TAdjazenzmatrix;
Symmetrie_vorhanden: boolean;
begin
A:= Adjazenzmatrix;
Symmetrie_vorhanden:= true;
for von:= 1 to Anzahl
do for nach:= 1 to von-1
do if A[von,nach] <> A[nach,von]
then Symmetrie_vorhanden:= false;
Symmetrisch:= Symmetrie_vorhanden;
end;
b.1) Ein Beispiel wäre der folgende Graph:
b.2) Angenommen, zwei verschiedene Knoten S1 und S2 eines Graphen seien Senke. Dann
hat S1 den Eingangsgrad n−1, also gibt es auch eine Kante S2→S1. Dann kann aber S2
nicht den Ausgangsgrad 0 haben. Also ist S2 keine Senke.
b.3) Eine Lösung wäre die folgende:
function TGraph.Senke: integer;
var von, nach: integer;
a_grad, e_grad: integer;
Senke_bei: integer;
A: TAdjazenzmatrix;
begin
A:= Adjazenzmatrix;
Senke_bei:= 0;
For von:= 1 to Anzahl
do begin
a_grad:= 0;
e_grad:= 0;
for nach:= 1 to Anzahl
do begin
if A[von,nach]<maxEntfernung then inc(a_grad);
if A[nach,von]<maxEntfernung then inc(e_grad);
end;
if (a_grad=0) and (e_grad = Anzahl-1)
then Senke_bei:= von;
end;
Senke:= Senke_bei;
end;
Die Laufzeit ist direkt einsichtig, da zwei ineinander geschachtelte Schleifen von 1 bis
n laufen. Damit ergibt sich O(n⋅n) = O(n2).