2009-02-09 UT - Umwelttechnik (B.Eng.)

Fachhochschule Wiesbaden
Ingenieurwissenschaften
Mathematik 3 für Umwelttechnik
Klausur − 9.2.2009
Prof. Dr. M. Götz
Familienname, Vorname:
Bewertung
Matrikel-Nr.:
Aufgabe
1
Punkte
Note
2
3
4
Σ
Aufgabe 1:
a) Lösen Sie die homogene Differenzialgleichung
y′′( x) + 6 y′( x) + 25 y ( x) = 0 .
(8 P)
b)
Lösen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus (a) die Differenzialgleichung
y′′( x) + 6 y′( x) + 25 y ( x) = 5 t +
c)
Geben Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung aus Teil (a) für die folgende Anfangsbedingungen an:
y ( 0) =
Aufgabe 2:
(10 P)
1
.
5
4
; y′(0) = 0
25
Beim Roulette gibt es 37 Zahlenfelder (0 bis 36).
a) Sie setzen in jeder Spielrunde immer auf genau ein Zahlenfeld. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie in 10 Spielen genau einmal?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie in 10 Spielen mindestens 2 mal?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf farblich verschiedene Chips auf die 37 Zahlenfelder zu verteilen, wenn pro Feld nur ein Chip gesetzt werden darf?
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf farblich verschiedene Chips auf die 37 Zahlenfelder zu verteilen, wenn pro Feld beliebig viele Chips gesetzt werden dürfen?
e) Die Spielbank zahlt als Gewinn das 35-fache des Einsatzes, wenn ein Spieler auf das
richtige Zahlenfeld gesetzt hatte. Andererseits gewinnt die Spielbank die Einsätze
auf den Verlierer-Zahlenfeldern. Welchen Netto-Gewinn kann die Spielbank an einem Abend erwarten, an welchem Chips im Wert von insgesamt 1 Million Euro ausschließlich auf Zahlenfelder gesetzt wurden?
Bitte wenden
Aufgabe 3:
(8 P)
Um das Lkw-Aufkommen auf einer bestimmten Straße zu ermitteln, werden an 5 Werktagen stichprobenartige Zählungen durchgeführt. Dabei ergeben sich folgende Werte:
Tag 1:
69 Lkw/Stunde
Tag 2:
84 Lkw/Stunde
Tag 3:
79 Lkw/Stunde
Tag 4:
57 Lkw/Stunde
Tag 5:
66 Lkw/Stunde
a) Gehen Sie von einer Gauß-Verteilung aus und berechnen Sie Schätzwerte für den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung.
b) Berechnen Sie anhand der Stichprobenergebnisse ein Konfidenzintervall für den Mittelwert zum Konfidenzniveau χ = 0,95 .
c) Berechnen Sie anhand der Stichprobenergebnisse ein Konfidenzintervall für die Varianz zum Konfidenzniveau χ = 0,95 .
d) Unter Zugrundelegung der Gauß-Verteilung mit den Werten aus Teil a) für Mittelwert
und Standardabweichung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem willkürlich
gewählten Werktag weniger als 60 Lkw/Stunde zu erreichen.
Aufgabe 4:
Anhand der Zerfallsgleichung
n1 = n 0 ⋅ e − λ ⋅t
(4 P)
soll die Zerfallskonstante λ einer radioaktiven Substanz festgestellt werden. Es werden
folgende Werte gemessen:
n 0 = 6750 ± 160
n1 = 5730 ± 140
t = 1 Tag (Fehler vernachlässigbar)
Berechnen Sie die Zerfallskonstante λ inklusive Fehlerangabe.
Hinweise: 1. Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
2. f ( x) = ln x ⇒ f ′( x) =
1
x