Mathematik I für Informatiker – WS 2016/2017 Otto-von

Mathematik I für Informatiker – WS 2016/2017
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
PD. Dr. Gohar Kyureghyan,
Dr. Michael Höding
Übung 2
Aufgabe 2.1 Eine Aussageverbindung wird Tautologie genannt, wenn sie
unabhängig vom Wahrheitswert der zugrundeliegenden Bestandteile immer
wahr ist. Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind:
(a) (A ∨ B) ⇐⇒ (A ∧ B)
(b) (A ∧ (B ∨ C)) ⇐⇒ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
(c) (A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∨ B)
(d) (A =⇒ (B =⇒ C)) ⇐⇒ ((A ∧ B) =⇒ C))
Aufgabe 2.2 Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit den logischen Operationszeichen:
(a) nicht nur A, sondern auch B,
(b) wenn A, so nicht B,
(c) es ist nicht wahr, daß A, oder B,
(d) weder A noch B,
(e) dann, aber nur dann A, wenn nicht B,
(f ) A, vorausgesetzt, dass B.
Aufgabe 2.3 Seien x und c reelle Zahlen (x, c ∈ R). Bestimmen Sie den
Wahrheitswert der folgenden Aussagen:
(a) ∃c ∀x [(x2 + x + c = 0) =⇒ (x ≤ 0)]
(b) ∀x ∃c [(x2 + x + c = 0) =⇒ (x ≤ 0)]
(c) ∀c ∀x [(x2 + x + c = 0) =⇒ (x ≤ 0)]
Aufgabe 2.4 Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
(a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
P
k3 =
k=1
(b) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 10 gilt:
(c) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt:
n2 (n+1)2
.
4
n! > 2n > n3 .
n
Q
(1 −
k=2
1
)
k2
=
n+1
2n
Aufgabe 2.5 Untersuchen Sie, ob der folgende Induktionsbeweis fehlerhaft
ist und zeigen Sie gegebenenfalls mögliche Fehler auf:
Wenn sich unter n Computern ein Notebook befindet, dann sind alle
diese Computer Notebooks.
Induktionsanfang: Wenn von nur einem Computer einer ein Notebook ist, dann sind offensichtlich alle diese Computer Notebooks.
Induktionsschritt: Befinde sich unter n + 1 Computern ein Notebook. Stellen wir die Computer so auf, dass sich unter den ersten n
Computern ein Notebook befindet, dann sind dies nach Induktionsvoraussetzung alles Notebooks. Damit befindet sich aber auch unter den
letzten n Computern ein Notebook, so dass diese auch alle Notebooks
sein müssen. Folglich sind alle n + 1Computer Notebooks.
Votierungswoche: 24.10. - 28.10.2016