Musterloesung pdf

Matrikel-Nummer ……………………………………
Musterklausur zur Vorlesung: Lösungen
„Grundzüge der Mikroökonomie BA“
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Lehrstuhl für Mikroökonomie, Dr. Gerald Pech
Sommersemester 2010
Hinweis zur Lösung: Als „Hinweis“ bezeichnete Anmerkungen erklären lediglich die Lösung aber
werden von Ihnen nicht als Teil der Lösung erwartet.
Hinweise zur Klausur:
1. Bitte tragen Sie Ihre Matrikelnummer auf der ersten Seite des Klausurbogens und auf jedem
beigefügten Extra-Blatt ein.
2. Die Musterklausur umfasst 3 Aufgaben. Die Abschlussklausur wird 5 Aufgaben umfassen von
denen Sie dann bitte 3 Aufgaben frei auswählen und diese vollständig (d.h. alle Teilaufgaben)
lösen.
3. Insgesamt können in der Klausur 30 Punkte erworben werden – 10 in jeder Aufgabe. Neben
jeder Teilaufgabe sind die damit erreichbaren Punkte vermerkt.
4. Tragen Sie Ihre Lösung in den Klausurbogen für jede Teilaufgabe auf dem freien Platz im
Anschluss an jede Fragestellung ein. Sollte der Platz nicht ausreichen und Sie benötigen ein ExtraBlatt, kennzeichnen Sie dieses bitte mit Ihrer Matrikelnummer und fügen Sie es Ihrem
Klausurbogen bei.
5. Für jeden Aufgabenteil, demonstrieren Sie den Lösungsweg!
6. Erlaubte Hilfsmitel sind Lineal und nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte keine
Lösungen mit Bleistift!
7. Die Bearbeitungszeit der Klausur beträgt 90 Minuten.
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Korrekturschema (bitte nicht ausfüllen)
Aufgabe\Teil
A
1
2
3
4
5
∑
×
B
C
D
×
×
×
∑
Aufgabe 1. Verbraucherverhalten
Die Präferenzen eines Konsumenten für Coca-Cola (x = Menge Cola in Litern) und Red Bull (y =
Menge Red Bull in Litern) können durch die Nutzenfunktion U = x2 y repräsentiert werden.
Ursprünglich betrage der Preis von Coca-Cola 1/3 €. Der Preis von Red Bull sei auf 1€ normiert.
Der Preis von Coca-Cola erhöhe sich auf 1 € pro Liter. Der Konsument habe ein Einkommen von
I = 3 €.
a) Wie viel Coca-Cola wird vor und nach der Preisänderung konsumiert? Welches sind die
erreichten Nutzenrealisationen (3 Punkte)?
1
ℑ = x 2 y + λ (3 − x − y )
3
(1)
∂ℑ
1
= 0 -> 2 xy = λ
∂x
3
∂ℑ
= 0 -> x 2 = λ
∂y
∂ℑ
1
(3)
= 0 -> 3 = x + y
∂λ
3
(2)
aus (1) und (2): 2
y 1
= ⇒ 6y = x
x 3
In (3): 3 = 3 y ⇒ y = 1
⇒ x = 6.
Nutzen ist 36.
Für px=1, py = 1, ist y = 1 und x = 2 mit Nutzen von 4.
b) Betrachten Sie die Graphik auf der folgenden Seite. Dort ist die optimale Budgetallokation A bei
einem Coca-Cola-Preis von 1/3€ eingezeichnet. Im Punkt A realisiert der Konsument ein
Nutzenniveau von. In derselben Grafik finden Sie die optimale Budgetallokation E bei einem CocaCola-Preis von 1 € für welche der Konsument ein Nutzenniveau von i‘ erreicht.
ba) Konstruieren Sie in der Grafik Einkommens- und Substitutionseffekt. (2 Punkte)
bb) Konstruieren Sie in der Grafik das Einkommen, welches der Konsument benötigt um nach der
Preiserhöhung dasselbe Nutzenniveau zu erreichen, wie vor der Preiserhöhung. (1 Punkt)
bc) Konstruieren Sie in der Grafik das Einkommen, welches der Konsument benötigt um nach der
Preiserhöhung dasselbe Güterbündel zu konsumieren wie vor der Preiserhöhung. (1 Punkt)
c) Ermitteln Sie in allgemeiner Form wie die Nachfragemengen von x und y von den Preisen px und
py und vom Einkommen I abhängen (2 Punkte)
Aus Steigungsgleichheit (1) und (2): 2 py y = x px
Aus der Budgetrestriktion (3): px x + py y = I
Eliminiert man mithilfe des Steigungsgleichheitszusammenhangs die Variable x in (3) so ergibt sich
I = 2 py y + py y = 3 py y. Elimiert man statt dessen die Variable y in (3), so ergibt sich
I = px x + ½ px x = (3/2) px x.
Die Lösung muss also
2 I
3 px
1 I
y=
3 py
genügen.
x=
d) Ermitteln Sie rechnerisch das Einkommen, welches der Konsument benötigt um bei einem CocaCola-Preis von 1€ dasselbe Nutzenniveau zu erreichen wie im Ausgangspunkt, d.h. bei einem CocaCola-Preis von 1/3 € , einem RedBull-Preis von 1€ und einem Einkommen von 3€. Berechnen Sie
nicht den konkreten Einkommenswert sondern schreiben Sie lediglich die Gleichung auf, aus das
Einkommen unmittelbar errechnet werden kann. (1 Punkt)
Gesucht ist das Einkommen, mit dem ein Nutzen von 36 bei Preisen von px = 1 und py = 1 erreicht
werden kann. Mit den Nachfragefunktionen aus Teil c) der Aufgabe gegeben die Preise:
2
2  1  !
U =  I   I  = 36
3  3 
oder
4 3 !
I = 36
27
Aufgabe 2. Präferenzen
a) Ein Fussball-Trainer bewertet seine Mittelfeld-Spieler anhand von drei unterschiedlichen
Kriterien:
Schnelligkeit:
Mesut Özil > Sebastian Schweinsteiger > Thorsten Frings > Michael Ballack
Technik:
Ballack > Özil > Schweinsteiger > Frings
Defensivverhalten:
Schweinsteiger > Frings > Ballack > Özil.
aa) Gibt es einen Spieler welcher in allen Belangen einem anderen Spieler unterlegen ist? Wenn
dies der Fall ist, würde der Trainer diesen Spieler von allen weiteren Überlegungen ausschliessen.
Begründen Sie Ihre Antwort. (1 Punkt)
Schweinsteiger schlägt Frings in allen 3 Kategorien.
ab) Unter allen verbliebenen Spieler, würde der Trainer einen Spieler einem anderen Vorziehen,
sofern der Spieler den anderen gemäß 2 der 3 Kriterien überlegen ist. Konstruieren Sie die
Präferenzordnung des Trainers, d.h. schreiben Sie entweder die paarweisen Präferenzbeziehungen
auf oder repräsentieren Sie die Präferenzen in einem geeigneten Schaubild (1,5 Punkte)
Ballack: Özil, 2 : 1
Schweinsteiger: Ballack, 2 : 1
Özil: Schweinsteiger, 2: 1,
Die Preferenzrelation ist also Ballak f Özil, Schweinsteiger f Ballack, Özil f Schweinsteiger
ac) Ist die in Teil ab) dieser Aufgabe konstruierte Präferenzordnung des Trainers transitiv? Führen
Sie Ihre Antwort auf die Transitivitätsbedinung zurück. (1,5 Punkte).
Eine Preferenzordnung ist transitiv wenn x f y und y f z impliziert dass x f z.
Ballak f Özil und Özil f Schweinsteiger. Transitivität erfordert, dass Ballack f Schweinsteiger gilt.
Da aber tatsächlich die Präferenzrelation Schweinsteiger f Ballack gilt ist die Präferenzordnung
nicht transitiv.
b) Für welche der folgenden Paare von Nutzenfunktionen trifft es zu, dass die eine aus der anderen
durch eine monotone Transformation hervorgeht? Geben Sie gegebenenfalls den Bereich an, in dem
kein monotoner Zusammenhang besteht.
ba) U(x,y) = ln x + ln y; V(x,y) = (ln x + ln y)2; (1 Punkt)
Nicht monoton (für x, y < 1 wegen Quadrierens negativer ln-Werte).
bb) U(x,y) = x y3; V(x,y) = ln x + 3 ln y; (1 Punkt)
Monoton.
bc) U(x,y) = x1/2 + y1/2; V ( x, y ) =
−1
1/ 2
e(x
+ y1 / 2 )
. (1 Punkt)
Monoton. (Hinweis: keine der Funktionen ist für negative x, y definiert).
c) Welche, in der Theorie des Verbraucherverhaltens übliche Annahme über Präferenzordnungen
wird durch die Präferenzordnung verletzt, welche durch das nachfolgend dargestellte
Indifferenzkurven-System repräsentiert wird? (1 Punkt).
Präferenzen/Indifferenzkurven sind nicht strikt konvex (alternativ richtig: keine abnehmende GRS
entlang einer Indifferenzkurve).
d) Aus einer der Standardannahmen über das Konsumentenverhalten folgt, dass Indifferenzkurven
abwärts geneigt sind.
da) Wie lautet diese Annahme? (1 Punkt)
Nichtsättigungsannahme (oder Monotonie).
db) Zeigen Sie mit Hilfe einer einfachen Skizze, dass wegen der besagten Annahme
Indifferenzkurven tatsächlich abwärts geneigt sein müssen. (1 Punkt)
Nehmen Sie an, dass Indifferenzkurve nicht abwärts geneigt ist und im Schaubild durch Punkt A
geht. Dann muss Sie auch durch einen Punkt gehen der von keinem Gut weniger und von
wenigstens einem Gut mehr enthält so wie Punkt B. Wegen der Nichtsättigungsannahme muß B
besser sein als A und kann deshalb nicht auf derselben Indiffernzkurve liegen.
Aufgabe 3. Entscheidungen unter Risiko
Simons gesamtes Vermögen besteht aus 640 Eiern, die er gerne zum Markt bringen möchte. Ein Ei
erzielt einen Preis von 0,1€. Simon ist etwas ungeschickt. Die Wahrscheinlichkeit, dass er auf dem
Weg zum Markt stürzt und seine gesamte Ladung zerstört wird ist P = 0,5. Da er spät aufgestanden
ist, ist nicht genügend Zeit für mehr als eine Wegstrecke. Simons Nutzenfunktion ist U = W , wobei
W sein Endvermögen in € ist.
a) Simon macht sich mit allen Eiern beladen auf den Weg zum Markt.
aa) Bestimmen Sie in der nachfolgenden Grafik Simons Erwartungsnutzen. (1 Punkt)
ab) Tragen Sie in der obigen Grafik das Sicherheitsäquivalent dieser Lotterie ein, d.h. dasjenige
sichere Vermögen, welches Simon indifferent machen würde gegenüber der unsicheren
Alternative :„Eiertransport zum Markt“. (1 Punkt)
(Hinweis: rechnerisch ermittelt sich das Sicherheitsäquivalent mittels 0,5 * 64 =
x ⇒ x = 16 ).
b) Nehmen Sie an, Simon würde eine Versicherung des gesamten Eiertransports zur fairen
Versicherungsprämie angeboten.
ba) Ermitteln Sie den fairen Preis des Vertrags! Welche Aus- und Einzahlungen sind aus Simons
Sicht mit dem Abschluss des Vertrages in den unterschiedlichen Umweltzuständen verbunden?
Die faire Prämie ist gleich der erwarteten Auszahlung der Versicherung, d.h. 0,5 * 64 = 32.
Kein Unfall: Simon zahlt 32, behält 64 – 32 = 32.
Unfall: Simon zahlt 32, verliert seine Eier aber erhält 64 , d.h. 64 – 32 = 32.
bb) Bestimmen Sie in der nachfolgenden Grafik den Nutzen, welchen Simon mit der fairen
Versicherung realisiert. Lohnt sich demnach der Abschluss einer Versicherung? (2 Punkte)
Der Abschluss lohnt weil der Nutzen mit Versicherung größer ist als der Nutzen der Lotterie
(Aufgabenteil a).
bc) Tragen Sie ebenfalls in die Grafik denjenigen Betrag ein, den Simon maximal für einen
Versicherungsvertrag bezahlen würde, der ihm den Verlust der Eier ersetzen würde. (1 Punkt)
c) Simon hat eine andere Option: Dr. Foster bietet ihm an, ihn zum Markt zu begleiten und dabei
die Hälfte der Eier zu tragen. Dr. Foster ist ebenso ungeschickt wie Simon, d.h. die
Wahrscheinlichkeit dass die von ihm transportierten Eier zerbrechen ist ebenfalls 0,5. Gehen Sie
ferner davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass Dr. Foster seine Eier zerbricht
und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass Simon seine Eier zerbricht voneinander
unabhängig sind.
ca) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
- beide zerbrechen ihre Ladung Wkt = 0,25
- nur einer der beiden zerbricht seine Ladung Wkt = 0,5
- keiner zerbricht seine Ladung Wkt = 0,25
Hinweis: Die Wahrscheinlichkeiten setzen sich aus den der in folgendem Diagramm
widergegebenen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Dr. Foster stürzt: Wkt = 0,5
Dr. Foster stürzt nicht: Wkt = 0,5
Simon stürzt (Wkt = 0,5)
0,5 * 0,5 = 0,25
0,5 * 0,5 = 0,25
Simon stürzt nicht (Wkt = 0,5)
0,5 * 0,5 = 0,25
0,5 * 0,5 = 0,25
cb) Ermitteln Sie Simon’s Erwartungsnutzen unter der Annahme, dass er und Dr. Foster sich
gemeinsam auf den Weg machen. (Hinweis: 32 ≈ 5,6 )
EU(Dr. Foster) ≈ 0,5 * 5,6 + 0,25 * 8 ≈ 4,8
cc) Wie vergleicht sich rechnerisch der Erwartungsnutzen den Simon mit Dr. Fosters Hilfe erzielen
kann (Aufgabenteil cb) und der Erwartungsnutzen, den er mit dem fairen Versicherungsvertrag
erzielt (Aufgabenteil bb)
EU (Faire Versicherung) ≈ 5,6 > 4,8 ≈ EU (Dr. Foster)
d) Wie hoch ist der maximale Lohn, den Simon Dr. Foster anbieten könnte, ohne dass er sich
gegenüber der Alternative alleine den Weg zum Markt anzutreten, schlechter stellt? Gehen Sie bei
Ihren Berechnungen davon aus, dass nur ganze Euro-Beträge zulässig sind und dass Simon den
Betrag nur dann zahlen muss, wenn noch irgendwelche Eier übrig sind.
In nachfolgender Tabelle ist y der verbleibende Wert der Ladung ohne Berücksichtigung des Lohnes
x. x ist der an Dr. Foster gezahlte Lohn. Die einzelnen Zellen enthalten den Nutzenwert der zu einer
bestimmten Kombination von verbleibender Ladung und Lohn korrespondiert. „Sqrt“ symbolisiert
die Wurzeloperation.
z.B. EU(x=10) = 0,25 * sqrt(0) + 0,5 * sqrt (32 – 10) + 0,25 * sqrt(64 – 10)
= 0,25 * 0 + 0,5 * 4,69 + 0,25 * 7,7 = 4,27
Bei einem Lohn von 12 erzielt Simon gerade noch einen positiven Überschuss im Vergleich zur
Situation in der er die Eier allein zum Markt trägt.