Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung

Harmonischer Oszillator in
Pfadintegraldarstellung
Ausarbeitung zum Seminarvortrag vom 18.11.2015
Lukas Eschmann
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Theoretische Voraussetzungen
3
3 Herleitung des harmonischen Oszillators
4
3.1 Aufteilen des Pfades und der Wirkung in klassischen Teil und quantenmechanische Abweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Berechnung der klassischen Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Berechnung der Wirkung der quantenmechanischen Abweichungen . . . . 8
3.4 Endergebnis und Zusammenhang zu bekannten Ergebnissen . . . . . . . 10
4 Zusammenfassung
11
2
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
1 Einleitung
Der harmonische Oszillator ist eins der wichtigsten Potenziale in der Physik und eins der
wenigen Probleme die analytisch lösbar sind. Viele Probleme werden in der Physik durch
einen harmonischen Oszillator angenähert. Die algebraische Lösung des Harmonischen
Oszillators über die Operatoralgebra ist relativ einfach und übersichtlich möglich. Die
Lösung erfolgt dabei über die bekannten Auf- und Absteigeoperatoren, welche die Vertauschungsrelationen von Bosonen erfüllen. Aus diesem Grund ist eine Betrachtung des
harmonischen Oszillators mithilfe von quantenmechanischen Pfadintegralen interessant
und wichtig. Dieser Seminarvortrag liefert eine alternative Berechnung der Übergangsamplitude des harmonischen Oszillators unter Verzicht auf die bekannte Operatoralgebra.
2 Theoretische Voraussetzungen
Zur Bearbeitung des Themas müssen einige Kenntnisse vorausgesetzt werden und können
im Rahmen dieser Ausarbeitung nicht hergeleitet werden. An diese Kenntnisse soll in
diesem Kapitel erinnert werden. Zuerst sei erwähnt, dass die gesamte Ausarbeitung in
natürlichen Einheiten gerechnet wird und es gilt:
h̄ = c = 1.
(1)
Allgemein ist eine Übergangsamplitude von einem Zustand h~x| in einen Zustand h~y |
durch
−iHt
h~x| e
Z
DxeiS[x]
m N/2
dx(t1 )...dx(tN −1 )
Dx = lim
N →∞ 2πi
|~y i =
(2)
(3)
gegeben. Das Integral ist das quantenmechanische Pfadintegral und die Integration wird
über alle möglichen Pfade x zwischen den beiden Zuständen verstanden. Dabei bezeichnet
Z
S[x] =
dt0 L(x(t0 ),ẋ(t0 ))
(4)
die Wirkung, welche ein Integral über die Lagrangefunktion ist. Die Übergangsamplitude
des freien Teilchens ergibt sich zu
h~x| e
−iHt
m 3/2 m
2
ei 2t (~x−~y) .
|~y i =
2πit
(5)
Auÿerdem soll an das mathematische Konzept der Funktionalableitung erinnert werden.
Diese ist deniert als
Z
δF (x) =
ds
-
δF
δx(s),
δx(s)
3-
(6)
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
wobei hier als Verständnisstütze ein Vergleich zum normalen totalen dierential gezogen
werden kann:
df =
X ∂f
dxi .
∂xi
i
(7)
Ein wichtiges Beispiel für eine Funktionalableitung, welches im Verlauf der späteren
Rechnung auch verwendet wird, ist
F [x] = x(a) ⇒
δF
= δ(s − a).
δx(s)
(8)
Zusätzlich wird in der folgenden Rechnung auch das Hamiltonsche Prinzip verwendet.
Dies besagt, dass der klassische Pfad zwischen zwei Zuständen immer der ist, für den
die Wirkung extremal wird. Es muss also
(9)
δS[x] = 0
gelten. Verwendet man die Denitionen aus (4) und (6) ergibt sich schnell die bekannte
Euler-Lagrange-Gleichung:
δS
d ∂L
∂L
=
+
= 0, wobei
δx(s)
dt ∂ ẋ
∂x
L(x,ẋ) = T (ẋ) − V (x)
(10)
(11)
die Lagrange-Funktion ist.
3 Herleitung des harmonischen Oszillators
3.1 Aufteilen des Pfades und der Wirkung in klassischen Teil
und quantenmechanische Abweichung
Mithilfe der Erinnerungen in Kapitel 2 soll nun die Übergangsamplitude des harmonischen Oszillators bestimmt werden.
Die Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators ist
L=
m 2 mω 2
ẋ −
x.
2
2
(12)
Aus der Euler-Lagrange-Gleichung in (10) ergibt sich
(13)
mẍ(t) + mω 2 x(t) = 0
als klassische Bewegungsgleichung. Die Lösung dieser sei im folgenden als xc (t) bezeichnet und es gelten die Randbedingungen:
xc (tb ) = xb .
xc (ta ) = xa
-
4-
(14)
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
Hier schlieÿt sich dem Leser die Frage an, warum hier die klassische Bewegungsgleichung
und ihre Lösung erwähnt wird, wo es doch um ein quantenmechanisches Problem gehen
soll. Im Folgenden soll ein beliebiger Pfad von xa nach xb in einen klassischen Pfad xc (t)
und eine quantenmechanische Abweichung vom klassischen Pfad y(t) aufgeteilt werden.
Die Aufteilung ist in Abbildung 1 verdeutlicht.
Abbildung 1 Aufteilung eines beliebigen Pfades in klassischen Pfad xc (t) und eine Abweichung y(t).
Es lässt sich folglich
(15)
x(t) = xc (t) + y(t)
schreiben. An den Endpunkten muss demnach
(16)
y(ta ) = y(tb ) = 0
gelten. Mithilfe dieser Aufteilung soll nun die Wirkung
Z
S[x] =
(17)
dt0 L(x(t0 ),ẋ(t0 ))
berechnet werden. Dafür wird nun eine Taylorentwicklung von S[x] um xc (t) vorgenommen:
Ztb
S[x] = S[xc + y] = S[xc ] +
1
δS[xc ]
dt
y(t) +
δx(t)
2
ta
Ztb
Ztb
dt
ta
dt0 y(t0 )
δ 2 S[xc ]
y(t).
δx(t)δx(t0 )
(18)
ta
Hier wurde eine spezielle Taylorentwicklung für Funktionale durchgeführt, welche sich
im wesentlichen nach der Denition der Funktionalableitung aus (6) richtet. Diese Entwicklung ist keine Näherung, da die Wirkung beim harmonischen Oszillator maximal
-
5-
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
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quadratisch in x(t) ist und somit Terme höherer Ordnung wegfallen. Da für den klassischen Pfad jedoch das Hamiltonsche Prinzip erfüllt ist, gilt
(19)
δS(xc ) = 0
und deshalb muss die erste Ordnung verschwinden. Für die zweite Ordnung wird zunächst das Argument näher betrachtet. Es lässt sich umschreiben:
δ 2 S[x]
δ
d2
2
=
−m 2 − mω x(t)
δx(t)δx(t0 )
δx(t0 )
dt
2
d
2
= −m 2 − mω δ(t − t0 ).
dt
(20)
(21)
Dabei wurde im ersten Schritt lediglich die Euler-Lagrange-Gleichung aus (10) mit der
Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators verwendet. Im zweiten Schritt wurde
die Beziehung aus (8) genutzt um die Ableitung durchzuführen. Nun lässt sich die zweite
Ordnung aus (18) zu
1
2
Ztb
Ztb
dt
ta
d2
2
dt y(t ) −m 2 − mω δ(t − t0 )y(t)
dt
0
0
(22)
ta
m
=−
2
Ztb
dty(t)
d2
2
+ ω y(t)
dt2
(23)
ta
m
=−
2
Ztb
mω 2
dty(t)ÿ(t) −
2
ta
Ztb
(24)
dty 2 (t)
ta
umschreiben. Das erste Integral aus (24) lässt sich mithilfe einer partiellen Integration
umschreiben und es gilt:
m
−
2
Ztb
tb m Ztb
m
dty(t)ÿ(t) = − y(t)ẏ(t) +
dtẏ 2 (t)
2
2
ta
ta
(25)
ta
=
m
2
Ztb
dtẏ 2 (t),
(26)
ta
wobei die Randbedingungen aus (16) verwendet wurden. Setzt man die bisherigen Er-
-
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gebnisse in (18) ein ergibt sich:
m
S[x] = S[xc ] +
2
Ztb
mω 2
dtẏ (t) −
2
2
ta
Ztb
= S[xc ] +
Ztb
dty 2 (t)
(27)
ta
dt
m 2
mω 2 2
ẏ (t) −
y (t)
2
2
(28)
ta
= S[xc ] + S[y].
(29)
Die Wirkung eines beliebigen Pfades lässt sich also in die Wirkung des klassischen Pfades
plus die Wirkung der Abweichung zerlegen. Damit kann schlieÿlich die Übergangsamplitude berechnet werden,
Z
K(xb ,tb ,xa ,ta ) =
Dxe
iS[x]
iS[xc ]
Z
=e
DyeiS[y]
(30)
und die Integration muss nun nicht mehr über alle möglichen Pfade, sondern nur alle
möglichen Abweichungen y(t) durchgeführt werden. Nun ist eine separate Berechnung
von S[xc ] und S[y] möglich.
3.2 Berechnung der klassischen Wirkung
Zunächst soll die klassische Wirkung bestimmt werden. Die Lösung der klassischen Bewegungsgleichung ist aus der klassischen Mechanik bekannt.
(31)
xc (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)
Unter Verwendung der Randbedingungen
xc (ta ) = xa
T = tb − ta
xc (tb ) = xb
(32)
ergibt sich mit ein bisschen Algebra für die Koezienten:
A=
(xb cos(ωta ) − xa cos(ωtb ))
sin(ωT )
B=
(xa sin(ωtb ) − xb sin(ωta ))
.
sin(ωT )
(33)
Das Ergebnis muss nur noch in die Lagrangefunktion eingesetzt und über die Zeit integriert werden. Das lässt sich leicht berechnen und es ergibt sich:
S[xc ] =
mω
[(x2 + x2a ) cos(ωT ) − 2xa xb ].
2 sin(ωT ) b
(34)
Damit ist die Wirkung des klassischen Pfades berechnet und kann später zur Berechnung
der gesamten Übergangsamplitude verwendet werden.
-
7-
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
3.3 Berechnung der Wirkung der quantenmechanischen
Abweichungen
Die Berechnung der Wirkung S[y] der Abweichung vom klassischen Pfad ist etwas aufwändiger und technischer als die des klassischen Pfades. Dazu wird erneut der Ausdruck
aus (23) verwendet.
m
S[y] =
2
ZT
d2
2
y(t) − 2 − ω y(t)
dt
(35)
0
Dieses Integral wird nun berechnet, indem die Wirkung des Operators − dtd 2 − ω 2
auf y(t) untersucht wird. Um den Operator auswerten zu können, soll y(t) nach den
Eigenfunktionen des Operators entwickelt werden. Die Eigenfunktionen des Operators
sind bereits aus der Quantenmechanik bekannt. Dort beschreibt dieser Operator einfach
nur einen unendlichen hohen Potenzialtopf mit den Randbedingungen y(0) = y(T ) = 0.
Die Eigenfunktionen ergeben sich zu:
r
yn (t) =
2
2
nωt
sin
.
T
T
(36)
Die Eigenfunktionen sind orthogonal, so dass
ZT
dtyn (t)ym (t) = δn,m
(37)
2 2
nπ
d2
2
2
− 2 − ω yn (t) = − 2 − ω yn (t) = λn yn (t)
dt
T
(38)
0
gilt. Die Eigenwerte sind durch
gegeben. Nun lässt sich die Abweichung y(t) also als
y(t) =
∞
X
an yn (t)
(39)
n=0
schreiben. Unter Ausnutzung der Orthogonalität lässt sich die Wirkung damit zu
m
S[y] =
2
ZT
d2
2
y(t) − 2 − ω y(t)
dt
(40)
an yn (t)λm am ym (t)dt
(41)
0
m
=
2
=
m
2
ZT X
n,m
0
∞
X
a2n λn
n=0
-
8-
(42)
Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
vereinfachen. Nun soll das Pfadintegral gelöst werden. Dazu muss eine Koordinatentransformation für das Integral vorgenommen werden. Da alle Pfade y(t) in die Basis yn
entwickelt werden können, lässt sich eine zu den Pfaden äquivalente Basis nden. Nun
gilt für das Integrationsmaÿ:
Dy = J
∞
Y
dan ,
(43)
n=1
wobei J eine unbekannte Jacobi-Determinante ist. Diese soll nicht explizit ausgerechnet
werden, sondern später durch Vergleich mit dem freien Teilchen bestimmt werden. Nun
lässt sich also schreiben:
Z
F (T ) =
Dye
iS[y]
=J
Z Y
∞
−i m
2
dan e
∞
P
n=0
a2n λn
(44)
n=1
=J
=J
∞ Z
Y
n=1
∞ r
Y
n=1
dan e−i 2 an λn
(45)
2πi
,
mλn
(46)
m 2
wobei ausgenutzt wurde, dass sich das Integral aus einem Produkt von unendlich vielen
Gauÿintegralen schreiben lässt. Zur Bestimmung der unbekannten Konstante betrachten
wir nun unseren harmonischen Oszillator für ω → 0. Für diesen Grenzwert entspricht
der harmonische Oszillator einem freien Teilchen und es gilt:
mit:
lim F (T ) = F0 (T )
ω→0
λ(0)
n =
Im Folgenden wird die Produktentwicklung des Sinus verwendet:
sin(x) = x
∞ Y
k=1
x2
1− 2 2
k π
n2 π 2
.
T2
.
(47)
(48)
Damit ergibt sich das Verhältnis von harmonischem Oszillator zu freiem Teilchen zu:
∞
Y
F (T )
=
F0 (T ) n=1
s
1
− 2
∞ (0)
Y
λn
ω2T 2
=
1− 2 2
=
λn
n
π
n=1
s
ωT
.
sin(ωT )
(49)
Nun betrachten wir die Übergangsamplitude aus (5) für ein freies Teilchen. In unserem
Fall muss nur eine Dimension betrachtet werden und es gilt ~x = ~y , da die Abweichung
y(t) ja bekanntlich an Anfangs-und Endpunkt gleich sein soll. Damit ergibt sich
r
F0 (T ) =
m
2πiT
(50)
als einfacher Ausdruck für das eindimensionale freie Teilchen. Damit lässt sich nun abschlieÿend
F (T )
F (T ) =
F0 (T ) =
F0 (T )
schreiben.
-
9-
r
mω
2πi sin(ωT )
(51)
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3.4 Endergebnis und Zusammenhang zu bekannten Ergebnissen
Mithilfe der Ergebnisse aus (34) und (51) kann nun der Ausdruck für die gesamte Übergangsamplitude formuliert werden. Es gilt:
Z
K(xb ,tb ,xa ,ta ) =
Dxe
r
=
iS[x]
iS[xc ]
Z
(52)
DyeiS[y]
=e
mω
mω
2
2
exp i
[(x + xa ) cos(ωT ) − 2xa xb ] .
2πi sin(ωT )
2 sin(ωT ) b
(53)
Die Gleichung aus (53) bezeichnet man als Mehlerformel und stellt das Endergebnis der
hier vorgestellten Berechnungen zur Übergangsamplitude da.
Der Zusammenhang zu bekannten Ergebnissen wird über Betrachtung der Eigenwerte
klar. Es wird die aus der Quantenmechanik bekannte Beziehung
(54)
X −iEn T
e
Sp e−iHT =
n
verwendet. Allerdings gilt mit (53) auch:
Sp e
−iHT
Z∞
dx hx| e
=
−iHT
Z∞
|xi =
−∞
r
=
(55)
dxK(x,tb ,x,ta )
−∞
Z∞
mω
2πi sin(ωT )
mω
[2x2 cos(ωT ) − 2x2 ]
dx exp i
2 sin(ωT )
(56)
−∞
r
s
2πi sin(ωT )
mω(2 cos(ωT ) − 2)
s
s
1
1
1
=
=
=
2 ωT
2 cos(ωT ) − 2
−4 sin ( 2 )
2i sin( ωT
)
2
=
mω
2πi sin(ωT )
ω
e−i 2 T
=
1 − e−iωT
=
∞
X
mit:
∞
X
xn =
n=0
1
1−x
e−iω(n+ 2 )T .
(57)
(58)
(59)
(60)
1
n=0
Aus Vergleich mit (54) ergeben sich die Energieeigenwerte zu:
1
En = ω n +
2
,
(61)
wie sie bereits von der Operatorquantenmechanik vom harmonischen Oszillator bekannt
sind.
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Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Lukas Eschmann
4 Zusammenfassung
In diesem Kapitel sei noch einmal kurz die Vorgehensweise zur Bestimmung der Mehlerformel aus (53) für die Übergangsamplitude beim harmonischen Oszillator zusammengefasst. Zunächst wird ein allgemeiner Pfad in einen klassischen Pfad xc mit δS = 0 und
eine Abweichung von diesem y(t) mit y(ta ) = y(tb ) = 0 zerlegt. Nun lässt sich zeigen,
dass sich auch die Wirkung entsprechend in einen klassischen und einen ausschlieÿlich
von der Abweichung y(t) bestimmten Teil aufteilen lässt. Es gilt also S[x] = S[xc ] + S[y].
Mit diesem Wissen wurde das quantenmechanische Pfadintegral aufgeteilt und die Berechnung wurde auf die separate Berechnung der beiden Wirkungen zurückgeführt.
Der klassische Pfad lässt sich sehr leicht berechnen, da seine Ergebnisse schon aus der
klassischen Mechanik
i sind. Zur Berechnung der Abweichung wird y(t) in Eih bekannt
d2
genfunktionen zu − dt2 − ω 2 entwickelt um das Integral auswerten zu können. Dieser
Operator ist bereits aus der Quantenmechanik als unendlicher Potenzialtopf bekannt.
Damit kann das Integral bis auf eine unbekannte Jacobi-Determinante berechnet werden.
Diese wird durch einen Vergleich des Ergebnisses für ω → 0 mit der Übergangsamplitude
des freien Teilchens gewonnen. Mithilfe der beiden Ergebnisse für den klassischen Pfad
xc und y kann durch einfache Multiplikation die Mehlerformel und damit das Endergebnis der Berechnungen aufgeschrieben werden.
Die Äquivalenz des Pfadintegralformalismus wird in der Bestimmung des Eigenwertspektrums sichtbar. Hier wird gezeigt, dass sich mithilfe der Mehlerformel das gleiche
Spektrum ergibt wie es auch aus der Operatoralgebra bekannt ist.
Literatur
[1] Münster, G.: Quantentheorie. Bd. 2. Berlin New York : de Gruyter, (2010)
[2] Lüker, S.: Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung, Westfälische
Wilhelms-Universität Münster, Seminarvortrag, April 2010
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