Graph-Probleme

Gleichheit und Isomorphie von Graphen
Zwei (gerichtete oder ungerichtete) Graphen G1 und G2 sind genau dann
isomorph, wenn G1 und G2 gleich sind,
nachdem die Knoten von G2 umbenannt werden.
Die beiden Graphen
2
b
1
3
4
und
a
d
c
sind nicht gleich, da sie unterschiedliche Knotenmengen besitzen,
wohl aber isomorph.
21. März 2017
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Gleichheit und Isomorphie: Weitere Beispiele
G0
G
G00
2
1
3
4
a
b
c
d
a
b
c
d
Dann gilt:
G∼
= G0 via f : {1, 2, 3, 4} → {a, b, c, d}
mit f (1) = c, f (2) = d, f (3) = a, f (4) = b (oder f (3) = b, f (4) = a).
G0 ist nicht isomorph zu G00 (kurz: G0 G00 ),
denn G00 hat mehr Kanten als G0 .
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Komplementgraph
Sei G = (V , E) ein Graph. Dann ist der Komplementgraph G = (V , E),
derjenige, der die gleichen Knoten hat, aber nur aus (allen) Kanten besteht,
die G nicht besitzt.
G
G
1
1
5
2
5
3
4
1
2
3
3
4
1
4
2
4
2
3
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Sitzordnung: Wer neben wem?
Die Gäste einer Familienfeier sollen so an einer hufeisenförmigen Tafel
platziert werden, dass niemand neben jemanden sitzt, den sie/er nicht leiden
kann.
1. Stelle den Konfliktgraphen G = (V , E) auf, wobei
V := {x : Person x soll zur Feier kommen} und
n
o
Person x kann Person y nicht leiden oder
E := {x, y } :
Person y kann Person x nicht leiden
d.h. Kanten im Konfliktgraphen zeigen auf, wer im Konflikt mit wem steht.
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Sitzordnung: Wer neben wem?
2. Bilde das Komplement des Konfliktgraphen,
d.h. betrachte den Freundschaftsgraphen G̃ = (Ṽ , Ẽ) mit
Ṽ := V und
Ẽ := {x, y } : x, y ∈ V , x 6= y , {x, y } ∈
/E .
Kanten in G̃ zeigen an, wer prinzipiell neben wem platziert werden
könnte.
3. Suche einen Hamilton-Weg in G̃.
Wenn (v1 , . . . , vn ) (mit n = |Ṽ |) ein Hamilton-Weg in G̃ ist, dann kann
man die Sitzordnung folgendermaßen festlegen:
v4
v3
v5
v6
v7
v2
v1
vn
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Wo ist der Hamilton-Kreis?
Ein Hamilton-Weg besucht alle Knoten genau ein Mal.
Ein Hamilton-Kreis besucht alle Knoten genau ein Mal und endet wieder
beim Startknoten.
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Wo ist der Euler-Weg?
Ein Euler-Weg besucht alle Kanten genau ein Mal.
Es gibt in G genau zwei Knoten mit ungeradem Grad.
Ein Euler-Kreis besucht alle Kanten genau ein Mal und endet wieder
beim Startknoten.
Alle Knoten in G haben einen geraden Grad.
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Matching
Ein Matching ist eine Menge von Kanten, die unabhängig sind. D.h. ein
Knoten gehört jeweils immer nur zu einer Kante in dem Matching und darf
nicht mehrfach benutzt werden.
Ein Matching heißt perfekt, wenn alle Knoten benutzt werden.
Es gilt: |perf .Matching| = |V2 | .
2
6
7
2
3
2
7
8
Matching?
1
8
und
5
9
8
4
9
10
7
1
4
4
6
3
3
1
5
6
5
9
10
10
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Bäume, die „ihren“ Graphen aufspannen
Sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph. Ein Baum B = (V 0 , E 0 ) heißt
Spannbaum von G,
falls V 0 = V und E 0 ⊆ E gilt. Das bedeutet, der Spannbaum hat alle Knoten,
aber nicht unbedingt alle Kanten.
Beachte: Er muss zusammenhängend sein.
Der Graph
a
b
e
d
c
hat u.a. folgende Spannbäume:
a
a
b
e
d
b
a
e
c
d
b
e
c
d
c
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Färbung von Knoten
Sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph.
Eine Funktion m : V → N heißt eine (konfliktfreie) Färbung, wenn für
jede Kante {x, y } ∈ E gilt: m(x) 6= m(y ).
Die Größe von Bild(m) ist die Anzahl der Farben.
Die minimale Farbenzahl, die für eine konfliktfreie Färbung ausreichend
ist, heißt die chromatische Zahl von G (kurz: χ(G)).
Eine neue Familienfeier mit Gästen A, B, C, D, E, F, G, H, I und dem
Konfliktgraphen:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Wir wollen nun alle Gäste an eine minimale Anzahl von Tischen platzieren,
sodass keiner mit jemandem an einem Tisch sitzt, mit dem er in Konflikt steht.
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Wieviele Farben?
Eine konfliktfreie Färbung mit drei Farben ist möglich:
A
1
D
C
B
3
E
1
3
F
2
1
2
3
2
G
H
I
Drei Farben sind auch notwendig, weil der Konfliktgraph ein Dreieck, z.B.
E
D
H
als Teilgraph enthält. Was ist die chromatische Zahl?
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