Vorstellung des Proseminars Mathematische
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—————————————————————————————————————— Priv.-Doz. Dr. Andreas Ruffing Kontakt: [email protected] Sommersemester 2010 —————————————————————————————————————— Vorstellung des Proseminars Wir wenden uns in diesem Proseminar dem folgenden Thema zu: Mathematische Logik und Schaltungen der Booleschen Algebra Fachliche Schwerpunkte, aus denen die einzelnen Vorträge entstehen, sind: • Logische Grundverknüpfungen • Darstellungs- und Reduktionssatz für logische Schaltungen • Boolesche Algebra auf einfacher Ebene • Schaltplanerstellung (Schaltplananalyse und Schaltplansynthese) • Algebraische Schaltplanvereinfachung • Geometrische Schaltplanvereinfachung Für das Proseminar wurde eigens ein Digitalelektronik-Board zur Verifikation von Schaltkreisen der Booleschen Algebra konstruiert, mit dem die behandelten Schaltungen durch die Studierenden nachgebaut werden können. Vgl. hierzu die Ausführungen im dritten Kapitel der folgenden Beschreibung. Interessenten sind herzlich eingeladen, die folgenden Seiten zu betrachten! Priv.-Doz. Dr. Andreas Ruffing München, 25.02.2010 1. Kontakt und Vorbesprechungen —————————————————————————————————————— Studierende erreichen den Dozenten der Veranstaltung unter [email protected] Die nächsten Termine für Vorbesprechungen sind Dienstag, 16.03.2010 Dienstag, 23.03.2010 im Mathematik-Gebäude TUM Treffpunkt Raum 03.08.011 jeweils um 14:00 —————————————————————————————————————— Es folgen Allgemeine Didaktische Vorüberlegungen (Kapitel 2) und eine kurze Präsentation des Digitalelektronik-Boards zur Verifikation von Schaltungen (Kapitel 3). Priv.-Doz. Dr. Andreas Ruffing 2. Allgemeine Didaktische Vorüberlegungen —————————————————————————————————————— 2.1 Sachanalyse zur Schaltalgebra • Schaltalgebra Die Schaltalgebra geht auf eine Verknüpfung von Einzelaussagen zu einer Gesamtaussage zurück. Die ersten Zusammenhänge sind in einer Mathematischen Aussagenlogik zu finden (Sokrates, Platon, Aristoteles). William Hamilton lieferte Vorarbeiten zur Algebra der Logik. George Boole entwickelte eine geschlossene Darstellung logischer Probleme in algebraischer Form (Boolesche Algebra), indem er logische Begriffe und ihre Verknüpfungen durch mathematische Symbole und Zeichen ausdrückte und die Gesetze der Algebra anwandte. Die Boolesche Algebra leitet sich von der Mengenlehre ab und teilt sich in vier Bereiche auf: ◦ Mengenalgebra ◦ Aussagenalgebra und symbolische Logik ◦ Wahrscheinlichkeitsrechnung ◦ Schaltalgebra • Variable und Konstante Binäre logische Verknüpfungen werden mit Hilfe der Schaltalgebra dargestellt. Die Schaltalgebra basiert auf dem binären Zahlensystem (Dualsystem). Deshalb gibt es hier nur zwei Konstanten, nämlich ”0” und ”1”. Schaltvariablen sind Größen, die diese Werte oder Zustände annehmen können. Sie werden auch logische Variablen genannt. Ihnen kann eine Aussage zugeordnet werden. So kann z.B. der logische Wert ”0” durch eine Spannung von 0V angegeben werden, der logische Wert ”1” etwa durch eine Spannung von 5V . Alle Werte, die dazwischen liegen, sind nicht zulässig. • Warum digitale Signale? Ein analoges Spannungssignal kann beliebige Werte annehmen und könnte dementsprechend auch beliebig viele Zahlenwerte darstellen. Leider bedingt die Speicherung und Auswertung analoger Informationen in der Elektronik sehr aufwändige Schaltungen. Digitale Signale können mit elektronischen Schaltungen viel einfacher gespeichert und ausgewertet werden als analoge Signale. • Vorteile der Digitaltechnik ◦ Digitale Signale sind beim Übertragen weniger störanfällig als analoge. ◦ Digitale Signale sind auch beim Speichern weniger störanfällig als analoge. ◦ Durch Codierung sind viele verschiedene Anwendungen möglich. ◦ Die Informationen können mit Hilfe von digitalen Gattern bearbeitet werden. ◦ Die Informationen können mit Hilfe von Mikroprozessoren bearbeitet werden. Insbesondere ist festzuhalten, dass der technische Fortschritt bei der Miniaturisierung der Bauelemente der Digitaltechnik den Bau immer komplexerer Schaltungen ermöglicht. • Darstellung digitaler Grundfunktionen Die Digitaltechnik basiert auf verschiedenen Grundfunktionen, wie z.B. UND, ODER, NICHT etc. Diese Grundfunktionen werden mit sogenannten Toren (Gatter oder Gates) ausgeführt. Ein Tor kann mehrere Eingänge haben (a, b, c, ...), es hat jedoch immer nur einen Ausgang y. Die Funktion eines solchen Gatters lässt sich auf verschiedene Arten definieren: ◦ durch das Schaltsymbol ◦ mit einer Funktionstabelle ◦ durch eine Formel, mathematische Gleichung ◦ anhand einer Beschreibung mit Worten ◦ mit einer Zeichnung ◦ mit einem Signal-Zeit-Diagramm ◦ mit einem Zustands-Zeit-Diagramm • Präsenz digitaler Grundschaltungen Digitale Tore kann man als integrierte Schaltungen (IC) kaufen. In diesen Schaltbausteinen sind die Tore mit Halbleiterbauelementen aufgebaut. Der weitere innere Aufbau interessiert an dieser Stelle nicht im Detail. Für unsere Zwecke reicht es aus, dass wir wissen, wie solche integrierte Schaltungen von außen angeschlossen und betrieben werden. • Schaltplansynthese In einer Schaltung werden die Eingangssignale zusammengefasst und zu einem Ausgangssignal verarbeitet. Eine technisch sinnvolle Lösung wird nur dann erreicht, wenn zwischen Ein- und Ausgangssignalen feste logische Zusammenhänge bestehen. Alle logischen Verknüpfungen, auch mit vielen Eingängen, lassen sich auf nur drei sehr einfache logische Grundfunktionen zurückführen: ◦ die UND-Funktion (Konjunktion) ◦ die ODER-Funktion (Disjunktion) ◦ die NICHT-Funktion (Negation) Für die industrielle Praxis sind darüber hinaus zwei weitere abgeleitete Funktionen von großer Bedeutung: ◦ die NAND-Funktion (Negation des UND) ◦ die NOR-Funktion (Negation des ODER) Mit NAND- und NOR-Funktionen lassen sich alle zehn logischen Grundfunktionen aufbauen. Dies führt in der industriellen Praxis zu kostengünstigen Lösungen. • Schaltplananalyse Wenn mindestens zwei logische Grundschaltungen zusammengesetzt sind, haben wir es mit einem logischen Schaltnetz zu tun. Die Untersuchung vorhandener Schaltnetze mit dem Ziel, den Zusammenhang zwischen Aus- und Eingangsvariablen zu ermitteln, bezeichnet man als Schaltplananalyse. Die einzelnen Teilververknüpfungsergebnisse erhalten die Buchstaben A, B, C, .... Diese Zwischenergebnisse werden in die Wahrheitstabelle eingetragen und weiterhin nach der Schaltplanvorgabe verknüpft, bis zur Definition der Ausgangsvariablen. • Schaltplanvereinfachung Die Schaltplanvereinfachung dient dazu, eine beliebige Schaltung möglichst einfach, d.h. mit einem Minimum an Schaltelementen und dazu noch mit bestimmten Schaltelementen aufzubauen, um zu der optimalen Lösung zu kommen. Dies geschieht mit Hilfe der Schaltalgebra und des Karnaugh-VeitchDiagramms (KV-Diagramm). Mit den Regeln der Schaltalgebra können Schaltfunktionen vereinfacht werden. Die Anwendung dieser Regeln ist oft sehr umfangreich. Eine einfachere Lösung lässt sich in vielen Fällen mit dem KV-Diagramm realisieren: Dies ist ein graphisches Minimierungsverfahren, bei dem die Signalzustände der Ausgangsvariablen in ein Diagramm übertragen werden. Das KVDiagramm enthält alle möglichen sogenannten Minterme. Damit lässt sich ein relativ komplexer Schaltplan in eine Lösung mit möglichst wenig Bauteilen umwandeln. 2.2 Technische Ausführung digitaler Schaltungen Logische Schaltungen lassen sich nicht nur durch elektronische Schaltelemente verwirklichen. Es existieren daneben elektromechanische, fluidische, pneumatische, hydraulische und mechanische Systeme. Die aufgeführten Systeme haben Vor- und Nachteile, die das jeweilige Anwendungsgebiet festlegen. Bei physikalisch-technischen Aufgabenstellungen muss stets am konkreten Fall entschieden werden, welche Schalttechnik besonders gut geeignet ist. Die verschiedenen Systeme können hier bei bestimmten Aufgabenstellungen in Konkurrenz zueinander treten. Oft führt der kombinierte Einsatz mehrerer Systeme zu einer optimalen wirtschaftlichen Lösung. Die pneumatische Schalttechnik arbeitet in der Regel mit einem Druck von 6 bar. Mit ihr lassen sich die logischen Grundfunktionen ebenso verwirklichen wie mit der Elektronik. Aufgrund der Schnelligkeit und aufgrund der Eigenschaften des Mediums Luft hat die Pneumatik sich in der Automatisierungstechnik, in der Nahrungstechnik, in der Sprengstofftechnik, im Transportbetrieb und in der Flugtechnik bewährt. Der derzeitige Trend in der Automatisierung besteht darin, dass die eigentliche Schaltlogik nicht mehr ausschließlich pneumatisch durchgeführt wird. An ihre Stelle tritt in immer stärkerem Maße die elektronische Schalttechnik. Die Fluidik arbeitet mit maximalen Drücken von 0,4 bar. Schaltelemente dieser Technik erweisen sich im Hinblick auf Temperatur und Feuchtigkeit als außerordentlich robust. Sie werden eingesetzt bei ständigem Wechsel der Temperatur, z.B. in der Satellitentechnik, bei Kühlanlagen sowie bei Dampf und Hitze, z.B. bei Kochkesselanlagen. Dynamische Fluidikbauteile enthalten keine beweglichen Teile. Sie sind deshalb verschleiß- und reibungsfrei. Ihre Bauart ist relativ klein und sehr kompakt. Um jedoch technisch verwertbare Schaltleistungen zu erreichen, müssen Verstärkerelemente nachgeschaltet werden. Der Nachteil der Fluidikelemente ist, dass sie im Betrieb ständig Luft verbrauchen, auch dann, wenn sie nicht schalten. Vgl. auch die Schaltlogik nach Coanda bzw. die Schaltlogik mit Hilfe des Pneumistors. Die hydraulische Steuerungstechnik arbeitet in einem Druckbereich bis zu einigen 100 bar. Die Bauteile sind ausgelegt für größte Drücke. Die Wegeventile gehorchen genau wie in der Pneumatik den Grundgesetzen der Logik. Darüber hinaus kommt hier jedoch noch das Gesetz von Bernoulli ins Spiel. Durch den ständigen Wechsel von kinetischer Energie und Druckenergie beim Bewegen und Anhalten der Kolben in den Zylindern ändert sich permanent der Druck im System. Mit Hilfe von elektrohydraulischen Druckschaltern wird dieser Impuls zusätzlich in der hydraulischen Schaltlogik verwendet. 2.3 Didaktische Reduktion Betrachtet man die Schaltplantechnik als Anwendung der logischen Funktionen in den Anwendungsgebieten Elektromechanik, Elektronik, Pneumatik, Fluidik, Hydraulik und Mechanik mit ihrer weiten Ausdehnung in Wissenschaft und Technik, so erkennt man, dass all diesen Anwendungen ein bestimmtes logisches Grundprinzip, nämlich die Schaltalgebra, zugrunde liegt. Alle Technologien gehorchen dieser Mathematik: Ihre Aussageebene kann nicht weiter reduziert werden. Zur umfassenden Aussage gehören Schaltbild, Algebraische Gleichung, Wahrheitstabelle, Genormte Bezeichnung. Beim Überlegen, welche Technologien zur Vermittlung der Grundtatsachen geeignet sind, wird man erkennen, dass Pneumatik und Fluidik als Vermittlungsmedien entfallen. Die Fluidik hat sehr kleine kompakte Bauteile, die dazu fast vollkommen gekapselt sind. Sie ist kaum geeignet, in das Gebiet der Logik einzuführen. Die pneumatische Schalttechnik ist durchsichtiger gestaltet, arbeitet jedoch mit einem Druck von 6 bar. Hier sind besondere Sicherheitsvorkehrungen zu beachten. Die elektronische Steuerungstechnik ist ein sehr weites Arbeitsfeld mit einer sehr großen Zahl von Detaillösungen. Dieses komplexe Gebiet lässt sich jedoch zurückführen auf grundlegende Elemente, die zwei Arbeitsgebiete abdecken: 1. Die Kombinatorische Steuerungstechnik 2. Die Ablaufsteuerungen Im ersten Fall werden Eingangsvariablen mit Hilfe der logischen Grundfunktionen zu einer Ausgangsvariablen verknüpft. Im zweiten Fall werden die Ausgangsvariablen weiter gewandelt bzw. rückgeführt. Es handelt sich um die Bauteile Speicher, Zeitglieder, Binärteiler, Impulsgenerator und Schieberegister. Im Proseminar beschränken wir uns auf die Signalverknüpfung. Die Bearbeitung der Signalwandlung kann als weiteres Projekt zu einem späteren Zeitpunkt angefügt werden. Es geht weiter mit dem Modularen Aufbau des Digitalelektronik-Boards. Priv.-Doz. Dr. Andreas Ruffing 3. Der Modulare Aufbau des Digitalelektronik-Boards —————————————————————————————————————— • 1. Modul Im ersten Modul sind vier Leiterbahnen a, b, c, d angebracht, die mit Schaltern zu- und abgeschaltet werden können. Zusätzlich sind vorhanden: ◦ Sechs UND-Gatter verwirklicht durch zwei IC-Bausteine des Typs 74LS08, von dem jeder vier UND-Gatter enthält. ◦ Sechs ODER-Gatter werden aus zwei IC-Bausteinen des Typs 74LS32 gebaut, die jeweils vier ODER-Gatter enthalten. ◦ Sechs Inverterstufen sind in einem IC des Typs 74LS04 enthalten. Alle Ein- und Ausgänge sind an den Buchsen unter der Platte angelötet. Die Stromzufuhr wird durch einen ”+”– und durch einen ”-”–Anschluss verwirklicht. Dies gilt auch für alle nachfolgenden Module. —————————————————————————————————————— • 2. Modul Hier sind aufgebaut: ◦ Zwei UND-Gatter mit je drei Eingängen, aufgebaut aus einem IC-Baustein des Typs 7408 ◦ Ein ODER-Gatter mit sechs Eingängen, aufgebaut aus zwei IC-Bausteinen des Typs 74LS32 ◦ Neun NAND-Gatter mit je zwei Eingängen aus 3 IC des Typs 74LS00 ◦ Neun NOR-Gatter mit je zwei Eingängen aus 3 IC-Bausteinen des Typs 74LS02 ◦ Drei Exklusiv-Oder-Gatter (Antivalenz) mit je zwei Eingängen, aufgebaut aus einem IC des Typs 74LS86 —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— • Fortsetzung 2. Modul ◦ Drei Äquivalenz-Gatter mit je zwei Eingängen aufgebaut aus einem IC des Typs 74LS86 Die Ausgänge sind mit Invertern des Typs 74LS04 negiert. ◦ Drei Inhibitionsstufen aufgebaut aus Gattern eines IC des Typs 74LS08, wobei je ein Eingang mit einer Inverterstufe aus einem IC des Typs 74LS04 negiert wird. ◦ Drei Implikationsstufen aufgebaut aus einem Gatter eines IC-Bausteins des Typs 74LS32, wobei je ein Eingang mit einer Inverterstufe des Typs 74LS04 negiert ist. —————————————————————————————————————— • 3. Modul Es sind aufgebaut: ◦ Ein RS-Grund-Flip-Flop dominierend für das zuerst ankommende Signal. Es ist aufgebaut aus einem Gatter des Typs 74LS02 ◦ Sieben Flip-Flop mit Rücksetzdominanz Dafür wurden zwei GAL-Bausteine mit den genannten Funktionen programmiert. Diese sieben FlipFlop-Bausteine sind gemeinsam an einem Rücksetzeingang angeschlossen, so dass alle zusammen über einen Schalter in den Ausgangszustand zurückgesetzt werden können. Dies hat den Vorteil, dass der Aufbau der Schaltung stets überprüft werden kann, um eventuell eingebaute Fehler zu orten. Die sieben Speicherelemente sind so angeschlossen, dass sie beim Einschalten der Anlage zurückgesetzt werden. ◦ Ein Binärteiler programmiert auf einem GAL-Baustein ◦ Ein Taktgenerator mit einstellbarer Taktfrequenz. Dafür wurde ein IC des Typs CD4093 verwendet. Auf diesem Board befinden sich zusätzlich zehn Schalter, mit denen das ”+”-Signal direkt auf die Eingänge der Geräte geschaltet werden kann. Dadurch ist leicht ein Voreinstellen der Geräte beim Aufbau von Steuerungen möglich. —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— • 4. Modul Es befinden sich darauf: ◦ Vier Zeitglieder ”Anzugsverzögerung” bei denen die Verzögerungszeit einstellbar ist mit einem Potenziometer ◦ Vier monostabile Kippglieder ”Monoflop” bei denen die Zeit fest eingestellt ist durch ein Trimmpotenziometer ◦ Vier Zeitglieder ”Abfallverzögerung” die in der Zeit einstellbar sind mit einem Potenziometer Für diese zwölf Bausteine wurden Mikrocontroller mit integrierten AD-Wandlern verwendet, dessen eingelesene Werte zur Festlegung der jeweiligen Zeit dienen. Außerdem sind in diesem Modul zwölf Signallampen (Leuchtdioden) vorhanden, um damit Signalpegel anzuzeigen. —————————————————————————————————————— • 5. Modul Dieses Modul ist noch in Arbeit. Es ist vorgesehen, hier das Zusammenwirken der Aktoren und Sensoren zu veranschaulichen. Es wird einen Gleichstrommotor mit Impuls-Zählsensor, einen Aufund Abwärtszähler, einen Schrittmotor sowie Lichtschranken und Meldeleuchten enthalten. Die aktuelle Aktor- und Sensorsituation soll jeweils auf einem LCD-Display angezeigt werden. Dadurch kann der Steuerungsablauf genau verfolgt werden. Mit weiteren Schaltern lassen sich für Ablaufssteuerungen die folgenden ”Betriebsarten” verwirklichen: ◦ Einzelschritt Die Speicher schalten nach jedem Tippen des Schalters um einen Schritt weiter. ◦ Einzelzyklus Nach Betätigung des Tasters läuft die Steuerung einmal durch und bleibt dann stehen. ◦ Dauerzyklus Nach dem Einrasten eines Schalters läuft die Ablaufsteuerung solange durch, bis die Rasterung wieder gelöst wird. Der letzte Zyklus wird dann fertig ausgeführt. Die Verknüpfung der Signale für die genannten Schalter erfolgt mit der Logik auf dem Board. In einer späteren endgültigen Ausbaustufe ist vorgesehen, über eine Schnittstelle und eine Verstärkerstufe Aktorsignale aus dem Board hinauszusenden und Sensorsignale hereinzunehmen. Dadurch können Funktionsmodelle wie Aufzug, Schrägaufzug, Ampelsteuerung, Rolltreppen, Förderbänder u.a. direkt vom Board aus angesteuert und betrieben werden. ——————————————————————————————————————
