Formale Systeme

Formale Systeme
Beweistheorie: Motivierendes Beispiel
Prof. Dr. Peter H. Schmitt
KIT – I NSTITUT F ÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Wurzeln der Logik
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/14
Wurzeln der Logik
I
Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an
einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens.
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2/14
Wurzeln der Logik
I
Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an
einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens.
I
Wir fokusieren in dieser Vorlesung auf den Teil des
menschlichen Denkens, den man mit logischem Schließen
enger eingrenzen kann.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/14
Wurzeln der Logik
I
Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an
einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens.
I
Wir fokusieren in dieser Vorlesung auf den Teil des
menschlichen Denkens, den man mit logischem Schließen
enger eingrenzen kann.
I
Wir beginnen mit einem Beispiel aus der Alltagslogik.
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2/14
Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
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Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
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3/14
Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
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3/14
Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
1. Nehmen wir mal für den Augenblick an, mein Bruder wäre
mein Schwager.
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Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
1. Nehmen wir mal für den Augenblick an, mein Bruder wäre
mein Schwager.
2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der
Bruder meiner Frau.
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3/14
Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
1. Nehmen wir mal für den Augenblick an, mein Bruder wäre
mein Schwager.
2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der
Bruder meiner Frau.
3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist,
dann ist meine Frau meine Schwester.
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3/14
Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
1. Nehmen wir mal für den Augenblick an, mein Bruder wäre
mein Schwager.
2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der
Bruder meiner Frau.
3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist,
dann ist meine Frau meine Schwester.
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
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Beispiel aus der Alltagslogik
Frage
Kann mein Bruder mein Schwager sein?
Antwort
1. Nehmen wir mal für den Augenblick an, mein Bruder wäre
mein Schwager.
2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der
Bruder meiner Frau.
3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist,
dann ist meine Frau meine Schwester.
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
5. Also kann mein Bruder nicht mein Schwager sein.
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Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
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bruder (Bruno, i)
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Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
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bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
4/14
Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder
meiner Frau.
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
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4/14
Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder
meiner Frau.
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
∀x(¬schwester (fr (x), x))
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Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder
meiner Frau.
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
∀x(¬schwester (fr (x), x))
5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau.
bruder (Bruno, fr (i))
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Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder
meiner Frau.
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
∀x(¬schwester (fr (x), x))
5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau.
bruder (Bruno, fr (i))
6. Meine Frau ist meine Schwester
schwester (fr (i), i)
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Formalisierung
1. Bruno ist mein Bruder.
2. Bruno ist mein Schwager.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder
meiner Frau.
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner
Schwester verheiratet sein.
∀x(¬schwester (fr (x), x))
5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau.
bruder (Bruno, fr (i))
6. Meine Frau ist meine Schwester
schwester (fr (i), i)
7. Widerspruch
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Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
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Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
1. ist ein Faktum, das im vorliegenden Kontext gilt.
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5/14
Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
2. ist eine Annahme für die augenblickliche Argumentation.
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Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
3. und 4. sind Fakten, die auch außerhalb des vorliegenden
Kontexts gelten.
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Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
5. ist eine Folgerung aus 2 und 3.
Genauer Analyse folgt gleich.
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Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
6. ist wieder eine Folgerung aus den vorangegangenen
Aussagen.
Das schauen wir uns danach genauer an.
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5/14
Erster Schritt zur Analyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
bruder (Bruno, i)
schwager (Bruno, i)
∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
∀x(¬schwester (fr (x), x))
bruder (Bruno, fr (i))
schwester (fr (i), i)
Widerspruch
Zu 7. Aus 4. können wir schließen auf 4a. ¬schwester (fr (i), i).
Das ist ein Schluß vom Allgmeinen auf das Besondere.
4a. und 6. bilden jetzt einen elementaren Widerspruch.
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5/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
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6/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
vom Allgemeinen zum Besonderen
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Modus Ponens
6/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
vom Allgemeinen zum Besonderen
Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br (x, fr (i)))
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
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6/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
vom Allgemeinen zum Besonderen
Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br (x, fr (i)))
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
∀x(φ(x))
für beliebigen Term t .
φ(t)
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6/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
vom Allgemeinen zum Besonderen
Modus Ponens
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
∀x(schw(x, i) → br (x, fr (i)))
schw(Bruno, i)
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
br (Bruno, fr (i))
∀x(φ(x))
für beliebigen Term t .
φ(t)
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6/14
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?
2. schwager (Bruno, i)
3. ∀x(schwager (x, i) → bruder (x, fr (i)))
5. bruder (Bruno, fr (i))
vom Allgemeinen zum Besonderen
Modus Ponens
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
∀x(schw(x, i) → br (x, fr (i)))
schw(Bruno, i)
schw(Bruno, i) → br (Bruno, fr (i))
br (Bruno, fr (i))
∀x(φ(x))
für beliebigen Term t .
φ(t)
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A→B
A
B
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Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?
1. bruder (Bruno, i)
5. bruder (Bruno, fr (i))
6. schwester (fr (i), i)
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Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?
1. bruder (Bruno, i)
5. bruder (Bruno, fr (i))
6. schwester (fr (i), i)
Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in die
Formalisierung mit aufzunehmen:
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7/14
Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?
1. bruder (Bruno, i)
5. bruder (Bruno, fr (i))
6. schwester (fr (i), i)
Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in die
Formalisierung mit aufzunehmen:
5a. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und
der Bruder einer Frau ist,
dann ist diese Frau meine Schwester
∀x∀y(bruder (x, i) ∧ bruder (x, y) ∧ w(y) → schwester (y , i))
Dabei ist w() ein einstellige Prädikat für weiblich.
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7/14
Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten?
1.
5.
5a.
5b.
6.
bruder (Bruno, i)
bruder (Bruno, fr (i))
∀x∀y(bruder (x, i) ∧ bruder (x, y) ∧ w(y) → schwester (y , i))
w(fr (i))
schwester (fr (i), i)
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Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten?
1. bruder (Bruno, i)
5. bruder (Bruno, fr (i))
5a. ∀x∀y(bruder (x, i) ∧ bruder (x, y) ∧ w(y) → schwester (y , i))
5b. w(fr (i))
6. schwester (fr (i), i)
Der Schluß vom Allgemeinen zum Besonderen liefert aus 5a.
6a.
bruder (Bruno, i) ∧ bruder (Bruno, fr (i)) ∧ w(fr (i))
→ schwester (fr (i), i)
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8/14
Analyse eines weiteren
Beweisschritts
Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten?
1. bruder (Bruno, i)
5. bruder (Bruno, fr (i))
5a. ∀x∀y(bruder (x, i) ∧ bruder (x, y) ∧ w(y) → schwester (y , i))
5b. w(fr (i))
6. schwester (fr (i), i)
Der Schluß vom Allgemeinen zum Besonderen liefert aus 5a.
6a.
bruder (Bruno, i) ∧ bruder (Bruno, fr (i)) ∧ w(fr (i))
→ schwester (fr (i), i)
Daraus folgt 6. mit modus ponens.
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Ein weiteres Beispiel
Vokabular:
kd(k, m, v )
w(a)
soll heißen
soll heißen
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k ist Kind von m (Mutter), v (Vater)
a ist weiblich
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Ein weiteres Beispiel
Vokabular:
kd(k, m, v ) soll heißen k ist Kind von m (Mutter), v (Vater)
w(a)
soll heißen a ist weiblich
Axiomatisierung der Relation Schwester von
s(a1 , a2 ) ↔ ∃y∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y , z) ∧ kd(a2 , y, z))
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9/14
Ein weiteres Beispiel
Vokabular:
kd(k, m, v ) soll heißen k ist Kind von m (Mutter), v (Vater)
w(a)
soll heißen a ist weiblich
Axiomatisierung der Relation Schwester von
s(a1 , a2 ) ↔ ∃y∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y , z) ∧ kd(a2 , y, z))
Kann man daraus
s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
ableiten und gegebenfalls wie?
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Versuch einer Herleitung
1 s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
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Versuch einer Herleitung
1 s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
Einsetzen der Definition
2 ∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a2 , y , z))∧
∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a3 , y , z))∧
w(a2 )
→ s(a2 , a3 )
Skolemisierung. Namen für ∃-Quantoren
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10/14
Versuch einer Herleitung
1 s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
Einsetzen der Definition
2 ∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a2 , y , z))∧
∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a3 , y , z))∧
w(a2 )
→ s(a2 , a3 )
Skolemisierung. Namen für ∃-Quantoren
3 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ kd(a2 , m1 , v1 )∧
w(a1 ) ∧ kd(a1 , m2 , v2 ) ∧ kd(a3 , m2 , v2 )∧
w(a2 )
→ s(a2 , a3 )
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10/14
Versuch einer Herleitung
1 s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
Einsetzen der Definition
2 ∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a2 , y , z))∧
∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a3 , y , z))∧
w(a2 )
→ s(a2 , a3 )
Skolemisierung. Namen für ∃-Quantoren
3 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ kd(a2 , m1 , v1 )∧
w(a1 ) ∧ kd(a1 , m2 , v2 ) ∧ kd(a3 , m2 , v2 )∧
w(a2 )
→ s(a2 , a3 )
?
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Ergänzung der Axiomatisierung
∀x∀y1 ∀y2 ∀z1 ∀z1 (kd(x, y1 , z1 ) ∧ kd(x, y2 , z2 )
.
.
→ (y1 = y2 ∧ z1 = z2 ))
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Ergänzung der Axiomatisierung
∀x∀y1 ∀y2 ∀z1 ∀z1 (kd(x, y1 , z1 ) ∧ kd(x, y2 , z2 )
.
.
→ (y1 = y2 ∧ z1 = z2 ))
Instantiierung liefert:
.
.
kd(x, m1 , v1 ) ∧ kd(x, m2 , v2 ) → (m1 = m2 ∧ v1 = v2 )
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Ergänzung der Axiomatisierung
∀x∀y1 ∀y2 ∀z1 ∀z1 (kd(x, y1 , z1 ) ∧ kd(x, y2 , z2 )
.
.
→ (y1 = y2 ∧ z1 = z2 ))
Instantiierung liefert:
.
.
kd(x, m1 , v1 ) ∧ kd(x, m2 , v2 ) → (m1 = m2 ∧ v1 = v2 )
Zurück zur Herleitung.
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Versuch einer Herleitung (Forts.)
1 s(a1 , a2 ) ∧ s(a1 , a3 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
2 ∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a2 , y , z))∧
∃y ∃z(w(a1 ) ∧ kd(a1 , y, z) ∧ kd(a3 , y , z))∧
w(a2 )
→
s(a2 , a3 )
3 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ kd(a2 , m1 , v1 )∧
w(a1 ) ∧ kd(a1 , m2 , v2 ) ∧ kd(a3 , m2 , v2 )∧
w(a2 )
→
s(a2 , a3 )
Gleichheitsersetzung: m2
m1 , v2
v1
4 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ kd(a2 , m1 , v1 )∧
w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ kd(a3 , m1 , v1 )∧
w(a2 )
→
s(a2 , a3 )
Verdoppelung eliminieren
4 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 )∧
kd(a2 , m1 , v1 ) ∧ ∧kd(a3 , m1 , v1 ) ∧ w(a2 ) → s(a2 , a3 )
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Versuch einer Herleitung (Forts.)
4 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 )∧
kd(a2 , m1 , v1 ) ∧ ∧kd(a3 , m1 , v1 ) ∧ w(a2 ) →
s(a2 , a3 )
Ersetzung von Termen durch ∃-Quantoren
5 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 )∧
∃y ∃z(kd(a2 , y, z) ∧ ∧kd(a3 , y, z) ∧ w(a2 )) →
s(a2 , a3 )
Einsetzen der Definition. Jetzt umgekehrte Richtung
6 w(a1 ) ∧ kd(a1 , m1 , v1 ) ∧ s(a2 , a3 ) →
s(a2 , a3 )
Das ist eine Tautologie!
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Ausblick
Regelsysteme für das logische Schließen nennt man in der
formalen Logik Kalküle.
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Ausblick
Regelsysteme für das logische Schließen nennt man in der
formalen Logik Kalküle.
Ein Kalkül heißt korrekt, wenn jede ableitbare Formel
allgemeingültig ist.
Ein Kalkül heißt vollständig, wenn jede allgemeingültige
Aussage in ihm hergeleitet werden kann.
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14/14
Ausblick
Regelsysteme für das logische Schließen nennt man in der
formalen Logik Kalküle.
Ein Kalkül heißt korrekt, wenn jede ableitbare Formel
allgemeingültig ist.
Ein Kalkül heißt vollständig, wenn jede allgemeingültige
Aussage in ihm hergeleitet werden kann.
Es gibt eine erstaunliche Fülle verschiedener korrekter und
vollständiger Kalküle.
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Ausblick
Regelsysteme für das logische Schließen nennt man in der
formalen Logik Kalküle.
Ein Kalkül heißt korrekt, wenn jede ableitbare Formel
allgemeingültig ist.
Ein Kalkül heißt vollständig, wenn jede allgemeingültige
Aussage in ihm hergeleitet werden kann.
Es gibt eine erstaunliche Fülle verschiedener korrekter und
vollständiger Kalküle.
Wir behandeln:
I
Hilbert-Kalkül
I
Resolutionskalkül
I
Tableaukalkül
I
Sequenzenkalkül
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