Beweis

Stefan Edelkamp
Zeichenkettensuche (II)
Institut für Informatik, Universität Freiburg
1
Suffixbäume
Ein String W besitzt genau |W | unterschiedliche Endstücke, bestehend aus
insgesamt
1
Suffixbäume
Ein String W
genau |W | unterschiedliche Endstücke, bestehend aus
besitzt
|
insgesamt |W
∈ Ω(|W |2) unterschiedlichen Zeichen.
2
1
Suffixbäume
Ein String W
genau |W | unterschiedliche Endstücke, bestehend aus
besitzt
|
insgesamt |W
∈ Ω(|W |2) unterschiedlichen Zeichen.
2
Ergänzt man alle Worte W um ein spezielles Endsymbol $, und fügt man die
Suffixe von dem erweiterten Wort W in eine Mehrwegsuchbaumstruktur ein, so
erhält man einen Suffixtrie (siehe Abbildung 1).
1
Suffixbäume
Ein String W
genau |W | unterschiedliche Endstücke, bestehend aus
besitzt
|
insgesamt |W
∈ Ω(|W |2) unterschiedlichen Zeichen.
2
Ergänzt man alle Worte W um ein spezielles Endsymbol $, und fügt man die
Suffixe von dem erweiterten Wort W in eine Mehrwegsuchbaumstruktur ein, so
erhält man einen Suffixtrie (siehe Abbildung 1).
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
1
0
1
$
1
0
$
$
0
$
1
0
1
0
1
$
0
$
Abbildung 1
Satz 1 (Suffixtrie) Jeder Knoten im Suffixtrie für W entspricht genau einem der
unterschiedlichen Teilstrings von W .
0
1
$
1
0
$
0
$
1
0
1
$
0
1
$
0
$
Abbildung 1
Satz 1 (Suffixtrie) Jeder Knoten im Suffixtrie für W entspricht genau einem der
unterschiedlichen Teilstrings von W .
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
2
Beweis: Sicherlich entspricht jeder Knoten im Suffixtrie mindestens einem Teilstring
von W , da er durch ein Anfangsstück eines Suffixes von W erreicht werden kann.
Beweis: Sicherlich entspricht jeder Knoten im Suffixtrie mindestens einem Teilstring
von W , da er durch ein Anfangsstück eines Suffixes von W erreicht werden kann.
Unterschiedliche Zeichenketten führen in einem Mehrwegsuchbaum aber auch zu
unterschiedlichen Knoten.
Beweis: Sicherlich entspricht jeder Knoten im Suffixtrie mindestens einem Teilstring
von W , da er durch ein Anfangsstück eines Suffixes von W erreicht werden kann.
Unterschiedliche Zeichenketten führen in einem Mehrwegsuchbaum aber auch zu
unterschiedlichen Knoten.
Leider gibt es für den Suffixtrie für W noch immer Beispiele mit Ω(|W |2) vielen
Knoten.
Beweis: Sicherlich entspricht jeder Knoten im Suffixtrie mindestens einem Teilstring
von W , da er durch ein Anfangsstück eines Suffixes von W erreicht werden kann.
Unterschiedliche Zeichenketten führen in einem Mehrwegsuchbaum aber auch zu
unterschiedlichen Knoten.
Leider gibt es für den Suffixtrie für W noch immer Beispiele mit Ω(|W |2) vielen
Knoten.
Beispiel 1 Zeichenketten der Form 1k 0k $ haben die Länge 2k + 1 und
k2 + 4k + 2 voneinander unterschiedliche Teilstrings.
Beweis: Sicherlich entspricht jeder Knoten im Suffixtrie mindestens einem Teilstring
von W , da er durch ein Anfangsstück eines Suffixes von W erreicht werden kann.
Unterschiedliche Zeichenketten führen in einem Mehrwegsuchbaum aber auch zu
unterschiedlichen Knoten.
Leider gibt es für den Suffixtrie für W noch immer Beispiele mit Ω(|W |2) vielen
Knoten.
Beispiel 1 Zeichenketten der Form 1k 0k $ haben die Länge 2k + 1 und
k2 + 4k + 2 voneinander unterschiedliche Teilstrings.
Ein Suffixbaum (vergl. Abbildung 2) ist eine kompakte Darstellungsform eines
Suffixtries, in dem jeder Knoten mit nur einem Nachfolger mit seinem Elternteil
verschmolzen ist.
Ein Suffixbaum (vergl. Abbildung 2) ist eine kompakte Darstellungsform eines
Suffixtries, in dem jeder Knoten mit nur einem Nachfolger mit seinem Elternteil
verschmolzen ist.
Die durch die Elimination von Knoten mit Grad zwei gewonnene Struktur wird im
allgemeinen Patricia-Baum genannt.
Ein Suffixbaum (vergl. Abbildung 2) ist eine kompakte Darstellungsform eines
Suffixtries, in dem jeder Knoten mit nur einem Nachfolger mit seinem Elternteil
verschmolzen ist.
Die durch die Elimination von Knoten mit Grad zwei gewonnene Struktur wird im
allgemeinen Patricia-Baum genannt.
Der Begriff Patricia ist von Morrison geprägt worden und ist ein Akronym aus dem
die Struktur beschreibenden Satz practical algorithm to retrieve information coded
in alphanumeric.
Ein Suffixbaum (vergl. Abbildung 2) ist eine kompakte Darstellungsform eines
Suffixtries, in dem jeder Knoten mit nur einem Nachfolger mit seinem Elternteil
verschmolzen ist.
Die durch die Elimination von Knoten mit Grad zwei gewonnene Struktur wird im
allgemeinen Patricia-Baum genannt.
Der Begriff Patricia ist von Morrison geprägt worden und ist ein Akronym aus dem
die Struktur beschreibenden Satz practical algorithm to retrieve information coded
in alphanumeric.
Weiner war der erste, der den Suffixbaum genauer studierte und somit einen
expliziten Index für alle unterschiedlichen Teilstrings eines gegebenen Strings
angab.
Ein Suffixbaum (vergl. Abbildung 2) ist eine kompakte Darstellungsform eines
Suffixtries, in dem jeder Knoten mit nur einem Nachfolger mit seinem Elternteil
verschmolzen ist.
Die durch die Elimination von Knoten mit Grad zwei gewonnene Struktur wird im
allgemeinen Patricia-Baum genannt.
Der Begriff Patricia ist von Morrison geprägt worden und ist ein Akronym aus dem
die Struktur beschreibenden Satz practical algorithm to retrieve information coded
in alphanumeric.
Weiner war der erste, der den Suffixbaum genauer studierte und somit einen
expliziten Index für alle unterschiedlichen Teilstrings eines gegebenen Strings
angab.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
3
0
1
$
α
aα
(3,3)
(6,6)
10$
$
Abbildung 2
(4,6)
0
(6,6)
(1,1)
$
Suffixlink
(6,6)
1010$
(3,3) 10$
(4,6)
(2,6)
0
1
$
α
aα
(3,3)
(6,6)
10$
$
Abbildung 2
(4,6)
0
(6,6)
(1,1)
$
Suffixlink
(6,6)
1010$
(3,3) 10$
(4,6)
(2,6)
Jeder Knoten im Suffixbaum für W hat mehr als einen Nachfolger und W viele
Blätter.
0
1
$
α
aα
(3,3)
(6,6)
10$
$
Abbildung 2
(4,6)
0
(6,6)
(1,1)
$
Suffixlink
(6,6)
1010$
(3,3) 10$
(4,6)
(2,6)
Jeder Knoten im Suffixbaum für W hat mehr als einen Nachfolger und W viele
Blätter.
Die Kantenbeschriftungen werden als Intervall des zugrundeliegenden Strings an
den Knoten verwaltet, auf dem die Kante einläuft, so dass der Suffixbaum nur
O(|W |) Platz benötigt.
0
1
$
α
aα
(3,3)
(6,6)
10$
$
Abbildung 2
(4,6)
0
(6,6)
(1,1)
$
Suffixlink
(6,6)
1010$
(3,3) 10$
(4,6)
(2,6)
Jeder Knoten im Suffixbaum für W hat mehr als einen Nachfolger und W viele
Blätter.
Die Kantenbeschriftungen werden als Intervall des zugrundeliegenden Strings an
den Knoten verwaltet, auf dem die Kante einläuft, so dass der Suffixbaum nur
O(|W |) Platz benötigt.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
4
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Der Ort einer Zeichenkette α ist der Knoten im Suffixbaum am Ende des mit α
bezeichneten Weges (falls er existiert).
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Der Ort einer Zeichenkette α ist der Knoten im Suffixbaum am Ende des mit α
bezeichneten Weges (falls er existiert).
Eine Erweiterung einer Zeichenkette α ist jede Zeichenkette, die α als Präfix hat.
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Der Ort einer Zeichenkette α ist der Knoten im Suffixbaum am Ende des mit α
bezeichneten Weges (falls er existiert).
Eine Erweiterung einer Zeichenkette α ist jede Zeichenkette, die α als Präfix hat.
Der erweiterter Ort einer Zeichenkette α ist der Ort der kürzesten Erweiterung von
α, deren Ort definiert ist.
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Der Ort einer Zeichenkette α ist der Knoten im Suffixbaum am Ende des mit α
bezeichneten Weges (falls er existiert).
Eine Erweiterung einer Zeichenkette α ist jede Zeichenkette, die α als Präfix hat.
Der erweiterter Ort einer Zeichenkette α ist der Ort der kürzesten Erweiterung von
α, deren Ort definiert ist.
Der kontraktierter Ort einer Zeichenkette α ist der Ort des längsten Präfixes von α,
dessen Ort definiert ist.
Definition 1 Ein partieller Weg ist eine zusammenhängende, bei der Wurzel
beginnende Folge von Kanten.
Ein Weg ist ein partieller Weg, der bei einem Blatt endet.
Der Ort einer Zeichenkette α ist der Knoten im Suffixbaum am Ende des mit α
bezeichneten Weges (falls er existiert).
Eine Erweiterung einer Zeichenkette α ist jede Zeichenkette, die α als Präfix hat.
Der erweiterter Ort einer Zeichenkette α ist der Ort der kürzesten Erweiterung von
α, deren Ort definiert ist.
Der kontraktierter Ort einer Zeichenkette α ist der Ort des längsten Präfixes von α,
dessen Ort definiert ist.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
5
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Beispiel 2 Sei W = ababc, dann
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Beispiel 2 Sei W = ababc, dann suf =
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Beispiel 2 Sei W = ababc, dann suf = abc, head3 =
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Beispiel 2 Sei W = ababc, dann suf = abc, head3 = ab, und tail3 =
Definition 2 Der Suffix sufi ist der an Position i beginnendes Suffix von W , also
z.B. suf = W .
Der String headi ist der längste Präfix von sufi, der auch Präfix von sufj für ein
j < i ist und String taili festgelegt als sufi − headi, d.h. also sufi = headitaili.
Beispiel 2 Sei W = ababc, dann suf = abc, head3 = ab, und tail3 = c.
T0 =
T1 =
T2 =
ababc
ababc
babc
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
6
Die definierende Eigenschaft aus Satz 1 liest sich für Suffixbäume wie folgt:
Die definierende Eigenschaft aus Satz 1 liest sich für Suffixbäume wie folgt:
Satz 2 (Suffixbaum) Jeder innere Knoten t im Suffixbaum für W entspricht dem
größten gemeinsamen Präfix zweier Suffixe von W .
Die definierende Eigenschaft aus Satz 1 liest sich für Suffixbäume wie folgt:
Satz 2 (Suffixbaum) Jeder innere Knoten t im Suffixbaum für W entspricht dem
größten gemeinsamen Präfix zweier Suffixe von W .
Die diese Suffixe beschreibenden Blätter finden sich in zwei unterschiedlichen
Zweigen des Teilbaumes zu t.
Die definierende Eigenschaft aus Satz 1 liest sich für Suffixbäume wie folgt:
Satz 2 (Suffixbaum) Jeder innere Knoten t im Suffixbaum für W entspricht dem
größten gemeinsamen Präfix zweier Suffixe von W .
Die diese Suffixe beschreibenden Blätter finden sich in zwei unterschiedlichen
Zweigen des Teilbaumes zu t.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
7
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Angenommen, der Knoten t wird durch die Kontraktion gelöscht.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Angenommen, der Knoten t wird durch die Kontraktion gelöscht.
Dann hat t nur einen Nachfolger t0, der eine Erweiterung p0 von p repräsentiert.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Angenommen, der Knoten t wird durch die Kontraktion gelöscht.
Dann hat t nur einen Nachfolger t0, der eine Erweiterung p0 von p repräsentiert.
Die Zeichenkette p0 ist jedoch Präfix von sufi und sufj , was im Widerspruch dazu
steht, dass p der größte gemeinsame Präfix ist.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Angenommen, der Knoten t wird durch die Kontraktion gelöscht.
Dann hat t nur einen Nachfolger t0, der eine Erweiterung p0 von p repräsentiert.
Die Zeichenkette p0 ist jedoch Präfix von sufi und sufj , was im Widerspruch dazu
steht, dass p der größte gemeinsame Präfix ist.
Analog führt man die Annahme, dass sich sufi und sufj in einem Zweig des
Teilbaumes zu t befinden, zu einem Widerspruch.
Beweis: Der größte gemeinsame Präfix p zweier Suffixe sufi und sufj von W ist
Teilstring von sufi und sufj und bildet einen p beschreibenden Knoten t im Suffixtrie.
Die die Suffixe sufi und sufj darstellenden Blätter befinden sich aufgrund der
Präfixeigenschaft von p in dem Teilbaum, der durch t beschrieben wird.
Angenommen, der Knoten t wird durch die Kontraktion gelöscht.
Dann hat t nur einen Nachfolger t0, der eine Erweiterung p0 von p repräsentiert.
Die Zeichenkette p0 ist jedoch Präfix von sufi und sufj , was im Widerspruch dazu
steht, dass p der größte gemeinsame Präfix ist.
Analog führt man die Annahme, dass sich sufi und sufj in einem Zweig des
Teilbaumes zu t befinden, zu einem Widerspruch.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
8
Konstruktion von Suffix-Bäumen
Unterschiedliche Konstruktionsalgorithmen für den Suffixbaum wurden angegeben.
Konstruktion von Suffix-Bäumen
Unterschiedliche Konstruktionsalgorithmen für den Suffixbaum wurden angegeben.
Die Algorithmen von Slisenko et al. und Chen et al. beruhen auf den
Indexgedanken Weiners, während McCreight eine speicherplatzfreundliche
Konstruktion des Suffixbaumes vorschlägt.
Konstruktion von Suffix-Bäumen
Unterschiedliche Konstruktionsalgorithmen für den Suffixbaum wurden angegeben.
Die Algorithmen von Slisenko et al. und Chen et al. beruhen auf den
Indexgedanken Weiners, während McCreight eine speicherplatzfreundliche
Konstruktion des Suffixbaumes vorschlägt.
Sie fußt auf dem sogenannten Suffixlink. Der Suffixlink von dem Ort einer
Zeichenkette aα, a ∈ Σ, α ∈ Σ∗ zeigt auf den Ort von α und wird als als
Abkürzung bei der Baumkonstruktion verwendet werden.
Konstruktion von Suffix-Bäumen
Unterschiedliche Konstruktionsalgorithmen für den Suffixbaum wurden angegeben.
Die Algorithmen von Slisenko et al. und Chen et al. beruhen auf den
Indexgedanken Weiners, während McCreight eine speicherplatzfreundliche
Konstruktion des Suffixbaumes vorschlägt.
Sie fußt auf dem sogenannten Suffixlink. Der Suffixlink von dem Ort einer
Zeichenkette aα, a ∈ Σ, α ∈ Σ∗ zeigt auf den Ort von α und wird als als
Abkürzung bei der Baumkonstruktion verwendet werden.
Während McCreight den Suffixbaum von dem längsten zu dem kürzesten String
konstruiert, schlägt Ukkonen einen Linearzeitalgorithmus für den gegenteiligen
Aufbau vor.
Konstruktion von Suffix-Bäumen
Unterschiedliche Konstruktionsalgorithmen für den Suffixbaum wurden angegeben.
Die Algorithmen von Slisenko et al. und Chen et al. beruhen auf den
Indexgedanken Weiners, während McCreight eine speicherplatzfreundliche
Konstruktion des Suffixbaumes vorschlägt.
Sie fußt auf dem sogenannten Suffixlink. Der Suffixlink von dem Ort einer
Zeichenkette aα, a ∈ Σ, α ∈ Σ∗ zeigt auf den Ort von α und wird als als
Abkürzung bei der Baumkonstruktion verwendet werden.
Während McCreight den Suffixbaum von dem längsten zu dem kürzesten String
konstruiert, schlägt Ukkonen einen Linearzeitalgorithmus für den gegenteiligen
Aufbau vor.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
9
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input:
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output:
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
begin
n := |W |; T0 := ∅;
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
begin
n := |W |; T0 := ∅;
for i := 0 to n − 1 do
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
begin
n := |W |; T0 := ∅;
for i := 0 to n − 1 do
füge sufi+ in Ti ein;
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
begin
n := |W |; T0 := ∅;
for i := 0 to n − 1 do
füge sufi+ in Ti ein;
end for
end;
Naives Verfahren
In dem ersten Ansatz beginnen wir mit dem leeren Baum T0.
Der Baum Ti+1 entsteht aus Ti durch Einfügen des Suffixes sufi+.
Algorithmus Suffixbaum
Input: Eine Zeichenkette W;
Output: Der Suffixbaum T von W;
begin
n := |W |; T0 := ∅;
for i := 0 to n − 1 do
füge sufi+ in Ti ein;
end for
end;
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
10
Satz 3 Es ist headi der längste Präfix von sufi, dessen erweiterter Ort in Ti−1
existiert.
Satz 3 Es ist headi der längste Präfix von sufi, dessen erweiterter Ort in Ti−1
existiert.
Beweis: In Ti haben alle Suffixe sufj , j < i bereits einen Ort.
Satz 3 Es ist headi der längste Präfix von sufi, dessen erweiterter Ort in Ti−1
existiert.
Beweis: In Ti haben alle Suffixe sufj , j < i bereits einen Ort.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
11
Zur Einfügung von sufi kann Ti+1 kann aus Ti wie folgt konstruiert werden:
Zur Einfügung von sufi kann Ti+1 kann aus Ti wie folgt konstruiert werden:
1. Man bestimme den erweiterten Ort von headi+1 in Ti und teile die letzte zu
diesem Ort führende Kante in zwei neue Kanten auf durch Einfügen eines
neuen Knotens.
Zur Einfügung von sufi kann Ti+1 kann aus Ti wie folgt konstruiert werden:
1. Man bestimme den erweiterten Ort von headi+1 in Ti und teile die letzte zu
diesem Ort führende Kante in zwei neue Kanten auf durch Einfügen eines
neuen Knotens.
2. Man schaffe ein neues Blatt als Ort für sufi+.
Zur Einfügung von sufi kann Ti+1 kann aus Ti wie folgt konstruiert werden:
1. Man bestimme den erweiterten Ort von headi+1 in Ti und teile die letzte zu
diesem Ort führende Kante in zwei neue Kanten auf durch Einfügen eines
neuen Knotens.
2. Man schaffe ein neues Blatt als Ort für sufi+.
Offenbar sichert das eindeutige Endesymbol $, dass stets taili 6= ε ist.
Zur Einfügung von sufi kann Ti+1 kann aus Ti wie folgt konstruiert werden:
1. Man bestimme den erweiterten Ort von headi+1 in Ti und teile die letzte zu
diesem Ort führende Kante in zwei neue Kanten auf durch Einfügen eines
neuen Knotens.
2. Man schaffe ein neues Blatt als Ort für sufi+.
Offenbar sichert das eindeutige Endesymbol $, dass stets taili 6= ε ist.
headi+1
v
x = erweiterter Ort
von headi+1
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
taili+1
x
12
T3
T2
Beispiel 3
ababc
head3 = ab
tail3 = c
ab
babc
abc
babc
c
T3
T2
Beispiel 3
ababc
head3 = ab
tail3 = c
ab
babc
abc
babc
c
Es gibt Beispiele, für die der oben beschriebene Algorithmus Ω(n2) viele Schritte
benötigt, um einen Suffixbaum zu konstruieren.
T3
T2
Beispiel 3
ababc
ab
babc
abc
head3 = ab
tail3 = c
babc
c
Es gibt Beispiele, für die der oben beschriebene Algorithmus Ω(n2) viele Schritte
benötigt, um einen Suffixbaum zu konstruieren.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
13
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Wenn der erweiterte Ort von headi+1 in Ti gefunden ist, kann das Erzeugen eines
neuen Knotens und das Aufspalten einer Kante in konstanter Zeit geschehen.
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Wenn der erweiterte Ort von headi+1 in Ti gefunden ist, kann das Erzeugen eines
neuen Knotens und das Aufspalten einer Kante in konstanter Zeit geschehen.
Der Algorithmus läuft in 2 Phasen.
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Wenn der erweiterte Ort von headi+1 in Ti gefunden ist, kann das Erzeugen eines
neuen Knotens und das Aufspalten einer Kante in konstanter Zeit geschehen.
Der Algorithmus läuft in 2 Phasen.
1. Bestimme headi+1 in konstanter amortisierter Zeit in Ti
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Wenn der erweiterte Ort von headi+1 in Ti gefunden ist, kann das Erzeugen eines
neuen Knotens und das Aufspalten einer Kante in konstanter Zeit geschehen.
Der Algorithmus läuft in 2 Phasen.
1. Bestimme headi+1 in konstanter amortisierter Zeit in Ti
2. Füge zusätzliche Suffixlinks ein
Der Algorithmus von McCreight
Der von McCreight zur Konstruktion eines Suffixbaumes benötigt nur linear viele
Schritte.
Wenn der erweiterte Ort von headi+1 in Ti gefunden ist, kann das Erzeugen eines
neuen Knotens und das Aufspalten einer Kante in konstanter Zeit geschehen.
Der Algorithmus läuft in 2 Phasen.
1. Bestimme headi+1 in konstanter amortisierter Zeit in Ti
2. Füge zusätzliche Suffixlinks ein
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
14
Lemma 1 Wenn headi = aγ für ein Symbol a und eine (evtl. leere) Zeichenkette γ
ist, dann ist γ ein Präfix von headi+1.
Lemma 1 Wenn headi = aγ für ein Symbol a und eine (evtl. leere) Zeichenkette γ
ist, dann ist γ ein Präfix von headi+1.
Beweis: Sei headi = aγ, dann existiert ein j < i, so dass aγ Präfix von sufi und
sufj ist nach der Definition von headi. Also ist γ ein Präfix sowohl von sufi+ als
auch von sufj+.
Lemma 1 Wenn headi = aγ für ein Symbol a und eine (evtl. leere) Zeichenkette γ
ist, dann ist γ ein Präfix von headi+1.
Beweis: Sei headi = aγ, dann existiert ein j < i, so dass aγ Präfix von sufi und
sufj ist nach der Definition von headi. Also ist γ ein Präfix sowohl von sufi+ als
auch von sufj+.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
15
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
(I1) Alle inneren Knoten von Ti−1 haben einen korrekten Suffix-Zeiger in Ti.
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
(I1) Alle inneren Knoten von Ti−1 haben einen korrekten Suffix-Zeiger in Ti.
(I2) Bei der Konstruktion von Ti wird der kontraktierte Ort von headi in Ti−1
besucht.
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
(I1) Alle inneren Knoten von Ti−1 haben einen korrekten Suffix-Zeiger in Ti.
(I2) Bei der Konstruktion von Ti wird der kontraktierte Ort von headi in Ti−1
besucht.
Offensichtlich gelten beide Bedingungen für i = 1.
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
(I1) Alle inneren Knoten von Ti−1 haben einen korrekten Suffix-Zeiger in Ti.
(I2) Bei der Konstruktion von Ti wird der kontraktierte Ort von headi in Ti−1
besucht.
Offensichtlich gelten beide Bedingungen für i = 1.Ist i > 1, so folgt aus (I2), dass
man die Konstruktion von Ti+1 aus Ti beim kontraktierten Ort von headi in Ti−1
beginnen kann.
Man beachte, dass der Ort von γ niemals im Teilbaum mit Wurzel beim Ort von aγ
liegen kann, da in diesem Teilbaum nur Erweiterungen von aγ liegen.
Invarianten des Algorithmus’:
(I1) Alle inneren Knoten von Ti−1 haben einen korrekten Suffix-Zeiger in Ti.
(I2) Bei der Konstruktion von Ti wird der kontraktierte Ort von headi in Ti−1
besucht.
Offensichtlich gelten beide Bedingungen für i = 1.Ist i > 1, so folgt aus (I2), dass
man die Konstruktion von Ti+1 aus Ti beim kontraktierten Ort von headi in Ti−1
beginnen kann.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
16
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Ferner sei βi = headi − aiαi,
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Ferner sei βi = headi − aiαi, d.h. headi = aiαiβi.
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Ferner sei βi = headi − aiαi, d.h. headi = aiαiβi.Ist headi 6= ε, haben wir in Ti:
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Ferner sei βi = headi − aiαi, d.h. headi = aiαiβi.Ist headi 6= ε, haben wir in Ti:
headi
αi
ai αi
v0
u
βi
w
γi+1
x
y
βi
v
sufi
v 0 = kontraktierter Ort von headi
in Ti−1
v = Ort von headi in Ti
einzufügender Suffix-Zeiger für headi
Aufgrund des obigen Lemmas ist headi+1 = αiβiγi+1.
Definition 3 Ist headi 6= ε, so bezeichnet αi die Konkatenation der
Kantenbeschriftungen des Weges zum kontraktierten Ort von headi ohne den
ersten Buchstaben ai.
Ferner sei βi = headi − aiαi, d.h. headi = aiαiβi.Ist headi 6= ε, haben wir in Ti:
headi
αi
ai αi
v0
u
βi
w
γi+1
x
y
βi
v
sufi
v 0 = kontraktierter Ort von headi
in Ti−1
v = Ort von headi in Ti
einzufügender Suffix-Zeiger für headi
Aufgrund des obigen Lemmas ist headi+1 = αiβiγi+1.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
17
Von dem kontraktierten Ort v 0 von headi gibt es bereits einen korrekten
Suffix-Zeiger in Ti zu einem Knoten u nach (I1).
Von dem kontraktierten Ort v 0 von headi gibt es bereits einen korrekten
Suffix-Zeiger in Ti zu einem Knoten u nach (I1).
Zur Konstruktion des Ortes von headi+1 in Ti (und damit zur Konstruktion von
Ti+1) startet man bei u anstatt bei der Wurzel von Ti wie bei dem naiven Verfahren.
Von dem kontraktierten Ort v 0 von headi gibt es bereits einen korrekten
Suffix-Zeiger in Ti zu einem Knoten u nach (I1).
Zur Konstruktion des Ortes von headi+1 in Ti (und damit zur Konstruktion von
Ti+1) startet man bei u anstatt bei der Wurzel von Ti wie bei dem naiven Verfahren.
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Scan γi+1 ausgehend von w, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von w,
dessen Kantenbeschriftungen mit sufi+ übereinstimmen, bis man aus dem
Baum bei der Kante (x, y) herausfällt.
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Scan γi+1 ausgehend von w, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von w,
dessen Kantenbeschriftungen mit sufi+ übereinstimmen, bis man aus dem
Baum bei der Kante (x, y) herausfällt.
2. Falls der Ort w von αiβi in Ti nicht existiert,
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Scan γi+1 ausgehend von w, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von w,
dessen Kantenbeschriftungen mit sufi+ übereinstimmen, bis man aus dem
Baum bei der Kante (x, y) herausfällt.
2. Falls der Ort w von αiβi in Ti nicht existiert,sei x der kontraktierte Ort von
αiβi und y der erweiterte Ort von αiβi. Es ist headi+1 = αiβi (s.u.).
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Scan γi+1 ausgehend von w, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von w,
dessen Kantenbeschriftungen mit sufi+ übereinstimmen, bis man aus dem
Baum bei der Kante (x, y) herausfällt.
2. Falls der Ort w von αiβi in Ti nicht existiert,sei x der kontraktierte Ort von
αiβi und y der erweiterte Ort von αiβi. Es ist headi+1 = αiβi (s.u.).
3. Schaffe bei (x, y) einen inneren Knoten z für den Ort von headi+1 und ein
Blatt für den Ort von sufi+.
Abbildung 3 Schritt 1: Einfügen des Ortes von headi+1
1. Folge dem Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu dem
Knoten u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von u,
dessen Kantenbeschriftungen βi ergeben.
1. Falls der Ort w von αiβi in Ti existiert,
Scan γi+1 ausgehend von w, d.h. folge einem Weg in Ti ausgehend von w,
dessen Kantenbeschriftungen mit sufi+ übereinstimmen, bis man aus dem
Baum bei der Kante (x, y) herausfällt.
2. Falls der Ort w von αiβi in Ti nicht existiert,sei x der kontraktierte Ort von
αiβi und y der erweiterte Ort von αiβi. Es ist headi+1 = αiβi (s.u.).
3. Schaffe bei (x, y) einen inneren Knoten z für den Ort von headi+1 und ein
Blatt für den Ort von sufi+.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
18
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
1. Folge Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu u.
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
1. Folge Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti bis zum Ort w von αiβi.
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
1. Folge Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti bis zum Ort w von αiβi.
Setze den Suffix-Zeiger des Ortes v von headi auf w.
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
1. Folge Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti bis zum Ort w von αiβi.
Setze den Suffix-Zeiger des Ortes v von headi auf w.
In einer Implementation werden natürlich Schritt 1 und 2 in einander verflochten.
Schritt 2: Einfügen des Suffix-Zeigers für den Ort v von headi.
1. Folge Suffix-Zeiger von dem kontraktierten Ort v 0 von headi zu u.
2. Falls βi 6= ε, rescan βi in Ti bis zum Ort w von αiβi.
Setze den Suffix-Zeiger des Ortes v von headi auf w.
In einer Implementation werden natürlich Schritt 1 und 2 in einander verflochten.
headi :
headi+1 :
ai
αi
βi
αi
βi
u
γi+1
w
Phase II
Rescanning“ Phase III
”
Scanning“
”
Lemma 2 Falls der Ort von αiβi in Ti nicht existiert, dann ist headi+1 = αiβi, d.h.
γ[i + 1] = ε.
headi :
headi+1 :
ai
αi
βi
αi
βi
u
γi+1
w
Phase II
Rescanning“ Phase III
”
Scanning“
”
Lemma 2 Falls der Ort von αiβi in Ti nicht existiert, dann ist headi+1 = αiβi, d.h.
γ[i + 1] = ε.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
19
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
2. alle Suffixe in T haben das Präfix αiβiδ2.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
2. alle Suffixe in T haben das Präfix αiβiδ2.
Also ist j < i + 1 und sufj hat das Präfix αiβi Somit hat sufj den Präfix αiβiδ2.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
2. alle Suffixe in T haben das Präfix αiβiδ2.
Also ist j < i + 1 und sufj hat das Präfix αiβi Somit hat sufj den Präfix αiβiδ2.
Wir zeigen:
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
2. alle Suffixe in T haben das Präfix αiβiδ2.
Also ist j < i + 1 und sufj hat das Präfix αiβi Somit hat sufj den Präfix αiβiδ2.
Wir zeigen: sufj = αiβia · · · und sufi+ = αiβib · · · mit a 6= b.
Beweis: Sei v der kontraktierte und w der erweiterte Ort von αiβi.
Die Beschriftung der Kanten des Weges zu v sei gleich γ und die Beschriftung von
(v, w) gleich δ1δ2 mit δ1, δ2 6= ε und γδ1 = αiβi.
D.h.
1. alle Suffixe mit Präfix αiβi sind in dem Teilbaum von T mit Wurzel w enthalten
und
2. alle Suffixe in T haben das Präfix αiβiδ2.
Also ist j < i + 1 und sufj hat das Präfix αiβi Somit hat sufj den Präfix αiβiδ2.
Wir zeigen: sufj = αiβia · · · und sufi+ = αiβib · · · mit a 6= b.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
20
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+:
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj :
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj : αiβia.
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj : αiβia.
⇒
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj : αiβia.
⇒ Längstes gemeinsames Präfix:
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj : αiβia.
⇒ Längstes gemeinsames Präfix: αiβi.
Sei sufj 0 ein Suffix mit Präfix headi = aiαiβi.
⇒ sufj 0+ hat Präfix αiβiδ2
⇒ sufj 0
hat Präfix aiαiβiδ2
Da headi = aiαiβi, ist der erste Buchstabe a von δ2 von dem ersten Buchstaben b,
der aiαiβi in sufi folgt, verschieden.
⇒ Präfix von sufi+: αiβib
⇒ Präfix von sufj : αiβia.
⇒ Längstes gemeinsames Präfix: αiβi.
Beispiel 4 W = b5abab3a2b5c. Konstruktion von T14 aus T13 durch Einfügen von
suf = bbbbbc in T13.
Beispiel 4 W = b5abab3a2b5c. Konstruktion von T14 aus T13 durch Einfügen von
suf = bbbbbc in T13.
a
u b
a...
a
b
b
v0
b
a
bb
w
a...
v bbc head13
a
x b
a
ba...
a
y
head13 = a|b|bb
head14 = b|bb|.?.
suf = bbbbbc
x
z b
c
w
b
a
a...
y
Ort von head14
suf
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
21
Analyse
Nun analysieren wir die Anzahl der Schritte, die der Algorithmus von McCreight
benötigt.
Analyse
Nun analysieren wir die Anzahl der Schritte, die der Algorithmus von McCreight
benötigt.
Satz 4 Algorithmus von McCreight liefert in Zeit O(|W |) einen Suffixbaum für W .
Analyse
Nun analysieren wir die Anzahl der Schritte, die der Algorithmus von McCreight
benötigt.
Satz 4 Algorithmus von McCreight liefert in Zeit O(|W |) einen Suffixbaum für W .
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
22
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Analyse Rescannen Da αiβi ein Präfix von headi+1 ist, muss an einer Kante nur
festgestellt werden, um wieviele Zeichen wir in βi vorrücken müssen.
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Analyse Rescannen Da αiβi ein Präfix von headi+1 ist, muss an einer Kante nur
festgestellt werden, um wieviele Zeichen wir in βi vorrücken müssen.
Demnach haben wir konstante Zeit pro besuchte Kante und die Anzahl der
Schritte beim Rescannen ist proportional zur Anzahl der besuchten Kanten.
Sei
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Analyse Rescannen Da αiβi ein Präfix von headi+1 ist, muss an einer Kante nur
festgestellt werden, um wieviele Zeichen wir in βi vorrücken müssen.
Demnach haben wir konstante Zeit pro besuchte Kante und die Anzahl der
Schritte beim Rescannen ist proportional zur Anzahl der besuchten Kanten.
Sei
resi = βi−1γitaili.
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Analyse Rescannen Da αiβi ein Präfix von headi+1 ist, muss an einer Kante nur
festgestellt werden, um wieviele Zeichen wir in βi vorrücken müssen.
Demnach haben wir konstante Zeit pro besuchte Kante und die Anzahl der
Schritte beim Rescannen ist proportional zur Anzahl der besuchten Kanten.
Sei
resi = βi−1γitaili.
(res steht für Zeichen, die regescannt werden können).
Beweis: In jeden Schritt wird ein Suffix von W gescannt und regescannt.
Analyse Rescannen Da αiβi ein Präfix von headi+1 ist, muss an einer Kante nur
festgestellt werden, um wieviele Zeichen wir in βi vorrücken müssen.
Demnach haben wir konstante Zeit pro besuchte Kante und die Anzahl der
Schritte beim Rescannen ist proportional zur Anzahl der besuchten Kanten.
Sei
resi = βi−1γitaili.
(res steht für Zeichen, die regescannt werden können).
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
23
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Also
n
X
i=1
ki ≤
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Also
n
X
i=1
ki ≤
n
X
i=1
|resi| − |resi+1| =
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Also
n
X
i=1
ki ≤
n
X
i=1
|resi| − |resi+1| = |res1| − |resn+1|
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Also
n
X
i=1
ki ≤
n
X
i=1
|resi| − |resi+1| = |res1| − |resn+1| ≤ n.
Bei jeder Kante e, um die während des Rescannens von βi−1 vorgerückt wird,
wird αi um die Beschriftung δ der Kante e länger, d.h. δ ist in resi, aber nicht in
resi+1. Da |δ| ≥ 1, folgt:
|resi+1| ≤ |resi| − ki
mit ki als Anzahl regesannte Kanten in Schritt i.
Also
n
X
i=1
ki ≤
n
X
|resi| − |resi+1| = |res1| − |resn+1| ≤ n.
i=1
Somit ist die Gesamtanzahl regesannter Kanten durch n beschränkt.
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| =
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| =
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| = |headi+1| − (|headi| − 1) .
Also ist die Gesamtanzahl gescannter Zeichen gleich
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| = |headi+1| − (|headi| − 1) .
Also ist die Gesamtanzahl gescannter Zeichen gleich
n−1
X
i=0
|γi+1| =
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| = |headi+1| − (|headi| − 1) .
Also ist die Gesamtanzahl gescannter Zeichen gleich
n−1
X
i=0
|γi+1| =
n−1
X
i=0
|headi+1| − |headi| + 1 =
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| = |headi+1| − (|headi| − 1) .
Also ist die Gesamtanzahl gescannter Zeichen gleich
n−1
X
i=0
|γi+1| =
n−1
X
i=0
|headi+1| − |headi| + 1 = n + |headn| − |head0| =
Analyse Scannen Die Anzahl gescannter Zeichen in Schritt i ist gleich
|γi+1|, wobei
|γi+1| = |headi+1| − |αiβi| = |headi+1| − (|headi| − 1) .
Also ist die Gesamtanzahl gescannter Zeichen gleich
n−1
X
i=0
|γi+1| =
n−1
X
i=0
|headi+1| − |headi| + 1 = n + |headn| − |head0| = n.
Beispiel 5 Suffixbaum für bbabaabc:
Beispiel 5 Suffixbaum für bbabaabc:
T0
suf 1
T1
bbabaabc
T2
b
bbabaabc
abaabc
babaabc
suf 2 babaabc
head 2 b
suf 3 abaabc
head 3 ε
Beispiel 5 Suffixbaum für bbabaabc:
T0
T1
suf 1
T2
b
bbabaabc
bbabaabc
abaabc
babaabc
suf 2 babaabc
head 2 b
suf 3 abaabc
head 3 ε
T3
abaabc
abaabc
T4
abaabc
b
babaabc
babaabc
a
abc
suf 4 baabc
head 4 ba
a4 b α4 ε β4
b
baabc
Ort von head 4
a
suf 5 aabc
head 5 a
a5 a α5 ε
β5
ε
Beispiel 5 Suffixbaum für bbabaabc:
T0
T1
suf 1
T2
b
bbabaabc
bbabaabc
abaabc
babaabc
suf 2 babaabc
head 2 b
suf 3 abaabc
head 3 ε
T3
abaabc
abaabc
T4
abaabc
b
babaabc
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
babaabc
a
abc
suf 4 baabc
head 4 ba
a4 b α4 ε β4
b
baabc
Ort von head 4
a
suf 5 aabc
head 5 a
a5 a α5 ε
24
β5
ε
T5
T6
b babaabc
a
abc
baabc
abc
a
baabc
abc
b
a
c
babaabc
a
b
aabc abc
baabc
Ort von head 5
suf 6 abc
head 6 ab
a6 a α6
ε β6
b
suf 7 bc
head 7 b
a7 b α7
Ort von head 6
ε
β7
b
T5
T6
b babaabc
a
abc
baabc
abc
a
c
babaabc
a
b
baabc
abc
b
a
aabc abc
baabc
Ort von head 5
suf 6 abc
head 6 ab
a6 a α6
ε β6
b
T7
abc
suf 8
a c
b
c
c
T8
babaabc
b
a
suf 7 bc
head 7 b
a7 b α7
aabc abc
baabc
a
abc
Ort von head 6
ε
c
b
babaabc
b
a c
b
c
β7
aabc abc
baabc
Verwendung von Suffix-Bäumen:
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
2. Suche Teilstring: Folge Weg und Suffixzeiger bis akzeptierendes Blatt erreicht.
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
2. Suche Teilstring: Folge Weg und Suffixzeiger bis akzeptierendes Blatt erreicht.
3. Suche längstes, doppelt auftretendes Wort: Finde Ort eines Wortes mit größter
gewichteter Tiefe, der innerer Knoten ist.
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
2. Suche Teilstring: Folge Weg und Suffixzeiger bis akzeptierendes Blatt erreicht.
3. Suche längstes, doppelt auftretendes Wort: Finde Ort eines Wortes mit größter
gewichteter Tiefe, der innerer Knoten ist.
4. Suche nach Präfix: Alle Vorkommen von Zeichenketten mit Präfix α finden sich
in dem Teilbaum unterhalb des Ortes“ von α in T .
”
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
2. Suche Teilstring: Folge Weg und Suffixzeiger bis akzeptierendes Blatt erreicht.
3. Suche längstes, doppelt auftretendes Wort: Finde Ort eines Wortes mit größter
gewichteter Tiefe, der innerer Knoten ist.
4. Suche nach Präfix: Alle Vorkommen von Zeichenketten mit Präfix α finden sich
in dem Teilbaum unterhalb des Ortes“ von α in T .
”
5. Bereichssuche nach [α, β ]
Verwendung von Suffix-Bäumen:
1. Suche nach Zeichenkette α: Folge dem Weg mit Kantenbeschriftung α in T in
Zeit O(|α|).
c Vorkommen von α
Blätter des Teilbaumes =
2. Suche Teilstring: Folge Weg und Suffixzeiger bis akzeptierendes Blatt erreicht.
3. Suche längstes, doppelt auftretendes Wort: Finde Ort eines Wortes mit größter
gewichteter Tiefe, der innerer Knoten ist.
4. Suche nach Präfix: Alle Vorkommen von Zeichenketten mit Präfix α finden sich
in dem Teilbaum unterhalb des Ortes“ von α in T .
”
5. Bereichssuche nach [α, β ]
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
25
Generalisierte Suffix-Bäume
Die Idee, McCreights Algorithmus zur Konstruktion eines Suffixbaumes auf
mehrere Strings auszuweiten, stößt zuerst auf Widerstand.
Generalisierte Suffix-Bäume
Die Idee, McCreights Algorithmus zur Konstruktion eines Suffixbaumes auf
mehrere Strings auszuweiten, stößt zuerst auf Widerstand.
Zwar können der Suffixbaum S 0 und damit die Indizes aller unterschiedlichen
Teilstrings von W1$1, . . . , Wk $k für die im Wörterbuch zu speichernden Strings
W1, . . . , Wk nach McCreights Ansatz aufgebaut werden.
Generalisierte Suffix-Bäume
Die Idee, McCreights Algorithmus zur Konstruktion eines Suffixbaumes auf
mehrere Strings auszuweiten, stößt zuerst auf Widerstand.
Zwar können der Suffixbaum S 0 und damit die Indizes aller unterschiedlichen
Teilstrings von W1$1, . . . , Wk $k für die im Wörterbuch zu speichernden Strings
W1, . . . , Wk nach McCreights Ansatz aufgebaut werden.
Doch ist die Struktur dann ein für allemal festgelegt und müßte, wie die
Fehlerfunktion im Algorithmus von Aho und Corasick, für jede Einfüge- und
Löschoperation immer wieder erneut berechnet werden.
Generalisierte Suffix-Bäume
Die Idee, McCreights Algorithmus zur Konstruktion eines Suffixbaumes auf
mehrere Strings auszuweiten, stößt zuerst auf Widerstand.
Zwar können der Suffixbaum S 0 und damit die Indizes aller unterschiedlichen
Teilstrings von W1$1, . . . , Wk $k für die im Wörterbuch zu speichernden Strings
W1, . . . , Wk nach McCreights Ansatz aufgebaut werden.
Doch ist die Struktur dann ein für allemal festgelegt und müßte, wie die
Fehlerfunktion im Algorithmus von Aho und Corasick, für jede Einfüge- und
Löschoperation immer wieder erneut berechnet werden.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
26
Auf der anderen Seite kann der Patricia–Baum S für alle Endstücke der
Zeichenketten W1$1 bis Wk $k konstruiert werden.
Auf der anderen Seite kann der Patricia–Baum S für alle Endstücke der
Zeichenketten W1$1 bis Wk $k konstruiert werden.
0
$
1
$
$
10
(1100110$,7,7)
(1011001$,7,7)
(10101$,5,5)
...
1
01
0
$
$
$
$
01
01
1
01$
01$
$
10$
1
01$
$
$
$
1001$
Abbildung 4
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
10
27
10$
0
10$
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Dies ermöglicht, einen String W in einen schon bestehenden Suffixbaum
einzufügen.
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Dies ermöglicht, einen String W in einen schon bestehenden Suffixbaum
einzufügen.
Um ein unbeschränktes Alphabet zu vermeiden, beschreiben wir mit $ jedes der $i,
lassen jedoch den Vergleich von $ mit sich selbst scheitern.
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Dies ermöglicht, einen String W in einen schon bestehenden Suffixbaum
einzufügen.
Um ein unbeschränktes Alphabet zu vermeiden, beschreiben wir mit $ jedes der $i,
lassen jedoch den Vergleich von $ mit sich selbst scheitern.
Die Anzahl der Knoten in S ist durch die Summe D beschränkt.
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Dies ermöglicht, einen String W in einen schon bestehenden Suffixbaum
einzufügen.
Um ein unbeschränktes Alphabet zu vermeiden, beschreiben wir mit $ jedes der $i,
lassen jedoch den Vergleich von $ mit sich selbst scheitern.
Die Anzahl der Knoten in S ist durch die Summe D beschränkt.
Es ist nicht schwer, McCreights Algorithmus auf das Einfügen eines Musters im
generaliserten Suffixbaum mit Laufzeit O(|W |) zu erweitern.
Es ist der Verdienst von Amir et al. zu erkennen, dass die Baumstrukturen von S
und S 0 isomorph sind und dass die Kantenbeschriftungen bis auf die an den
Blättern einlaufenden Kanten übereinstimmen.
Dies ermöglicht, einen String W in einen schon bestehenden Suffixbaum
einzufügen.
Um ein unbeschränktes Alphabet zu vermeiden, beschreiben wir mit $ jedes der $i,
lassen jedoch den Vergleich von $ mit sich selbst scheitern.
Die Anzahl der Knoten in S ist durch die Summe D beschränkt.
Es ist nicht schwer, McCreights Algorithmus auf das Einfügen eines Musters im
generaliserten Suffixbaum mit Laufzeit O(|W |) zu erweitern.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
28
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Satz 5 Sei M die Menge der gespeicherten Zeichenketten im Suffixbaum S und
sei T der Vielwegsuchbaum, der diese Strings in umgekehrter Anordnung darstellt.
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Satz 5 Sei M die Menge der gespeicherten Zeichenketten im Suffixbaum S und
sei T der Vielwegsuchbaum, der diese Strings in umgekehrter Anordnung darstellt.
Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Knoten in T (mit Ausnahme
der Wurzel) in die Menge der Blattknoten von S.
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Satz 5 Sei M die Menge der gespeicherten Zeichenketten im Suffixbaum S und
sei T der Vielwegsuchbaum, der diese Strings in umgekehrter Anordnung darstellt.
Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Knoten in T (mit Ausnahme
der Wurzel) in die Menge der Blattknoten von S.
Beweis: Auf der einen Seite entspricht jedem Suffix der Zeichenkette Wi ein Blatt
in S.
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Satz 5 Sei M die Menge der gespeicherten Zeichenketten im Suffixbaum S und
sei T der Vielwegsuchbaum, der diese Strings in umgekehrter Anordnung darstellt.
Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Knoten in T (mit Ausnahme
der Wurzel) in die Menge der Blattknoten von S.
Beweis: Auf der einen Seite entspricht jedem Suffix der Zeichenkette Wi ein Blatt
in S.
Auf der anderen Seite existiert für jeden Präfix von WiR ein Knoten in T .
Probleme bereitet jedoch das Löschen von Strings. Deshalb bauen wir parallel
einen assozierten, invertierten Trie auf.
Satz 5 Sei M die Menge der gespeicherten Zeichenketten im Suffixbaum S und
sei T der Vielwegsuchbaum, der diese Strings in umgekehrter Anordnung darstellt.
Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Knoten in T (mit Ausnahme
der Wurzel) in die Menge der Blattknoten von S.
Beweis: Auf der einen Seite entspricht jedem Suffix der Zeichenkette Wi ein Blatt
in S.
Auf der anderen Seite existiert für jeden Präfix von WiR ein Knoten in T .
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
29
Beispiel 6 Abbildung 5 zeigt eine Momentaufnahme der Einfügung des Strings
11010$ in den generalisierten Suffixbaum mit assoziierten inversen Trie.
Beispiel 6 Abbildung 5 zeigt eine Momentaufnahme der Einfügung des Strings
11010$ in den generalisierten Suffixbaum mit assoziierten inversen Trie.
0
1
$
0
1
01
10
0
$
$
1
10
$
$
0
2
10
9
$
01
1
20
10$
$
3
0
$
$
$
13
10$
01
01$
01$
8
$
1$
4
5
16
10$
$
$
18
1$
19
10$
1001$
15
17
11
6
12
7
14
1
1
0
1
1
1
2
20
19
18
3
0
4
0
5
1
6
1
7
0
$
0
1
Abbildung 5
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
8
0
0
10
1
11
1
12
9
1
15
0
16
30
1
17
0
13
1
14
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Dann sind die Suffixlinks nach jedem einzelnen Löschschritt im Suffixbaum korrekt.
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Dann sind die Suffixlinks nach jedem einzelnen Löschschritt im Suffixbaum korrekt.
Das von Amir et al. vernachlässigte Problem ist, dass der entfernte String noch
gebraucht werden kann.
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Dann sind die Suffixlinks nach jedem einzelnen Löschschritt im Suffixbaum korrekt.
Das von Amir et al. vernachlässigte Problem ist, dass der entfernte String noch
gebraucht werden kann.
Die Grundidee der vorgeschlagenen Verbesserung ist es, die durch T eindeutig
festgelegte Repräsentation an den Blättern auf die inneren Knoten zu übertragen.
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Dann sind die Suffixlinks nach jedem einzelnen Löschschritt im Suffixbaum korrekt.
Das von Amir et al. vernachlässigte Problem ist, dass der entfernte String noch
gebraucht werden kann.
Die Grundidee der vorgeschlagenen Verbesserung ist es, die durch T eindeutig
festgelegte Repräsentation an den Blättern auf die inneren Knoten zu übertragen.
Deshalb führen wir Zwillinge ein, die die Historie der Blattgenerierungen
beschreiben.
Durch den assoziierten Trie ist es möglich die Strings vom längsten Suffix zum
kürzesten Suffix zu löschen.
Dann sind die Suffixlinks nach jedem einzelnen Löschschritt im Suffixbaum korrekt.
Das von Amir et al. vernachlässigte Problem ist, dass der entfernte String noch
gebraucht werden kann.
Die Grundidee der vorgeschlagenen Verbesserung ist es, die durch T eindeutig
festgelegte Repräsentation an den Blättern auf die inneren Knoten zu übertragen.
Deshalb führen wir Zwillinge ein, die die Historie der Blattgenerierungen
beschreiben.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
31
Beispiel 7 Abbildung 6 stellt die entsprechende Rückverzeigerung graphisch dar.
Beispiel 7 Abbildung 6 stellt die entsprechende Rückverzeigerung graphisch dar.
0
1
$
0
1
01
0
$
$
1
$
$
10
9
01$
01$
13
Abbildung 6
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
2
01
1
3
1
$
$
01$
5
$
01
10$
$
4 16
8
$
10
10
$
1001$
17
14
32
15
10$
0
6
10$
11
7
12
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S.
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
In dem generalisierten Suffixbaum gilt die folgende Invarianz:
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
In dem generalisierten Suffixbaum gilt die folgende Invarianz:
(Ia) Für alle inneren Knoten p aus I existiert ein Blattknoten q aus L der zugleich
Zwillingsnachfolger von p ist (q ∈ Γ0(p)) und dessen Stringrepräsentation mit p
übereinstimmt.
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
In dem generalisierten Suffixbaum gilt die folgende Invarianz:
(Ia) Für alle inneren Knoten p aus I existiert ein Blattknoten q aus L der zugleich
Zwillingsnachfolger von p ist (q ∈ Γ0(p)) und dessen Stringrepräsentation mit p
übereinstimmt.
(Ib) Für alle inneren Knoten p aus I gilt:
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
In dem generalisierten Suffixbaum gilt die folgende Invarianz:
(Ia) Für alle inneren Knoten p aus I existiert ein Blattknoten q aus L der zugleich
Zwillingsnachfolger von p ist (q ∈ Γ0(p)) und dessen Stringrepräsentation mit p
übereinstimmt.
(Ib) Für alle inneren Knoten p aus I gilt: |Γ0(p)| = |Γ(p)| − 1,
Satz 6 Seien I und L die Mengen aller inneren bzw. Blattknoten in dem
generalisierten Suffixbaum S. Sei Γ(p) die Menge der Nachfolger von p und Γ0(p)
die Menge der Zwillingsnachfolger von p.
In dem generalisierten Suffixbaum gilt die folgende Invarianz:
(Ia) Für alle inneren Knoten p aus I existiert ein Blattknoten q aus L der zugleich
Zwillingsnachfolger von p ist (q ∈ Γ0(p)) und dessen Stringrepräsentation mit p
übereinstimmt.
(Ib) Für alle inneren Knoten p aus I gilt: |Γ0(p)| = |Γ(p)| − 1, d.h. die Anzahl der
direkten Nachfolger ist immer um eins größer als die Anzahl der
Zwillingsnachfolger.
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
33
Satz 7 Sei S der generalisierten Suffixbaum nach einer beliebigen Anzahl von
Einfüge- und Löschoperationen gespeichert sind und D die Summe der Längen
aller Strings aus M .
Satz 7 Sei S der generalisierten Suffixbaum nach einer beliebigen Anzahl von
Einfüge- und Löschoperationen gespeichert sind und D die Summe der Längen
aller Strings aus M .
Dann ist der benötigte Speicherplatz im S durch O(D) beschränkt.
Satz 7 Sei S der generalisierten Suffixbaum nach einer beliebigen Anzahl von
Einfüge- und Löschoperationen gespeichert sind und D die Summe der Längen
aller Strings aus M .
Dann ist der benötigte Speicherplatz im S durch O(D) beschränkt.
Jede Einzeloperation mit Wort W benötigt Zeit O(|W |)
Stefan Edelkamp
Suffixbäume
34
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
= T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
sufi
= T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
=
T [i] . . . T [n] ∈ Σn−i+1 i-tes Suffix (i ≤ n − 1)
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
sufi
T [i, j]
= T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
=
T [i] . . . T [n] ∈ Σn−i+1 i-tes Suffix (i ≤ n − 1)
= T [max(1, i)..min(j, n)]
Teilwort
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
sufi
T [i, j]
pos
= T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
=
T [i] . . . T [n] ∈ Σn−i+1 i-tes Suffix (i ≤ n − 1)
= T [max(1, i)..min(j, n)]
Teilwort
= [i1, . . . , in]
mit pos[k] ∈ {1, . . . , n} und
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
=
sufi
=
T [i, j] =
pos
=
sufpos[k] =
T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
T [i] . . . T [n] ∈ Σn−i+1 i-tes Suffix (i ≤ n − 1)
T [max(1, i)..min(j, n)]
Teilwort
mit pos[k] ∈ {1, . . . , n} und
[i1, . . . , in]
das lexikographisch k-kleinste Suffix von T
2
Suffix-Arrays
Ein Suffix-Array ist eine sortierte Liste aller Suffixe eines Textes, plus
Zusatzinformationen über längste gemeinsame Präfixe zu Beschleunigung der
Suche.
Definition 4 Sei
T
=
sufi
=
T [i, j] =
pos
=
sufpos[k] =
T [1] T [2] . . . T [n] ∈ Σn
Text
T [i] . . . T [n] ∈ Σn−i+1 i-tes Suffix (i ≤ n − 1)
T [max(1, i)..min(j, n)]
Teilwort
mit pos[k] ∈ {1, . . . , n} und
[i1, . . . , in]
das lexikographisch k-kleinste Suffix von T
mit sufpos[1] < sufpos[2] < · · · < sufpos[n].
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
35
Definition 5 Die Vergleichsrelation <p sei festgelegt durch
A <p B :⇐⇒ A[1, p] < B[1, p]
Definition 5 Die Vergleichsrelation <p sei festgelegt durch
A <p B :⇐⇒ A[1, p] < B[1, p]
(analog: =p, ≤p, >p, ≥p, 6=p)
Definition 5 Die Vergleichsrelation <p sei festgelegt durch
A <p B :⇐⇒ A[1, p] < B[1, p]
(analog: =p, ≤p, >p, ≥p, 6=p)
Satz 8 Suffix-Array suf mit Index pos ist bezl. ≤p sortiert, d.h.
sufpos[1] ≤p sufpos[1] ≤p · · · ≤p sufpos[n]
Beweis: Alle Präfixe zu einem gesuchten Anfang W mit Länge p liegen im
pos-Array hintereinander.
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
36
Suche die untere Grenze LW für das Vorkommen von Präfix W mit |W | = p im
pos-Array:
Suche die untere Grenze LW für das Vorkommen von Präfix W mit |W | = p im
pos-Array:
LW := min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
durch binäre Suche nach LW im pos-Array.
Suche die untere Grenze LW für das Vorkommen von Präfix W mit |W | = p im
pos-Array:
LW := min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
durch binäre Suche nach LW im pos-Array.
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
37
Beispiel 8
i
T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
a b a a b a b a a a b c a b b d $
Suchwort: W = aba
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
38
k pos[k] sufpos[k]
1
8 aaa b ca b bd$
2
3 aa ba baaa b ca b bd$
3
9 aa b ca b bd$
4
6 a baaa b ca b bd$
5
1 a baa ba baaa b ca b bd$
6
4 a ba baaa b ca b bd$
7
13 a b b d $
8
10 a b c a b b d $
9
7 baaa b ca b bd$
10
2 baa ba baaa b ca b bd$
11
4 ba baaa b ca b bd$
12
14 b b d $
13
11 b c a b b d $
14
15 b d $
15
12 c a b b d $
16
16 d $
17
17 $
Algorithmus LW -search
Input:
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output:
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
7
if W ≤p sufpos[M ] then R ← M
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
7
if W ≤p sufpos[M ] then R ← M
8
else
L←M
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
7
if W ≤p sufpos[M ] then R ← M
8
else
L←M
10
end while
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
7
if W ≤p sufpos[M ] then R ← M
8
else
L←M
10
end while
11
LW ← R
Algorithmus LW -search
Input: Wort W = W [1] . . . W [p] mit p ≤ n
Output: LW = min{k | W ≤p sufpos[k] ∨ k = n}
1 if W ≤p sufpos[1] then LW ← 1
2 else if W >p sufpos[n]
3
then LW ← n
4
else (L, R) ← (1, n)
5
while L − R > 1 do
6
M ← (L + R)/2
7
if W ≤p sufpos[M ] then R ← M
8
else
L←M
10
end while
11
LW ← R
13 return LW
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
39
Satz 9 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m log n) Zeit möglich.
Satz 9 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m log n) Zeit möglich.
Als Verbesserung von LW -search nutze die folgende Idee:
Satz 9 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m log n) Zeit möglich.
Als Verbesserung von LW -search nutze die folgende Idee:
Spare Vergleiche zwischen Zeichen, deren Ergebnis bekannt ist.
Satz 9 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m log n) Zeit möglich.
Als Verbesserung von LW -search nutze die folgende Idee:
Spare Vergleiche zwischen Zeichen, deren Ergebnis bekannt ist.
Dazu definiere lcp(v, w) als Länge des längsten gemeinsamen Präfixes von v, w
durch
Satz 9 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m log n) Zeit möglich.
Als Verbesserung von LW -search nutze die folgende Idee:
Spare Vergleiche zwischen Zeichen, deren Ergebnis bekannt ist.
Dazu definiere lcp(v, w) als Länge des längsten gemeinsamen Präfixes von v, w
durch
lcp(v, w) ← max{p | v =p w}
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
40
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst:
In LW -search sei
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst:
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
In LW -search sei
Dann gilt:
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
Dann gilt: sufpos[L] =h W =h sufpos[R]
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
Dann gilt: sufpos[L] =h W =h sufpos[R]
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
Dann gilt: sufpos[L] =h W =h sufpos[R]
Damit brauchen die h ersten Zeichen nicht mehr verglichen zu werden.
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
Dann gilt: sufpos[L] =h W =h sufpos[R]
Damit brauchen die h ersten Zeichen nicht mehr verglichen zu werden.
Das worst case-Verhalten wird nicht geändert.
In LW -search sei
` = lcp(sufpos[L], W ) zuerst: ` = lcp(sufpos[1], W )
r = lcp(sufpos[R], W ) zuerst: r = lcp(sufpos[n], W )
h = min{`, r}
Dann gilt: sufpos[L] =h W =h sufpos[R]
Damit brauchen die h ersten Zeichen nicht mehr verglichen zu werden.
Das worst case-Verhalten wird nicht geändert.
(Beispiel: Suche cp−1b in an−2b)
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
41
2. Verbesserung von LW -search
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
Llcp[M ] :
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
Llcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[L])
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
Llcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[L])
Rlcp[M ] :
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
Llcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[L])
Rlcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[R])
2. Verbesserung von LW -search
Berechne und nutze Zusatzinformationen über Arrays
Llcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[L])
Rlcp[M ] : lcp(sufpos[M ], sufpos[R])
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
42
k=M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
L Llcp pos[k] sufpos[k]
8
aaa b ca b bd$
1
2
3
aa ba baaa b ca b bd$
1
2
9
aa b ca b bd$
3
1
6
a baaa b ca b bd$
1
1
1
a baa ba baaa b c a b bd$
5
3
4
a b a b a a a b c a b b d$
5
2
13
a b bd$
7
2
10
a b ca b bd$
1
0
7
baaa b ca b bd$
9
3
2
baa ba baaa b ca b bd$
9
2
5
ba baaa b ca b bd $
11
1
14
b bd$
9
1
11
b ca b bd$
13
1
15
bd$
13
0
12
ca b bd$
15
0
16
d$
0
16
$
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Sei
H = max{l, r}
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Sei
H = max{l, r}
∆H = Differenz in H am Anfang und Ende einer Iteration
Im Folgenden sei o.B.d.A.: r ≤ l = H,
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Sei
H = max{l, r}
∆H = Differenz in H am Anfang und Ende einer Iteration
Im Folgenden sei o.B.d.A.: r ≤ l = H,
d.h. Llcp wird benutzt.
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Sei
H = max{l, r}
∆H = Differenz in H am Anfang und Ende einer Iteration
Im Folgenden sei o.B.d.A.: r ≤ l = H,
d.h. Llcp wird benutzt.
Unterscheide 3 Fälle
Nutzen von Llcp und Rlcp in LW -search:
Sei
H = max{l, r}
∆H = Differenz in H am Anfang und Ende einer Iteration
Im Folgenden sei o.B.d.A.: r ≤ l = H,
d.h. Llcp wird benutzt.
Unterscheide 3 Fälle
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
43
1. Llcp[M ] > l
1. Llcp[M ] > l
`
r
L
M
R
1. Llcp[M ] > l
`
r
L
M
sufpos[M ] =l+1
R
1. Llcp[M ] > l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l+1 sufpos[L] =l+1
1. Llcp[M ] > l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l+1 sufpos[L] =l+1 = W
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
44
2. Llcp[M ] = l
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
Vergleiche Zeichen l + 1, . . . , l + j bis sufpos[M ] =
6 l+j W
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
Vergleiche Zeichen l + 1, . . . , l + j bis sufpos[M ] =
6 l+j W
LW liegt links (rechts), dann
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
Vergleiche Zeichen l + 1, . . . , l + j bis sufpos[M ] =
6 l+j W
LW liegt links (rechts), dann r ← l + j − 1 (l ← l + j − 1)
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
Vergleiche Zeichen l + 1, . . . , l + j bis sufpos[M ] =
6 l+j W
LW liegt links (rechts), dann r ← l + j − 1 (l ← l + j − 1)
# Zeichenvergleiche:
2. Llcp[M ] = l
`
r
L
M
R
sufpos[M ] =l W
Vergleiche Zeichen l + 1, . . . , l + j bis sufpos[M ] =
6 l+j W
LW liegt links (rechts), dann r ← l + j − 1 (l ← l + j − 1)
# Zeichenvergleiche: ∆H + 1
3. Llcp[M ] < l
3. Llcp[M ] < l
`
r
L
M
R
3. Llcp[M ] < l
`
r
L
M
R
W =l sufpos[L] und W =l0 sufpos[M ] mit l0 < l
3. Llcp[M ] < l
`
r
L
M
R
W =l sufpos[L] und W =l0 sufpos[M ] mit l0 < l
LW gehört in linke Hälfte, r ← Llcp[M ]
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
45
Durch Nutzung von Llcp und Rlcp werden pro Iteration max ∆H + 1 Vergleiche
benötigt.
Durch Nutzung von Llcp und Rlcp werden pro Iteration max ∆H + 1 Vergleiche
benötigt.
P
Mit i ∆Hi ≤ m folgt:
Durch Nutzung von Llcp und Rlcp werden pro Iteration max ∆H + 1 Vergleiche
benötigt.
P
Mit i ∆Hi ≤ m folgt:
Satz 10 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m + log n) Zeit möglich.
Durch Nutzung von Llcp und Rlcp werden pro Iteration max ∆H + 1 Vergleiche
benötigt.
P
Mit i ∆Hi ≤ m folgt:
Satz 10 Die Teilwortsuche in einem Suffix-Array ist in O(m + log n) Zeit möglich.
Stefan Edelkamp
Suffix-Arrays
46