Kapitel 8 : Verteilungsfreie Tests In Kapitel 7 haben wir Stichproben

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Kapitel 8 : Verteilungsfreie Tests
In Kapitel 7 haben wir Stichproben = ( , , … , ) aus einer
Normalverteilung N(µ, σ2) studiert und Tests für den unbekannten
Parameter µ = E(Xk) konstruiert.
Oft ist jedoch wenig über die Verteilungsfunktion F(x) der Xk bekannt.
Insbesondere ist die Normalverteilungsannahme durch nichts
gerechtfertigt. In diesem Fall kann man weder den t-Test noch den
Gaußtest anwenden. Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß die
unbekannte Verteilungsfunktion F(x) stetig ist, d.h. für unsere
Beobachtungen = (
, , … , ) gilt xj ≠ xk für j ≠ k.
Wir wollen zwei Tests zu dieser Situation vorstellen:
Beim ersten Test will man herausfinden, ob die Stichprobe „im Mittel“
größer (kleiner) als ein vorgegebener Wert m0 ist. Als Mittel der
Verteilung F(x) betrachtet man hier den Median mF , d.h. einen Wert
mit F(mF) = ½.
Beim zweiten Test vergleicht man zwei Stichproben = ( , , … , )
und = ( , , … , ) hinsichtlich FX(x) und FY(x).
Bei beiden Tests spielt der Typ von F(x) keine Rolle. Man spricht
deshalb von verteilungsfreien (oder auch nichtparametrischen) Tests.
§1 Der Mediantest (Vorzeichentest) (Ein – Stichproben – Test)
Es soll geprüft werden, ob die Stichprobe = ( , , … , ) im Mittel
größer (oder kleiner) als ein bestimmter Wert m0 ist. mF sei der Median
der (unbekannten) Verteilungsfunktion F(x) der Xk. Wir schätzen mF
durch den Median der Daten = (
, , … , ).
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Rechtsseitiger Test :
H : m F = m0
gegen
K : mF > m 0
Linksseitiger Test :
H : mF = m 0
gegen
K : mF < m0
Als Teststatistik TM(x) bietet sich die Anzahl der Beobachtungen xk an,
die größer als m0 sind (d.h. die Anzahl der Differenzen xk – m0 mit
positivem Vorzeichen).
TM(x) = #{ j = 1, 2, . . ., n | xj > m0 } = Anzahl der j mit xj > m0.
Unter H : mF = m0
gilt
PF(Xj > m0) = ½.
⇒ Unter H : TM(x) =d B(n, ½).
1.1
Beim rechtsseitigen Test wird H : mF = m0
K : mF > m0
zugunsten von
für große Werte von TM(x) verworfen.
Für das Signifikanzniveau α ergibt sich der kritische Bereich :
Cα = { x | TM(x) ≥ Kα }, wobei Kα die kleinste natürliche Zahl ist,
∑ (, ½)() = ∑ 2– ≤ α.
sodaß
p – Wert :
p(x) = 2– ∑ () .
Für große n kann man Kα und p(x) mit Hilfe der Normalverteilung
approximieren :
B(n, ½) ≈ N(, ) ⇒ Kα ≈
Cα ≈ { x | TM(x) ≥
1.2
+
√
"
#–
};
+
p(x) ≈ 1 – Φ √
"
#–
%&–
√
.
Analog ergeben sich für den linksseitigen Test
H : m F = m0
gegen
K : mF < m 0 :
()
Cα = { x | TM(x) ≤ n – Kα } und p(x) = 2– ∑(
.
Für die Normalapproximation gilt :
Cα ≈ { x | TM(x) ≤
–
√
"
#–
};
p(x) ≈ 1 – Φ – ()
√
.
⇒
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Beispiel 1.3 : Mit den klassischen Autoreifen einer Firma beträgt der
Bremsweg im Mittel (Median) m0 = 100 Meter. Für einen neuen Reifen
soll getestet werden, ob er besser als der klassische Reifen ist.
Es wurde deshalb folgender linksseitige Mediantest auf dem
Signifikanzniveau α = 0,05 durchgeführt :
H : mF = 100
gegen
K : mF < 100 .
Es wurden n = 8 Bremsversuche mit dem neuen Reifen gemacht.
∑)* ) 2–) =
∑). ) 2–) =
+*
+*
,%)*& + %).& + %))&/ =
,%).& + %))&/ =
)0
+*
)0)0
+*
≈ 0,145 > 0,05
und
≈ 0,0352 < 0,05 .
Also ist K0,05 = 7.
H wird verworfen, wenn TM(x) ≤ 8 – 7 = 1.
Als Daten ergaben sich:
j
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
98,3
98,1
100,7
98,5
98,2
98,6
99,6
100,2
⇒ TM(x) = 2,
H kann also auf dem Niveau α = 0,05 nicht verworfen werden.
p(x) =
+*
∑( ) ≈ 0,145.
H kann also auf keinem vernünftigen Niveau verworfen werden.
§2 Der Wilcoxon – Test
(Zwei – Stichproben – Test)
2.1 Situation : Es soll getestet werden, ob von zwei unbekannten
Verteilungsfunktionen F2(x) besser ist als F1(x), im Sinne von
F2(x) ≤ F1(x) für alle x ∈ ℝ (da dann die Quantile von F2(x) größer
sind als diejenigen von F1(x)).
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Es soll das wichtigste Testverfahren vorgestellt werden, das auf
sogenannten Rangsummen basiert.
Getestet wird :
2.2
H : F2(x) = F1(x)
gegen
K : F2(x) ≤ F1(x) , F2 ≠ F1 .
Wiederum seien F1(x) und F2(x) stetige Funktionen.
Man betrachte die unabhängigen Stichproben
= ( , , … , ) und = ( , , … , )
mit
Xj =d F1 und Yk =d F2.
Definition 2.3 : Als Rang der Beobachtung yj bezeichnet man die Anzahl
der Beobachtungen von , , … , und 2 , 2 , … , 2 , die kleiner oder
gleich yj sind, also
Rang(yj) = #{ i | xi ≤ yj } + #{ k | yk ≤ yj } und
Rang(xj) = #{ i | xi ≤ xj } + #{ k | yk ≤ xj } .
Rang(yj) = 1 bedeutet also, daß yj die kleinste Beobachtung ist, u.s.w.
Beispiel 2.4 : n = 3, m = 4, x = (8; 4,2; 3,5), y = (1; 19; – 4; 4,6)
Rang
1
2
3
4
5
6
7
Wert
–4
1
3,5
4,2
4,6
8
19
Herkunft
y3
y1
x3
x2
x1
y4
y2
Z.B. Rang(x2) = 4, Rang(y1) = 2.
Unter der Alternative K sind die Werte von Y tendenziell größer als die
von X. Das bedeutet, daß die Ränge der Beobachtungen von Y groß
sind. Als Maßzahl definieren wir die Summe der Ränge der y – Beobachtungen:
W(x, y) : = ∑
345(2 ).
W(x, y) wird oft auch Wilcoxon – Statistik genannt.
In Beispiel 2.4 ist W(x, y) = 1+ 2 + 6 + 7 = 16.
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Bemerkung 2.5 : Die Verteilung der Wilcoxon – Statistik W(X, y) (bei
zufälliger Beobachtung X und fester Beobachtung y ) hängt unter H
nicht von der konkreten Verteilungsfunktion F1(x) ab. Daher kann man
mit ihrer Hilfe einen Test konstruieren, der immer das gewünschte
Niveau einhält, egal welches die zugrunde liegende Verteilung ist
(verteilungsfreier Test).
Die Verteilung von W(X, Y) unter H heißt Wilcoxon – Verteilung mit
den Parametern n und m , kurz Wiln,m .
Für kleine Werte von n und m sind die Quantile cn,m;β von Wiln,m
tabelliert. Meist findet man jedoch nicht cn,m;β selbst, sondern
un,m;β = cn,m;β –
(0)
,
die Quantile der sogenannten U – Statistik.
Für große n und m gibt es eine Normalverteilungsapproximation :
Satz 2.6 : (i) EH(W(X, Y)) = ½ n⋅m +
(0)
∙(00)
VarH(W(X, Y)) =
und
.
(ii) Unter H gilt für große n und m :
8 (, ) : =
7
9%:,;& –
⇒ cn,m; 1 – α ≈
Definition 2.7 :
<(=<=#)
∙<(=<=#)
>
#
(00)
d
≈ N(0, 1) .
+>
∙(00)
∙ ? – @ .
Der Wilcoxon – Test
H : F2(x) = F1(x)
gegen
K : F2(x) ≤ F1(x) , F2 ≠ F1
• verwirft H auf dem Niveau α , wenn
W(x, y) ≥ cn,m; 1 – α =
(0)
+ un,m; 1 – α .
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• hat den p – Wert
8 (
, 2) , für große n, m .
p(x, y) = 1 – Wiln,m(W(x, y)) ≈ 1 – Φ 7
Beispiel 2.8 : Ein Bauer möchte herausfinden, ob ein neuer Dünger,
der gerade auf den Markt kommt, einen besseren Ertrag liefert, als sein
bisher benutzter.
Hierzu plant er eine Stichprobe von n = 8 Beobachtungen
= ( , , … , ) ) (Verteilung F1) mit seinem bisherigen Dünger und
eine Stichprobe von n = 10 Beobachtungen = ( , , … , ( )
(Verteilung F2) mit dem neuen Dünger.
Mit dem Wilcoxon – Test soll zum Niveau α = 0,05
H : F2(x) = F1(x)
gegen
K : F2(x) ≤ F1(x)
getestet werden.
Aus der Tabelle erhält man den Wert u8,10; 0,95 = 59 und berechnet
(((0)
C8,10; 0,95 = 59 +
= 59 + 55 = 114.
Zum Vergleich der Wert, den die Normalapproximation liefert :
z0,95 = 1,64485 ;
)∙(()0(0)
c8,10; 0,95 ≈ 1,64485 ⋅ >
+
(()0(0)
= 18,51 + 95 = 113,51.
Jetzt werden die Daten erhoben :
j
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
105,7
95,3
85,4
102,6
98,1
97,1
104
102,4
und
j
yj
1
2
96,2 99,1
3
4
116
112
5
6
7
114,9 108,9 107
8
82
9
10
99,4 105,3
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Zur Berechnung der Rangsumme der yj sortieren wir die Daten der
Größe nach und unterstreichen die Zahlen, die Werte von einem yj
waren :
Rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Wert
82
85,4
95,3
96,2
97,1
98,1
99,1
99,4
102,4
Rang
10
11
12
13
14
15
16
17
18
107
108,9
112
114,9
116
Wert 102,6
104
105,3 105,7
Als Rangsumme der 2 , 2 , … , 2( erhalten wir :
W(x, y) = 1 + 4 + 7 + 8 + 12 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 =
= 112 < 114 = c8,10; 0,95 .
Also kann H : F2 = F1 nicht verworfen werden.
Mit Hilfe der Normalapproximation können wir einen Näherungswert für
den p – Wert der Beobachtungen angeben :
8 (
, 2) = 1 – Φ p(x, y) ≈ 1 – Φ 7
% –A+&
,+B*
≈ 1 – Φ(1,51 ) =
= 1 – 0,9332 = 0,0668 .
Dies deutet an, daß K : F2(x) ≤ F1(x) , F2 ≠ F1 nicht ganz abwegig
ist, aber mehr Daten erhoben werden müßten, um ein klareres Ergebnis
zu erhalten.