Topologie

Dr. F. Stoll
3. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 8.
Sei X ein topologischer Raum, A ∈ OX eine offene Teilmenge. Dann ist A topologischer Raum
versehen mit der Spurtopologie. Sei B ⊆ A. Zeigen Sie B ∈ OX ⇔ B ∈ OA .
Aufgabe P 9.
Sei X topologischer Raum, A, B ⊆ X.
(a) Zeigen Sie, dass A◦ ∩ B ◦ = (A ∩ B)◦ und A ∪ B = A ∪ B ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Aussagen A◦ ∪ B ◦ = (A ∪ B)◦ und A ∩ B = A ∩ B nicht wahr sind.
Aufgabe P 10.
Seien X und Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) f ist stetig, d. h. für alle x ∈ X und V ∈ Uf (x) ist f −1 (V ) ∈ Ux
ii) für alle x ∈ X und V ∈ Uf (x) gibt es eine Umgebung U ∈ Ux mit f (U ) ⊆ V
iii) V ∈ OY ⇒ f −1 (V ) ∈ OX
iv) B ∈ AY ⇒ f −1 (B) ∈ AX
Aufgabe P 11.
Sei X eine Menge, I eine Indexmenge, und für jedes i ∈ I ein topologischer Raum (Yi , OYi )
und eine Abbildung fi : X → Yi gegeben. Sei OX eine Topologie, dann sagen wir, dass die
Topologie OX die universelle Eigenschaft der Initialtopologie besitzt, wenn gilt:
Ist Z ein topologischer Raum, dann ist f : Z → X genau dann stetig, wenn fi ◦ f für alle i ∈ I
stetig ist. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Eigenschaft:
(a) Zeichnen Sie ein Diagramm auf, das die universelle Eigenschaft beschreibt.
(b) Ist OX eine Topologie mit dieser universellen Eigenschaft, dann sind die Abbildungen fi
stetig.
0
zwei Topologien auf X mit dieser universellen Eigenschaft, dann ist
(c) Sind OX und OX
0
0
idX : (X, OX ) → (X, OX ) ein Homöomorphismus, d. h. OX = OX
.
Aufgabe P 12.
Sei X = R2 mit der üblichen Topologie und R = {(x1 , x2 ) ∈ X | x1 , x2 ∈ [0, 1]} versehen mit
der Spurtopologie. Auf R definiert man eine Äquivalenzrelation durch
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⇔ x2 = y2 und (x1 = y1 oder x1 , y1 ∈ {0, 1}),
d. h. die rechte und die linke Seite des Quadrats werden miteinander identifiziert. Anschaulich
ist klar, dass ein Zylinder entsteht, eine entsprechende Abbildung wäre etwa gegeben durch
f : R/∼ → Z ⊆ R3 : (x1 , x2 ) 7→ (cos 2x1 π, sin 2x1 π, x2 ). Der Zylinder Z ist Teilmenge des R3
und wird mit der Spurtopologie zum topologischen Raum. Auf R/∼ hat man die Quotiententopologie. Zeigen Sie, dass die Abbildung f ein Homöomorphisus ist.
3. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Bemerkung: Wenn nichts anderes gesagt wird, ist der Rn mit der von der euklidschen Metrik induzierten Topologie versehen.
Aufgabe H 6. 1 Punkt
Sei X ein topologischer Raum, Y eine Menge und f : X → Y eine Abbildung. Dann ist Y
topologischer Raum mit der finalen Topologie. Y \ im f ist damit Unterraum. Zeigen Sie, dass
die Topologie auf Y \ im f die diskrete Topologie ist.
Aufgabe H 7.
3=2+1 Punkte
(a) Sei X ein topologischer Raum, ∼ Äquivalenzrelation auf X, π die kanonische Projektion
und X/∼ versehen mit der Quotiententopologie. Zeigen Sie: Ist f : X/∼ → Y Abbildung (Y topologischer Raum), dann ist f stetig genau dann, wenn f ◦ π stetig ist. Ist
darüberhinaus π offen, dann ist f offen genau dann, wenn f ◦ π offen ist.
(b) Auf X = R2 definiert man eine Äquivalenzrelation durch x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z2 . Zeigen
Sie, dass X/∼ homöomorph zum Torus (mit der Spurtopologie bzgl. T ⊆ R3 versehen)
ist.
Bemerkung: Bei diesem Teil muss man den Homöomorphismus nicht konkret angeben,
sondern man darf anschaulich erklären, was dieser tut. Um zu zeigen, dass diese Abbildung
ein Homöomorphismus ist, darf man ebenfalls anschaulich argumentieren. Das heißt aber
nicht, dass man die Begründungen weglassen darf!
Aufgabe H 8.
Zeigen Sie:
2 Punkte
Sei X Menge, (Y, OY ) topologischer Raum und f : X → Y Abbildung. Dann ist durch
OX = {f −1 (O) | O ∈ OY } eine Topologie auf X definiert. Diese ist die gröbste Topologie auf
X, sodass f stetig ist. Ist f surjektiv, so ist f offen.