Größenbereiche und Skalenbereiche

5/7/09
1.  Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.  Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1.31 Größenbereiche 1.  Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.  Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1.31 Größenbereiche 1.311 Beispiele von Größenbereichen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1.31 Größenbereiche 1.311 Beispiele von Größenbereichen Eine Größe wird stets mit Zahlenwert und Einheit angegeben: 7 m, 5 kg, 0,2 A, 10 N, 40°C. 1
5/7/09
Beispiele
Unter Größen werden messbare Eigenschaften von
Dingen und Vorgängen sowie Relationen zwischen
Dingen und Vorgängen verstanden.
(Weninger J.: Einheiten, Größen und Skalenwerte, Frankfurt 1968)
Dingen, die eine bestimmte messbare Eigenschaft
aufweisen, kann eine bestimmte Größe zugeordnet
werden.
Der Gegenstand repräsentiert die Größe, er ist ein
Repräsentant der Größe.
Größen, die scheinbar keine Einheit besitzen
Bogenmaß des Winkels (Verhältnis von Bogenlänge zum
Radius)
1m
Einheit
=1 Zählgröße
1m
Größen, mit denen man nicht wie üblich rechnen kann,
€ Beispiel Temperaturen:
zum
15°C und 20°C kann man nicht addieren
Repräsentanten Größen Einheiten Stäbe, Strecken, Wegstrecken, Streckenzüge, Kurven Längen 1 m, 1 km, 1 mm Flächenstücke, Oberflächen Flächeninhalte 1 m2, 1 mm2 Körper Volumina 1 m3, 1 cm3 Körper Massen 1 kg, 1 g Vorgänge Dauern, Zeitspannen 1 h, 1 min, 1 s Geldstücke, Münzen, Banknoten Geldbeträge 1 €, 1$, 1 sfr Größen können beliebig addiert werden, eine Subtraktion
ist nicht in allen Fällen möglich, da negative Größen
zunächst keinen Sinn haben.
Veranschaulichung durch Strecken:
gerichtete Strecken ungerichtete Strecken vektorielle Größen skalare Größen Multiplikation und Division von Größen miteinander ist in
der Physik üblich, führt aber aus dem Größenbereich
hinaus.
Multiplikation einer Größe mit einer Zahl ist möglich.
Größenvergleich von Größen ist möglich.
2
5/7/09
Unterschied zwischen „echten“ Größen und
„punktuellen“ Größen.
1.312 Definition des Größenbereichs
Die punktuellen Größen nennt man Skalenwerte.
( G, +, < ) heißt Größenbereich, wenn für a, b, c ∈ G gilt:
Analogie:
(1)  a + b = b + a
Kommutativgesetz
€
(2)  (a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativgesetz
(3)  a < b oder a = b oder a> b Trichotomiegesetz
(4)  a < b ⇔ Es gibt ein c, so dass (a + c = b)
Lösbarkeitsgesetz
Größen Skalenwerte Kardinalzahlen Ordinalzahlen Strecken Punkte auf der Zahlengerade Vektoren Ortsvektoren €
Satz
( IN*, +, < ), die Menge der natürlichen Zahlen mit der
Addition und der Kleiner-Beziehung ist ein
Größenbereich.
Satz
Die Menge der Längen bildet mit der Längenaddition
und dem Längenvergleich einen Größenbereich, den
Größenbereich der Längen.
1.313 Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft
Definition
Ein Größenbereich ( G , + , < ) besitzt die Teilbarkeitseigenschaft, wenn für alle n ∈ IN und alle a ∈ G ein x ∈ G
existiert mit n . x = a .
€
€
€
3
5/7/09
Satz
1.314 Größenbereich mit Induktionseigenschaft
Ein Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft besitzt
kein kleinstes Element.
Ein Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft kann die
Induktionseigenschaft nicht besitzen, da es darin zu
einem Element keinen unmittelbaren Nachfolger gibt.
Satz
Ein Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft besitzt
zu zwei Elementen a und b stets ein Element g ,
das zwischen a und b liegt, für das also gilt
a < g < b , falls a < b .
1.315 Rechnen in einem Größenbereich
Definition des Verteilens
Rechenregeln
Gibt es zu einer natürlichen Zahl n und zu einer
Größe h eine Größe g mit ng = h , so heißt g der
n-te Teil von h.
Schreibweise: g = h:n
(1)  a < b und b < c ⇒ a < c
Transitivität
(2)  a < b ⇒ a + c < b + c
starke Monotonie
(3)  Zu jedem Element eines Größenbereich gibt es ein
größeres.€
€a + c = b + c ⇒ a = b
(4) 
Kürzungsregeln
(5)  a + c < b + c ⇒ a < b
€
Vervielfachen
einer Größe mit einer natürlichen Zahl:
Für g ∈ G€ und n ∈ IN sei
1.g=g
(n + 1) . g = ng + g
€
Definition des Aufteilens
Gibt es zu zwei Größen g und h eine natürliche Zahl
n , so dass ng = h ist, so heißt n das Verhältnis der
Größen h zu g .
Schreibweise: n = h:g
Man sagt auch: n ist das Ergebnis des Aufteilens von
h mit g. Oder: h gemessen mit g ist n .
€
4
5/7/09
1.316 Einführung von Größen im Schulunterricht
Schulbuchseiten (Andelfinger-Nestle: Mathematik M-6, Herder Freiburg o.J.
Stufen bei der Bildung von Größen:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Stufe des direkten Vergleichs
Stufe der Ordnung
Stufe der Äquivalenzklassenbildung
Stufe des mittelbaren Vergleichs
Stufe des mittelbaren Vergleichs mit normierten
Vergleichsgrößen
Stufe des Messens
5
5/7/09
1.32 Skalenbereiche
1.321 Beispiele für Skalenbereiche
Skalenwerte Beispiele mit Einheiten Bezogen auf den Nullpunkt Ort (Ortspunkt) 85 km Kilometerstein 420 Ein bes(mmter Ort, z. B. Rom Termin, Zeitpunkt 15 Uhr MEZ, 19:45 Uhr OEZ 27. Woche 18. Jahrhundert Das Jahr 2000 Midernacht nach MEZ bzw. OEZ, Neujahr nach den gregorianischen Kalender, Chris( Geburt Richtung 15° NzO Nordrichtung Höhenlage 2700 m über NN 20 m Depression Normal Null (Meereshöhe) Pegelstände 2,70 m Koblenz die in Koblenz festgelegte Nullpegelmarke Temperaturen, Wärmezustände 20°C, 293°K Nullpunkt der Celsiusskala, „absoluter Nullpunkt“ Elektrisches Poten(al 5000 V gegen Erde Erdpoten(al Energieniveau 100 eV Null‐Energie‐Niveau 1.322 Definition des Skalenbereichs
Eine linear geordnete Menge ( S, < ) heißt
Skalenbereich, wenn es einen Größenbereich ( G, +, <)
gibt, so dass gilt
(1)  Jedem Paar von Skalenwerten (s,t) ∈ S×S mit s < t
ist eindeutig ein g ∈ G zugeordnet.
Schreibweise: g = |s;t|
Sprechweise: g ist der Abstand
€ von s nach t.
(2) Für alle s,€t, u ∈ S gilt:
Wenn s < t < u , dann |s;t| + |t;u| = |s;u|
(3)  Zu jedem s ∈ S und jedem g ∈ G gibt es ein t ∈ S
mit |s;t|
€=g.
G heißt der S zugeordnete Größenbereich.
€
€
€
6
5/7/09
Definition der Koordinaten
1.323 Diskreter Skalenbereich
Ist in einem Skalenbereich a ein fest gewähltes Element,
dann heißt für jedes s mit a < s die Größe |a;s| die
Koordinate von s bezüglich a.
a nennt man den Koordinatenursprung.
Definition
1.324 Symmetrischer Skalenbereich
1.325 Operatoren auf Skalenbereichen
Ein Skalenbereich ( S , < ) heißt ein diskreter
Skalenbereich, wenn sein zugeordneter Größenbereich
G isomorph zur Menge der natürlichen Zahlen ist.
Definition
Ein Skalenbereich ( S, < ) mit zugeordnetem
Größenbereich G heißt symmetrischer Skalenbereich,
wenn es zu jedem s ∈ S und jedem g ∈ G ein t ∈ S
gibt mit t < s und |t;s| = g .
€
€
€
7
5/7/09
1.326 Didaktische Überlegungen zum Thema Skalenbereichen
Rechnen mit Operatoren
8
5/7/09
9