Formalistische Betrachtungen über intuitionistische und verwandte

MATHEMA TICS
FORMALISTISCHE BETRACHTUNGEN ÜBER INTUITIONISTISCHE UND VERWANDTE LOGISCHE SYSTEME I
BY
J. RIDDER
(Communieateu by Prof. L. E. J.
BROUWER
at the meeting of February 25, 1950)
Im Jahre 1879 hat G. FREGE in seiner "Begriffsschrift" den Aussagenkalkül in fast vollendeter Form entwickelt; es war der erste Kalkül
mit einer explizit formulierten Umformungsregel (die sogenannte Abtrennungsregel); eine Einsetzungsregel war noch nicht vorhanden. 1)
Damit war der Weg über die Boolesche Algebra ("algebra of logic")
verlassen ; die Logistik hatte einen Anfang genommen. Man kann diese
Entwicklung nur als notwendig betrachten; denn, wie JOERGENSEN in
seinem "Treatise of formal logic", Vol. 2 (1931), S. 144 bemerkt, " the
algebra of logic is a purely formal calculus, the fundamental principles
and theorems of which express those formal qualities which are common
to different groups of objects such as propositions, classes, relations and
areas; ... ; common to all these forms of calculus is the fact that they
assume the validity of a series of principles of inference, which are not
expressly formulated, but are constantly brought into use in the proofs;
th is logical imperfection can, however, be removed, ... ; this is provided
in Logistics, ... " Viele Axiomensysteme des Aussagenkalküls wurden
nachher gebildet (RUSSEL-"\VHITEHEAD; NICOD; LUKASIEWICZ; HILBERTACKERMANN; HILBERT-BER~AYS; u.s.w.). Dabei wurde auf Anschlusz
an die Boolesche Algebra nicht geachtet.
In einer in Proceed. Kon. Ned. Akad. Wet. Amsterdam 49 (1946),
50 (1947) erschienenen Arbeit zeigte ich nun, dasz es sehr wohl möglich
ist die in einer Booleschen Algebra vorkommenden, anschaulichen
Elementen zu einem Aufbau eines Axiomensystems für den klassischen
Aussagenkalkül zu benutzen. Durch Hinzufügung der Axiome ;. --+ X
und X --+ v 2) zum R USSELL-WHITEHEADschen System wird dies völlig
gleichwertig mit einer Booleschen Algebra, faIls man einige der Axiome
dieser Algebra als Umformungsregeln deutet, und auszerdem eine
Einsetzungsregel hinzufügt.
1)
Hiehe H. HER MES unu A. SCHOLZ, Ein neuer Vollständigkeitsbeweis fiir das
reduzierte Fregesehe Axiomensystem des Aussagenkalküls. Forsehungen zur Logik.
Neue Folge, 1 (1937).
2) Zu interpretieren als "aus einer falsehen Aussage Iäszt sieh jecle Aussage,
aus einer jeden Aussage Iäszt sieh eine wahre Aussage folgern".
328
Man kann sich nun die Frage vorlegen ob nicht auch für den
intuitionistischen Aussagenkalkül (in der HEYTINGschen Symbolisierung 3))
ein gleichartiger Aufbau, also ein Aufbau, welcher sich möglichst eng
an die Theorie der Strukturen ("lattices") anschlieszt, möglich sei. Wie
wir sehen werden, läszt sich diese Frage bejahend beantworten. 4 ) Das
neue Axiomensystem läszt sich zu einem Axiomensystem für den
intuitionistischen Prädikatenkalkü1 6 ) erweitern.
Dual gegenüber diesen Systemen stehen zwei weitere im folgenden
untersuchte Systeme, welche u.a. die folgenden bemerkenswerten Eigenschaften haben: 1° in ihnen gilt das principium tertii exclusi, das
principium contradictionis dagegen nicht; 2° die bekannten GÖDELSchen
Deutungen der klassischen Aussagen- und engeren Prädikatenlogikinnerhalb der zugehörigen intuitionistischen 8) korrespondieren mit analogen
Deutungen innerhalb der dualen Kalküle.
Zur Erleichterung der Lektüre geben wir hier schematisch die gegenseitigen Verhältnisse der verschiedenen aussagenlogischen Axiomensysteme: A 1 :::lA 2 :::lM:::lI:::lK=K'CrCM'CA;CA;; 1 ist ein
intuitionistischer Aussagenkalkül, r der zu diesem dualen Kalkül;
K = K' ist der klassische Aussagenkalkül; M deutet einen Minimalkalkül im Sinne von JOHANSSON 7) an. In Al sind die Axiome la, 2a , 3°,
und die Schluszregeln E, Eo, lP, 2/3; in A 2 kommen hinzu Axiom 4a ,
Regel 413; in M auszerdem Ax. 6a , Ax. 613 (= 7'); in I noch Ax. 5°;
schlieszlich in K Ax. 7° (= 613'). Für die mit einem Asterisk angedeuteten dualen Systeme der vorigen sind Axiome und Regeln: für
A~, la, 4a , 5°; E', E~, lP, 413; für A; daneben ~; 213 ; für M' noch
6a', 613' (= 7°); für r noch 3°; für K' 7' (= 613). Nur die Regeln
Eo, E~ und die Axiome 6a ,6a ' lassen sich nicht in eine in der Booleschen
Algebra geläufigen Form bringen; nur durch diese unterscheiden sich
die Kalküle K und K' (scheinbar) voneinander.
Anwendung der GENTzENschen Schluszweisenkalküle 8) führt zu einigen
3) Siehe A. HEYTING, Sitz. ber. Preusz. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl., 1,
42-56, (1930).
') Die Antwort wird nicht geliefert durch die von GABRETl' BIRKHOFF konstruierte "Brouwerian logic" (siehe etwa G. BIRKHOFF, Lattice theory, Rev. Ed.
1948, Chapter 12), von MeKrNsEY und TABSKI mehr zutreffend "Brouwerian
algebra" genannt (siehe Me KINSEY a. TARSKI, Annals of math. 47, 122-162,
(1946), insbes. S. 124); denn als "Logik" betrachtet sind gegen diese Algebra
dieselben Einwände zu erheben wie im J OERGENSENSchen Zitate gegAn die
Boolesche Algebra.
5) Siehe HEYTING, loc. cito 3), 57 -65.
') Siehe K. GÖDEL, Ergebnisse e. math. Koii. herausgegeben von K. MENGER,
Heft 4, 34-38, (1933); auch D. VAN DANTZIG, Proceed.'Kon. Ned. Akad. v. Wet.
Amsterdam 50, 918-929, (1947), insbes. S. 923, 924. 7) Siehe I. JOHANSSON, Comp. math., 4, 119-136, (1936).
8) Siehe G. GENTZEN, Math. Ztschr., 39, 176-210, 405-431, (1935).
329
weiteren Resultaten. Zu jedem der eben genannten Axiomensysteme
gehört ein "Kalkül des natürlichen Schlieszens" und ein "logistischer
Kalkül". Es wird u.a. gezeigt, dasz es im "logistischen Kalkül" für K
schon genügt, in Abweichung von GENTZEN, nur im Schema NES
mehrgliedrige Sukzedentia (im Sinne von GENTZEN) zuzulassen; diese
Bedingung ist dann auch notwendig, da man sonst zum intuitionistischen Kalkül käme. 9)
Eine affirmative 10) Aussagenlogik Al.
§ 1. Elementare Aussagen (elementare Kalkülformeln) sollen durch
grosze lateinische Buchstaben angedeutet werden. 11) Undefinierte Grundverknüpfungen sind die Implikation C und die Verknüpfung der Konjunktion "Und", angedeutet durch . ; die Relationen, welche man
zwischen diesen Verknüpfungen annehmen solI, sind in den nachfolgenden
Axiomen enthalten.
Einsetzungsregel E (erster Teil). Aus einer Kalkülformel erhält
man wieder eine Kalkülformel, wenn man einen in ihr auftretenden
groszen lateinischen Buchstaben durch eine Kalkülformel ersetzt (gleichgestaltete Buchstaben durch gleichgestaltete Formeln); dab ei sind die
groszen lateinischen Buchstaben und vals Kalkülformeln anzusehen,
ferner mit ffi und 6 auch ffi· 6, und ffi C 6. 12)
Einsetzungsregel E (zweiter Teil). Läszt sich (auf Grund der
nachfolgenden Axiome und Schluszregeln) schreiben 21 C ~, mit 21 und ~
Kalkülformeln, und sind 'Il und G: aus 21 bezw. ~ mittels der Einsetzungsregel E (erster Teil) hervorgehende Kalkülformeln, wobei sowohl in
21 wie in ~ vorkommende gleichgestaltete Buchstaben in beiden nicht
oder in beiden an allen Stellen durch gleichgestaltete Kalkülformeln
ersetzt sind, so läszt sich auch schrei ben 'Il C G:. 12)
Axiom la. XC X.
Schluszschema lP.
Definition.
21 =
~
2lC\B \BCG:
2lC(r
ist eine kürzere Schreibweise von:
~ C
Satz 1.
X
=
21.
X (die Gleichheitsrelation ist reflexiv).
(S c h I u s z s c hem a).
Satz 2
symmetrisch) .
21 = \B
\B = 21
(die Gleichheitsrelation ist
9) Unsere Darstellung von Kalkülen NI, NK, LI und LK zeigt noch einige
weitere Abweichungen; so lassen wir u.a. in den Schluszfiguren keine leeren
Antezedentia und Sukzedentia zu; die G. Verfahren bleiben dabei doch im wesentlichen beibehalten.
10)
"Affirmativ", weil die Implikation X C Y in Al sich interpretieren läszt
als "die Affirmation von X zieht die Affirmation von Y nach sich".
11) Also durch A, B, C, ... ; doch auch Al' Bl' Cl· .. ; A2' B2'· .. ; A n , •••
(n eine natürliche Zahl).
12) Grosze deutsche Buchstaben werden immer Kalkülformeln andeuten.
22
330
m:-~~-lt
Satz 3 (Schluszschemata).
ist transitiv).
Axiom 2U •
m:= lt
(die Gleichheitsrelation
(X. Y) C X und (X. Y) C Y.
fJ
Schluszschema 2.
ltCm: ltC~
lt C (m:. ~) .
Satz 4 (Schluszschema). (
Satz 5.
Satz 6.
Satz 7.
-
m:=m:
) 1
m: . ~ =
~=~
(
1)
m: 1 • ~1
[(X. Y) .Z] = [X. (Y .Z)].
(X.Y)= (Y.X).
(X.X)=X.
m:C~
t z
8 c
(S hl us z s c h e ma.) ( m: . !B) = m: un
Sa
Ersetzungsschema (ta) Eo·
d(m:·!B)=~(
m: C!B
.
m: C [!B C lt]
(m:. !B) C lt .
(m:.!B) C lt und m: C [!B C lt] 13).
Mit Schema lP korrespondiert der
Satz 9. [(XCY).(YCZ)]C(XCZ).
Beweis. (Ax. la, Regel E) (X C Y) C (X C Y); (Sch. Eo, Satz 6,
Regeln E, lil) [X. (X C Y)] C Y; (Regel E, Ax. 2U ) [(X C Y). (Y C Z)] C
C(YCZ); ([X.(XCY)].[(XCY).(YCZ)]}C[Y.(YCZ)]; {[(XCY).
(YCZ)].X}C[Y.(YCZ)]. Daneben: (Sch. Eo) [(YCZ).Y]CZ. Also
(Sch. IfJ) {[(X C Y). (Y C Z)]. X} C Z, oder (Sch. Eo) [(X C Y). (Y C Z)] C
C [X CZ].
Mit Schema 21l korrespondiert der
Satz 10.
[(XCY).(XCZ)]C[XC(Y.Z)].
Beweis. (Ax. IU, Regeln E, Eo) [(X C Y). X] C Y, [(X C Z). X] C Z,
also (2 U , lil, 21l) [{(X C Y). (X C Z)}. X] C (y. Z); (Eo) Satz 10.
Satz 11 (Abtrennungsregel A).
v
C
[~l C ~
v
Beweis.
v
cm:
C [m: C !B] (S hE)
(v.m:)C!B
c. 0
v
Axiom 3°.
v
!B
X CV
C !B
14).
Definition. Ein Ausdruck v C m, oder, was wegen Axiom 3° und
Regel E auf dasselbe hinauskommt, v = m, entstanden nach endlichmaliger Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata), ist
ein (aftirmatives) Theorem.
13)
Interpretation: "Aus der Assertion von
m:
folgt, dasz die Assertion von
!B die von lt ergibt" ist aequivalent mit "aus der Assertion von m: und von
folgt die von lt".
~
14) Interpretation: Die Assertion einer willkürlichen Aussage (ob wahr oder
falsch) liefert die Assertion einer wahren Aussage v.
331
Sah l2 {Schluszschemata). Ist 21 C ~ ein Satz, somit durch
endlichmalige Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata)
ableitbar, so ist v C [21 C~] ein Theorem, und umgekehrt.
Beweis. 21 C ~, (2 a , E) (v· 21) C 21, also (lP) (v· 21) C ~, (Eo) v C [21 C ~].
Umgekehrt: vC[21C~], (Eo) (v·2l)C~; (3°, I", E, 213 ) 21C(v·21);
{lP) 21 C ~.
Mit Schema Eo korrespondiert
Satz 13. {XC[YCZ]}={(X.Y)CZ}.
Beweis. [{X C [YCZ]}.X. Y] C (Eo) {[YCZ]. Y} C (Eo) Z, oder (Eo)
{X C [Y C Z]} C {(X. Y) C Z}.
Umgekehrt, [(X. Y) C Z] C (Satz 9, Sch. Eo) {[Y C (X. Y)] C (Y C Z)},
also I {X C [Y C (X . Y)]} . [(X. Y) C Z] ] C [ {X C [Y C (X . Y)]} . {[Y C
C (X. Y)] C (Y C Z))], oder (Regein Eo, A) [(X. Y) C Z] C [{X C [Y C
C (X. y)]). {[Y C (X. Y)] C (YCZ)}] C (S. 9) [X C (Y CZ)], [(X. Y) CZ] C
C[XC(YCZ)].
Satz 14 (Schluszschema).
Beweis.
~l= ~l
~
= ~nl
(~C ~) = (~1 C ~1)'
Mit S. 9, S. 12, Eo, A und lP.
Bemerkung. I Unter Annahme der Axiome I", 2", 3° und der
Regeln E, lP, 2/3 läszt sich zwar, nach Satz 1I, die Abtrennungsregel A
aus dem Ersetzungsschema Eo ableiten; das Umgekehrte gilt jedoch nicht.
Das folgt sofort aus einem Beispiel in HILBERT·BER:NAYS, Grundlagen
der Mathematik I (1934), S. 77, welches zeigt, dasz mit den Axiomen
la, 2", 3° 15) und den Regeln E, A, lP und 2P sich die Kalkülformel
XC (Y C X) nicht ableiten läszt, während sie sofort ableitbar wird,
wenn man Regel A durch Regel Eo ersetzt.
Bemerkung 11. Nicht alle Theoreme haben die Form v C [21 C
(siehe Satz 12). Denn das Schluszschema 213 gibt unmittelbar
(S)
VC~
~]
vcm
vC(~·m)
Bemerkung lIL Obiges Axiomensystem für Implikation und Konjunktion ist, so weit es die affirmativen Theoreme betrifft, gleichwertig
mit dem mit unserem Axiom 3° [XCv und vC(XCv)] erweiterten System der
Formeln, die HEYTING in seiner Formalisierung der intuitionistischen
Logik, loc. cito 3), S. 45-47 (§§ I U. 2) für diese Verknüpfungen aufgestellt
hat 15biB); nur so11 man, loc. cit., überall die Zeichen /- und /. /- durch v C oder
v = ersetzen; die Ersetzungsregel Eo und der bei HEYTING korrespondierende Satz 2.27 machen die Ableitung dieser Behauptung ganz leicht.
Man füge v immer den Wert a hinzu.
U nd dadurch auch gleichwertig mit dem System der Axiome I, 1 - 3;
Il, 1-3, Einsetzungsregel und Abtrennungsregel in HILBERT·BERNAYS, Grund·
lagen der Math. I, 66 (1934), vermehrt mit dam Axiom X C v (ader X --->- v).
15)
15bis)
332
und das zugehörige Axiom 3° übernehmen hier in gewissem Sinne die
Rolle der üblichen Assertionszeichen; die Klassen der affirmativen
Theoreme, welchev nur amAnfang enthalten (vC), und der HEYTINGschen
Theoreme (somit bewiesen ohne Axiom 3°) fallen zusammen 16); hier
gibt es noch Sätze, welche die Form m: C 58 haben mit m: von 'JI verschieden, und Theoreme v C m:, mit 'JI au eh in m: vorkommend.
'JI
Eine verneinende (negierende) 17) Aussagenlogik
A~.
§ 2. Elementare Aussagen: A, B, ... ; Al' ... ; A 2 , ••• ; ••• Grundverknüpfungen: Implikation C, Disjunktion "oder" , angedeutet durch
Einsetzungsregel E· (erster Teil). Aus einer Kalkültormel erhält
man wieder eine Kalkülformel, wenn man einen in ihr auftretenden
groszen lateinisehen Buehstaben dureh eine Kalkülformel ersetzt (gleichgestaltete Buehstaben dureh gleiehgestaltete Formeln); dabei sind die
groszen lateinisehen Buehstaben und À. als Kalkülformeln anzusehen,
ferner mit ffi und 6 aueh ffi
6, und ffi C 6. 12)
Einsetzungsregel E· (zweiter Teil). Läszt sieh (auf Grund
der nachfolgenden Axiome und Sehluszregeln) sehreiben m: C 58, mit
m: und 58 Kalkülformeln, und sind 'l) und Q: aus m: bzw. 58 mittels der
Einsetzungsregel E· (erster Teil) hervorgehende Kalkülformeln, wobei
sowohl in m: wie in 58 vorkommende gleiehgestaltete Buehstaben in
beiden nicht oder in beiden an allen Stellen dureh gleiehgestaltete
Kalkülformeln ersetzt sind, so läszt sich aueh sehreiben 'l) C Q:. 12)
Axiom 1°. XC X.
21C\B \BCG:
Schluszschema lP.
21 CG:
+.
+
Definition von
m: =
58, und die Sätze 1-3 bleiben ungeändert.
18) Man hat nur zu zeigen, dasz jede Ableitung, welche in der Logik Al zu
einem affirmativen Theorem, mit 11 nur am Anfang, führt, ersetzt werden kann
durch eine Ableitung, bei der: 1° am Anfang jeder auftretenden Kalkülformel 11 C
steht; 2° in jeder Formel 11 C 21 21 11 nicht enthält; 3° Axiom 3° nicht benutzt wird.
ad 1°: Wegen Satz 12 lassen sich die Formeln in den Axiomen 1°, 2" und den
Regeln Eo, lP, 2 P durch 11 C vorangehen; sie werden so zu Formeln und Regeln
im HEYTINGSchen System.
ad 2°: Do., wegen Ax. 3° und Satz 12, 11 C (X C X) C 11 oder 11 =. (X eX),
darf man in jeder in der Ableitung auftretenden Formel 11 durch X .. C X.. (n eine
genügend hohe natürliche Zahl, damit X .. nicht schon in der Ableitung vorkäme)
ersetzen; dies ist eine Folge der Sätze 4 und 14.
ad 3°: In der ursprünglichen Ableitung konnte 11 nur auf zwei Weisen eingeführt
werden: I. mit Regel E allein; dies wird nun geändert in eine Einführung von
X .. C X .. mittels derselben Regel; 11. mit Ax. 3° und Regel E: 21 C 11; dies ist
zu ersetzen durch: (Ax. 2°, geändert wie ad 1° angegeben) 11 C [(21· X .. ) C X ..];
(Eo, geändert wie ad 1° angegeben) 11 C [{21 C (X.. C X .. )}].
17)
"Verneinend", weil die Implikatior. XC Y in A~ sich interpretieren
läszt als "die Negation von Y kann nur mit der Negation von X koexistieren".
Dies führt zu entsprechenden Deutungen für alle hier folgenden Axiome und
Schluszregeln. Siehe auch Fuszn. 18 und 19.
333
Axiom 4a •
X C (X + Y), 18) und Y C (X + Y).
Schluszschema 4P.
~C~
~C~
(~+~) C ~
~= ~1
~= ~1
Satz 15 (Schluszschema). (~+~) = (~1+ ~1)
Satz 16.
Satz 17.
Satz 18.
[(X + Y) + Z] = [X + (Y + Z)].
(X
Y) = (Y + X).
(X + X)= X.
+
~C ~
d
) (~+~)=~un
S atz 19 ( S c hl uszsc h emata.
(~+ ~) = ~
~C~
.
• [~C fB] C \11
~ C (fB + 21) 19
Ersetzungsschema(ta) Eo. ~C(~+21)und[~C~]C21 ).
Mit Schema lP korrespondiert der
Satz 20. (Z C X) C [(Z C Y) + (Y C X)].
Beweis. (YCX)C(YCX); (Sch. E~, Satz 17, Regeln E', lP)
Y C [(Y C X) + X]; (Regel E', Ax. 4a ) (Z C Y) C [(Z C Y) + (Y C X)];
[(Z C Y) + Y] C {[(Z C Y) + (Y C X)] + [(YCX)+XJ); [(ZC Y)+ Y]C
C
C Y) + (Y C X)] + X}. Daneben: (Sch. E~) Z C [Y + (Z C Y)].
Also (Sch. 11~) Z C {[ (Z C Y) + (Y C X)] + X}, oder (Sch. E~) (Z C X) C
([ez
C [(Z C Y) + (Y C X)].
Mit Schema 4/1 korrespondiert der
Satz 21. [(Z + Y) C X] C [(Z C X) + (Y C X)].
CÀ
S atz 22 (Ab trennungsrege.
I A ') (~C \11) ~
C
Beweis.
À
\11 C
À 20).
(~ C 21) C À (Sch E')
21 C À
À C À pu, E') (Sch. 4P)
_~_C--,(_~--,+,---,-À) _ _•_ 0--:-:--:=-= __--'-(~_1-'-+_À....:...)_C_À_
(Sch. lP).
~CÀ.
Axiom 5°.
), C X 21).
Definition. Ein Ausdruck 2( C À, oder, was wegen Axiom 5° und
Regel E' auf dasselbe hinauskommt, 2( = À, entstanden nach endlichmaliger Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata), ist
ein negierendes Theorem.
Es wird schon deutlich sein, dasz folgendes Dualitätsprinzip besteht:
Die Axiome, Schluszregeln, Sätze und Theoreme der affirmativen A ussagenlogik stehen dual gegenüber denen der verneinenden A ussagenlogik .
+
Deutung: Die Verneinung van X
Y hat die Verneinung van X zur Falge.
Deutung: "Die Verneinung van 21 gibt, dasz die Verneinung van ~ die
van ~ zur Falge hat" ist aequivalent mit "die Verneinung van ~
~ (d.h. die
Verneinungen van ~ und van ~) hat die van ~ zur Falge".
20)
Deutung: Sind ~ C ~ und ~ falsche Aussagen, sa auch ~. Ausführlicher:
21 C À drückt die Negatian van ~ aus (denn À ist eine falsche Aussage); (~C~) C }.
ader ~ C (~+ }.) drückt aus (siehe Fuszn. 19), dasz die Negatian van ~ die van
~ zur Falge hat. Samit führt dies zur Negatian van ~ ader zu ~ C}..
21) Eine falsche Aussage impliziert jede Aussage.
18)
19)
+
334
Letztgenannte Logik geht mittels folgender Umsetzungen aus der ersten
hervor: a) man ändere in jeder Formel von § 1 . in +, v in A; fJ) m: C ~
werde durch ~ C 2i: ersetzt; dabei sollen
und ~ die gemäsz a) und fJ)
aus m: bzw. ~ hervorgehenden Kalkülformeln sein. 22)
Dadurch können wir die Beweise der folgenden Behauptungen unterdrücken.
Satz 23 (Schluszschemata). Läszt sich durch endlichmalige
Anwendung von Axiomen und Schluszregeln ableiten ~ C m:, so ist
[~ C m:] C A ein negierendes Theorem, und umgekehrt.
Mit Schema E~ korrespondiert
Satz 24. {Z C (Y + X)} = {(Z C Y) C X} .
Satz 14 (Schluszschema) bleibt ungeändert gültig.
m
Bemerkung 1. Unter Annahme der Axiome la, 4 a, 5° und der
Regeln E·, lP, 4P läszt sich die Abtrennungsregel A· aus dem Ersetzungsschema E~ ableiten; das Umgekehrte gilt jedoch nicht.
Bemerkung Il. Nicht alle verneinenden Theoreme haben die Form
Cm: C ~] C A. Denn es läszt sich folgendes Schluszschema ableiten:
~Ci.
(S·)
\BCi.
(~+\B)Ci.
.
Affirmative Aussagenlogik A 2 •
§ 3. In diesem Par. wird das Axiomensystem von § 1 angenommen
und . fortgesetzt. In der Einsetzungsregel E nehme man ffl + el auf
(neben ffl· el und ffl Cel).
Axiom 4a • X C (X + Y) 23) und Y C (X + Y).
P ~CQ:
\BCQ:
Schluszschema 4. (~+ \B) C Q:
Hier geIten nun auch die Sätze 15-19.
Satz 25. [(X + Y) .Z] = [(X. Y) + (X .Z)] (die Logik A 2 ist eine
distributive Struktur).
+
Beweis. (X .Z) C (Ax. 4a ) [(X .Z) (Y .Z)], also (Regel Eo) XC [Z C
C {(X .Z)+ (Y .Z))]; ebenso YC [ZC {(X .Z)+ (Y .Z))]; (Sch. 4P) (X+ Y)C
C [Z C {(X. Z) + (Y . Z) }]; (Regel Eo) {(X + Y). Z} C {(X . Z) + (Y . Z)}.
Umgekehrt, (X. Y) C [X. (Y + Z)], und (X .Z) C [X. (Y + Z)], also
{(X.Y)+ (X.Z)}C [X.(Y+Z)].
Satz 26. [(X. Y) Z] = [(X
+
+ Z). (Y + Z)] 24).
~ = \B geht somit in ~ = \B über.
Deutung: Die Assertion von X hat die von X oder die von Y zur Folge.
Verg!. die Deutung in Fuszn. 18.
2&) Dieser Satz läszt sich ohne Benutzung von Schema Eo und Axiom 3° aus
Satz 25 ableiten. Siehe V. GLlVENKO, Théorie générale des structures. Act. sci.
Paris, S. 32 (1938).
22)
23)
335
In der Logik A 2 gibt es eine teilweise Dualität: Zu jedem mit den
Axiomen la, 2u , 4u , den Regeln E, 1/1, 2/1, 4/l und den Sätzen 21 und 22
(also ohne Anwendung von Ax. 3° und ohne weitere Anwendung von
Schema Eo, welches bei der Ableitung der eben genannten Sätze benutzt
wurde) ableitbaren Satz erhält man einen dualen, wenn: a) in jeder
vorkommenden Kalkülformel + durch ., und umgekehrt, ersetzt wird;
(3) 2l C ~ durch \B C
ersetzt wird; dab ei sollen
und \B gemäsz a)
(ohne (3)) aus 2l bzw. ~ hervorgehende Kalkülformeln sein. 22)
Schluszschema 4/1 korrespondiert mit
Satz 27. [(XCZ).(YCZ)]C[(X+Y)CZ].
m
m
Beweis. [X.(XCZ)]C(RegeIEo)Z; [Y.(YCZ)]CZ; (Sch.4 P)
[{X. (XCZ)}+ {y. (YCZ)}]CZ; (Satz25) [(X+ Y). (XCZ). (YCZ)]CZ;
(Regel Eo) [(X C Z). (Y C Z)] C [(X
Y) C Z].
+
Bemerkung A. Das Axiomensystem der Logik A 2 ist, so weit es
die affirmativen Theoreme betrifft, gleichwertig mit dem mit unserem
Axiom 3° [X Cv und v C (X Cv)] erweiterten System von HEYTING,
loc. cito 3), S. 45-48 (§§ I, 2 u. 3) 25); über v, ;. und j.;' ist dabei
dasselbe zu sagen wie in Bemerkung III von § 1. Neben der Klasse
der mit den HEYTINGSchen Theoremen zusammenfallenden affirmativen
Theoreme, welche v nur am Anfang enthalten (v C), 26) gibt es hier
auch noch Sätze der Form 2l C ~ mit von v verschiedenem 2l, und
Theoreme v C 2l, wobei v auch in 2l vorkommt.
+
Bemerkung B. Ist v C 2l ein Theorem, so auch v C (2l ~), wobei
eine willkürliche Formel.
§ 3bis • Hinzufügung des Axioms 5° (§ 2) würde zu einer Erweiterung
der teilweisen Dualität führen; unter a) im vorigen Par. könnte man
dann Ersetzung von À durch v, und umgekehrt, hinzufügen.
~
Verneinende A ussagenlogik
A;.
§ 4. In diesem Par. wird das System von § 2 angenommen und
fortgeführt. Diese Fortführung wird so gewählt, dasz die Axiome, Schluszregeln, Sätze und Theoreme der assertorisch en Logik A 2 dual gegenüber
denen der verneinenden Logik A; stehen. Letztgenannte Logik geht aus
der ersten mittels folgender Umsetzungen hervor: al) man ändere in
den Formeln von §§ I, 3 . in
und umgekehrt, À in v, und umgekehrt;
(31) 2l C ~ werde ersetzt durch \B
dabei sollen
und ~ die gemäsz
al) und (31) aus 2l bzw. ~ hervorgehende Kalkülformeln sein.
In der Einsetzungsregel E' (erster Teil) nehme man ffi· 6 auf (neben
ffi + 6 und ffi C 6).
+,
cm;
m
25)
Und ebenso mit dem System der Axiome I, 1-3; lI, 1-3; lIl, 1-3,
Einsetzungsregel und Abtrennungsregel in HILBERT.llERNAYS, loc. cito 16), S. 66,
vermehrt mit dem Axiom X C v (oder X -+ v).
26)
Der Beweis der Aequivalenz der hier betrachteten Klassen verläuft wie
der Bewcis in Fnszn. 16 (ad 2°: hier kommt Satz 15 hinzn).
336
Axiom 2'>. (X. Y) C X und (X. Y) C Y.
{J
[C2! [C58
SchIuszschema 2.
[C (2! . 58)
In A; geIten somit auch die Sätze 4-8, 25 und 26; auch A; ist eine
distributive Struktur.
In der verneinenden Aussagenlogik A; gibt es eine teilweise Dualität
(vergl. §§ 3, 3bia ) .
Mit SchIuszschema 2{J korrespondiert nun der
Satz 28. [Z C (X. Y)] C [(Z C X)
(Z C Y)].
+
Bemer kung. Ist 2t C ;, ein verneinendes Theorem,
mit ~ eine willkürliche KalküIformel.
80
auch
(2t.~)
C ;',