MATHEMA TICS FORMALISTISCHE BETRACHTUNGEN ÜBER INTUITIONISTISCHE UND VERWANDTE LOGISCHE SYSTEME I BY J. RIDDER (Communieateu by Prof. L. E. J. BROUWER at the meeting of February 25, 1950) Im Jahre 1879 hat G. FREGE in seiner "Begriffsschrift" den Aussagenkalkül in fast vollendeter Form entwickelt; es war der erste Kalkül mit einer explizit formulierten Umformungsregel (die sogenannte Abtrennungsregel); eine Einsetzungsregel war noch nicht vorhanden. 1) Damit war der Weg über die Boolesche Algebra ("algebra of logic") verlassen ; die Logistik hatte einen Anfang genommen. Man kann diese Entwicklung nur als notwendig betrachten; denn, wie JOERGENSEN in seinem "Treatise of formal logic", Vol. 2 (1931), S. 144 bemerkt, " the algebra of logic is a purely formal calculus, the fundamental principles and theorems of which express those formal qualities which are common to different groups of objects such as propositions, classes, relations and areas; ... ; common to all these forms of calculus is the fact that they assume the validity of a series of principles of inference, which are not expressly formulated, but are constantly brought into use in the proofs; th is logical imperfection can, however, be removed, ... ; this is provided in Logistics, ... " Viele Axiomensysteme des Aussagenkalküls wurden nachher gebildet (RUSSEL-"\VHITEHEAD; NICOD; LUKASIEWICZ; HILBERTACKERMANN; HILBERT-BER~AYS; u.s.w.). Dabei wurde auf Anschlusz an die Boolesche Algebra nicht geachtet. In einer in Proceed. Kon. Ned. Akad. Wet. Amsterdam 49 (1946), 50 (1947) erschienenen Arbeit zeigte ich nun, dasz es sehr wohl möglich ist die in einer Booleschen Algebra vorkommenden, anschaulichen Elementen zu einem Aufbau eines Axiomensystems für den klassischen Aussagenkalkül zu benutzen. Durch Hinzufügung der Axiome ;. --+ X und X --+ v 2) zum R USSELL-WHITEHEADschen System wird dies völlig gleichwertig mit einer Booleschen Algebra, faIls man einige der Axiome dieser Algebra als Umformungsregeln deutet, und auszerdem eine Einsetzungsregel hinzufügt. 1) Hiehe H. HER MES unu A. SCHOLZ, Ein neuer Vollständigkeitsbeweis fiir das reduzierte Fregesehe Axiomensystem des Aussagenkalküls. Forsehungen zur Logik. Neue Folge, 1 (1937). 2) Zu interpretieren als "aus einer falsehen Aussage Iäszt sieh jecle Aussage, aus einer jeden Aussage Iäszt sieh eine wahre Aussage folgern". 328 Man kann sich nun die Frage vorlegen ob nicht auch für den intuitionistischen Aussagenkalkül (in der HEYTINGschen Symbolisierung 3)) ein gleichartiger Aufbau, also ein Aufbau, welcher sich möglichst eng an die Theorie der Strukturen ("lattices") anschlieszt, möglich sei. Wie wir sehen werden, läszt sich diese Frage bejahend beantworten. 4 ) Das neue Axiomensystem läszt sich zu einem Axiomensystem für den intuitionistischen Prädikatenkalkü1 6 ) erweitern. Dual gegenüber diesen Systemen stehen zwei weitere im folgenden untersuchte Systeme, welche u.a. die folgenden bemerkenswerten Eigenschaften haben: 1° in ihnen gilt das principium tertii exclusi, das principium contradictionis dagegen nicht; 2° die bekannten GÖDELSchen Deutungen der klassischen Aussagen- und engeren Prädikatenlogikinnerhalb der zugehörigen intuitionistischen 8) korrespondieren mit analogen Deutungen innerhalb der dualen Kalküle. Zur Erleichterung der Lektüre geben wir hier schematisch die gegenseitigen Verhältnisse der verschiedenen aussagenlogischen Axiomensysteme: A 1 :::lA 2 :::lM:::lI:::lK=K'CrCM'CA;CA;; 1 ist ein intuitionistischer Aussagenkalkül, r der zu diesem dualen Kalkül; K = K' ist der klassische Aussagenkalkül; M deutet einen Minimalkalkül im Sinne von JOHANSSON 7) an. In Al sind die Axiome la, 2a , 3°, und die Schluszregeln E, Eo, lP, 2/3; in A 2 kommen hinzu Axiom 4a , Regel 413; in M auszerdem Ax. 6a , Ax. 613 (= 7'); in I noch Ax. 5°; schlieszlich in K Ax. 7° (= 613'). Für die mit einem Asterisk angedeuteten dualen Systeme der vorigen sind Axiome und Regeln: für A~, la, 4a , 5°; E', E~, lP, 413; für A; daneben ~; 213 ; für M' noch 6a', 613' (= 7°); für r noch 3°; für K' 7' (= 613). Nur die Regeln Eo, E~ und die Axiome 6a ,6a ' lassen sich nicht in eine in der Booleschen Algebra geläufigen Form bringen; nur durch diese unterscheiden sich die Kalküle K und K' (scheinbar) voneinander. Anwendung der GENTzENschen Schluszweisenkalküle 8) führt zu einigen 3) Siehe A. HEYTING, Sitz. ber. Preusz. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl., 1, 42-56, (1930). ') Die Antwort wird nicht geliefert durch die von GABRETl' BIRKHOFF konstruierte "Brouwerian logic" (siehe etwa G. BIRKHOFF, Lattice theory, Rev. Ed. 1948, Chapter 12), von MeKrNsEY und TABSKI mehr zutreffend "Brouwerian algebra" genannt (siehe Me KINSEY a. TARSKI, Annals of math. 47, 122-162, (1946), insbes. S. 124); denn als "Logik" betrachtet sind gegen diese Algebra dieselben Einwände zu erheben wie im J OERGENSENSchen Zitate gegAn die Boolesche Algebra. 5) Siehe HEYTING, loc. cito 3), 57 -65. ') Siehe K. GÖDEL, Ergebnisse e. math. Koii. herausgegeben von K. MENGER, Heft 4, 34-38, (1933); auch D. VAN DANTZIG, Proceed.'Kon. Ned. Akad. v. Wet. Amsterdam 50, 918-929, (1947), insbes. S. 923, 924. 7) Siehe I. JOHANSSON, Comp. math., 4, 119-136, (1936). 8) Siehe G. GENTZEN, Math. Ztschr., 39, 176-210, 405-431, (1935). 329 weiteren Resultaten. Zu jedem der eben genannten Axiomensysteme gehört ein "Kalkül des natürlichen Schlieszens" und ein "logistischer Kalkül". Es wird u.a. gezeigt, dasz es im "logistischen Kalkül" für K schon genügt, in Abweichung von GENTZEN, nur im Schema NES mehrgliedrige Sukzedentia (im Sinne von GENTZEN) zuzulassen; diese Bedingung ist dann auch notwendig, da man sonst zum intuitionistischen Kalkül käme. 9) Eine affirmative 10) Aussagenlogik Al. § 1. Elementare Aussagen (elementare Kalkülformeln) sollen durch grosze lateinische Buchstaben angedeutet werden. 11) Undefinierte Grundverknüpfungen sind die Implikation C und die Verknüpfung der Konjunktion "Und", angedeutet durch . ; die Relationen, welche man zwischen diesen Verknüpfungen annehmen solI, sind in den nachfolgenden Axiomen enthalten. Einsetzungsregel E (erster Teil). Aus einer Kalkülformel erhält man wieder eine Kalkülformel, wenn man einen in ihr auftretenden groszen lateinischen Buchstaben durch eine Kalkülformel ersetzt (gleichgestaltete Buchstaben durch gleichgestaltete Formeln); dab ei sind die groszen lateinischen Buchstaben und vals Kalkülformeln anzusehen, ferner mit ffi und 6 auch ffi· 6, und ffi C 6. 12) Einsetzungsregel E (zweiter Teil). Läszt sich (auf Grund der nachfolgenden Axiome und Schluszregeln) schreiben 21 C ~, mit 21 und ~ Kalkülformeln, und sind 'Il und G: aus 21 bezw. ~ mittels der Einsetzungsregel E (erster Teil) hervorgehende Kalkülformeln, wobei sowohl in 21 wie in ~ vorkommende gleichgestaltete Buchstaben in beiden nicht oder in beiden an allen Stellen durch gleichgestaltete Kalkülformeln ersetzt sind, so läszt sich auch schrei ben 'Il C G:. 12) Axiom la. XC X. Schluszschema lP. Definition. 21 = ~ 2lC\B \BCG: 2lC(r ist eine kürzere Schreibweise von: ~ C Satz 1. X = 21. X (die Gleichheitsrelation ist reflexiv). (S c h I u s z s c hem a). Satz 2 symmetrisch) . 21 = \B \B = 21 (die Gleichheitsrelation ist 9) Unsere Darstellung von Kalkülen NI, NK, LI und LK zeigt noch einige weitere Abweichungen; so lassen wir u.a. in den Schluszfiguren keine leeren Antezedentia und Sukzedentia zu; die G. Verfahren bleiben dabei doch im wesentlichen beibehalten. 10) "Affirmativ", weil die Implikation X C Y in Al sich interpretieren läszt als "die Affirmation von X zieht die Affirmation von Y nach sich". 11) Also durch A, B, C, ... ; doch auch Al' Bl' Cl· .. ; A2' B2'· .. ; A n , ••• (n eine natürliche Zahl). 12) Grosze deutsche Buchstaben werden immer Kalkülformeln andeuten. 22 330 m:-~~-lt Satz 3 (Schluszschemata). ist transitiv). Axiom 2U • m:= lt (die Gleichheitsrelation (X. Y) C X und (X. Y) C Y. fJ Schluszschema 2. ltCm: ltC~ lt C (m:. ~) . Satz 4 (Schluszschema). ( Satz 5. Satz 6. Satz 7. - m:=m: ) 1 m: . ~ = ~=~ ( 1) m: 1 • ~1 [(X. Y) .Z] = [X. (Y .Z)]. (X.Y)= (Y.X). (X.X)=X. m:C~ t z 8 c (S hl us z s c h e ma.) ( m: . !B) = m: un Sa Ersetzungsschema (ta) Eo· d(m:·!B)=~( m: C!B . m: C [!B C lt] (m:. !B) C lt . (m:.!B) C lt und m: C [!B C lt] 13). Mit Schema lP korrespondiert der Satz 9. [(XCY).(YCZ)]C(XCZ). Beweis. (Ax. la, Regel E) (X C Y) C (X C Y); (Sch. Eo, Satz 6, Regeln E, lil) [X. (X C Y)] C Y; (Regel E, Ax. 2U ) [(X C Y). (Y C Z)] C C(YCZ); ([X.(XCY)].[(XCY).(YCZ)]}C[Y.(YCZ)]; {[(XCY). (YCZ)].X}C[Y.(YCZ)]. Daneben: (Sch. Eo) [(YCZ).Y]CZ. Also (Sch. IfJ) {[(X C Y). (Y C Z)]. X} C Z, oder (Sch. Eo) [(X C Y). (Y C Z)] C C [X CZ]. Mit Schema 21l korrespondiert der Satz 10. [(XCY).(XCZ)]C[XC(Y.Z)]. Beweis. (Ax. IU, Regeln E, Eo) [(X C Y). X] C Y, [(X C Z). X] C Z, also (2 U , lil, 21l) [{(X C Y). (X C Z)}. X] C (y. Z); (Eo) Satz 10. Satz 11 (Abtrennungsregel A). v C [~l C ~ v Beweis. v cm: C [m: C !B] (S hE) (v.m:)C!B c. 0 v Axiom 3°. v !B X CV C !B 14). Definition. Ein Ausdruck v C m, oder, was wegen Axiom 3° und Regel E auf dasselbe hinauskommt, v = m, entstanden nach endlichmaliger Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata), ist ein (aftirmatives) Theorem. 13) Interpretation: "Aus der Assertion von m: folgt, dasz die Assertion von !B die von lt ergibt" ist aequivalent mit "aus der Assertion von m: und von folgt die von lt". ~ 14) Interpretation: Die Assertion einer willkürlichen Aussage (ob wahr oder falsch) liefert die Assertion einer wahren Aussage v. 331 Sah l2 {Schluszschemata). Ist 21 C ~ ein Satz, somit durch endlichmalige Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata) ableitbar, so ist v C [21 C~] ein Theorem, und umgekehrt. Beweis. 21 C ~, (2 a , E) (v· 21) C 21, also (lP) (v· 21) C ~, (Eo) v C [21 C ~]. Umgekehrt: vC[21C~], (Eo) (v·2l)C~; (3°, I", E, 213 ) 21C(v·21); {lP) 21 C ~. Mit Schema Eo korrespondiert Satz 13. {XC[YCZ]}={(X.Y)CZ}. Beweis. [{X C [YCZ]}.X. Y] C (Eo) {[YCZ]. Y} C (Eo) Z, oder (Eo) {X C [Y C Z]} C {(X. Y) C Z}. Umgekehrt, [(X. Y) C Z] C (Satz 9, Sch. Eo) {[Y C (X. Y)] C (Y C Z)}, also I {X C [Y C (X . Y)]} . [(X. Y) C Z] ] C [ {X C [Y C (X . Y)]} . {[Y C C (X. Y)] C (Y C Z))], oder (Regein Eo, A) [(X. Y) C Z] C [{X C [Y C C (X. y)]). {[Y C (X. Y)] C (YCZ)}] C (S. 9) [X C (Y CZ)], [(X. Y) CZ] C C[XC(YCZ)]. Satz 14 (Schluszschema). Beweis. ~l= ~l ~ = ~nl (~C ~) = (~1 C ~1)' Mit S. 9, S. 12, Eo, A und lP. Bemerkung. I Unter Annahme der Axiome I", 2", 3° und der Regeln E, lP, 2/3 läszt sich zwar, nach Satz 1I, die Abtrennungsregel A aus dem Ersetzungsschema Eo ableiten; das Umgekehrte gilt jedoch nicht. Das folgt sofort aus einem Beispiel in HILBERT·BER:NAYS, Grundlagen der Mathematik I (1934), S. 77, welches zeigt, dasz mit den Axiomen la, 2", 3° 15) und den Regeln E, A, lP und 2P sich die Kalkülformel XC (Y C X) nicht ableiten läszt, während sie sofort ableitbar wird, wenn man Regel A durch Regel Eo ersetzt. Bemerkung 11. Nicht alle Theoreme haben die Form v C [21 C (siehe Satz 12). Denn das Schluszschema 213 gibt unmittelbar (S) VC~ ~] vcm vC(~·m) Bemerkung lIL Obiges Axiomensystem für Implikation und Konjunktion ist, so weit es die affirmativen Theoreme betrifft, gleichwertig mit dem mit unserem Axiom 3° [XCv und vC(XCv)] erweiterten System der Formeln, die HEYTING in seiner Formalisierung der intuitionistischen Logik, loc. cito 3), S. 45-47 (§§ I U. 2) für diese Verknüpfungen aufgestellt hat 15biB); nur so11 man, loc. cit., überall die Zeichen /- und /. /- durch v C oder v = ersetzen; die Ersetzungsregel Eo und der bei HEYTING korrespondierende Satz 2.27 machen die Ableitung dieser Behauptung ganz leicht. Man füge v immer den Wert a hinzu. U nd dadurch auch gleichwertig mit dem System der Axiome I, 1 - 3; Il, 1-3, Einsetzungsregel und Abtrennungsregel in HILBERT·BERNAYS, Grund· lagen der Math. I, 66 (1934), vermehrt mit dam Axiom X C v (ader X --->- v). 15) 15bis) 332 und das zugehörige Axiom 3° übernehmen hier in gewissem Sinne die Rolle der üblichen Assertionszeichen; die Klassen der affirmativen Theoreme, welchev nur amAnfang enthalten (vC), und der HEYTINGschen Theoreme (somit bewiesen ohne Axiom 3°) fallen zusammen 16); hier gibt es noch Sätze, welche die Form m: C 58 haben mit m: von 'JI verschieden, und Theoreme v C m:, mit 'JI au eh in m: vorkommend. 'JI Eine verneinende (negierende) 17) Aussagenlogik A~. § 2. Elementare Aussagen: A, B, ... ; Al' ... ; A 2 , ••• ; ••• Grundverknüpfungen: Implikation C, Disjunktion "oder" , angedeutet durch Einsetzungsregel E· (erster Teil). Aus einer Kalkültormel erhält man wieder eine Kalkülformel, wenn man einen in ihr auftretenden groszen lateinisehen Buehstaben dureh eine Kalkülformel ersetzt (gleichgestaltete Buehstaben dureh gleiehgestaltete Formeln); dabei sind die groszen lateinisehen Buehstaben und À. als Kalkülformeln anzusehen, ferner mit ffi und 6 aueh ffi 6, und ffi C 6. 12) Einsetzungsregel E· (zweiter Teil). Läszt sieh (auf Grund der nachfolgenden Axiome und Sehluszregeln) sehreiben m: C 58, mit m: und 58 Kalkülformeln, und sind 'l) und Q: aus m: bzw. 58 mittels der Einsetzungsregel E· (erster Teil) hervorgehende Kalkülformeln, wobei sowohl in m: wie in 58 vorkommende gleiehgestaltete Buehstaben in beiden nicht oder in beiden an allen Stellen dureh gleiehgestaltete Kalkülformeln ersetzt sind, so läszt sich aueh sehreiben 'l) C Q:. 12) Axiom 1°. XC X. 21C\B \BCG: Schluszschema lP. 21 CG: +. + Definition von m: = 58, und die Sätze 1-3 bleiben ungeändert. 18) Man hat nur zu zeigen, dasz jede Ableitung, welche in der Logik Al zu einem affirmativen Theorem, mit 11 nur am Anfang, führt, ersetzt werden kann durch eine Ableitung, bei der: 1° am Anfang jeder auftretenden Kalkülformel 11 C steht; 2° in jeder Formel 11 C 21 21 11 nicht enthält; 3° Axiom 3° nicht benutzt wird. ad 1°: Wegen Satz 12 lassen sich die Formeln in den Axiomen 1°, 2" und den Regeln Eo, lP, 2 P durch 11 C vorangehen; sie werden so zu Formeln und Regeln im HEYTINGSchen System. ad 2°: Do., wegen Ax. 3° und Satz 12, 11 C (X C X) C 11 oder 11 =. (X eX), darf man in jeder in der Ableitung auftretenden Formel 11 durch X .. C X.. (n eine genügend hohe natürliche Zahl, damit X .. nicht schon in der Ableitung vorkäme) ersetzen; dies ist eine Folge der Sätze 4 und 14. ad 3°: In der ursprünglichen Ableitung konnte 11 nur auf zwei Weisen eingeführt werden: I. mit Regel E allein; dies wird nun geändert in eine Einführung von X .. C X .. mittels derselben Regel; 11. mit Ax. 3° und Regel E: 21 C 11; dies ist zu ersetzen durch: (Ax. 2°, geändert wie ad 1° angegeben) 11 C [(21· X .. ) C X ..]; (Eo, geändert wie ad 1° angegeben) 11 C [{21 C (X.. C X .. )}]. 17) "Verneinend", weil die Implikatior. XC Y in A~ sich interpretieren läszt als "die Negation von Y kann nur mit der Negation von X koexistieren". Dies führt zu entsprechenden Deutungen für alle hier folgenden Axiome und Schluszregeln. Siehe auch Fuszn. 18 und 19. 333 Axiom 4a • X C (X + Y), 18) und Y C (X + Y). Schluszschema 4P. ~C~ ~C~ (~+~) C ~ ~= ~1 ~= ~1 Satz 15 (Schluszschema). (~+~) = (~1+ ~1) Satz 16. Satz 17. Satz 18. [(X + Y) + Z] = [X + (Y + Z)]. (X Y) = (Y + X). (X + X)= X. + ~C ~ d ) (~+~)=~un S atz 19 ( S c hl uszsc h emata. (~+ ~) = ~ ~C~ . • [~C fB] C \11 ~ C (fB + 21) 19 Ersetzungsschema(ta) Eo. ~C(~+21)und[~C~]C21 ). Mit Schema lP korrespondiert der Satz 20. (Z C X) C [(Z C Y) + (Y C X)]. Beweis. (YCX)C(YCX); (Sch. E~, Satz 17, Regeln E', lP) Y C [(Y C X) + X]; (Regel E', Ax. 4a ) (Z C Y) C [(Z C Y) + (Y C X)]; [(Z C Y) + Y] C {[(Z C Y) + (Y C X)] + [(YCX)+XJ); [(ZC Y)+ Y]C C C Y) + (Y C X)] + X}. Daneben: (Sch. E~) Z C [Y + (Z C Y)]. Also (Sch. 11~) Z C {[ (Z C Y) + (Y C X)] + X}, oder (Sch. E~) (Z C X) C ([ez C [(Z C Y) + (Y C X)]. Mit Schema 4/1 korrespondiert der Satz 21. [(Z + Y) C X] C [(Z C X) + (Y C X)]. CÀ S atz 22 (Ab trennungsrege. I A ') (~C \11) ~ C Beweis. À \11 C À 20). (~ C 21) C À (Sch E') 21 C À À C À pu, E') (Sch. 4P) _~_C--,(_~--,+,---,-À) _ _•_ 0--:-:--:=-= __--'-(~_1-'-+_À....:...)_C_À_ (Sch. lP). ~CÀ. Axiom 5°. ), C X 21). Definition. Ein Ausdruck 2( C À, oder, was wegen Axiom 5° und Regel E' auf dasselbe hinauskommt, 2( = À, entstanden nach endlichmaliger Anwendung von Axiomen oder (und) Regeln (Schemata), ist ein negierendes Theorem. Es wird schon deutlich sein, dasz folgendes Dualitätsprinzip besteht: Die Axiome, Schluszregeln, Sätze und Theoreme der affirmativen A ussagenlogik stehen dual gegenüber denen der verneinenden A ussagenlogik . + Deutung: Die Verneinung van X Y hat die Verneinung van X zur Falge. Deutung: "Die Verneinung van 21 gibt, dasz die Verneinung van ~ die van ~ zur Falge hat" ist aequivalent mit "die Verneinung van ~ ~ (d.h. die Verneinungen van ~ und van ~) hat die van ~ zur Falge". 20) Deutung: Sind ~ C ~ und ~ falsche Aussagen, sa auch ~. Ausführlicher: 21 C À drückt die Negatian van ~ aus (denn À ist eine falsche Aussage); (~C~) C }. ader ~ C (~+ }.) drückt aus (siehe Fuszn. 19), dasz die Negatian van ~ die van ~ zur Falge hat. Samit führt dies zur Negatian van ~ ader zu ~ C}.. 21) Eine falsche Aussage impliziert jede Aussage. 18) 19) + 334 Letztgenannte Logik geht mittels folgender Umsetzungen aus der ersten hervor: a) man ändere in jeder Formel von § 1 . in +, v in A; fJ) m: C ~ werde durch ~ C 2i: ersetzt; dabei sollen und ~ die gemäsz a) und fJ) aus m: bzw. ~ hervorgehenden Kalkülformeln sein. 22) Dadurch können wir die Beweise der folgenden Behauptungen unterdrücken. Satz 23 (Schluszschemata). Läszt sich durch endlichmalige Anwendung von Axiomen und Schluszregeln ableiten ~ C m:, so ist [~ C m:] C A ein negierendes Theorem, und umgekehrt. Mit Schema E~ korrespondiert Satz 24. {Z C (Y + X)} = {(Z C Y) C X} . Satz 14 (Schluszschema) bleibt ungeändert gültig. m Bemerkung 1. Unter Annahme der Axiome la, 4 a, 5° und der Regeln E·, lP, 4P läszt sich die Abtrennungsregel A· aus dem Ersetzungsschema E~ ableiten; das Umgekehrte gilt jedoch nicht. Bemerkung Il. Nicht alle verneinenden Theoreme haben die Form Cm: C ~] C A. Denn es läszt sich folgendes Schluszschema ableiten: ~Ci. (S·) \BCi. (~+\B)Ci. . Affirmative Aussagenlogik A 2 • § 3. In diesem Par. wird das Axiomensystem von § 1 angenommen und . fortgesetzt. In der Einsetzungsregel E nehme man ffl + el auf (neben ffl· el und ffl Cel). Axiom 4a • X C (X + Y) 23) und Y C (X + Y). P ~CQ: \BCQ: Schluszschema 4. (~+ \B) C Q: Hier geIten nun auch die Sätze 15-19. Satz 25. [(X + Y) .Z] = [(X. Y) + (X .Z)] (die Logik A 2 ist eine distributive Struktur). + Beweis. (X .Z) C (Ax. 4a ) [(X .Z) (Y .Z)], also (Regel Eo) XC [Z C C {(X .Z)+ (Y .Z))]; ebenso YC [ZC {(X .Z)+ (Y .Z))]; (Sch. 4P) (X+ Y)C C [Z C {(X. Z) + (Y . Z) }]; (Regel Eo) {(X + Y). Z} C {(X . Z) + (Y . Z)}. Umgekehrt, (X. Y) C [X. (Y + Z)], und (X .Z) C [X. (Y + Z)], also {(X.Y)+ (X.Z)}C [X.(Y+Z)]. Satz 26. [(X. Y) Z] = [(X + + Z). (Y + Z)] 24). ~ = \B geht somit in ~ = \B über. Deutung: Die Assertion von X hat die von X oder die von Y zur Folge. Verg!. die Deutung in Fuszn. 18. 2&) Dieser Satz läszt sich ohne Benutzung von Schema Eo und Axiom 3° aus Satz 25 ableiten. Siehe V. GLlVENKO, Théorie générale des structures. Act. sci. Paris, S. 32 (1938). 22) 23) 335 In der Logik A 2 gibt es eine teilweise Dualität: Zu jedem mit den Axiomen la, 2u , 4u , den Regeln E, 1/1, 2/1, 4/l und den Sätzen 21 und 22 (also ohne Anwendung von Ax. 3° und ohne weitere Anwendung von Schema Eo, welches bei der Ableitung der eben genannten Sätze benutzt wurde) ableitbaren Satz erhält man einen dualen, wenn: a) in jeder vorkommenden Kalkülformel + durch ., und umgekehrt, ersetzt wird; (3) 2l C ~ durch \B C ersetzt wird; dab ei sollen und \B gemäsz a) (ohne (3)) aus 2l bzw. ~ hervorgehende Kalkülformeln sein. 22) Schluszschema 4/1 korrespondiert mit Satz 27. [(XCZ).(YCZ)]C[(X+Y)CZ]. m m Beweis. [X.(XCZ)]C(RegeIEo)Z; [Y.(YCZ)]CZ; (Sch.4 P) [{X. (XCZ)}+ {y. (YCZ)}]CZ; (Satz25) [(X+ Y). (XCZ). (YCZ)]CZ; (Regel Eo) [(X C Z). (Y C Z)] C [(X Y) C Z]. + Bemerkung A. Das Axiomensystem der Logik A 2 ist, so weit es die affirmativen Theoreme betrifft, gleichwertig mit dem mit unserem Axiom 3° [X Cv und v C (X Cv)] erweiterten System von HEYTING, loc. cito 3), S. 45-48 (§§ I, 2 u. 3) 25); über v, ;. und j.;' ist dabei dasselbe zu sagen wie in Bemerkung III von § 1. Neben der Klasse der mit den HEYTINGSchen Theoremen zusammenfallenden affirmativen Theoreme, welche v nur am Anfang enthalten (v C), 26) gibt es hier auch noch Sätze der Form 2l C ~ mit von v verschiedenem 2l, und Theoreme v C 2l, wobei v auch in 2l vorkommt. + Bemerkung B. Ist v C 2l ein Theorem, so auch v C (2l ~), wobei eine willkürliche Formel. § 3bis • Hinzufügung des Axioms 5° (§ 2) würde zu einer Erweiterung der teilweisen Dualität führen; unter a) im vorigen Par. könnte man dann Ersetzung von À durch v, und umgekehrt, hinzufügen. ~ Verneinende A ussagenlogik A;. § 4. In diesem Par. wird das System von § 2 angenommen und fortgeführt. Diese Fortführung wird so gewählt, dasz die Axiome, Schluszregeln, Sätze und Theoreme der assertorisch en Logik A 2 dual gegenüber denen der verneinenden Logik A; stehen. Letztgenannte Logik geht aus der ersten mittels folgender Umsetzungen hervor: al) man ändere in den Formeln von §§ I, 3 . in und umgekehrt, À in v, und umgekehrt; (31) 2l C ~ werde ersetzt durch \B dabei sollen und ~ die gemäsz al) und (31) aus 2l bzw. ~ hervorgehende Kalkülformeln sein. In der Einsetzungsregel E' (erster Teil) nehme man ffi· 6 auf (neben ffi + 6 und ffi C 6). +, cm; m 25) Und ebenso mit dem System der Axiome I, 1-3; lI, 1-3; lIl, 1-3, Einsetzungsregel und Abtrennungsregel in HILBERT.llERNAYS, loc. cito 16), S. 66, vermehrt mit dem Axiom X C v (oder X -+ v). 26) Der Beweis der Aequivalenz der hier betrachteten Klassen verläuft wie der Bewcis in Fnszn. 16 (ad 2°: hier kommt Satz 15 hinzn). 336 Axiom 2'>. (X. Y) C X und (X. Y) C Y. {J [C2! [C58 SchIuszschema 2. [C (2! . 58) In A; geIten somit auch die Sätze 4-8, 25 und 26; auch A; ist eine distributive Struktur. In der verneinenden Aussagenlogik A; gibt es eine teilweise Dualität (vergl. §§ 3, 3bia ) . Mit SchIuszschema 2{J korrespondiert nun der Satz 28. [Z C (X. Y)] C [(Z C X) (Z C Y)]. + Bemer kung. Ist 2t C ;, ein verneinendes Theorem, mit ~ eine willkürliche KalküIformel. 80 auch (2t.~) C ;',