Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Die axiomatische Methode . . . . . . . .
1.2 Formale Systeme . . . . . . . . . . . . .
1.3 Metamathematik . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Widerspruchsfreiheit . . . . . . .
1.3.2 Vollständigkeit . . . . . . . . . .
1.3.3 Hilbert-Programm . . . . . . . .
1.4 Die Unvollständigkeitssätze . . . . . . .
1.4.1 Der erste Unvollständigkeitssatz
1.4.2 Der zweite Unvollständigkeitssatz
1.5 Die Gödel’sche Arbeit . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
14
18
26
28
31
33
38
39
39
40
2 Die formalen Grundlagen der Mathematik
2.1 Das logizistische Programm . . . . . . . . .
2.1.1 Begriffsschrift . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Axiome der Begriffsschrift . . . . . .
2.1.3 Formalisierung der Arithmetik . . .
2.2 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Arithmetices principia . . . . . . . .
2.2.2 Axiome der Arithmetices principia .
2.2.3 Isomorphiesatz von Dedekind . . . .
2.3 Principia Mathematica . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
2.3.2 Die Russell’sche Antinomie . . . . .
2.3.3 Typentheorie . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Die Logik der Principia . . . . . . .
2.4 Axiomatische Mengenlehre . . . . . . . . . .
2.4.1 Kontinuumshypothese . . . . . . . .
2.4.2 Wohlordnungssatz . . . . . . . . . .
2.4.3 Zermelos Beweis in der Kritik . . . .
2.4.4 Das Zermelo’sche Axiomensystem .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
46
49
52
53
56
60
66
70
75
84
89
97
99
101
109
113
3 Beweisskizze
3.1 Arithmetische Formeln . . . . .
3.2 Arithmetisierung der Syntax . .
3.3 Ich bin unbeweisbar! . . . . . .
3.4 Gödel, Richard und der Lügner
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
120
127
131
136
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
3.4.1
3.4.2
3.4.3
Das Lügner-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Die Richard’sche Antinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Wann ist ein formales System betroffen? . . . . . . . . . . 142
4 Das System P
4.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Terme und Formeln . . . . . . .
4.1.2 Substitutionen . . . . . . . . . .
4.2 Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Definition der Gleichheit . . . . .
4.2.2 Definition der natürlichen Zahlen
4.3 Axiome und Schlussregeln . . . . . . . .
4.4 Formale Beweise . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Aussagenlogische Theoreme . . .
4.4.2 Hypothesenbasiertes Beweisen . .
4.4.3 Prädikatenlogische Theoreme . .
4.4.4 Theoreme über die Gleichheit . .
4.4.5 Numerische Theoreme . . . . . .
4.5 Arithmetisierung der Syntax . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
147
148
150
154
157
160
162
162
168
172
184
188
191
196
207
5 Primitiv-rekursive Funktionen
5.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Auswahl primitiv-rekursiver Funktionen und Relationen
5.3 Entscheidungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Satz V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
213
213
230
270
274
6 Die Grenzen der Mathematik
6.1 Gödels Hauptresultat . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Unvollständigkeit des Systems P . . . . .
6.1.2 Folgerungen aus dem Hauptresultat . . .
6.2 Der erste Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . . .
6.2.1 Unvollständigkeit der Arithmetik . . . . .
6.2.2 Folgen für den engeren Funktionenkalkül .
6.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
289
289
292
299
307
307
320
340
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Epilog
349
Literaturverzeichnis
351
Bildnachweis
357
Namensverzeichnis
359
Sachwortverzeichnis
363
http://www.springer.com/978-3-662-54299-6