1 Wichtige Formeln

Wesentliche Sätze (Analysis 1 für Lehramt)
Alexander Schmalstieg
TU Dortmund, Wintersemester 2013/2014
Inhaltsverzeichnis
1 Wichtige Formeln
1
2 Folgen
2
3 Maxima und Suprema
3
4 Gleichmäßige Konvergenz
3
5 Funktionen
5.1 Stetigkeit und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
7
8
6 Reihen
8
7 Exponentialfunktion und komplexe Zahlen
9
1 Wichtige Formeln
a) Für w, z ∈ C und n ∈ N0 gilt der binomische Satz
n X
n k n−k
n
(w + z) =
w ·z .
k
k=0
(1)
b) Für q ∈ C\{1} gilt die geometrische Summenformel
n
X
k=0
qk =
1 − q n+1
q n+1 − 1
=
.
1−q
q−1
(2)
c) Damit ergibt sich der Grenzwert der geometrischen Reihe für |q| < 1 durch
∞
X
qk =
k=0
1
1
.
1−q
(3)
Analysis 1
2 Folgen
d) Für R 3 x ≥ −1 und n ∈ N0 gilt die Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n = 1 + nx.
(4)
e) Für alle w, z ∈ C gilt die Dreiecksungleichung
|w + z| ≤ |w| + |z|
(5)
und die umgekehrte Dreiecksungleichung
||w| − |z|| ≤ |w| − |z|.
(6)
2 Folgen
a) Eine Folge (an ) ⊆ C konvergiert gegen a ∈ C, falls
∀ε > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 : |an − a| < ε.
(7)
b) Cauchy-Kriterium: Eine Folge an ⊆ C konvergiert genau dann, falls an eine
Cauchy-Folge ist, d.h es gilt
∀ε > 0∃n0 ∈ N∀m, n ≥ n0 : |an − am | < ε.
(8)
c) Schachtelungsprinzip: Es gelte an → x und cn → x für n → ∞ und an ≤ bn ≤ cn
ab einem bestimmten n0 . Dann folgt auch bn → x für n → ∞.
d) Rechenregeln Es gelte an → a und bn → b für n → ∞. Dann gilt auch
(an ± bn ) → a ± b, (an · bn ) → a · b,
an
a
→ , |an | → |a| für n → ∞.
bn
b
(9)
Die Rückrichtung ist jeweils falsch, denn betrachte beispielweise an = n und bn = −n
offenbar divergent, aber an + bn = n − n = 0 konvergent.
e) Beschränkte monotone Folgen sind konvergent.
f) Satz von Bolzano Weierstraß: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente
Teilfolge.
2
Analysis 1
3 Maxima und Suprema
3 Maxima und Suprema
a) Jede nach oben beschränkte Menge M ⊆ R besitzt ein Supremum, sup(M ) ≥
x, ∀x ∈ M .
Wenn sup(M ) ∈ M gilt, dann nennt man das Supremum das Maximum von M .
b) Jede nach unten beschränkte Menge M ⊆ R besitzt ein Infimum, inf(M ) ≤ x, ∀x ∈
M.
Wenn inf(M ) ∈ M gilt, dann nennt man das Infimum das Minimum von M .
c) Begriffe wie Infimum und Supremum machen nur in angeordneten Körpern Sinn (in
C existieren sie also nicht!).
d) Eine Menge M ⊆ C heißt beschränkt, falls gilt
∃C > 0∀z ∈ M : |z| ≤ C.
(10)
e) Satz von Weierstraß: Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall
[a, b] (oder im Komplexen: einem kompakten Kreis, also einem Kreis mit Rand) besitzt
dort ein Maximum und ein Minimum.
f) Konkrete Berechnung von Maximum und Minimum: Sei f ∈ C[a, b] und
f ∈ C 1 (a, b). Dann besitzt f nach dem Satz von Weierstraß Maximum und Minimum
auf [a, b]. Falls die Extremstellen xmax und xmin nicht in den Randpukten liegen, sondern
im offenen Intervall (a, b), dann folgt
f 0 (xmax ) = f 0 (xmin ) = 0.
(11)
Diese Bedingung ist notwendig, nicht aber hinreichend für die Existenz eines Extremums.
Hinreichende Bedingung: Sei f ∈ C[a, b] und f ∈ C 2 (a, b) mit f 0 (x0 ) = 0, so gilt:
f 00 (x0 ) > 0 ⇒ f hat ein lokales Minimum in x0 .
f 00 (x0 ) < 0 ⇒ f hat ein lokales Maximum in x0 .
(12)
(13)
Anschließend muss die Funktion noch in den Randpunkten untersucht werden, wenn
nach den globalen Extrema gefragt ist.
4 Gleichmäßige Konvergenz
a) Sei D ⊆ C und fn , f : D → C. Eine Funktionenfolge (fn ) heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion f , wenn gilt:
∀ε > 0∀x ∈ D∃n0 ∈ N∀n ∈ N : |fn (x) − f (x)| < ε.
3
(14)
Analysis 1
5 Funktionen
b) Sei D ⊆ C und fn , f : D → C. Eine Funktionenfolge (fn ) heißt gleichmäßig
konvergent gegen eine Funktion f , wenn gilt:
∀ε > 0∃n0 ∈ N∀n ∈ N∀x ∈ D : |fn (x) − f (x)| < ε.
(15)
c) Offenbar impliziert die glm. Konvergenz sofort die pktweise Konvergenz.
d) Sind alle fn stetig und konvergiert fn glm. gegen eine Grenzfunktion f , so ist f stetig.
(Die Umkehrung gilt nicht!)
Wichtig: Sind alle fn stetig, aber die Grenzfunktion nicht, so kann die Konvergenz nicht
glm. sein!
e) Bedingung (15) ist äquivalent zu
kfn (x) − f (x)k∞ = sup |fn (x) − f (x)| → 0 für n → ∞.
(16)
x∈D
Dabei bezeichne k.k∞ die Supremumsnorm.
f) Differenzierbarkeit und glm. Konvergenz: Es sei (fn ) ⊆ C 1 [a, b] eine Funktionenfolge, so dass die Folge der Ableitungen (fn0 ) glm. gegen eine Funktion g konvergiert.
Weiter konvergiere fn in einem Punkt x0 ∈ [a, b] punktweise. Dann konvergiert fn glm.
gegen ein f ∈ C 1 [a, b] mit f 0 = g.
5 Funktionen
5.1 Stetigkeit und Grenzwerte
a) Definitionen: Sei I ⊆ R, a ∈ I und f : I → R.
Stetigkeit in a:
∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ I : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
(17)
Gleichmäßige Stetigkeit:
∀ε > 0∃δ > 0∀x, y ∈ I : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
(18)
Lipschitz-Stetigkeit:
∃L ≥ 0∀x, y ∈ I : |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y|
(19)
b) Stetigkeitshierarchie: Für eine auf einem Intervall I ⊆ R definierte Funktion
f : I → R gilt:
(A) Ist f auf I differenzierbar und f 0 auf I beschränkt ⇒ f auf I Lipschitz-stetig.
(B) Ist f auf I Lipschitz-stetig ⇒ f auf I gleichmäßig stetig.
4
Analysis 1
5 Funktionen
(C) Ist f auf I gleichmäßig stetig ⇒ f auf I stetig.
Denn:
zu (A) Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
|f (x) − f (y)| = f 0 (ξ) · |x − y| ≤ sup |f 0 (ξ)| ·|x − y| = L · |x − y|.
ξ∈I
| {z }
:=L≥0
zu (B) Für L = 0 trivial, betrachte also L > 0. Zu ε > 0 wähle δ :=
für alle x, y ∈ I
ε
|f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y| < L · δ = L · = ε.
L
ε
L
> 0. Dann gilt
zu (C) Bedingung (18) impliziert sofort Bedingung (17).
Die Rückrichtungen gelten jeweils nicht. Betrachte dazu die Gegenbeispiele:
zu (A) Für f (x) := |x| gilt ∀x, y ∈ R
(6)
|f (x) − f (y)| = ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Die Betragsfunktion ist also Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante L = 1, aber bekanntermaßen in 0 nicht diffbar. √
zu (B) Die Funktion f (x) := x, x ∈ [0, 1] ist glm. stetig, denn:
Für ε > 0 und x 6= y ∈ [0, 1] folgt mit |x − y| < δ := ε2
x−y √
1
1
1
1
√
| x − y| = √
√ = √
√ · |x − y| < √
√ · δ < · δ = · ε2 = ε. (20)
ε
ε
x+ y
x+ y
x+ y
(Das δ kann unabhängig von den Punkten x, y gewählt werden, deshalb ist die glm.
Stetigkeitsbedingung
erfüllt.)
√
√
√
Wegen | x − y| = x+1 √y · |x − y|, sieht man leicht, dass f nicht Lipschitz-stetig sein
kann, da der Vorfaktor √x+1 √y für x, y ∈ [0, 1] unbeschränkt ist. Man findet also keine
Lipschitzkonstante, sodass die Lipschitz-Stetigkeitsbedingung erfüllt wird.
zu (C) Die Funktion f : [0, ∞) → R f (x) = x2 ist bekanntermaßen stetig, aber nicht
glm. stetig, denn:
(Widerspruchsbeweis: Sei f doch glm. stetig) Zu ε > 0 existiere δ > 0, sodass aus
|x − y| < δ ∀x, y ∈ [0, ∞) stets |f (x) − f (y)| < ε folgt.
Offensichtlich gilt δ > 2δ = x + 2δ − x, aber
2
2
2
δ
δ
δ
2
f x +
− f (x) = x + δx +
− x = δx + → ∞ für x → ∞.
2
4
4
5
Analysis 1
5 Funktionen
c) Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R stetig. Dann gilt f ([a, b]) = [f (a), f (b)].
Oder mit anderen Worten: Für jedes c ∈ [f (a), f (b)] existiert ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = c.
d) Zwei äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit in einem Punkte a ∈ I
sind:
Folgenstetigkeit: ∀(xn ) ⊆ I\{a} mit xn → a gilt f (xn ) → f (a) für n → ∞
Charakterisierung über den Limes: lim f (x) = f (a)
x→a
(21)
(22)
Bei der Caharakterisierung über Grenzwerte ist zu beachten, dass es nicht ausreicht,
dass der Grenzwert lediglich existiert, er muss auch mit dem Funktionswert an der
Stelle übereinstimmen.
e) Grenzwerte: Der Grenzwert l := lim f (x) existiert genau dann, wenn gilt
x→a
∀(xn ) ⊆ I\{a} mit xn → a gilt f (xn ) → l für n → ∞.
(23)
Diese Charakterisierung für Grenzwerte verwendet man, um zu zeigen, dass ein Grenzwert nicht existiert, indem man eine konkrete Folge angibt, für die Bedingung (23) nicht
erfüllt ist.
Betrachte hierzu das Beispiel:
Der Grenzwert lim sin x12 existiert nicht, denn betrachte die Folge von x−Werten
x→0
xn := √ π1
mit xn → 0 für n → ∞. Einsetzen liefert
2
+nπ




sin  
1
√ π1
2

π

+ nπ = (−1)n divergent
2  = sin
2

+nπ
f) Natürlich gilt auch
l = lim f (x) ⇔ lim− f (x) = l = lim+ f (x).
x→a
x→a
(24)
x→a
Ein Grenzwert existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.
g) Wichtige Beispiele:
Die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion) sgn : R → R ist unstetig in 0:


−1, x < 0
sgn(x) := 0,
(25)
x=0


1,
x>0
6
Analysis 1
5 Funktionen
Die Heaviside-Funktion H : R → R ist unstetig in 0:
(
0, x < 0
H(x) :=
1, x ≥ 0
(26)
Die Funktion δ : R → R ist unstetig in 0:
(
0, x 6= 0
δ(x) :=
1, x = 0
(27)
5.2 Differenzierbarkeit
a) Definition: Sei I ⊆ R, a ∈ I und f : I → R.
Differenzierbarkeit in a:
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
.
(28)
x→a
h→0
x−a
h
b) Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, die Umkehrung gilt nicht.
c) Satz von Rolle: Sei die Funktion f auf [a, b] stetig und auf (a, b) diffbar mit f (a) =
f (b), dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0.
d) Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Sei die Funktion f auf [a, b] stetig
und auf (a, b) diffbar, dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
f 0 (a) := lim
f (b) − f (a) = ξ · (b − a).
(29)
Zum Beweis wende man den Satz von Rolle auf die Hilfsfunktion h(x) an mit
h(x) :=
f (b) − f (a)
· (b − x) + f (x).
b−a
(x)
e) Regel von L’Hospital: Es seien f, g ∈ C 1 (I) mit lim fg(x)
=
x→a
der Existenz
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0
.
x→a g(x)
x→a g (x)
f) Monotonie: Für eine Funktion f ∈ C 1 (I) gilt
”
0“
.
0
Dann gilt im Falle
(30)
f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ f ist monoton wachsend auf I.
(31)
0
f (x) ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ f ist monoton fallend auf I.
(32)
P
g) Eine Potenzreihe k ak · xk mit Konvergenzradius ρ > 0 kann auf dem Konvergenzradius differenziert werden mit Ableitung
X
X
d X
d
ak · x k =
ak · x k =
k · ak · xk−1 .
(33)
dx k
dx
k
k
Außerhalb des Konvergenzradius kann dies nicht geschlossen werden!
7
Analysis 1
6 Reihen
5.3 Konvexität
a) Dafinition: Eine Funktion f : I → R heißt konvex, falls für alle x, y ∈ I und t ∈ [0, 1]
gilt
f (tx + (1 − t)y) ≤ t · f (x) + (1 − t) · f (y)
(34)
Eine Funktion f : I → R heißt konkav, falls für alle x, y ∈ I und t ∈ [0, 1] gilt
f (tx + (1 − t)y) ≥ t · f (x) + (1 − t) · f (y)
(35)
b) Für eine Funktion f ∈ C 2 (I) gilt
f 00 (x) ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ f ist konvex auf I.
f 00 (x) ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ f ist konkav auf I.
(36)
(37)
c) Anschauliche Bedeutung: Konvexität bedeutet, dass alle Sekanten oberhalb des
Funktionsgraphen verlaufen. Die Normalparabel x2 ist beispielsweise konvex.
Konkavität bedeutet, dass alle Sekanten unterhalb des Funktionsgraphen verlaufen. Die
negative Normalparabel −x2 ist beispielsweise konkav.
d) Falls f konvex ist, so ist −f konkav.
6 Reihen
P
a) Dafinition: Eine Reihe k ak konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsumn
∞
P
P
P
men sn :=
konvergiert. Man nennt
ak := lim sn die Summe der Reihe k ak .
k=0
k=0
n→∞
b) Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe: Falls die Reihe
∞
P
P
a
konvergiert,
so
folgt
a
→
0
für
k
→
∞.
Denn
sei
s
:=
ak , dann folgt mit dem
k
k
k
k=0
Schachtelungsprinzip
0 ≤ |an − 0| = |an | = |sn − sn−1 | → |s − s| = 0
Ist die Folge akP
keine Nullfolge, so kann die zugehörige Reihe nicht konvergieren.P
c) Eine Reihe k ak heißt absolut konvergent, falls die Reihe der Beträge k |ak |
konvergiert. Aus absoluter Konvergenz
P 1 folgt die Konvergenz, die Rückrichtung ist falsch.
d) Die P
harmonische Reihe
k k ist divergent, die alternierende harmonische
k+1 1
Reihe k (−1) k dagegen ist konvergent (mit Summe der Reihe ln(2)).
P
e) Majorantenkriterium: Es gelte ak ≤ bk bis auf
endlich
viele
k
und
die
Reihe
k bk
P
sei (absolut) konvergent. Dann ist auch die Reihe k ak (absolut) konvergent. P
f) Minorantenkriterium: Es gelte akP
≥ bk bis auf endlich viele k und die Reihe k bk
sei divergent. Dann ist auch die Reihe k ak divergent.
8
Analysis 1
7 Exponentialfunktion und komplexe Zahlen
g) Wurzelkriterium: Falls w := lim sup
k→∞
p
P
k
|ak | < 1, so konvergiert die Reihe k ak
absolut. Für w = 1 ist keine Aussage möglich und man muss etwas anderes versuchen.
Für w > 1 ist die Reihe divergent.
Für eine Potenzreihe ergibt sich der Konvergenzradius ρ nach dem Wurzelkriterium
durch
−1
p
1
1
k
p
= lim sup |ak |
(38)
ρ= =
w
k→∞
lim sup k |ak |
k→∞
Die Potenzreihe konvergiert auf dem Konvergenzradius (−ρ, ρ) absolut und auf [−r, r] ⊆
(−ρ, ρ) sogar gleichmäßig für r > 0. In den Randpunkten −ρ, ρ ist keine Aussage möglich
und man muss gesonderte Randbetrachtungen durchführen. Die Potenzraihe divergiert
für alle Punkte außerhalb von [−ρ, ρ].
P
h) Quotientenkriterium: Falls q := lim ak+1
<
1,
so
konvergiert
die
Reihe
k ak
ak
k→∞
absolut. Für q = 1 ist keine Aussage möglich und man muss etwas anderes versuchen.
Für q > 1 ist die Reihe divergent.
Für eine Potenzreihe ergibt sich der Konvergenzradius ρ nach dem Quotientenkriterium durch
ak
1
(39)
ρ = = lim
q k→∞ ak+1
Die Potenzreihe konvergiert auf dem Konvergenzradius (−ρ, ρ) absolut und auf [−r, r] ⊆
(−ρ, ρ) sogar gleichmäßig für r > 0. In den Randpunkten −ρ, ρ ist keine Aussage möglich
und man muss gesonderte Randbetrachtungen durchführen. Die Potenzraihe divergiert
für alle Punkte außerhalb von [−ρ, ρ].
i) Leibnizkriterium:
Ist (ak ) ⊆ R eine monoton fallende Nullfolge, so ist die alternieP
k
rende Reihe k (−1) ak konvergent.
Für n ∈ N0 erhält man die Fehlerabschätzung
∞
n−1
X
X
k
k
(−1) ak ≤ |an |
(40)
(−1) ak −
k=0
k=0
7 Exponentialfunktion und komplexe Zahlen
a) Für z ∈ C definiert man die Exponentialfunktion durch
ez := exp(z) :=
∞
X
zk
k=0
k!
.
(41)
Es gilt die Funktionalgleichung
ew+z = ew · ez .
9
(42)
Analysis 1
7 Exponentialfunktion und komplexe Zahlen
Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist die ln-Funktion. Für sie gilt die
Funktionalgleichung
ln(w · z) = ln(w) + ln(z)
(43)
b) Man definiert weiterhin für z ∈ C
∞
sin(z) :=
X
1 iz
z 2k+1
(e − e−iz ) =
(−1)k
2i
(2k + 1)!
k=0
(44)
∞
X z 2k+1
1
sinh(z) := (ez − e−z ) =
2
(2k + 1)!
k=0
(45)
∞
X
1
z 2k
cos(z) := (eiz + e−iz ) =
(−1)k
2
(2k)!
k=0
(46)
∞
X z 2k
1 z
−z
cosh(z) := (e + e ) =
2
(2k)!
k=0
sin(z)
cos(z)
sinh(z)
tanh(z) :=
.
cosh(z)
tan(z) :=
(47)
(48)
(49)
c) Für z = a + ib gilt die Eulersche Formel
ez = ea+ib = ea · eib = ea · [cos(b) + i · sin(b)]
(50)
Insbesondere gilt e−iπ = 1.
d) Wichtiger Grenzwert:
sin(x)
=1
x→0
x
Beweis durch die Regeln von L’Hospital.
lim
10
(51)