NumUeb 2

A NALYSIS F ÜR I NFORMATIKER
Ü BUNGSBLATT 2
Dr. J. Giannoulis , M.Sc. S. Metzler, Dipl. Math. K. Tichmann
WS 2010/11
Aufgabe 1 (Ungleichungen)
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen und geben Sie die Fälle an, in welchen
Gleichheit besteht:
a) Ungleichung für geometrische Summe
1 + x + x2 + · · · + x n ≤
1
,
1−x
n ∈ N0 .
0 ≤ x < 1,
wobei:
b) Bernoulli’sche Ungleichung
(1 + x )n ≥ 1 + nx,
wobei:
x > −1,
n ∈ N0 .
Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion. Behandeln Sie die Fälle x ≥ 0 und
0 > x > −1 getrennt.
c) Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
√
ab ≤
a+b
,
2
wobei:
a, b ≥ 0.
Lösung
a) Ungleichung für geometrische Summe
n
(1 − x ) ∑ x k =
k =0
n
∑ x k − x k +1 = 1 − x n +1 ≤ 1
für
0≤x<1
k =0
Gleichheit nur für x = 0. Der Fall x = 1 muss ausgeschlossen werden damit
Division durch 1 − x erlaubt ist.
b) Bernoulli-Ungleichung
x ≥ 0: Mit binomischer Formel
n n k
(1 + x ) n = ∑
x = 1 + nx + positive Terme ≥ 1 + nx
k
k =0
0 > x > −1: Mit Induktion Für n = 0 und n = 1 gilt Gleichheit für alle x. Sei nun n ≥ 2
dann gilt offensichtlich
(1 + x )n ≥ 0 ≥ 1 + nx
falls
−1 < x ≤
−1
.
n
Dann noch der Induktionsschluss n → n + 1:
(1 + x )n+1 = (1 + x )n (1 + x ) ≥ (1 + nx )(1 + x ) = 1 + (n + 1) x + nx2 ≥ 1 + (n + 1) x
( Vielleicht diskutieren warum die Einschränkung x > −1 nötig ist )
c) Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:
√
ab ≤
a+b
2
⇔ 4ab ≤ ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇔ 0 ≤ a2 − 2ab + b2 = ( a − b)2
Gleichheit folglich nur für a = b.
Aufgabe 2
Sei ∑in=1 xi2 = 1, xi ∈ R. Wie groß kann ∑in=1 | xi | maximal werden?
Lösung
Definieren wir mal y = (| x1 |, . . . , | xn |)T und e = (1, 1, 1 . . . , 1)T dann haben wir mit der
CSU
n
√
∑ |xi | = |hy, ei| ≤ kyk · kek = 1 · n
i =1
und diese Schranke ist scharf, denn der normierte zu e linear abhängige Vektor x =
erfüllt Obiges mit Gleichheit.
√e
n
Aufgabe 3 (Eindeutigkeit von Grenzwerten)
Sei ( an )n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass es nur einen Grenzwert a gibt.
Lösung
Annahme: Es gebe zwei verschiedene Grenzwerte a und a0 , dann wähle man
ε=
| a − a0 |
| a − a0 |
<
.
4
2
Weil Folge konvergent: | an − a| ≤ ε ∀n ≥ N1 Weil Folge konvergent: | an − a0 | ≤
ε ∀n ≥ N2 Somit muß für n > max( N1 , N2 ) jedes an in zwei disjunkten Intervallen liegen. Widerspruch! (Vielleicht sollte man den Studenten die Situation am Zahlenstrahl
veranschaulichen.)
Aufgabe 4 (Stetigkeit)
Sei f : R → R wie folgt definiert
(
f (x) =
1,
x ∈ Q,
0,
sonst.
Zeigen Sie: f ist nirgendwo stetig.
Lösung
In der Vorlesung wird Stetigkeit über Folgenstetigkeit definiert. Angenommen f wäre
stetig, dann müßte für jede Folge xn → x, xn , x ∈ R gelten:
lim f ( xn ) = f ( lim xn ) = f ( x )
n→∞
n→∞
a) x ∈ R \ Q, dann nehme eine Folge qn → x, qn ∈ Q, wegen Dichtheit von Q, so
folgt
1 =
0 =
lim f (qn )
n→∞
und
f ( x ) = f ( lim qn )
n→∞
b) x ∈ Q, dann nehme eine Folge yn → x, yn ∈ R \ Q, so folgt
0 =
1 =
Aufgabe 5 (Maple - Aufgabe)
lim f (yn )
n→∞
und
f ( x ) = f ( lim yn )
n→∞
Benutzen Sie Maple um folgenden Grenzwert zu berechnen:
1
lim n n
n→∞
Hinweis: Schlagen Sie den Befehl limit in der Hilfe nach.
Lösung
> limit(n^(1/n),n=infinity);
Der Grenzwert ist 1.