Übung 1

Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd
Institut für Mathematik und Informatik
Albrecht: Vorkurs Mathematik
uebung_1_geo.docx: Geometrisches Arbeiten
1. Sie stehen im Urlaub am Strand und blicken auf das Meer hinaus. Um wie viel vergrößert sich Ihre Sichtweite zum Horizont, wenn Sie sich auf die Zehenspitzen stellen?
2. Sie stehen im Hafen auf dem Kai, Ihre Augenhöhe befindet sich genau 6 m über dem
ruhigen Meeresspiegel und warten auf die Ankunft eines Schiffes, das sich von der offenen See her nähert. In welcher Entfernung können Sie das Schiff frühestens erblicken,
wenn die Aufbauten des Schiffes genau 24 m aus dem Wasserspiegel ragen?
3. Die Entfernung zum Horizont ist – wie Sie erfahren haben – auf der Erde nur von der
Augenhöhe über dem Boden bzw. Meeresspiegel abhängig.
a) Wie ist es, wenn wir auf andere Planeten gehen? Berechnen Sie die Entfernung zum
Horizont bei 12 m Augenhöhe auf den folgenden (Zwerg-)Planeten: Merkur, Venus,
Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Pluto. Dabei sollen Sie davon absehen,
ob auf den genannten Planeten eine Sicht wie auf der Erde überhaupt möglich ist.
b) Offensichtlich hat die Größe des Planeten ebenfalls einen Einfluss auf die Sichtweite bzw. den Abstand zum Horizont. Mathematisch ausgedrückt: Die Entfernung
zum Horizont ist (bei konstanter Augenhöhe) eine Funktion des Planetenradius. Erstellen Sie in EXCEL eine Tabelle mit den Spalten Radius und Sichtweite und berechnen für Radien in 1000 km-Schritten die zugehörigen Sichtweiten (bei 12m
Augenhöhe). Lassen Sie sich den funktionalen Zusammenhang graphisch anzeigen.
Um was für einen funktionalen Zusammenhang handelt es sich?
c) Wie weit ist es bis zum Horizont auf einem Planeten mit dem Radius 0? Erklären
Sie Ihr rechnerisches Ergebnis!
4. Statt der in der Vorlesung gefundenen Formel für die Berechnung der Sichtweite soll
angeblich näherungsweise auch die Formel s ≈ 2hr genügen.
a) Überprüfen Sie konkret (anhand der Bedingungen auf der Erde), ob es sich um eine
akzeptable Näherung handelt.
b) Begründen Sie, warum die oben aufgeführte Formel eine gute Näherung darstellt.
5. Zwischen zwei Masten (Abstand 6m) soll an einem Drahtseil genau in der Mitte eine
Straßenlampe aufgehängt werden. Es erfordert großen Kraftaufwand, das Drahtseil völlig stramm zu spannen – ein wenig wird es immer zu lang sein und die Lampe in der
Mitte etwas durchhängen.
a) Um wie viel hängt die Lampe nach unten durch, wenn das Seil 4cm (6cm, 8cm,
10cm, 20cm) zu lang ist?
Bevor Sie rechnen: Schätzen Sie die einzelnen Werte zunächst sorgfältig!
b) Man stelle sich ein 3 m langes Pendel vor, das in Ruhe mit seiner Spitze genau den
Fußboden berührt. Wie weit muss man dieses Pendel auslenken, damit sich seine
Spitze um 2 cm vom Boden abhebt?
6. Einer der ältesten Sätze der Geometrie ist der Satz des Thales.
a) Wie lautet dieser Satz?
b) Beweisen Sie diesen Satz!
Albrecht
uebung_1_geo.docx
Vorkurs Mathematik
7. Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck ABC.
a) Verlängern Sie die Strecke AC über C hinaus.
b) Benennen Sie die Winkel bei A, B und C mit a, b und g. Den Winkel zwischen der
Seite BC und der Verlängerung von AC nennen Sie d.
c) Wie groß ist die Summe der Winkel a, b und g?
d) Wie groß ist die Summe der Winkel g und d?
e) Welche geometrische Aussage folgt, wenn Sie die Gleichungen aus c) und d)
gleichsetzen?
8. Zeichnen Sie in Cinderella einen Kreis (Mittelpunkt und Kreislinie)
a) Legen Sie eine Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises M und bestimmen Sie die
Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis.
b) Konstruieren Sie eine zweite Gerade durch M, welche auf der Ersten senkrecht
steht. Bestimmen Sie ebenfalls die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis.
c) Ergänzen Sie den Kreismittelpunkt und zwei benachbarte Schnittpunkte der Geraden auf dem Kreis zu einem Quadrat.
d) Zeichnen Sie um den Mittelpunkt M und durch den eben konstruierten vierten
Quadratpunkt einen weiteren Kreis.
e) Messen Sie in Cinderella mit der Schaltfläche
die Flächeninhalte beider Kreise.
f) Verändern Sie dynamisch die Größe des ersten Kreises. Was fällt Ihnen auf?
g) Beweisen Sie Ihre Entdeckung!
9. In einem gleichseitigen Dreieck ABC ist der Inkreis gezeichnet. Dieser Inkreis ist seinerseits Umkreis des ebenfalls gleichseitigen Dreiecks DEF. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks DEF in Abhängigkeit vom Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Albrecht
uebung_1_geo.docx
Vorkurs Mathematik
10. In der nachstehenden Figur sei die Gerade durch CD parallel zu AB und der blau markierte Winkel bei E habe 90°. Wie groß ist der rot markierte Winkel bei A?
11. Eine Seifenblase habe einen Durchmesser von 80mm und eine Wandstärke von
0,01mm.
a) Beim Aufsteigen vergrößert sich die Seifenblase, ihr Durchmesser wird um 10mm
größer. Berechnen Sie die Wandstärke der vergrößerten Blase.
b) Die Blase platzt bei einer Wandstärke von 0,005mm. Berechnen Sie den Durchmesser der Blase beim Platzen.