Es gilt außerdem e=lim 1 1 n Wieso Sinnvoll? Summe ist konv

Es gilt außerdem
1 n
e=lim 1 
n
n ∞
Wieso Sinnvoll?
n
1
konv.
k=0 k !
Summe ist konv., d.h. d. Part.-summen s n=∑
Wir wissen, dass diese Part.-summen konv. sind:
 n=
1
1
1

...
1⋅2 2⋅3
 n−1 n
Denn
 n=
n−1
Ü −Serie 1 oder 2
1
1 1
1
s n=11 
...
2 2⋅3
n!
Es ist 1⋅2≤2! ; 2⋅3≤3 ! , n−1 n≤n !
Damit
1
1 1
1
≥ ,
≥ ... usw.
1⋅2 2! 2⋅3 3 !
Es folgt s n≤2 n≤21
 n≤1 wurde schon ausgerechnet
Folge {s n } ist also beschränkt (durch 3) und mon. wachsend
Also ∃lim sn ≤3
n∞
Damit e als lim der s n def.
1 n
Bleibt z. zeigen e=lim 1 
n
n∞
Dazu rechnen!
1
Binomeabn liefern  a= , b=1
n
n
1 n
1 k
1  =∑  n  
n
k=0 k n
¿
n
n n−1 ...n−k 1 1
⋅
¿ 

n⋅n⋅...⋅n k−mal
k =0 1⋅2⋅...⋅k
=∑
n
nn−1...n−k1 1
⋅
n⋅n⋅...⋅n
k!
k=0 
=∑
Faktor heiße f_n(k)
n
1 n
1
⇒1  =∑ f n  k ⋅
n
k!
k =0
n n−1
n−k 1
f n  k = ⋅
⋅...⋅
≤1
n n
n
n
n
1
1
Also ist 1  ≤∑ =s n
n
k=0 k !
1 n
Folgt: 1  ≤e , denn s n e per Def.
n
1 n
Wieso exist. lim 1  ?
n
1 n
Setzen x n=1  vergleichen x n u. x n1
n
Vergleichen f n k  u. f n1  k  für k ≤n
Wissen, dass
1 
≥ , falls ≤
1 
Denn: Ungl. bedeutet ( für pos.  ,  )
≥
1 ≥ 1 
= 
=
Nur mit pos. Zahlen multipliz.. Also Ungl. äquival.
Können Ungl. anwenden mit =n− p , =n
Folgt: f n1 k ≥ f n k 
1 n
Damit auch x n1≥x n ⇒ {x n }ist mon. und beschr.⇒ ∃lim 1  Er heiße z
n
¿
Haben z≤e denn x n≤e 
Beweisen z =e indirekt
Ann. ze
Dann ist auch zs n für n≥n 0
n0
1
k=1 k !
z s n =∑
0
Auch klar x nz ∀ n
n0
1
Wissen x n ≥∑ f n k ⋅
 n≥n0 
k!
k=0
rechts steht nur ein Teil d. Summanden
1−
n ∞ ⇒
n−k 01
n−1 n−2
n−2
,
,... ,
konv. alle gg. 1, z.B
=
n
n
n
n
1
n0
Folgt, dass
∑
k =0
1
f n  k ⋅ mit n ∞ gg
k!
Also ist auch f. große n das x nz
Widerspruch zur Mon. d. Folge {x n}
Also z=e
□
n0
1
∑ k!
k=0
konv.
2
n
Verwandte Limites
i
n
n
n−1
1 n n−1 n
1
n
n−11
1
1
1
x n=1−  =
 , Kehrwert: =
=
=1
 =1
 1

n
n
x n n−1
n−1
n−1
n−1
n−1
n−1
lim 1
1

n−1
lim 1
1
=1
n−1
n∞
n∞
⇒
=e
lim 1
=e
xn
Folgt lim x n=e−1=
1
e
n
x
ii lim 1  x0
n
x n
1 n
1 n x
1  =1  =[1  x ]
n
n
n
x
x
1 nx
Zeigen, dass lim 1  =e
n
x
Schachteln ein
n
n
n
werde durch n1 bzw. n1 1 eingeschachtelt( n1 , n1 )
x
x
x
n1 hängt von x ab, ist ∈ℕ
n
1 nx
1
Erhalten 1  ≥1

n
n11
x
n
1
1 x
1
 ≥1 
n
n1
x
weiter 1
1
n11
1 n
1 n
1
 1=1  1 
n1 1
n1
n1
1
n ∞ liefert n 1 ∞ , also lim wird e⋅1
n 1
1
1

n
n11
1
analog 1
 =
n1
1
1

n11
1
1
n ∞⇒ lim =
⇒1
e
1
1 nx
 muß gg e konv.
n
x
x n
⇒ lim 1  =e x
n