sn=∑ ∑ ∑ ∑

Konv. v. Reihen
n
s n=∑ a k , a k ∈ℝ
k =1
Def. Reihe konv., falls Partialsummen s n konv.
∞
speziell a k ≥0∧bk ∈[0, a k ]∀ k , folgt aus d. Konv. d. Reihe ∑ a k die der Reihe
k=1
n
0≤ n≤s n ∀  n=∑ bk u. es ist d. Folg. der$ %sigma_n mon. u. beschr.⇒ ∃lim
k =1
Konv. u. absolute Konv.
Betr.
∞
∞
k =1
k=1
∑ a k u. dazu ∑∣a k∣
Partialsummen seien s n , n
Bsp.
1
ak =
−1k
1 1
s n=−1 − ...−...
2 3
∞
∑1
∞
∑∣a k∣=112 13 ...= k=1
k
(harmon. Reihe, konv. nicht, Summe=∞ )
k =1
Wenn
∞
∑ ∣a k∣ endlich ⇒
Reihe abs. Konv.
k =1
ob. Bsp. ist 'alternierende Reihe', d.h. a k , a k1 haben stets unterschiedl. Vorz.
Außerdem gilt ∣a k∣0 k ∞ , sowie ∣a k1∣≤∣a k∣
Angenomm., Reihe bes. diese 3 Eigenschaften
∞
∑ b k , da
k=1
leibnitzsches Konv-Krit.
dann konv, die Reihe
∞
∑ ak
k=1
Die 3 Bed. sind nur hinreichend f. d. Konv. der Reihe, nicht notwendig
Bew.
Ann.3 Bed. erfüllt
o.B.d.A a1 0
Betr. Partialsummen für ungerad. Index s 2n1= a 1a 2a 3...a 2n a 2n1 
0
≥0
≥0
gerad. s 2n=a 1a 2 a 3a 4 ...a 2n−1a 2n
≤0
≤0
≤0
s 2n1 mon. wachs.(nicht notwendig streng) in n
s 2n mon. fallend(nicht notw. strng) in n
s 2n1−s 2n=a 2n1
n.V.
wissen ∣a 2n∣  0
s 2n1≤s 2n∣a 2n1∣≤s 2∣a 2n1∣≤s 21 (n groß)
⇒ Folg. d. s 2n1 ist n. ob. beschr. u. mon. wachs. ⇒∃lim s 2n1=s u
n∞
analog lim s2n =s  g 
n∞
∣s 2n1−s 2n∣=absa 2n1  0n ∞
folgt s u=s  g 
∞
Also s= s(g)=s(u) d. gemeins. lim aller Part.-summen ⇒ ∃ endl. ∑ a k
def.
k=1
Satz
abs. Konv. ⇒ Konv. nicht umgek., z.B. -1+1 over 2- 1 over 3+...-...
Bew.
Betr. s n , s m , n0nm
gilt s m−s n=a n1a n2...a m
wenden 3ecksungl. an
∣s m−s n∣=∣a n1...a m∣≤∣a n 1∣...∣a m∣
n0
Sei 0 bel. fix u. n0 so groß, dass  n =∑ ∣a k∣−
0
∞
∞
k=n
k=n0
folgt ∣a n 1∣...∣a n∣≤∑ ∣a k∣≤ ∑ ∣a k∣
k=1

k =1

n0
da schon
∞
=∑ ∣a k∣∞
∑∣a k∣−
k=1
Also auch ∣s m−s n∣ , wenn n 0nm , d. h. die Folg. d. Part-summen s n bildet p.D. Cauchyfolg.
Elemente alle aus ℝ ⇒ folge d. s n ist konv.
□
Umsortieren v. abs. konv. Reihen
Sei
∞
∑∣a k∣=
endl.
k=1
Entstehe d. Reihe
∞
∑ bk
k =1
durch Umsort. d. Zahlen a k , k ∈ℕ
Beh.
∞
∑∣b k∣=
k=1
Bew.
n
sei  n=∑ ∣a k∣
k =1
wenn m hinr. groß, sind alle Zahlen ∣a k∣1≤k ≤n i.d. Menge aller ∣bk∣1≤k≤m enthalten
∞
⇒ n≤s m = ∑∣b k∣
def.
k =1
folgt ∀ Part-summen  n ∃Part-summe d. 2. Reihe mit  n≤s m
Wenn  n ∞ n∞ , auch s m ∞ m∞
Wenn  n  endl , folgt lim s m≥
∞
∞
k=1
k =1
Möglich: vertauschen d. Reihen, d. h. gehen von ∑ ∣bk∣ aus zu ∑ ∣a k∣
folgt auch (wie oben) ∑ ∣b k∣ divergiert ⇒ ∑ ∣a k∣ div. , ∑ ∣bk∣konv. ⇒ ∑ a k konv.,
beide Betragsreihen haben denselben lim
□
Es gilt auch (f. abs. konv. Reihen)
∞
∞
k=1
k=1
∑ a k =∑ b k
Bew.
Betr. Reihe mit d. Summanden
∣a k∣ ,∣b k∣
∣a k∣a k ,∣b k∣bk
Part-summ. seien  n , s n , bzw. q n , v n
wissen ∣a k∣a k ≥0≤∣b k∣b k ⇒lim q n=lim v n , lim  n=lim s n
n
 ∑ a k  n=u n
k=1
n
anal.  ∑ b k s n=v n
k=1
n
 n  , un u ⇒ ∑ a k u−
k=1
n
anal. s n  s , v n  v ⇒ ∑ b k  v−s
k=1
=s , v=u