02.02.11

Konvergenz
allgemein x n ∈X metr. Raum , d Metrik
x n  x , d.h. pD. ∀ 0∃ n: d
 x m , x  ∀ m
Ungl. gilt für fast alle n
Spezialisierungen
Was ist X, was ist d
1. X =ℝ
haben hier: ∣x∣ ist def. ,∣x y∣≤∣x∣∣y∣ ,∣x∣≥0,∣x∣=0 ⇔ x =0,∣rx∣=∣r∣∣x∣
Damit def. d  x , y :=∣x− y∣
monotone, beschränkte Folgen, Satz v. Bolzano-Weierstr.
2. X =ℂ
x :=uiv , x n=u nivn
∣x∣=∣uiv∣:= u 2v 2 ,∣x∣≤r
Konv. x n 0 ⇔∣x n−0∣0 ⇔u n  0∧v n 0 wurde benutzt bei Def. von e z , sin z , cos z
3. stetige Fktnen.
X besteht aus stetgen Fktnen f : [a , b]ℝ
Betrag
∣
f∣
= sup
Betrag einer Fkt.
x ∈[ a ,b ]
∣
f  x ∣
Betrag einer reellen Zahl
Schreiben ∥ f ∥ statt ∣ f ∣ , nennen das Norm von f
∥ f  g∥≤∥ f ∥∥g∥
∥r⋅ f ∥=∣r∣∥ f ∥
∥ f ∥≥0,∥ f ∥=0 ⇔ f =0, d.h. f  x=0 ∀ x∈[a , b]
d  f , g :=∥ f −g∥
Konv. f n  f , falls ∀ ∃n :∣ f m  x − f  x ∣ ∀ mn ∀ x ∈[a , b ]
das bedeutet ∥ f m− f ∥ , falls m> n 
Wozu dies alles
n
f  n a 
 x−a k
k
!
k=0
Siehe Taylorreihe f n  x=∑
haben f n  xR n  x = f  x 
f  n1 
∃∈a , x: Rn  x =
 x−a n1
n1
Rn  x= f  x− f n  x soll <  werden (im Betrag) für alle x, die uns interessieren
Spezialisierung bzgl. der Rolle von x n
Reihen
geg.: reelle Zahlen a n , n=1,2 , ... und wir haben Partialsummen gebildet
n
x n=∑ a k , berechnet mit s n , S n
k=1
Def.: Reihe konv. gg. x falls x n  x als Folge , s n  s andere Bezeichnung
hinreichende Bedingungen
 −Kriterium, Quotientenkriterium, Leibnitzkrit.
weitere Spezialisierung a n=c n y n , c n ∈ℝ , y ∈ℝ
frage: für welche y konv d. Reihe (absolut) ...Konvergenzradius/Konv.intervall
Spezialisierung zur Stetgkeit
f : X Y metr. Räume
Stetgk. in x bedeutet pD.: Wenn 0∧ x n  x , so ∃n:
d Y  f  x , f  x  falls mn .
Was heißt x  x
Das ist konv. in X mit Abstand d X und bedeutet, dass d X  x n , x 0∈ℝ
Bei uns war fast immer X =Y =ℝ , Abstände per Betrag
Speziell für Abl.
Folgen a n=
1
 f  x hn − f  x 
hn
gefordert: a n  a falls h n 0, hn≠0, kurz a=lim
1
 f  x h− f  x 
h
Spezielle Folgen
N
x n hießen S : Integralsummen S =∑ f i   xi
i=1
Was konv. gg. 0?
N
=max  x i
i =1
b
Integral ∃∫ f  x dx ⇔ lim S n=
 n 0
a
A
, falls  N  0
stets derselbe Limes
b
dann ist ∫ f  x dx= A
a
1
Anwendung Es sitze eine Schnecke an einem Baum. Die Schnecke kletters pro Tag m ,
2
der Baum wächst pro Tag 1 m, am Anfang 10 m hoch
Kommt die Schnecke oben an?
Sei h Höhe d. Schnecke, x Höhe d. Baumes
Nach einem Tag ist x'=x+1 neue Höhe und - wenn Schnecke sich nich bewegt h' h
x1
= ⇒ h '=h
x' x
x
Nach Tag 1: h1
1
Baum 11 m
2,
Nach Tag 2: h2≥
12
1 1 12 1 12 1
1
1
h1 ≥ ⋅  ⋅ = ⋅12   , Baum 12 m
11
2 2 11 2 12 2
11 12
1
1
1
Nach k Tagen h k ≥ 10k  ...

2
11
10k
Bew. durch Induktion (führe ich nicht aus)
Bem. f. Stephan h k1≥hk
k groß
harmon Reihe
⇒
10k1 1

10k
2
1
1
1
...
wird >2, also ist hk ≥ 10k2=10k
11
10k
2