Einführung in die Logik (Vorkurs)

Einführung in die Logik (Vorkurs)
Jürgen Koslowski
2014-04-07
Ein Beispiel
Familie A will im kommenden Jahr eine Waschmaschine, ein Auto
und ein Moped anschaffen. Aber falls Herr A seinen üblichen
Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. Die
Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Zudem braucht die Familie
mindestens ein Fortbewegungmittel. Wenn sie in den Urlaub fahren
will, kann sie sich kein Auto leisten. Wenn sie nicht in den Urlaub
fahren, muß sie aber ein Moped kaufen, um den Sohn zu
besänftigen.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Ein Beispiel
Familie A will im kommenden Jahr eine Waschmaschine, ein Auto
und ein Moped anschaffen. Aber falls Herr A seinen üblichen
Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. Die
Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Zudem braucht die Familie
mindestens ein Fortbewegungmittel. Wenn sie in den Urlaub fahren
will, kann sie sich kein Auto leisten. Wenn sie nicht in den Urlaub
fahren, muß sie aber ein Moped kaufen, um den Sohn zu
besänftigen.
Zeigen Sie, dass Familie A ein Moped und kein Auto anschafft,
sofern Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:
− Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds
wird mit W , A, bzw. M abgekürzt.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:
− Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds
wird mit W , A, bzw. M abgekürzt.
− Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:
− Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds
wird mit W , A, bzw. M abgekürzt.
− Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses
− und U für den Antritt einer Urlaubsreise.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.
Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.
Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander
in Beziehung setzen:
Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:
− Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds
wird mit W , A, bzw. M abgekürzt.
− Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses
− und U für den Antritt einer Urlaubsreise.
Diese verknüpfen wir dann gemäß der (informell sicherlich
bekannten) logischen Junktoren
¬ “nicht” , ∧ “und” , ∨ “oder” , ⇒ “impliziert”
> “Tautologie” , ⊥ “Absurdität”
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
− “Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können
sie sich nicht alles leisten.”
¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
− “Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können
sie sich nicht alles leisten.”
¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)
− “Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar.”
W
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
− “Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können
sie sich nicht alles leisten.”
¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)
− “Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar.”
W
− “Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel.”
A∨M
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
− “Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können
sie sich nicht alles leisten.”
¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)
− “Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar.”
W
− “Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel.”
A∨M
− “Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten.”
U ⇒ ¬A
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
− “Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können
sie sich nicht alles leisten.”
¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)
− “Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar.”
W
− “Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel.”
A∨M
− “Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten.”
U ⇒ ¬A
− “Wenn sie nicht in den Urlaub fahren, muß sie aber ein Moped
kaufen.”
¬U ⇒ M
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
Hilfssymbolen wie Klammern
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
Hilfssymbolen wie Klammern
bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln,
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
Hilfssymbolen wie Klammern
bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit
der Junktoren
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
Hilfssymbolen wie Klammern
bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit
der Junktoren und die korrekte Klammerung zugrunde liegen:
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax
Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels “und” (∧):
(¬B ⇒ ¬(W ∧ A ∧ M)) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (U ⇒ ¬A) ∧ (¬U ⇒ M) (∗)
Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus
atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)
logischen Junktoren
Hilfssymbolen wie Klammern
bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit
der Junktoren und die korrekte Klammerung zugrunde liegen:
¬ unär ,
J. Koslowski
∧, ∨, ⇒
binär
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik
Mit der obigen Formel (∗) kann man noch nicht viel anfangen, wir
müssen sie umformen.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik
Mit der obigen Formel (∗) kann man noch nicht viel anfangen, wir
müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der
logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik
Mit der obigen Formel (∗) kann man noch nicht viel anfangen, wir
müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der
logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik
Mit der obigen Formel (∗) kann man noch nicht viel anfangen, wir
müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der
logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik.
Diese kann Wahrheitstabellen verwenden, oder “algebraisch”
vorgehen: belegt α die relevanten atomaren Aussagen mit Wahrheitswerten aus {0, 1}, so definiert man (klassisch)
α
b(¬φ) = 1 − α
b(φ)
α
b(φ ∧ ψ) = inf{b
α(φ), α
b(ψ)}
α
b(φ ∨ ψ) = sup{b
α(φ), α
b(ψ)}
α
b(φ ⇒ ψ) = sup{1 − α
b(φ), α
b(ψ)}
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik
Mit der obigen Formel (∗) kann man noch nicht viel anfangen, wir
müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der
logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik.
Diese kann Wahrheitstabellen verwenden, oder “algebraisch”
vorgehen: belegt α die relevanten atomaren Aussagen mit Wahrheitswerten aus {0, 1}, so definiert man (klassisch)
α
b(¬φ) = 1 − α
b(φ)
α
b(φ ∧ ψ) = inf{b
α(φ), α
b(ψ)}
α
b(φ ∨ ψ) = sup{b
α(φ), α
b(ψ)}
α
b(φ ⇒ ψ) = sup{1 − α
b(φ), α
b(ψ)}
φ heißt erfüllbar, wenn eine Belegung α existiert mit α
b(φ) = 1.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Umformungsregeln
Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln
zwischen Formeln, unter anderem
X ⇒ Y ≡ Y ∨ ¬X
¬(X ∧ Y ) ≡ ¬X ∨ ¬Y
¬¬X ≡ X
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Umformungsregeln
Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln
zwischen Formeln, unter anderem
X ⇒ Y ≡ Y ∨ ¬X
¬(X ∧ Y ) ≡ ¬X ∨ ¬Y
¬¬X ≡ X
Damit läßt sich (∗) umformen in konjunktive Normalform (KNF)
(¬W ∨ ¬A ∨ ¬M ∨ B) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (¬A ∨ ¬U) ∧ (M ∨ U) (∗∗)
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Umformungsregeln
Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln
zwischen Formeln, unter anderem
X ⇒ Y ≡ Y ∨ ¬X
¬(X ∧ Y ) ≡ ¬X ∨ ¬Y
¬¬X ≡ X
Damit läßt sich (∗) umformen in konjunktive Normalform (KNF)
(¬W ∨ ¬A ∨ ¬M ∨ B) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (¬A ∨ ¬U) ∧ (M ∨ U) (∗∗)
eine Konjunktion (“und”-Verknüpfung) sogenannter Klauseln, die
wiederum aus Disjunktionen (“oder”-Verknüpfungen) atomarer
Aussagen oder deren Negationen, sogenannter Literale, bestehen.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Resolventen
Definition
Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ ∨ X und ¬X ∨ ψ,
wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ∨ ψ gegeben.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Resolventen
Definition
Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ ∨ X und ¬X ∨ ψ,
wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ∨ ψ gegeben.
Satz
Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln
von σ, dann gilt σ ≡ σ ∧ τ .
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Resolventen
Definition
Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ ∨ X und ¬X ∨ ψ,
wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ∨ ψ gegeben.
Satz
Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln
von σ, dann gilt σ ≡ σ ∧ τ .
Satz
Eine Formel in KNF ist genau dann nicht erfüllbar, wenn aus ihr
die Absurdität als Resolvente herleitbar ist.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Resolventen
Definition
Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ ∨ X und ¬X ∨ ψ,
wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ∨ ψ gegeben.
Satz
Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln
von σ, dann gilt σ ≡ σ ∧ τ .
Satz
Eine Formel in KNF ist genau dann nicht erfüllbar, wenn aus ihr
die Absurdität als Resolvente herleitbar ist.
Dies ermöglicht die mechanische Behandlung der Ausgangsfrage:
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auflösung der Frage
(¬W ∨ ¬A ∨ ¬M ∨ B) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (¬A ∨ ¬U) ∧ (M ∨ U) (∗∗)
liefert zusammen mit der Voraussetzung ¬B u.a. die Resolventen
¬A ∨ ¬M, ¬A ∨ U und somit ¬A.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auflösung der Frage
(¬W ∨ ¬A ∨ ¬M ∨ B) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (¬A ∨ ¬U) ∧ (M ∨ U) (∗∗)
liefert zusammen mit der Voraussetzung ¬B u.a. die Resolventen
¬A ∨ ¬M, ¬A ∨ U und somit ¬A.
Beim Kauf eines Autos wäre die Klausel A hinzuzufügen, die mit
der Resolvente ¬A die Resolvente ⊥ erzeugt; damit ist der Kauf
eines Autos nicht mit den anderen Voraussetzungen einschließlich
¬B verträglich.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auflösung der Frage
(¬W ∨ ¬A ∨ ¬M ∨ B) ∧ W ∧ (A ∨ M) ∧ (¬A ∨ ¬U) ∧ (M ∨ U) (∗∗)
liefert zusammen mit der Voraussetzung ¬B u.a. die Resolventen
¬A ∨ ¬M, ¬A ∨ U und somit ¬A.
Beim Kauf eines Autos wäre die Klausel A hinzuzufügen, die mit
der Resolvente ¬A die Resolvente ⊥ erzeugt; damit ist der Kauf
eines Autos nicht mit den anderen Voraussetzungen einschließlich
¬B verträglich.
Beim Kauf eines Mopeds wäre die Klausel M hinzuzufügen, mit
der die neuen Resolventen ¬W ∨ ¬A ∨ B. Aber ⊥ läßt sich nicht
erzeugen, insofern ist der Kauf eines Mopeds mit den anderen
Voraussetzungen einschließlich ¬B verträglich.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Zeitkomplexität
Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der
Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die
bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode
exponentiell viele Schritte erfordern.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Zeitkomplexität
Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der
Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die
bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode
exponentiell viele Schritte erfordern.
Definition
Unter einer Hornformel versteht man eine Formel in KNF, in der
pro Klausel höchstens ein positives Literal und keine negatives
Literal doppelt vorkommt.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Zeitkomplexität
Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der
Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die
bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode
exponentiell viele Schritte erfordern.
Definition
Unter einer Hornformel versteht man eine Formel in KNF, in der
pro Klausel höchstens ein positives Literal und keine negatives
Literal doppelt vorkommt.
Für Hornformeln existieren Algorithmen zur Analyse der
Erfüllbarkeit, deren Laufzeit höchstens quadratisch in der Anzahl
der Literale ist (mit Wiederholungen).
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Bemerkungen
Im realen Leben“, etwa in der Bahnindustrie, werden zur
”
Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu 300.000
atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet.
Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv
erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable“).
”
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Bemerkungen
Im realen Leben“, etwa in der Bahnindustrie, werden zur
”
Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu 300.000
atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet.
Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv
erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable“).
”
SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher
nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der
Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2).
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Bemerkungen
Im realen Leben“, etwa in der Bahnindustrie, werden zur
”
Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu 300.000
atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet.
Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv
erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable“).
”
SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher
nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der
Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2).
Die Programmiersprache Prolog basiert auf dem Konzept
der Hornformeln.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Bemerkungen
Im realen Leben“, etwa in der Bahnindustrie, werden zur
”
Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu 300.000
atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet.
Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv
erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable“).
”
SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher
nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der
Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2).
Die Programmiersprache Prolog basiert auf dem Konzept
der Hornformeln.
In der Aussagenlogik ist alles was syntaktisch herleitbar ist
auch wahr ist (Korrektheit), und alles was wahr ist, auch
syntaktisch herleitbar (Vollständigkeit).
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Prädikatenlogik
Das obige Beispiel stammte aus der Logik atomarer und
zusammengesetzter Aussagen, die wahr oder falsch sein können.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Prädikatenlogik
Das obige Beispiel stammte aus der Logik atomarer und
zusammengesetzter Aussagen, die wahr oder falsch sein können.
Die Prädikatenlogik (auch als Logik der ersten Stufe“ bekannt) ist
”
viel stärker als die Aussagenlogik, denn sie ermöglicht es, Aussagen
über die Objekte eines spezifischen mathematischen Universums“
”
zu formulieren, genauer, über
Eigenschaften solcher Objekte,
Relationen zwischen derartigen Objekten, und
Funktionen, die auf Teilmengen solcher Objekte definiert sind.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax der Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für
das konkrete Universum intendierten Funktionen und
Relationen in einer Signatur zusammengefasst.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax der Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für
das konkrete Universum intendierten Funktionen und
Relationen in einer Signatur zusammengefasst.
Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme
bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte
Elemente der Grundmenge liefern.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax der Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für
das konkrete Universum intendierten Funktionen und
Relationen in einer Signatur zusammengefasst.
Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme
bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte
Elemente der Grundmenge liefern.
Die atomaren Formeln der Prädikatenlogik postulieren die
Gleichheit von Termen, oder dass bestimmte Terme in
spezifischen Relationen der Signatur stehen.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Syntax der Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für
das konkrete Universum intendierten Funktionen und
Relationen in einer Signatur zusammengefasst.
Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme
bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte
Elemente der Grundmenge liefern.
Die atomaren Formeln der Prädikatenlogik postulieren die
Gleichheit von Termen, oder dass bestimmte Terme in
spezifischen Relationen der Signatur stehen.
Der Abschluss dieser Menge unter aussagenlogischer
Verknüpfung mittels Junktoren und unter Quantifizierung
mittels neuer Quantoren ∀ (“für alle”) und ∃ (“es existiert”)
liefert die Menge der Formeln für die gegebene Signatur.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele
solcher Formeln.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele
solcher Formeln. Z.B. wird
“die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2”
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele
solcher Formeln. Z.B. wird
“die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2”
häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig
formuliert:
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele
solcher Formeln. Z.B. wird
“die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2”
häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig
formuliert:
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x : (|x − 2| < δ ⇒ (|f (x) − f (2)| < ε))
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele
solcher Formeln. Z.B. wird
“die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2”
häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig
formuliert:
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x : (|x − 2| < δ ⇒ (|f (x) − f (2)| < ε))
Mit den einstelligen Funktionssymbolen f (x) und a(x) (für Betrag)
und dem 2-stelligen m(x, y ) (für Differenz), den Konstanten 0 und
2 und dem zweistelliges Prädikat >: bekommt die obige Formel die
korrekte aber leider etwas unübersichtlichere Form
∀ε : ε > 0 ⇒ ∃δ : δ > 0 ∧ ∀x : δ > a(m(x, 2)) ⇒ ε > a(m(f (x), f (2)))
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik der Prädikatenlogik
Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und
Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen
Grundmenge A.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik der Prädikatenlogik
Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und
Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen
Grundmenge A.
Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik der Prädikatenlogik
Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und
Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen
Grundmenge A.
Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A.
Bei der Interpretation von ∀x : φ bzw. ∃x : φ sind alle Elemente
der Grundmenge A für die nunmehr freie Variable x in φ zu
substituieren, und das Infimum, bzw. Supremum aller
resultierenden Wahrheitswerts zu bilden.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Semantik der Prädikatenlogik
Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und
Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen
Grundmenge A.
Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A.
Bei der Interpretation von ∀x : φ bzw. ∃x : φ sind alle Elemente
der Grundmenge A für die nunmehr freie Variable x in φ zu
substituieren, und das Infimum, bzw. Supremum aller
resultierenden Wahrheitswerts zu bilden.
Hier können wir nicht in die Tiefe gehen.
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)
Inhalt der Vorlesung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Einleitung
Aussagenlogik
Eigenschaften von Formeln
Normalformen
Resolutionsmethode der Aussagenlogik
Semantische Folgerung
Natürliche Deduktion
Horn Logik
Syntax der Prädikatenlogik
Semantik der Prädikatenlogik
Logische Äquivalenz
Normalformen
Herbrandtsche Modelle und abstrakte Datentypen
Resolutionsmethode der Prädikatenlogik
J. Koslowski
: Einführung in die Logik (Vorkurs)