P - Fakultät Statistik (TU Dortmund)
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Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero ? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen ? Kann man Geschmack objektiv messen ? - Geschmack ist subjektiv - Geschmack ist beeinflussbar Mit statistischen Methoden geht das ! Methode zum objektiven Nachweis von Geschmacksunterschieden: Der Dreieckstest Eines der drei Gläser enthält ein Getränk von einer anderen Marke. Welches? Natürlich rät (im Schnitt) jeder dritte Prüfer, der keinen Unterschied schmeckt, per Zufall das richtige Glas. Wenn Sie 7 Prüfer haben, die alle nichts schmecken, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 7 zufällig richtig raten, gleich 7 1 1 = 2187 3 Wenn also bei 7 Prüfpersonen alle 7 richtig antworten, dann schließen wir: DAS KANN KEIN ZUFALL SEIN ! Also müssen (zumindest einige) Prüfpersonen den Unterschied tatsächlich geschmeckt haben → Es gibt einen Geschmacksunterschied Übrigens: Auch wenn 6 von 7 Prüfern richtig antworten (und einer falsch), würden wir zum gleichen Schluß kommen: P(mind. 6 von 7 Prüfpers. raten richtig) 6 7 15 1 1 2 1 = × ×7 + = = 2187 146 3 3 3 Ist ein Unterschied vorhanden, aber so dass nur ein Teil der Prüfpersonen ihn schmecken, während ein Teil raten muss, dann ist bei nur 7 Prüfpersonen das Risiko zu groß, dass wir zwei oder mehr Nichtschmecker in der Studie haben (und keinen Unterschied nachweisen können - obwohl es einen gibt). Allgemein: Wenn alle Prüfpersonen keinen Geschmacksunterschied bemerken und nur raten, wenn alle Prüfpersonen ihre Urteile unabhängig voneinander abgeben, und wenn alle Prüfpersonen beim Raten Erfolgswahrscheinlichkeit 1/3 haben, so ist die Anzahl richtiger Antworten binomialverteilt. Haben wir mehr richtige Urteile als bei Binomialverteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit 1/3 noch plausibel wäre, so verwerfen wir die Nullhypothese H0: Es gibt keinen Geschmacksunterschied und entscheiden auf H1: Es gibt einen Geschmacksunterschied Bei n = 25 Prüfpersonen reichen 13 richtige Antworten zum Nachweis eines Geschmacksunterschieds. Wir könnten uns also einige Nichtschmecker erlauben. Je größer die Anzahl der Prüfpersonen, desto mehr Nichtschmecker sind möglich. Durchführung eines Dreieckstests ? Welcher Kreis unterscheidet sich (in der Farbe) am meisten von den beiden anderen ? Welcher Kreis unterscheidet sich (in der Farbe) am meisten von den beiden anderen ? und hier ? Y A X Technische Maßnahmen beim Dreieckstest: - Identische Darreichungsform - Identifikation durch Zufallszahlen - Für jede Prüfperson neu auswürfeln, wo besonderes Glas steht Dreieckstest auf Farbunterschiede (im Rahmen einer Diplomarbeit) Bei einem Teil der Beobachtungen gab es drei gleiche Farbblättchen. Entscheidungen: 57 177 86 Experiment mit 15 Mitarbeitern der Fakultät Statistik am 25.1.2012 Auswertung: Wenn wir n = 15 Prüfpersonen haben und das Signifikanzniveau 5% wählen, können wir auf signifikanten Geschmacksunterschied entscheiden, sobald die beobachtete Anzahl richtiger Antworten, x, groß genug ist, dass P(X ≥ x) £ 0,05, wobei X eine IB(15, 1/3) - verteilte Zufallsvariable ist. Tabelle Binomialverteilung mit n = 15 und p = 1/3 x P(X £ x) P(X ≥ x) 7 0,92 0,20 8 0,97 0,09 9 0,991 0,03 10 0,998 0,008 Also brauchen wir mindestens 9 richtige Antworten. Da wir im Experiment tatsächlich gerade 9 richtige Antworten erhielten, haben wir einen signifikanten Unterschied nachgewiesen! Coca Cola und Cola Zero schmecken also nachweislich nicht gleich. Weitergehende Auswertung: Wenn wir 9 richtige und 6 falsche Antworten haben, so hat vermutlich ein Teil der Prüfpersonen nichts geschmeckt und falsch geraten ein Teil der Prüfpersonen nichts geschmeckt und lediglich richtig geraten Ein Teil der Prüfpersonen hat den Unterschied geschmeckt und bewusst die richtige Antwort gegeben. Wieviele? Schätzungsweise? Die Wahrscheinlichkeit, dass eine (zufällig herausgegriffene) Prüfperson eine richtige Antwort gibt, berechnet sich aus P(richtige Antwort) = P(schmeckt den Unterschied) × 1 + P(schmeckt nichts) × 1/3, wobei P(schmeckt nichts) = 1 − P(schmeckt den Unterschied) Also ergibt sich P(schmeckt den Unterschied) = (3/2)× P(richtige Antwort) − 1/2 Da 9/15 = 0.6, schätzen wir P(schmeckt den Unterschied) = 0.4 Wir können auch einen Konfidenzbereich angeben: Mit 90% Sicherheit liegt die Wahrscheinlichkeit richtig zu schmecken bei x = 9 richtigen von insgesamt n = 15 Antworten zwischen 0,12 und 0,71. Also: mindestens 12% und höchstens 71% der Prüfpersonen einer Vergleichspopulation würden den Unterschied schmecken. (Das Konfidenzintervall wäre kleiner, wenn eine größere Zahl von Probanden teilgenommen hätte.)
