Probleme mit Bekannten und Unbekannten

Probleme mit Bekannten und Unbekannten
Eine Lösung der Knobelaufgabe vom Sommer 2003 (Juli - September
Studiengang Informatik
FH Aalen
Teil 1
Insgesamt sind es 6 Personen. Die Anzahl der Personen, die einer kennt, ist folglich eine Zahl
aus {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Dies sind 6 Möglichkeiten. Auf den ersten Blick sieht es also so aus, als
ob damit jeder eine andere Zahl von Personen kennen kann.
Auf den zweiten Blick aber nicht: die Zahlen 0 und 5 schließen sich nämlich gegenseitig
aus.
• Wenn es einen gibt der niemand kennt, kann es keinen geben, der alle kennt.
• Wenn es einen gibt der alle kennt, kann es keinen geben, der niemand kennt.
Folglich gibt es für 6 Personen nur 5 Zahlen zur Auswahl, und somit muss eine Zahl doppelt
auftauchen.
Das zum Schluss benützte Argument geht auf Dirichlet zurück und ist in der Literatur
als Dirichlet’scher Schubfachschluss (oder auch Taubenschlagprinzip) bekannt. Populär formuliert lautet es:
Verteilt man m Handys in n Schubladen, wobei m > n ist, dann gibt es eine
Schublade in der mindestens 2 Handys sind.
Der Schubfachschluss so offensichtlich, dass man meinen könnte, damit lässt sich nicht
viel Interessantes anfangen. Das Gegenteil ist der Fall! Die Aufgabe oben ist eine schöne
Anwendung und wer in diverse Bücher schaut wird viele weitere finden.
Teil 2
Um die Situation zu veranschaulichen repräsentieren wir jeden der Gauner durch einen Punkt.
Dann verbinden wir je zwei der Punkte durch einen Strich, und zwar durch einen grünen
Strich, wenn sich die entsprechenden Gauner kennen, sonst durch einen roten Strich.
Es gibt keine drei, die sich gegenseitig kannten. Im Bild heißt das, dass es kein grünes
Dreieck gibt. Die Folgerung von Data Küppinmüllnix ist, dass es dann ein rotes Dreieck
geben muss.
Bezeichnen wir die Punkte mit A, B, C, D, E, und F. Wir betrachten den Punkt A. Er hat
5 Nachbarn. Eine der Farben, grün oder rot, kommt bei Punkt A häufiger vor (mindestens 3
Mal) als die andere.
Fall 1. Grün kommt bei Punkt A mindestens 3 Mal vor. Sagen wir, die Verbindung zu den
Punkten B, C und D ist grün. Da es kein grünes Dreieck gibt, ist die Verbindung
von B nach C rot. (Sonst wäre A, B, C ein grünes Dreieck.) Das Gleiche gilt für die
Verbindungen von C nach D und von B nach D. Damit hat man das rote Dreieck B, C,
D!
Fall 2. Rot kommt bei Punkt A mindestens 3 Mal vor. Sagen wir, die Verbindung zu den
Punkten B, C und D ist rot. Da das Dreieck B, C, D nicht grün ist, gibt es eine rote
Verbindung, sagen wir von B nach C. Dann ist A, B, C ein rotes Dreieck.
Was wir gezeigt haben kann man auch so formulieren:
Sind 6 Punkte paarweise mit Strichen verbunden, wobei jeder Strich eine von 2
Farben hat. Dann gibt es ein einfarbiges Dreieck.
Dies ist der einfachste Spezialfall eines allgemeineren Theorems von Ramsey. Das Gleiche gilt
natürlich auch, wenn man mehr wie 6 Punkte hat. Allerdings gilt es nicht mehr bei weniger
Punkten. Da kann man sich leicht Gegenbeipiele überlegen.
Teil 3
Es sind 12 Personen. Da niemand sich selbst und auch nicht seinem Partner die Hand
schüttelt, kann jeder maximal 10 anderen Personen die Hand schütteln. Die Frau von Theo
Tierischkomplexix erhält also jede der 11 Zahlen 0, 1, . . . , 10 genau einmal als Antwort.
Betrachten wir die Person, die 10 Personen die Hand geschüttelt hat. Nennen wir sie P10 .
P10 hat also allen Personen die Hand geschüttelt, bis auf den Partner von P10 . Folglich haben
alle diese Personen mindestens einmal Hände geschüttelt (nämlich mit P10 ). Die einzige
Person, die als Antwort 0 geben kann ist folglich der Partner von P10 !
Als nächstes reduzieren wir die Problemstellung: stellen wir uns vor, P10 und Partner
wären gar nicht zu dem Treffen gekommen. Dann hätten alle Anwesenden genau einmal
weniger Hände geschüttelt. Die Antworten wären dann genau die Zahlen 0, 1, . . . , 8. Mit
dem gleichen Argument wie oben, müssen die Personen mit den Antworten 0 und 8 ein Paar
sein. Im Ausgangsproblem waren dies die Personen mit den Antworten 1 und 9.
Indem wir die Problemstellung weiter reduzieren, (im nächsten Schritt also das zweite
gefundene Paar auch noch weglassen) können wir nach und nach die Paare zuordnen: die
Personen mit den Antworten 2 und 8 müssen ein Paar sein, die mit 3 und 7, und die mit 4
und 6.
Übrig bleibt die Person, die 5 anderen die Hand geschüttelt hat. Dies ist Theo Tierischkomplexix! Er ist der einzige in der Liste ohne Partner, da sich seine Frau nicht selbst gefragt
hat.