¨Uberblick: “Klassische Logik”

Ludwig-Maximilians-Universität München
Institut für Informatik
Dr. S. Merz
SS 2001
Begleitblatt 1
Temporale Logik
Überblick: “Klassische Logik”
1. Aussagenlogik
Sei V eine (höchstens abzählbar unendliche) Menge von atomaren Aussagen.
Sprache LAL (V) (kurz: LAL ) der Aussagenlogik.
Alphabet:
• alle Elemente von V
• die Zeichen false, →, (, )
Induktive Definition der Formeln:
1. Jede atomare Aussage v ∈ V ist eine Formel.
2. false ist eine Formel.
3. Sind A und B Formeln, so ist auch (A → B ) eine Formel.
Abkürzungen:
¬A
A∨B
A∧B
A↔B
true
für
für
für
für
für
A → false
¬A → B
¬(A → ¬B )
(A → B ) ∧ (B → A)
¬false
Semantik. Vorgegeben ist die Menge {f, t} von Wahrheitswerten.
Eine Belegung B für LAL (V) ist eine Abbildung B : V → {f, t}.
Induktive Fortsetzung einer gegebenen Belegung B auf alle Formeln von LAL (V):
1. B(v ) für v ∈ V ist gegeben.
2. B(false) = f.
3. B(A → B ) = t
⇐⇒
B(A) = f oder B(B ) = t.
Für die weiteren Operatoren gilt dann:
B(¬A) = t
B(A ∨ B ) = t
B(A ∧ B ) = t
B(A ↔ B ) = t
B(true) = t
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
B(A) = f
B(A) = t oder B(B ) = t
B(A) = t und B(B ) = t
B(A) = B(B )
Eine Formel A von LAL heißt gültig in B (in Zeichen |=
A), wenn B(A) = t gilt. A heißt allgeB
meingültig (Tautologie, |= A), wenn |=
A
gilt
für
alle
B.
A
folgt aus einer Formelmenge F (F |= A
B
bzw. B1 , . . . , Bn |= A, falls F = {B1 , . . . , Bn }), wenn |=
A gilt für jede Belegung B mit |=
B für alle
B
B
B ∈ F.
Formale Systeme.
Ein formales System Σ ist gegeben durch:
• Axiome
(Formeln einer logischen Sprache),
• Herleitungsregeln der Gestalt
A1 , . . . , An ` B
(n ≥ 1)
mit Formeln A1 , . . . , An , B . Die Formeln A1 , . . . , An heißen Prämissen, B heißt Konklusion (der
Regel).
Induktive Definition der Herleitbarkeit einer Formel F in Σ (in Zeichen: ` F , `
F ):
Σ
1. Jedes Axiom ist herleitbar.
2. Ist A1 , . . . , An ` B eine Regel und sind A1 , . . . , An herleitbar, so ist auch B herleitbar.
Ein formales System ΣAL der Aussagenlogik.
Axiome: (Axiomenschemata)
(al1) A → (B → A)
(al2) (A → (B → C )) → ((A → B ) → (A → C ))
(al3) (¬A → ¬B ) → (B → A)
Regel: (Regelschema)
(mp) A, A → B ` B
Es gilt:
• A`B
⇐⇒
• A1 , . . . , An ` B
`A→B
⇐⇒
` (A1 ∧ . . . ∧ An ) → B
• F `A
=⇒
F |= A
(Korrektheit von ΣAL )
• F |= A
=⇒
F `A
(Vollständigkeit von ΣAL )
• insbesondere:
`A
⇐⇒
|= A
2. Prädikatenlogik (1. Stufe)
Signaturen. Eine Signatur SIG = (S , F , P ) ist gegeben durch:
• eine Menge S von Sorten,
• für jedes σ ∈ S ∗ , s ∈ S eine höchstens abzählbar unendliche Menge F (σ,s) von (σ, s)Funktionszeichen (falls σ = ε: Konstanten), und
• für jedes σ ∈ S ∗ eine höchstens abzählbar unendliche Menge P (σ) von σ-Prädikatszeichen (falls
σ = ε: atomare Aussagen).
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Prädikatenlogische Sprache LPL (SIG) (kurz: LPL ) 1. Stufe über einer Signatur SIG = (S , F , P ).
Alphabet:
• alle Zeichen von F (σ,s) und P (σ) , für alle σ ∈ S ∗ , s ∈ S ,
• für jedes s ∈ S eine abzählbar unendliche Menge Xs von (Individuen-)Variablen,
• das Gleichheitszeichen =,
• die Zeichen
false, →, ∃, (, ).
Induktive Definition der Terme (mit ihren Sorten)
1. Jede Variable aus Xs ist ein Term der Sorte s.
2. Ist f ∈ F (s1 ...sn ,s) ein (s1 . . . sn , s)-Funktionszeichen und sind t1 , . . . , tn Terme der Sorten
s1 , . . . , sn , so ist f (t1 , . . . , tn ) ein Term der Sorte s.
Atomare Formeln: Alle Zeichenreihen der Gestalt
• p(t1 , . . . , tn ), wobei p ∈ P (s1 ...sn ) ein (s1 . . . sn )-Prädikatszeichen und t1 , . . . , tn Terme der
Sorten s1 , . . . , sn sind.
• t1 = t2 , wobei t1 und t2 Terme gleicher Sorte sind.
Induktive Definition der Formeln:
1. Jede atomare Formel ist eine Formel.
2. false ist eine Formel, und sind A und B Formeln, so ist (A → B ) eine Formel.
3. Ist A eine Formel und x ∈ Xs für ein s ∈ S , so ist ∃x A eine Formel.
Abkürzungen und Schreibweisen: wie in der Aussagenlogik, zusätzlich
∀x A
t1 6= t2
für ¬∃x ¬A
für ¬(t1 = t2 )
Das Auftreten einer Variablen x in einer Formel A heißt gebunden, wenn es in einer Teilformel ∃x B
vorkommt; andernfalls heißt es frei.
Schreibweise: Ax (t) für die Formel, die sich aus A durch Ersetzen jedes freien Vorkommens von x
durch t ergibt. Dabei seien x und t von gleicher Sorte, und t enthalte keine Variablen, die in A gebunden
vorkommen.
Semantik. Eine Struktur S für eine Signatur SIG = (S , F , P ) ist gegeben durch:
• eine Trägermenge |S|s 6= ∅ für jedes s ∈ S ,
• eine Abbildung S(f ) : |S|s1 × · · · × |S|sn → |S|s für jedes (s1 . . . sn , s)-Funktionszeichen f
(falls n = 0: S(f ) ∈ |S|s ),
• eine Relation S(p) : |S|s1 × · · · × |S|sn → {f, t} für jedes s1 . . . sn -Prädikatszeichen p
(falls n = 0: S(p) ∈ {f, t}).
Eine Variablenbelegung ξ (bzgl. S) ist eine Zuordnung von je einem Element ξ(x ) ∈ |S|s zu jeder
Variablen x ∈ Xs (für alle s ∈ S ).
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Induktive Definition von S(ξ) (t) ∈ |S|s für Terme t der Sorte s:
1. S(ξ) (x ) = ξ(x ) für x ∈ Xs .
2. S(ξ) (f (t1 , . . . , tn )) = S(f )(S(ξ) (t1 ), . . . , S(ξ) (tn )).
Definition von S(ξ) (A) für atomare Formeln A:
1. S(ξ) (p(t1 , . . . , tn )) = S(p)(S(ξ) (t1 ), . . . , S(ξ) (tn )).
2. S(ξ) (t1 = t2 ) = t
⇐⇒
S(ξ) (t1 ) = S(ξ) (t2 ).
Induktive Fortsetzung von S(ξ) auf alle Formeln:
1. S(ξ) (A) für atomare Formeln A ist bereits definiert.
2. S(ξ) (false) = f.
3. S(ξ) (A → B ) = t
⇐⇒
S(ξ) (A) = f oder S(ξ) (B ) = t.
0
4. S(ξ) (∃x A) = t ⇐⇒ es gibt ξ 0 mit ξ 0 ∼x ξ und S(ξ ) (A) = t.
(Dabei: ξ 0 ∼x ξ ⇐⇒ ξ 0 (y) = ξ(y) für y 6≡ x .)
Für ∀x A gilt dann:
S(ξ) (∀x A) = t
⇐⇒
0
für alle ξ 0 mit ξ 0 ∼x ξ gilt S(ξ ) (A) = t.
Eine Formel A von LPL heißt gültig in S (S erfüllt A, |=
A), wenn S(ξ) (A) = t für jede Belegung ξ gilt.
S
A heißt allgemeingültig ( |= A), wenn |=
A gilt für alle S. A folgt aus einer Formelmenge F (F |= A
S
bzw. B1 , . . . , Bn |= A), wenn |=
A
gilt
für
jedes S mit |=
B für alle B ∈ F.
S
S
Ein formales System ΣPL der Prädikatenlogik (korrekt und vollständig)
Axiome:
alle Axiome von ΣAL
(∃I ) Ax (t) → ∃x A
(eq1) x = x
(eq2) x = y → (A → Ax (y))
Regeln:
(mp) A, A → B ` B
(part) A → B ` ∃x A → B
falls x in B nicht frei vorkommt (Partikularisierung)
3. Theorien
Eine (prädikatenlogische) Theorie (1. Stufe) T = (LPL (SIG), A) ist gegeben durch:
• eine Sprache LPL (SIG),
• eine Menge A von Formeln von LPL (SIG) (nicht-logische Axiome).
Eine Struktur S für SIG heißt Modell von T , wenn jede Formel von A in S gültig ist. T heißt C-Theorie
für eine Klasse C von Strukturen für SIG, wenn jede Struktur von C Modell von T ist.
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