Mathematik Formelheft Formelsammlung für die Realschule aus den Bereichen Arithmetik Geometrie Algebra zusammengestellt von Thomas Bigler April 2017 Algebra: Einfache Gleichungen Gleichung Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Beispiele: 4 + x = 13 4 = x – 2 x² + 4x – 5 = 0 Lösung x = 9 Lösung x = 6 Lösung x1 = 1; x2 = –5 Gleichwertige Gleichungen Gleichungen, welche die gleichen Lösungen haben, heissen «gleichwertig». Beispiele: 2x + 9 2x + 18 4x x = = = = x + 12 x + 21 2x + 6 3 Gleichungen lösen Eine Gleichung lösen heisst, sie durch gleichwertige einfachere Gleichungen ersetzen, bis man in der einfachsten Gleichung (z. B. x = -3) die Lösung erkennen kann («x auspacken.»). Beispiel: 9x + 12 = 3x – 6 | -3x 6x +12 = –6 | -12 6x = -18 | :6 x = -3 Zur nachträglichen Kontrolle kann man in jeder Umformung den gefundenen Wert für x einsetzen. Der Wert der beiden Terme ist immer gleich gross – die Gleichung verhält sich wie eine Hängewaage. Beim Lösen der Gleichung sind folgende 6 Umformungen (Äquivalenzumformungen) erlaubt: I. Addition Zu beiden Termen wird dieselbe Zahl oder derselbe Term addiert. II. Subtraktion Von beiden Termen wird dieselbe Zahl oder derselbe Term subtrahiert. III. Multiplikation Beide Terme werden mit derselben Zahl oder demselben Term multipliziert. Diese Zahl oder dieser Term darf nicht Null sein. x – 4 = 10 x = 14 x +7 = 11 x = 4 x/3 = 2 x = 6 8x = 24 x = 3 IV. Division Beide Terme werden durch dieselbe Zahl oder durch denselben Term dividiert. Diese Zahl oder dieser Term darf nicht Null sein. V. Kehrwert Von beiden Termen wird der Kehrwert (Reziprokwert) genommen. VI. Umformung Alle gültigen Umformungen (vereinfachen, ausklammern, ausmultiplizieren) an Termen sind möglich. ARI-Einfache_Gleichungen.odt 1 2x /2x 2(x + 4) 2x + 8 | +4 | –7 | ×3 | :8 = 10 = 1/10 = 22 = 22 ©tb Teilbarkeit – Primzahlen – Primfaktorzerlegung – GGT – KGV Teilbarkeitsregeln: 0 Keine Zahl ist durch Null teilbar (kein Resultat)! Aber: Null ist durch alle Zahlen (ungleich Null) teilbar. Das Resultat ist immer 0. Jede Zahl ist durch 1 teilbar. Das Resultat ist die Zahl selbst. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer 5 oder 0 ist. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade und durch 3 teilbar ist. Keine Regel. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre drei letzten Ziffern durch 8 teilbar sind Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Primzahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen und haben genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Achtung: 1 ist keine Primzahl (nur ein Teiler!). Es gibt keine Formel, um Primzahlen zu berechnen. Man muss also jede einzelne Zahl n auf ihre Teiler untersuchen (es genügt die Überprüfung bis √n). Alle Primzahlen von 2 bis 1000 2 23 59 97 137 179 227 269 313 367 419 461 509 571 617 661 727 773 829 883 947 3 29 61 101 139 181 229 271 317 373 421 463 521 577 619 673 733 787 839 887 953 5 31 67 103 149 191 233 277 331 379 431 467 523 587 631 677 739 797 853 907 967 7 37 71 107 151 193 239 281 337 383 433 479 541 593 641 683 743 809 857 911 971 11 41 73 109 157 197 241 283 347 389 439 487 547 599 643 691 751 811 859 919 977 13 43 79 113 163 199 251 293 349 397 443 491 557 601 647 701 757 821 863 929 983 17 47 83 127 167 211 257 307 353 401 449 499 563 607 653 709 761 823 877 937 991 19 53 89 131 173 223 263 311 359 409 457 503 569 613 659 719 769 827 881 941 997 Primfaktorzerlegung Beim Zerlegen von Zahlen in ihre Primfaktoren beginnt man immer mit der kleinsten Primzahl. Dieses Verfahren ist hilfreich beim Feststellen der Teilbarkeit einer Zahl: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 21 = 3 · 7 65 = 5 · 13 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 121 = 11 · 11 37 = 37 (Primzahl) 223'092'870 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 ALG-Teilbarkeit_Primzahlen_Primfaktorzerlegung.odt –1– ©tb GGT - Grösster gemeinsamer Teiler Die Berechnung des GGT ist hilfreich beim Kürzen grosser Brüche. Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und bestimmt die gemeinsamen Teiler durch Unterstreichen: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 GGT = 2 · 7 = 14 112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7 KGV - Kleinstes gemeinsames Vielfaches Hilfreich zum Finden des gemeinsamen Nenners (Gleichnamig machen). Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und unterstreicht diese dort, wo sie am häufigsten vorkommen: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 KGV = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 1008 112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7 BASIC-Programme zur Teilbarkeit Diese vier Programme sind in den meisten BASIC-Dialekten lauffähig (GW-Basic, QBasic usw.) 100 ' Primfaktorzerlegung 110 CLS 120 PRINT "Zerlegung in Primfaktoren" 130 PRINT STRING$(80, 196): PRINT 140 INPUT "Zu zerlegende Zahl (0 für Ende) : ", ZAHL 150 IF ZAHL = 0 THEN CLS : END 160 PRINT : PRINT ZAHL; " = "; 170 IF ZAHL = 2 THEN GOTO 300 180 GESZAHL = ZAHL 190 SCHRITT = 1 200 SCHRITT = SCHRITT + 2 + (SCHRITT < 3) 210 GRENZE = INT(ZAHL / SCHRITT) 220 REST = ZAHL - GRENZE * SCHRITT 230 IF REST <> 0 THEN GOTO 270 240 ZAHL = GRENZE 250 PRINT SCHRITT; "*"; 260 GOTO 210 270 IF GRENZE > 1 THEN GOTO 200 280 IF ZAHL = 1 THEN GOTO 320 290 IF ZAHL <> GESZAHL THEN GOTO 320 300 PRINT " Primzahl." 310 GOTO 330 320 PRINT ZAHL 330 PRINT : GOTO 130 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 ' Primzahlen - Abbruch mit Ctrl+Break ! CLS : Y = 4: PRINT 2, 3, P = Y: K = P IF INT(P / 2) * 2 = P THEN GOTO 190 N = 3 IF INT(P / N) * N = P THEN GOTO 180 IF N * N > P THEN GOTO 200 N = N + 2: GOTO 150 P = P / N: GOTO 150 P = P / 2: GOTO 130 IF P = K THEN PRINT P, Y = Y + 1: GOTO 120 ALG-Teilbarkeit_Primzahlen_Primfaktorzerlegung.odt –2– 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 230 240 250 260 ' GGT zweier Zahlen CLS PRINT "Berechnung des GGT zweier Zahlen" PRINT "================================" INPUT "Erste Zahl : ", A IF A = 0 THEN END INPUT "Zweite Zahl : ", B IF B = 0 THEN END IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250 TEMP = -1 WHILE TEMP <> 0 TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP WEND GGT = A PRINT "GGT = "; GGT: PRINT GOTO 120 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 ' KGV zweier Zahlen CLS PRINT "Berechnung des KGV zweier Zahlen" PRINT "================================" INPUT "Erste Zahl : ", A IF A = 0 THEN END INPUT "Zweite Zahl : ", B IF B = 0 THEN END A1 = A: B1 = B IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250 TEMP = -1 WHILE TEMP <> 0 TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP WEND GGT = A KGV = ABS(A1 * B1 / GGT) PRINT "KGV = "; KGV: PRINT GOTO 120 ©tb Grundwissen Gemeine Brüche (gewöhnliche Brüche) 4 ——— 5 1 ——— 5 1 ——— 8 1 ———— 14 = Stammbrüche 4 ——— 5 3 ——— 8 9 ———— 14 = echte Brüche 7 ——— 5 17 ———— 8 15 ———— 14 = unechte Brüche 1 1——— 5 1 2——— 8 5 1——— 14 = gemischte Zahlen Zähler Bruchstrich Nenner Der Bruchstrich verhält sich wie ein Divisionszeichen: 3 3 : 4 = ——— 4 Verwandeln von gemischten Zahlen in Brüche 4 91 4 95 13 ——— = 13 Ganze sind 13 · 7 Siebtel : ———— + ——— = ———— 7 7 7 7 Verwandeln von unechten Brüchen in gemischte Zahlen 47 3 3 ———— = 47 : 11 = 4 Ganze, Rest ———— = 4 ———— 11 11 11 Kürzen Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (=GGT) teilen. Der Wert des Bruches bleibt gleich. 10 ———— 45 gekürzt mit 5 (GGT von 10 & 45) 2 = ——— 9 also 10 2 ———— = ——— 45 9 Erweitern Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt gleich. 4 ——— 5 80 erweitert mit 20 = ————— 100 also 4 80 ——— = ————— 5 100 Gleichnamig machen Brüche gleichnamig machen heißt, sie so erweitern, dass sie gleiche Nenner erhalten. Der gemeinsame Nenner ist das KGV beider Nenner. 3 7 ——— + ——— = 6 9 ARI-Gemeine_Brüche.fodt 9 14 ———— + ———— = 18 18 23 ———— = 18 –1– 5 1———— 18 ©tb Addition Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre Zähler addiert. Abschließend kürzen/verwandeln. 3 5 ——— + ——— = 8 6 9 20 ———— + ———— = 24 24 29 ———— = 24 5 1———— 24 Subtraktion Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre Zähler subtrahiert. Abschließend kürzen/verwandeln. 1 1 ——— - ——— = 2 3 3 2 ——— - ——— = 6 6 1 ——— 6 Multiplikation Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner rechnet. Abschließend kürzen/verwandeln. 4 5 ——— · ——— = 7 8 20 ———— = 56 5 ———— 14 Division Brüche werden dividiert, indem man den Divisor stürzt und dann wie bei der Multiplikation verfährt (der gestürzte Divisor heißt Reziprokwert). 2 3 ——— : ——— 3 6 = 2 6 ——— · ———— 3 3 = 12 ———— 9 = 3 1——— 9 = 1 1——— 3 Verwandeln von Dezimalzahlen in Gemeine Brüche 12 3 0.12 = ————— = ———— 100 25 625 5 0.625 = —————— = ——— 1000 8 __ 18 2 0.18 = ———— = ———— 99 11 __ 45 5 0.45 = ———— = ———— 99 11 _ _ _ 1 1 6 1 1 6 15 1 0.16 = 0.1 + 0.06 = 0.1 + 0.6 · —— = —— + — · —— = —— + —— = —— = — 10 10 9 10 10 90 90 6 Verwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen (Rationale Zahlen) Man erweitert die Brüche so, dass man eine 10-er Zahl als Nenner erhält oder man teilt Zähler durch Nenner: Lösung 1: Lösung 2: 1 ——— = 8 1 : 8 = 0.125 10 20 40 0 125 —————— = 0.125 1000 ARI-Gemeine_Brüche.fodt –2– ©tb GGT - Größter gemeinsamer Teiler Die Berechnung des GGT ist hilfreich beim Kürzen großer Brüche. Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und bestimmt die gemeinsamen Teiler durch Unterstreichen: 126 = 2·3·3·7 ¯ ¯ 112 = 2·2·2·2·7 ¯ ¯ GGT = 2·7 = 14 ¯¯ KGV - Kleinstes gemeinsames Vielfaches Hilfreich zum Finden des gemeinsamen Nenners (Gleichnamig machen). Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und unterstreicht diese dort, wo sie am häufigsten vorkommen: 126 = 2·3·3·7 ¯ ¯ ¯ 112 = 2·2·2·2·7 ¯ ¯ ¯ ¯ KGV = 2·2·2·2·3·3·7 = 1008 ¯¯¯¯ Teilbarkeit Teilbarkeitsregeln für die Teiler von 0 bis 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Keine Zahl ist durch 0 teilbar (nicht definiert!). Alle Zahlen sind durch 1 teilbar. Alle geraden Zahlen. Quersumme ist eine 3er-Zahl. Die beiden Endziffern bilden eine Viererzahl. Endziffer ist 5 oder 0. Quersumme ist eine 3er-Zahl und Zahl ist gerade. Keine Regel. Die 3 Endziffern bilden eine Achterzahl. Quersumme ist eine 9er-Zahl. Endziffer ist 0. Primzahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen und haben genau 2 Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Man beachte: 1 ist keine Primzahl (nur ein Teiler vorhanden!). Es gibt keine Formel, um sie zu berechnen. Man muss also jede einzelne Zahl auf ihre Teiler hin untersuchen! Dabei kann sich die Suche auf den Bereich 3 bis Quadratwurzel aus n beschränken, weil 2 die einzige gerade Primzahl ist. Primzahlen < 500: 2, 3, 5, 31, 37, 41, 73, 79, 83, 127, 131, 137, 179, 181, 191, 233, 239, 241, 283, 293, 307, 353, 359, 367, 419, 421, 431, 467, 479, 487, ARI-Gemeine_Brüche.fodt 7, 43, 89, 139, 193, 251, 311, 373, 433, 491, 11, 47, 97, 149, 197, 257, 313, 379, 439, 499 13, 53, 101, 151, 199, 263, 317, 383, 443, 17, 59, 103, 157, 211, 269, 331, 389, 449, –3– 19, 61, 107, 163, 223, 271, 337, 397, 457, 23, 67, 109, 167, 227, 277, 347, 401, 461, 29, 71, 113, 173, 229, 281, 349, 409, 463, ©tb Zerlegung in Primfaktoren Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Bei der Zerlegung beginnt man mit der kleinsten Primzahl. Zahlen mit nur einem Faktor sind Primzahlen. Beispiele: 12= 2 · 2 · 3 64= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 84 = 2 · 2 · 3 · 7 1031 = Primzahl. 123 = 3 · 41 Fakultät Die Fakultät einer natürlichen Zahl n wird so berechnet: n! = 1 · 2 · 3 ... · n Beispiele: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 Kreiszahl Pi π π (gesprochen: Pi) ist nicht nur der 16. Buchstabe des griechischen Alphabets, sondern seit nahezu 300 Jahren auch Symbol für das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dies in Anlehnung an den ersten Buchstaben des griechischen Wortes für Kreislinie (periphereia). π = 3.14159265358979323846264 Ein Verseschmid namens Weinmeister schrieb 1878 dieses Gedicht: „Wie, o dies π Macht ernstlich so vielen viele Müh'! Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies, dürfte zu merken sein!“ Die Pointe dieser Ode an die Zahl π: Ersetzt man jedes Wort durch die Zahl seiner Buchstaben, so erhält man die ersten 24 Stellen der begehrten Ziffernfolge. Rechenoperationen 2+3=5 addieren, Addition 7-3=4 subtrahieren, Subtraktion 2·3=6 multiplizieren, Multiplikation 8:2=4 dividieren, Division 2³ =8 potenzieren, Potenz êx ëx Quadratwurzel aus x Kubikwurzel aus x = = Summand + Minuend Faktor · Dividend : Basis hoch Summand Subtrahend Faktor Divisor Exponent = = = = = Summe Differenz Produkt Quotient Potenz x hoch 1/2 x hoch 1/3 Andere Zahlensysteme Beim Zehnersystem ist die größte mögliche Ziffer 9, d.h. 10-1. Entsprechendes gilt auch für Systeme mit anderen Basen. Häufig sind die Basen 2, 8 und 16. Beispiel: 10 0 1 2 3 10 11 20 2 0 1 10 11 1010 1011 10100 ARI-Gemeine_Brüche.fodt 8 0 1 2 3 12 13 24 16 0 1 2 3 A B 14 usw. –4– ©tb Das Pascalsche Dreieck 0. 1 1 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 5. 1 6. 1 7. 1 8. 1 9. 1 10. 1 11. 1 12. 1 13. 1 14. 1 15. 1 16. 1 17. 1 18. 19. 1 19 15 17 18 105 136 969 66 455 680 3876 220 1365 2380 3003 6188 5005 12376 19448 31824 50388 6435 24310 43758 75582 92378 Philosoph, Physiker und Mathematiker. Das Pascalsche Dreieck enthält die Binomialkoeffizienten (→Computertechnik). Sie sind im Dreieck derart 92378 3003 19448 75582 66 1365 12376 50388 12 455 6188 105 2380 1 15 120 680 3060 11628 1 14 560 8568 27132 1 13 91 1820 18564 1 78 364 4368 31824 1 11 286 1001 8008 43758 10 220 2002 1 55 715 5005 24310 45 495 11440 48620 Blaise Pascal (19. Juni 1623 – 19. August 1662) war ein französischer angeordnet, dass ein Eintrag die Summe der zwei darüber stehenden 6435 1 9 165 1287 3003 12870 8 120 792 1 36 330 1716 3432 11440 28 210 924 1 7 84 462 1716 3003 8008 18564 27132 792 6 56 252 1 21 126 462 1287 2002 4368 8568 11628 495 15 70 210 1 5 35 126 330 715 1001 1820 3060 120 4 20 56 1 10 35 84 165 286 364 560 816 45 6 15 28 1 3 10 21 36 55 78 91 120 153 171 12 13 14 16 10 11 4 6 8 9 2 3 5 7 1 1 16 136 816 3876 1 17 153 969 1 18 171 1 19 1 • Die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5...) sind in der zweiten «Diagonalen» des Dreiecks zu finden. • Die Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, 15...) sind in der dritten «Diagonalen» des Dreiecks zu finden: Einträge ist. Der Name geht auf Blaise Pascal zurück, obgleich das Pascalsche Dreieck bereits im alten China bekannt war. ARI-Blaise_Pascal.fodt • Die Summe der Glieder der n-ten Zeile ist 2n (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...). z. B. 24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ©tb Prozente sind Hundertstel Das Prozent Prozent (lateinisch: pro cent) bedeutet durch hundert oder Hundertstel. Beispiele: Bruch Dezimalzahl Prozent 5 100 0.05 5% 10 100 0.10 10 % 33. 3̄ 100 0.3 33.3 % 50 100 0.50 Die Prozentformel : Prozentsatz= Prozentwert ⋅100 Grundwert Grundwert = Prozentwert ⋅100 Prozentsatz 50 % 75 100 0.75 75 % 100 100 1.0 100 % Prozentwert= Prozentsatz ⋅Grundwert 100 Bei der Prozentrechnung geht es immer um drei Werte: Prozentsatz: Teil des Ganzen ausgedrückt in Hundertstel oder Prozent. Grundwert: Ganzes, Gesamtmenge, Total. Maß: z. B. Menschen, Kilometer, Liter usw. Prozentwert: Anteil, Teilwert, Teil des Grundwertes. Maß: gleich wie beim Grundwert. Prozentsatz gesucht In einer Schulklasse tragen 3 von 20 Schülern eine Brille. Wie viele Prozent sind das? 3 ⋅100=15 % 20 oder 3 ÷ 20⋅100=15 % Grundwert gesucht In einer Schulklasse tragen 3 Schüler oder 15 % eine Brille. Wie groß ist die Klasse? 3 ⋅100=20 Schüler 15 oder 3 ÷ 0.15=20 Schüler Prozentwert (Teilwert) gesucht In einer Schulklasse bestehend aus 20 Schülern tragen 15 % eine Brille. Wie viele Schüler sind das? 15 ⋅20=3 Schüler 100 ARI-Prozente sind Hundertstel.odt oder 15 ÷ 100⋅20=3 Schüler ©tb Prozentrechnung Das Prozent Prozent (latein.: pro cent) bedeutet durch hundert oder Hundertstel. Also gilt: 5 =0.05=5 % 100 75 =0.75=75 % 100 25 =0.025=2.5% 1000 Bei der Prozentrechnung geht es immer um drei Werte: Grundwert: Ganzes, Gesamtmenge, Total Maß: je nach Aufgabe, z. B. Menschen, Kilometer, Liter usw. Prozentwert: Anteil, Teil, Untermenge, Teil des Grundwertes Maß: gleich wie beim Grundwert Prozentsatz: Teil des Ganzen ausgedrückt in Hundertstel Maß: Prozent, % Prozentwert gesucht In einer Schulklasse bestehend aus 20 Schülern tragen 15 % eine Brille. Wie viele Schüler sind das? 15 ⋅20=3 Schüler 100 oder 0.15⋅20=3 Schüler Grundwert gesucht In einer Schulklasse tragen 3 Schüler oder 15 % eine Brille. Wie groß ist die Klasse? 3 ⋅100=20 Schüler 15 oder 3:0.15=20 Schüler Prozentsatz gesucht In einer Schulklasse tragen 3 von 20 Schülern eine Brille. Wie viele Prozent sind das? 3 ⋅100=15 % 20 oder 3 : 20⋅100=15 % Prozentformel: Prozentwert= Grundwert= Prozentwert ⋅100 Prozentsatz Prozentsatz= ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt Prozentsatz ⋅Grundwert 100 Prozentwert ⋅100 Grundwert –1– ©tb Zinsrechnung Was bedeutet Zins? Wenn ein Kunde Geld (Kapital) zur Bank bringt, kann die Bank mit diesem Geld „arbeiten“. Für den Gebrauch des Geldes bezahlt sie dem Kunden eine Art Miete, diese nennt man Zins. Die Grösse dieses Zinses wird in Prozent des Kapitals angegeben, man nennt diesen Wert Zinsfuß oder auch Zinssatz. Der Zins wird jährlich ausbezahlt. Wenn der Kunde nichts unternimmt, wird der Zins automatisch zu seinem Kapital hinzugezählt. So „vermehrt“ sich das Ersparte auf der Bank. Gleiches gilt, wenn man von der Bank Geld ausgeliehen bekommt (Darlehen, Kredit, Hypothek). Für das geliehene Geld entrichtet man der Bank einen Zins, welcher mit dem Zinssatz berechnet wird. Zusammenfassung: Kapital, Darlehen: Maß: CHF (sFr.), GB£, €, US$ usw. Zins: Maß: gleich wie beim Kapital Zinssatz, Zinsfuß: Jährlich zu bezahlender Zins („Geldmiete“), ausgedrückt in Hundertstel des Kapitals. Maß: immer Prozent, % Zins gesucht Während eines Jahres befindet sich ein Kapital von CHF 1500.– auf der Bank. Der Zinssatz beträgt 3½%. Welchen Zins erhalte ich dafür? 3.5 ⋅1500=0.035⋅1500=52.50 CHF 100 Kapital gesucht Bei einem Zinsfuß von 3½% bezahlt mir die Bank am Jahresende CHF 52.50 Zins. Wie groß war das Kapital? 52.50 ⋅100=1500 CHF 3.5 oder 52.5 :0.035=1500 CHF Zinssatz (=Zinsfuß) gesucht Wie groß ist der Zinssatz für ein Konto, wenn ich für mein Kapital von CHF 1500.– einen jährlichen Zins von 52.50 CHF erhalte? 52.50 ⋅100=3.5 %=3½ % 1500 Zinsberechnung: Zinssatz 100 p Z =K⋅ 100 Kapital =Zins⋅ 100 Zinssatz K= Z⋅100 p Zinssatz =100⋅ Zins Kapital p= 100⋅Z K Zins=Kapital⋅ ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt –2– ©tb Marchzins ZM Was bedeutet Marchzins (=Stückzinsen)? Der Zins wird normalerweise jährlich ausbezahlt. Deshalb gelten Zinssätze grundsätzlich immer für ein Jahr. Wenn nun ein Kapital nur während einer gewissen Zeit auf dem Konto verbleibt, muss mit einem entsprechenden Bruch der errechnete Jahreszins angepasst werden (Das Bankjahr rechnet sich immer zu 12 Monaten resp. 360 Tagen!). Marchzins ZM gesucht Während 5 Monaten befindet sich ein Kapital von CHF 1500.– auf der Bank. Der Zinssatz beträgt 3½%. Welchen Zins erhalte ich dafür? 3.5 5 1500⋅ ⋅ =21.90CHF 100 12 Kapital K gesucht Bei einem Zinsfuß von 3½% bezahlt mir die Bank nach 65 Tagen CHF 12.50 Zins. Wie groß war das Kapital? 100 360 12.50⋅ ⋅ =1978.00 CHF 3.5 65 Zinssatz p gesucht Wie groß ist der Zinssatz für ein Konto, wenn ich für mein Kapital von CHF 1500.– einen halbjährlichen Zins von 26.25 CHF erhalte? 100 12 26.25⋅ ⋅ =3.5 %=3½ % 1500 6 Marchzinsberechnung: Zinsfuß Zeit Marchzins=Kapital⋅ ⋅ 100 Jahr Kapital=Marchzins⋅ = 100 Jahr ⋅ Zinsfuß Zeit = K⋅p⋅t 100⋅J Z M⋅100⋅J p⋅t Marchzins Jahr Zinsfuß=100⋅ ⋅ Kapital Zeit = 100⋅Z M⋅J K⋅t Marchzins 100 Zeit=Jahr⋅ ⋅ Kapital Zinsfuß = J⋅Z M⋅100 K⋅p Hinweis: Zeit/Jahr bedeutet Tage/360 oder Monate/12 ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt –3– ©tb Zinseszins Was bedeutet Zinseszins? Ganz einfach: Der Zins des Zinses! Der Zins wird jährlich ausbezahlt. Wenn der Kunde nichts unternimmt, wird der Zins automatisch zu seinem Kapital hinzugezählt. Der so gewonnene Zins wird zum Kapital und trägt deshalb im nächsten Jahr auch Zins. In der Praxis werden Zinseszinsberechnungen am einfachsten mit Operatoren durchgeführt: Endkapital gesucht Ein Kunde macht eine Einlage von CHF 500.–. Wie viel beträgt sein Endkapital nach 3 Jahren bei einem konstanten Jahreszins von 2½ %? 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 500 · 1.025 = 512.50 CHF 512.50 · 1.025 = 525.3125 CHF 525.3125 · 1.025 = 538.45 CHF Kaufm. Kurzformel: 500 · 1.025³ = 538.45 CHF Weshalb heißt der Operator · 1.025 ? 1 × das Kapital + 0.025 × das Kapital (aus 2.5 : 100), zusammen · 1.025 Anfangskapital gesucht Nachdem ein Kunde während drei Jahren sein Konto nicht angetastet hat, beträgt der Saldo (Kontostand) 850.- CHF Wie groß war sein Anfangskapital, wenn der Zinssatz stets 2¾% betrug? 3. Jahr 2. Jahr 1. Jahr 850 : 1.0275 = 827.25 CHF 827.25 : 1.0275 = 805.11 CHF 805.11 : 1.0275 = 783.56 CHF Kaufm. Kurzformel: 850 : 1.0275³ = 783.56 CHF Kaufmännische Kurzformel Bankkaufleute bevorzugen folgende Formel, welche direkt das Endresultat liefert: Endkapital= Anfangskapital⋅(1+ Zinssatz Jahre ) 100 kurz : K n= K 0⋅(1+ p n ) 100 Die Umkehrung: Anfangskapital= ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt Endkapital Zinssatz Jahre (1+ ) 100 kurz : –4– K 0= Kn p n ( 1+ ) 100 ©tb Exponentielles Wachstum Schlüssel Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall) beschreibt einen Vorgang, bei dem sich ein Wert in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor ändert. Exponentielles Wachstum kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden: N (t )=N 0 ⋅a t N(t): die Anzahl bzw. Größe von einem Wert N nach der Zeit t bzw. nach t Schritten N0 die Anzahl bzw. Größe von einem Wert N zur Zeit „0“ (oder vor dem ersten Schritt), also der Startwert a Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Es gilt a∈ℝ ∖1 , a ist also eine positive, reelle Zahl und ungleich 1. Wenn a < 1, geht es um eine Abnahme (Zerfall). t Anzahl Schritte (oder Zeitabschnitte) + Schachlegende Der Erfinder des Schachspiels hatte bei seinem Herrscher einen Wunsch frei. Er wünschte sich bloß „ein paar“ Reiskörner. Auf dem ersten Feld ein Korn, auf dem zweiten 2 Körner, auf dem dritten 4 Körner, usw. Dieser – auf den ersten Blick einfache Wunsch – ist in Wirklichkeit unerfüllbar (Resultat: etwa 1000fache Weltjahresernte 2010!) Feld 1 2 3 4 5 6 Berechnung 20 21 22 23 24 Total Körner 1 2 4 8 16 ... 63 64 25 262 263 32 4.6 Trillionen 9.2 Trillionen A: Auf dem 64. Feld hat es 263 = 9'223'372'036'854'775'808 = 9.2 Trillionen Reiskörner Virenbefall Ein Organismus wird von 500 Viren befallen, die sich (für eine Zeit lang) exponentiell vermehren. Während jeder Stunde wächst ihre Anzahl um 20%. Wie groß ist die Zahl der Viren zu einer beliebigen Zeit nach der Infektion? Da 20% dasselbe ist wie ein Fünftel (0.2), wächst die Zahl der Viren während jeder Stunde um den Faktor 1+ 0.2 = 1.2. Zur Zeit t (in Stunden gemessen) befinden sich N ( t)=500⋅1.2t Viren im befallenen Organismus (wobei diese Formel natürlich nur so lange gilt, wie das exponentielle Wachstum anhält). F: Wie viele Viren sind es nach 10 Stunden? A: Nach 10 Stunden sind es N ( 10)=500⋅1.210 =3095.8Viren Zinseszins Ein Neugeborenes erhielt von seinem Taufpaten ein Sparbuch mit einer Einlage von 100 chf. Leider wurde das Sparbuch vergessen. Nun hat sich einiges an Zinseszins angehäuft. Wir gehen von einem konstanten Zinsfuß von 3% (→ jährlicher Faktor 1.03) aus. F: Welcher Betrag befindet sich nach 20 Jahren auf diesem Konto? A: Nach 20 Jahren sind es ARI-Exponentielles Wachstum.odt N (20)=100⋅1.0320 =180.61 chf ©tb Römische Zahlen Römische Zahlen schreiben Um römische Zahlen zu schreiben, musst du die Werte der Ziffern und die Bedeutung ihrer Position kennen: I V X L C D M V 1 5 10 50 100 500 1000 5000 (später hinzugefügt) (später hinzugefügt) (zuletzt hinzugefügt: Unterstrich: × 1000) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I II III IV V VI VII VIII IX X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX Wenn sich eine Ziffer ein, zwei oder dreimal wiederholt, dann zähle den Wert zusammen: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 MM = 2000 V, L und D dürfen sich nicht wiederholen. I, X, C und M dürfen höchstens dreimal nacheinander stehen. Anstatt eine Ziffer viermal zu schreiben, schreibt man sie nur einmal, gefolgt von der nächstgrösseren Ziffer: 4 schreibt man nicht IIII, sondern IV (I weniger als V) 9 schreibt man nicht VIIII, sondern IX (I weniger als X) Gleiches gilt für 40, 90, 400, 900. Schreibe die so entstandenen Gruppen in absteigender Ordnung: 794 = 500 + 200 + 90 + 4 = D + CC + XC + IV = DCCXCIV Die römischen Zahlen funktionieren nur bis 3999 (MMMCMXCIX). Für grössere Zahlen müsste man den Zahlen 5000, 10'000 ... auch Buchstaben zuordnen. Römische Zahlen lesen Um römische Zahlen zu lesen, gehen wir rückwärts vor. Wir lesen in Gruppen von links nach rechts, wobei eine Gruppe aus einem einzelnen Buchstaben oder folgenden Kombinationen bestehen kann: IV, IX, XL, XC, CD, CM (= 4, 9, 40, 90, 400, 900). Die Gruppen erkennt man, wenn die Ziffern nicht mehr in absteigender Folge erscheinen. Die Werte der Gruppen werden dann zusammengezählt: MCMLXXXVI = M + CM + L + XXX + V + I = 1000 + 900 + 50 + 30 + 5 + 1 = 1986 MCMXCVIII = M + CM + XC + V + III = 1000 + 900 + 90 + 5 + 3 = 1998 MMVIII = 2008 Die römischen Zahlen haben ihre praktische Bedeutung nur noch in der Darstellung von Jahreszahlen und beim Nummerieren (Louis XIV). Unser arabisch-indisches Zehnersystem ist viel praktischer, weil wir ein Zeichen für Null haben und auch Brüche und negative Zahlen schreiben können. ARI-Römische Zahlen.odt ©tb Verschiedene Zahlensysteme Arabisch Basis: 10 Römisch 10 Binär 2 Hexadezimal 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI XXVII XXVIII XXIX XXX XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX XL XLI XLII XLIII XLIV XLV XLVI XLVII XLVIII 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111 110000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 30 ARI-Tabelle-Zahlensysteme(arab-roem-bin-hex).odt 2ⁿ 2¹ 2² 2³ 24 25 ©tb Maße für Längen, Flächen und Körper Längenmaße Flächenmaße Hohlmaße mm mm² mm³ ↓ · 10 ↓ · 100 cm cm² ↓ · 10 ↓ · 1000 cm³ ↓ · 100 dm dm² ↓ · 10 ↓ · 1000 dm³ ↓ · 100 m m² ↓ · 10 ↓ · 1000 m³ ↓ · 100 (DM) a ↓ · 10 ↓ · 1000 – ↓ · 100 (HM) ha ↓ · 10 ↓ · 1000 – ↓ · 100 km km² ↓ · 1000 km³ 1 dm³ = 1 dm · 1 dm · 1 dm = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm³ GEO-Längen-Flächen-Hohlmaße.odt ©tb Die gebräuchlichsten Maße 1 Längenmaße Kilometer 1 km = 1'000 m = 10'000 dm = 100'000 cm = 1'000'000 mm 1m = 10 dm 1 dm = 100 cm = 10 cm 1 cm = 1'000 mm = 100 mm = 10 mm 1 mm Meter Dezimeter Zentimeter Millimeter Flächenmaße Quadratkilometer Hektare Are Quadratmeter Quadratdezimeter Quadratzentimeter Quadratmillimeter 1 km² = 100 ha 1 ha = 10'000 a = 100 a 1a = 1'000'000 m² = 10'000 m² 100 m² 1 m² = 100 dm² = 1 dm² = 10'000 cm² = 100 cm² 1 cm² = 1'000'000 mm² = 10'000 mm² = 100 mm² 1 mm² = 1'000'000 cm³ = 1'000 cm³ 1 cm³ = 1'000'000'000 mm³ = 1'000'000 mm³ = 1'000 mm³ 1 mm³ Hohlmaße (Körper, Volumen) Kubikkilometer 1 km³ Kubikmeter Kubikdezimeter Kubikzentimeter Kubikmillimeter 1 m³ = 1'000'000 m³ = 1'000 dm³ (1 Liter) = 1 dm³ Hohlmaße (Flüssigkeiten) Liter (1 dm³) Deziliter (100 cm³) Zentiliter (10 cm³) Milliliter (1 cm³) 1l = 10 dl 1 dl Zusammenstellung: Maße, die direkt auf dem Meter beruhen Länge Fläche km Kilometer km² Quadratkilometer Hektometer * ha Hektare Dekameter * a Are m Meter m² Quadratmeter dm Dezimeter dm² Quadratdezimeter cm Zentimeter cm² Quadratzentimeter mm Millimeter mm² Quadratmillimeter = 100 cl = 10 cl 1 cl = 1'000 ml = 100 ml = 10 ml = 1 ml Körper km³ Kubikkilometer m³ dm³ cm³ mm³ Kubikmeter Kubikdezimeter Kubikzentimeter Kubikmillimeter *) selten verwendet Gewichte Tonne Kilogramm Gramm Milligramm 1t = 1'000 kg 1 kg = 1'000'000 g = 1'000 g 1g = 1'000'000'000 mg = 1'000'000 mg = 1'000 mg = 1 mg Immer seltener gebraucht wird der Zentner: 1q = 100 kg ARI-Wichtige-Maße.odt Formelheft ©tb Die gebräuchlichsten Maße 2 Zeitmaße (auf dem Bankjahr beruhend) Jahr 1J = 12 Monate Monat 1M Zeitmaße (allgemein) Tag Stunde Minute Sekunde 1d = 24 h 1h = 360 d = 30 d = 1'440 Min = 60 Min 1 = 86'400 Sek = 3'600 Sek = 60 Sek 1 Sek Beispiele zur Umwandlung: a) 2.50 h = ? h ? Min = 2 h + 0.5 · 60 Min = 2 h 30 Min b) 3.91 h = ? h ? Min ? Sek. = 3 h + 0.91 · 60 Min = 3 h 54.6 Min = 3 h 54 Min + 0.6 · 60 Sek. = 3 h 54 Min 36 Sek. c) 2h 22'47" =?h = 2 h + 22/60 h + 47/3600 h = 2 h + 0.33... h + 0.0130555... h = 2.3797222... h Geschwindigkeit Geschwindigkeiten werden angegeben als Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde. Vermeide den mathematisch falschen Ausdruck „Stundenkilometer“! Umrechnung: 3.6 km/ h = 1 m/ s 1 km/ h = 5 18 m/ s = 0.2 7 m / s Kurzbezeichnungen für Zehnerpotenzen Multiplikationsfaktor Potenz 1'000'000'000'000'000'000 1018 1'000'000'000'000'000 1015 1'000'000'000'000 1012 1'000'000'000 109 1'000'000 106 1'000 103 100 102 10 101 0.1 10-1 0.01 10-2 0.001 10-3 0.000 001 10-6 0.000 000 001 10-9 0.000 000 000 001 10-12 0.000 000 000 000 001 10-15 0.000 000 000 000 000 001 10-18 ARI-Wichtige-Maße.odt Formelheft Vorsatz Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Kurzbezeichnung E P T G M k h da d c m µ n p f a ©tb Die gebräuchlichsten Maße 3 Längenmaße Gebräuchliche US-Maße 1" oder 1 in (inch) = 2.54 cm 1 cm = 0.393 700 787 401 574 8 in (inch) abgeleitet: 1 ft (foot) = 12 in 1 ft² (sqft) = 0.092 903 04 m² 1 ft (foot) = 0.3048 m 1m = 3.280 839 895 013 123 ft 1 yd (yard) = 3 ft 1 yd (yard) = 0.90144 m 1m = 1.109 336 173 233 937 yd = 30.48 cm 1 ft³ (cft) = 0.028 316 846 592 m³ 1 m³ = 35.314 666 721 488 59 ft³ = 90.144 cm abgeleitet: 1 (mile) = 1760 yds 5 km/h = 3.107 mph 1 (mile) = 1.609 344 km 100 km/h = 62.137 mph 1 km = 0.621 371 192 237 334 miles 55 mph = 88.514 km/h Gewichte 1 oz. (Ounce) = 28.349 523 125 g (Gramm) 1g = 0.035 273 961 949 580 4 oz. 1 P (Pound) = 16 oz. 1 P (Pound) = 0.453 592 37 kg 1 kg = 2.204622621848776 P Hohlmaße 1 Gal. (liquid Gallon) = 3.785 411 784 l (Liter) 1 l (Liter) = 0.264 172 052 358 148 4 Gal. Temperatur 100 °F = 37.778 °C 0 °F = –17.778 °C 100 °C = 212 °F 37 °C = 98.6 °F 0 °C = 32 °F ARI-Wichtige-Maße.odt Formelheft ©tb Zehnerpotenzen – die wissenschaftliche Schreibweise ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Mit der wissenschaftlichen Schreibweise (Zehnerpotenzen) kann man sehr grosse und sehr kleine Zahlen auf einfache Weise darstellen. Alle Zahlen haben genau eine Werteziffer vor dem Komma, beliebig viele Nachkommastellen, gefolgt vom Operator × mit einer Zehnerpotenz. Viele Taschenrechner kürzen die Darstellung ab: Mensch: 3 · 10² TR Typ 1: 3.0 E02 E = Zehnerpotenz TR Typ 2: 3.0 02 Kleine 02 = Zehnerpotenz Unser Taschenrechner kann Zehnerpotenzen nur darstellen, dagegen wird die Rechnung 3² gleich ausgeführt 3² = 9. Unser TR ist Typ 2: Grosse Zahlen ( 3.21 · 109 = 3'210'000'000 ) 10er Potenz im Detail 1 · 100 1 · 101 1 · 102 1 · 103 1 · 104 1 · 105 1 · 106 1·1 1 · 10 1 · 10·10 1 · 10·10·10 1 · 10·10·10·10 1 · 10·10·10·10·10 1 · 10·10·10·10·10·10 Zahl 1 10 100 1'000 10'000 100'000 1'000'000 Texas Instruments TI-30 Taschenrechner Typ 1 Typ 2 1.0 E 00 1.0 0 1.0 E 01 1.0 01 1.0 E 02 1.0 02 1.0 E 03 1.0 03 1.0 E 04 1.0 04 1.0 E 05 1.0 05 1.0 E 06 1.0 06 Kleine Zahlen ( 4.5 · 10-8 = 0,000 000 045 ) 10er Potenz im Detail 1 · 10-1 1 · 10-2 1 · 10-3 1 · 10-4 1 · 10-5 1 · 10-6 1 / 10 1 / (10·10) 1 / (10·10·10) 1 / (10·10·10·10) 1 / (10·10·10·10·10) 1 / (10·10·10·10·10·10) Achtung: Zahl 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 001 Verwechsle die Zehnerpotenzen (Schreibweise) nicht mit beliebigen Potenzen: beliebige Potenz 23 = 2 · 2 · 2 = 8 TR (Tastplan): ARI-Zehnerpotenzen.odt Taschenrechner Typ 1 Typ 2 1.0 E-01 1.0 -01 1.0 E-02 1.0 -02 1.0 E-03 1.0 -03 1.0 E-04 1.0 -04 1.0 E-05 1.0 -05 1.0 E-06 1.0 -06 Zehnerpotenz aber [ 2 ] [ yx ] [ 3 ] [ = ] → 8 Formelheft 2 · 103 = 2 · 10 · 10 · 10 = 2000 [ 2 ] [ EE ] [ 3 ] [ = ] → 2000 ©tb Geometrie Gerade Halbgerade Strecke Schenkel Winkel Scheitel Schenkel Winkel messen 1. Geodreieck auf Scheitel. Nullpunkt! 2. Dreieck um 0 drehen bis ein Schenkel die lange Dreieckseite berührt und der andere Schenkel unter dem Dreieck liegt. 3. Wahl der Skala: Die Skala, die vom berührenden Schenkel aus ansteigt. Hier: gelbe Skala 4. Grad ablesen, fertig: 25° Die Winkelhalbierende A ©tb Die Mittelsenkrechte Das Dreieck C γ Winkelsumme im Dreieck Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme α + β + γ beträgt 180 Grad. a b β B α c A Bezeichnungen Für geometrischen Flächen gelten folgende Abmachungen: • Ecken werden im Gegenuhrzeigersinn mit Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, D ... • Die Seiten bezeichnet man mit Kleinbuchstaben (a, b, c, d ...). • Für die Winkel verwenden wir griechische Buchstaben (α=alpha, β=beta, γ=gamma, δ=delta) ©tb Bekannte Flächen (Planimetrie) Rechteck Dreieck h d g b l Rhombus (Raute) h Parallelogramm h s g s Quadrat Trapez p1 s d p s h Drachenviereck p2 Unregelmäßiges Viereck d1 c d2 d b a Kreis Ellipse Z d r ©tb Geometrie: Das Dreieck (Grundlagen) C γ a b hc = h A α β c = g B • Die Eckpunkte des Dreiecks werden im GUZS (= Gegenuhrzeigersinn) mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. • Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird mit den Kleinbuchstaben a, b bzw. c bezeichnet. • Die Winkel der drei Ecken A B C werden mit den griechischen Buchstaben α, β und γ (alpha, beta und gamma) bezeichnet. • Die Summe der 3 Winkel α, β und γ beträgt im Dreieck immer 180°: α = 41° β = 68° + γ = 71° –––– 180° • Die Fläche a eines Dreiecks (a von lat. area = Fläche) beträgt die Hälfte des umgebenden Rechtecks : a= g⋅h 2 GEO-Dreieck-Grundlagen.odt unser Dreieck: a= 8.6 cm⋅5.5 cm =23.65 cm 2 2 ©tb Geometrische Grundformen: Dreiecke, Vierecke Vierecke unregelmässiges Viereck Drachenviereck Trapez Diagonalen halbieren sich gleich lange Diagonalen 4 gleiche Seiten rechtwinklig 2 parallele Seiten Eigenschaften: 1 parallele Seite Rhombus rechtwinklige Diagonalen Parallelogramm unregelmässiges Viereck Rechteck Drachenviereck X Trapez X Parallelogramm Rhombus Quadrat X X Rechteck Quadrat X X X X X X X X X X X X X X Dreiecke unregelmässig gleichschenklig GEO-3Eck-4Eck.odt gleichseitig rechtwinklig ©tb Flächengeometrie (Planimetrie) – Eckige Flächen Dreieck g⋅h A= 2 h g= A⋅2 h h= A⋅2 g g s d s Quadrat A=s 2 u=4⋅s s= A d =s⋅ 2 Rechteck d b l A=l⋅b b= A l l= A b d = l 2b2 u=2⋅l2⋅b =2⋅lb Rhombus h s A=s⋅h h= A s s= A h A g g= s Parallelogramm h A= g⋅h h= A h g Trapez p1 p h A= p 1 p 2 ⋅h 2 p2 d1 d2 Drachenviereck d ⋅d A= 1 2 2 Verwendete Variablennamen: A für Fläche (area); u für Umfang, g für Grundlinie, h für Höhe, p für Parallele, d für Diagonale, s für Seite GEO-Grundwissen-Planimetrie.odt ©tb Abbildungen A Achsenspiegelung A' - Hilfsgeraden rechtwinklig auf g - Distanz gA = gA' mit Zirkel abtragen B B' - Distanz gB = gB' mit Zirkel abtragen - Distanz gC = gC' mit Zirkel abtragen C - Bildfigur ist nicht kongruent C' g A' A Schiebung g1 - Hilfsgeraden g1-g3 sind parallel (Geodreieck) B' B - Distanz AA' mit Zirkel auf BB' und CC' abtragen g2 - Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC g3 C' C A C' Punktspiegelung - Hilfsgeraden über Z verlängern B' - Distanz ZA mit Zirkel auf ZA' abtragen Z B - Distanz ZB mit Zirkel auf ZB' abtragen - Distanz ZC mit Zirkel auf ZC' abtragen C A' - Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC, (die Punktespieglung ist eine 180°-Drehung!) Drehung C - Kreisbogen um Z durch Bildpunkte (Zirkel) A B B' C' A' GEO-Abbildungen.odt δ Z - Zentriwinkel δ legt die Drehung fest - Weitere Bildpunkte mit Zirkel übertragen: AB = A'B' und AC = A'C' - Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC, (die Punktespieglung ist eine 180°-Drehung) Kongruenz Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, d.h. man könnte sie übereinanderlegen. ©tb Das Dreieck C γ a hb b hc ha A α β B c Bezeichnung Die Eckpunkte des Dreiecks werden im Gegenuhrzeigersinn mit A, B und C bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird a, b bzw. c genannt. Die Winkel werden α, β und γ genannt. Berechnungen am Dreieck Die Fläche wird mit A (für lat. area) bezeichnet, g ist die Grundlinie und h die dazu gehörende Höhe: h g Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte des umschreibenden Rechtecks: A= g⋅h 2 GEO-Dreieck.odt g= A⋅2 h h= A⋅2 g ©tb Dreieck - Eigenschaften A α Beschriftung: c B β b a γ C 1) Eigenschaften • Die Winkelsumme (Innenwinkel) bei Dreiecken ist immer 180°. • In jedem Dreieck liegt der grösseren von zwei Seiten der grössere Winkel gegenüber. • In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten stets länger als die dritte Seite. • Das Zentrum des Umkreises wird durch den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt. • Das Zentrum des Inkreises wird durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bestimmt. • Der Schwerpunkt wird durch den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bestimmt. 2) Einteilung nach Seiten: nach Winkeln: unregelmässig alle Seiten sind unterschiedlich lang spitzwinklig alle Innenwinkel sind spitz (kleiner als 90°) gleichschenklig zwei gleich lange Seiten (Schenkel) rechtwinklig ein Winkel misst 90° gleichseitig alle Seiten sind gleich lang (regelmässiges Δ) stumpfwinklig ein Innenwinkel ist stumpf (grösser als 90°) 3) Ähnlichkeit bei Dreiecken (Proportionalität) • Dreiecke sind ähnlich wenn sie gleiche Winkel aufweisen. • Dreiecke sind ähnlich wenn ihre Seiten das gleiche Längenverhältnis zueinander haben. 4) Kongruenz bei Dreiecken (Deckungsgleichheit) SSS Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen der drei Seiten übereinstimmen. Die Dreiecke stimmen dann auch in den Winkelgrössen überein. Beachte: Ein Dreieck ist aus drei Seiten nur dann konstruierbar, wenn gilt: In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen stets grösser als die dritte Seitenlänge. SWS Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Grösse des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen. WSW (SWW) Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in der Länge einer Seite und den Grössen zweier Winkel übereinstimmen. SSW Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Grösse des Winkels übereinstimmen, welcher der längeren Seite gegenüberliegt. GEO-Dreieck.odt ©tb Dreieck – Umkreis – Inkreis – Schwerpunkt • Das Zentrum des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. • Das Zentrum des Inkreises liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. • Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. A c = 8 cm I B S b = 12 cm a = 16 cm C U Konstruktion • Konstruiere mit dem Zirkel zuerst die Winkelhalbierenden (2 genügen!). • Markiere den Schnittpunkt S und konstruiere den dazugehörenden Inkreis. • Konstruiere mit dem Zirkel die Mittelsenkrechten (2 genügen!). • Markiere den Schnittpunkt U und konstruiere den dazugehörenden Umkreis. • Verbinde nun die Schnittpunkte Mittelsenkrechte/Seite mit der gegenüberliegenden Ecke. Das ergibt die Seitenhalbierenden (2 genügen!). • Markiere den Schnittpunkt S . Es ist der Schwerpunkt des Dreiecks. GEO-Dreieck-Umkreis-Inkreis-Schwerpunkt.odt ©tb Prisma – Pyramide – Kegel Prisma V =l⋅b⋅h S =2⋅(l⋅b+l⋅h+b⋅h) h b l Quadratische Pyramide 2 V= s s S =Grundfläche+Mantel =Quadrat +4⋅Dreieck s⋅hs 2 =s +4⋅ 2 2 =s +2⋅s⋅h s () hS h GF⋅h s ⋅h = 3 3 s s/2 √ () s 2 2 hs = h + s 2 Kegel V= hs h GF⋅h r 2 π⋅h = 3 3 S =Grundfläche+Mantel =r 2⋅π +r⋅π⋅h s =r⋅π ⋅(r+hs) hs = √h 2+r 2 r Merke: Das Volumen eines „spitzen“ Körpers (Pyramide, Kegel) beträgt ein Drittel desjenigen eines Prismas gleicher Grundfläche und Höhe. GEO-Prisma-Pyramide-Kegel.odt ©tb Geometrie: Quader und Kubus (Würfel) Berechnungen am Quader Der Quader Gesamtkantenlänge k =4⋅(l+ b+h) h Oberfläche S=2⋅(lb+lh +bh) Mantel M =2⋅(l+ b)⋅h Volumen V =l⋅b⋅h b l Körperdiagonale d k = √l 2 +b2 +h2 Berechnungen am Würfel Der Kubus (Würfel) Gesamtkantenlänge k=12⋅s Oberfläche S=6⋅s 2 s Mantel M =4⋅s2 Volumen V =s3 s s GEO-Quader-Kubus.odt Seitendiagonale d s=s⋅√ 2 Körperdiagonale d k =s⋅√ 3 DE fr US UK ES ©tb Körperberechnung – Grundwissen I Prismen Der Quader Gesamtkantenlänge G=4⋅lbh Körperdiagonale D k = l b h Mantel M =2⋅lb ⋅h Oberfläche O=2 lblhbh Volumen V =l⋅b⋅h 2 h l b 2 2 Der Kubus (Hexaeder, Würfel) Gesamtkantenlänge G =12⋅s Seitendiagonale D s= s⋅ 2 s s s Körperdiagonale D k =s⋅ 3 Mantel M = 4⋅s 2 Oberfläche O=6⋅s2 3 Volumen V =s Der Zylinder h r Grundfläche S =r 2 2 Gesamtkantenlänge G=2 r Mantel M =2 r h Oberfläche O=2 r rh Volumen V =r 2 h II Spitze Körper Die (quadratische) Pyramide 2 Volumen V = p s p 3 2 hs s seitliche Höhe hs = p2 2 Oberfläche O =s 22 s hs hs r p 3 2 2 seitliche Höhe hs = p r s Der Kegel 2 p Volumen V = Oberfläche O =r rh s r III Kugel (idealer Körper) Die Kugel Oberfläche O=4 r 2 Kugelzone Mantel M =2 r h 3 4r Volumen V = 3 M r GEO-Grundwissen-Körper.odt ©tb Berechnungen am regelmässigen Vieleck (Polygon) Beim regelmässigen Vieleck (auch n-Eck) sind alle Seiten gleich lang und die Eckpunkte haben den gleichen Abstand zum Zentrum. Deshalb kann man Polygone in einen Umkreis setzen. Eine einfache Flächenberechnung erreicht man durch die Zerlegung des Polygons in n gleiche Dreiecke: α α h h g n=5 g n=6 Die Fläche eines n-Ecks beträgt: A= n⋅g⋅h 2 Die Winkesumme im n-Eck beträgt: WS=n−2⋅180 Der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt: = n−2 ⋅180 n Die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks ist: n−3 D=n⋅ 2 GEO-Polygone.odt ©tb Der goldene Schnitt C E A M B D Goldener Schnitt - Konstruktion Im Kreis: Radius |AM| halbieren: B Zirkel in B einsetzen, |BC| = |BD| Zirkel in C einsetzen, |CD| = |CE| |CE| ist die Länge der Fünfecksseite |MC| ist der Radius des Umkreises. |CD| ist die Länge der Fünfecksseite |MD| ist die Länge der Zehnecksseite Eine Strecke ist im Goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum grösseren Abschnitt verhält wie der grössere zum kleineren: a : b = b : c Abschnitt b heisst Major, Abschnitt c Minor. Pentagon.odt ©tb Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks 1) 2) 3) 4) 5) 6) Kreis mit Zentrum Z 2× Durchmesser im rechten Winkel zeichnen („Fadenkreuz“) AZ mit Zirkel halbieren (Mittelsenkrechte) → B Kreisbogen um B durch C → D Kreisbogen um C durch D → E CE ist die genaue Seitenlänge des Fünfecks → 5× abtragen auf Kreislinie. C E Z A B a Diagonale d = (1+√5) 2 Seitenlänge a Flächeninhalt A= a2 ⋅√25+10⋅√5 4 Umkreisradius r u = a ⋅√50+10⋅√ 5 10 Inkreisradius r i = a ⋅√25+10⋅√ 5 10 GEO-Konstruktion_Pentagon.odt D Umfang u = 5a a Höhe h= ⋅√5+2⋅√5=r u +r i 2 1 ⋅ 1−√(5)) Kantenwinkel (108°) cos α= ( 4 ©tb Flächengeometrie (Planimetrie) – Eckige Flächen Dreieck g⋅h A= 2 h g= A⋅2 h h= A⋅2 g g s d s Quadrat A=s 2 u=4⋅s s= A d =s⋅ 2 Rechteck d b l A=l⋅b b= A l l= A b d = l 2b2 u=2⋅l2⋅b =2⋅lb Rhombus h s A=s⋅h h= A s s= A h A g g= s Parallelogramm h A= g⋅h h= A h g Trapez p1 p h A= p 1 p 2 ⋅h 2 p2 Drachenviereck d ⋅d A= 1 2 2 d1 d2 Verwendete Variablennamen: A für Fläche (area); u für Umfang, g für Grundlinie, h für Höhe, p für Parallele, d für Diagonale, s für Seite GEO-Grundwissen-Planimetrie.odt ©tb Der Kegel b s α h s r r = Radius der Grundfläche (Kreis) h = Körperhöhe (auch p oder hp) s = seitliche Höhe, Radius des Mantels (Kreissektor) α = Zentriwinkel, Winkel des Mantels b = Kreisbogen des Mantels od. Umfang der Grundfläche 2⋅s⋅π⋅α 360⋅2 π b= 2⋅s⋅π⋅α 360 b=2⋅r⋅π α= r⋅360 s α= b⋅360 2⋅s⋅π h= √ s2 −r 2 h= 3⋅V G G=r 2⋅π G= M= V= s2⋅π ⋅α 360 G⋅h 3 GEO-Kegel.odt = s⋅α 360 √ r= r= 3⋅V s⋅π M = Mantel (Fläche) G = Grundfläche O = Oberfläche V = Volumen (Inhalt) s =√h2 +r 2 3⋅V s M =r⋅s⋅π O=G+M 2 =r ⋅π+r⋅s⋅π =r ⋅π ⋅(r +s) ©tb Der Kreis π (Pi) ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. r = Radius d = Durchmesser u = Umfang A = Fläche t s Z d gerundete Angaben: s = Sehne e = Sekante t = Tangente Z = Zentrum r e Berechnungen am Kreis π = 3.141592654 (auf d. TR) π = 31/7 Strecken: d r u π r= u 2⋅π Der Kreissektor π = 22/7 Fläche: u=d⋅π u=2⋅r⋅π d= oder A=r⋅r⋅π d =2⋅ r= A=r 2⋅π A π 2 A= A π d ⋅π 2 Der Kreisring b r 2⋅π⋅ 360 r 2⋅π⋅b A= U r 2⋅b r⋅b A= = 2⋅r 2 r R A= α A= R2⋅π −r 2⋅π r Der Kreisringsektor Achtung Maße! B 2 b r GEO-Kreis.odt α A= R A= R2 −r 2⋅π Längenmaße: 1 cm = 10 mm Flächenmaße: 1 cm² = 100 mm² 2 R −r ⋅π⋅ 360 ©tb Die Kugel M r Alle Punkte, die vom Mittelpunkt M gleich weit entfernt sind (Abstand r), bilden die Kugeloberfläche. Die Kugeloberfläche ist viermal so groß wie die Kreisfläche durch den Mittelpunkt M der Kugel (Äquatorfläche = größte Schnittfläche). Der Durchmesser der Äquatorfläche ist d = 2r. Umfang uO u O=2 r π Größte Schnittfläche AO AO =r 2 π Oberfläche SO r= 2 √ AO π S O =4 r π r= √ SO 4π Kugelzone Mantel MO M O=2 r π h r= MO 2πh Volumen VO V O= r= √ 2 3 4r π 3 2 3 3VO 4π Alle Kugeln sind zueinander geometrisch ähnlich. Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes. tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (z.B. Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln, weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund Bereits Archimedes wusste, dass der einer Kugel umschriebene Zylinder das 3/2-fache Volumen der Kugel hat. GEO-Kugel.odt ©tb Die 5 platonischen Körper Name Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder 4 gleichseitige Dreiecke 6 Quadrate 8 gleichseitige Dreiecke 12 regelmäßige Fünfecke 20 gleichseitige Dreiecke Flächen / Kanten / Ecken 4/6/4 6 / 12 / 8 8 / 12 / 6 12 / 30 / 20 20 / 30 / 12 Anzahl Kanten pro Ecke 3 3 4 3 5 2 V = a3 3 1 V = 157 5a 3 4 Perspektivische Abbildung Abwicklung Seitenflächen (Anzahl, Art) 2 a3 3 V= 5 3 5 a 3 12 Volumen V= Oberfläche A O = 3 a Umkugelradius 6 r u= a 4 3 r u= a 2 2 r u= a 2 3 r u= 1 5a 4 r u= Inkugelradius 6 r i= a 12 1 r i= a 2 6 r i= a 6 5 r i= 5022 5 a 20 r i= GEO-Platonische_Körper.odt 12 2 V =a AO =6 a 2 AO =2 3 a 2 AO =3 2510 5 a 2 AO =5 3 a 2 a 102 5 4 a 33 5 12 ©tb Im rechtwinkligen Dreieck gilt: • Die dem rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man Katheten, die gegenüberliegende Seite Hypotenuse. • Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate. Der Satz des Pythagoras 2 2 c =a +b C a² b² nach Seiten aufgelöst : a b c A c= √ a +b 2 B 2 a= √ c −b 2 b= √ c −a 2 2 c² a² + b² 2 b² 2 a² a² = 16 b² = 9 a=4 b=3 c² = 25 GEO-Pythagoras.odt c=5 Pythagoras von Samos 570 – 510 a.C. ©tb Pythagoras: Flächen– und Raumdiagonalen Zur Berechnung der Flächen– und Raumdiagonalen verwenden wir den Satz des Pythagoras: Kathete 1 Kathete 2 Hypotenuse= √ Kathete 1 + Kathete 2 2 2 Hypotenuse Quader Der Quader hat drei unterschiedlich lange Flächendiagonalen. Die 4 Raumdiagonalen sind gleich lang. d 1= √ l +b 2 d3 dr d2 2 d 2= √ l 2 +h2 h d 3=√ b2 +h2 d r = √ d 1 +h 2 d1 b 2 = √ l +b +h 2 l 2 2 Würfel Die Flächendiagonalen des Würfels sind alle gleich lang. Auch die 4 Raumdiagonalen haben die gleiche Länge. d f =√ s + s 2 dr s 2 =s⋅√ 2 d r = √ d 2f + s 2 df s =s⋅√3 s GEO-Pythagoras.odt ©tb Volumen – Gewicht (Masse) – Dichte Berechnung Formel Masse=Volumen⋅Dichte m=V⋅ 1 dm 1 dm³ Masse Dichte V= Masse Volumen = Volumen= 1 dm 1 dm Für reines Wasser gilt: Dichte= m m V 1 dm³ = 1 Liter = 1 Kilogramm (…seit 1789) Jeder Stoff hat seine eigene Dichte (Massendichte). Sie hängt neben der Beschaffenheit des Stoffs auch von seiner Temperatur und seinem Umgebungsdruck ab. Die Dichte ρ (griechisches Rho) wird als Verhältniszahl zur Dichte des Wassers angegeben: Gebräuchliche Maße für die Dichte sind g/cm³ , kg/dm³ und t/m³ Massendichten einiger Stoffe bei 20ºC: Für Wissbegierige: Stoff Dichte in kg/dm³ Platin Pl 21.4 Gold Au 19.3 Uran U 19.16 Quecksilber Hg 13.5459 Blei Pb 11.342 Silber Ag 10.49 Kupfer Cu 8.92 Eisen Fe (auch Stahl) 7.85 — 7.87 Titan Ti 4.5 Kohlenstoff C (Diamant) 3.51 Kohlenstoff C (Graphit) 2.26 Kohlenstoff C (Carbonfaser) 1.8 Kalkstein 2.7 Aluminium Al 2.699 Beton 1.5 — 2.4 Sand (trocken) 1.5 — 1.6 Wasser H2O 0.998 Wasser (bei 4ºC) 1.000 Eis (bei 0ºC) 0.917 Fette 0.89 — 0.95 Papier 0.7 — 1.2 Holz (trocken) 0.4 — 0.8 Schaumstoffe 0.012 — 0.3 Ein Kilogramm ist nicht immer ein Kilogramm! Abhängig vom Ort, an dem gemessen wird, ist die Erdbeschleunigung unterschiedlich hoch, daher gibt es selbst auf der der Erde Messunterschiede (mit der Federwaage). Wenn man diese Unterschiede berücksichtigt, spricht man nicht von Dichte, sondern von der Wichte (spezifisches Gewicht). ρ Wasser dehnt sich bei sinkenden Temperaturen unter 4°C aus. Man spricht deshalb von der Anomalie des Wassers (Unregelmäßigkeit). Gase werden meist in g/l (=g/dm³) angegeben: Stoff Dichte in g/l Helium He 0.1785 Luft (N und O) 1.2930 Methan CH4 0.7168 GEO-Volumen-Gewicht-Dichte.odt (kleines gr. Rho) Stoff Dichte in g/l Sauerstoff O 1.42895 Stickstoff N 1.2505 Wasserstoff H 0.08988 ©tb Der Zylinder (Kreiszylinder) Kreiszylinder Berechnung: Legende: 2 r 2 G=r ⋅π D=r ⋅π M =2⋅r⋅π⋅h h Hohlzylinder R r h r = Radius h = Körperhöhe V = Volumen (Inhalt) S=GDM 2 =2⋅r ⋅π 2⋅r⋅π⋅h =2⋅r⋅π⋅r h V =G⋅h =r 2⋅π⋅h S = Oberfläche bestehend aus G = Grundfläche, M = Mantel (Fläche) D = Deckfläche Berechnung: Legende: G=R2⋅π −r 2⋅π = R2−r 2 ⋅π r = Radius (innen) R = Radius (außen) S=2⋅ R2 π −r 2 π 2 Rπh2 rπh =2 π⋅ R2−r 2 2 πh Rr V = R 2⋅π −r 2⋅π ⋅h = R2−r 2 ⋅π⋅h Zylindersektor α Berechnung: G= r h S=2 r 2 π Legende: r 2⋅π⋅ 360 α = Zentriwinkel α α 2 r π h 2rh 360 360 r 2⋅π⋅ V= ⋅h 360 Berechnung: Hohlzylindersektor G= R2−r 2 ⋅π⋅ 360 V= R2 −r 2⋅π⋅ ⋅h 360 (Sektor eines Hohlzylinders) GEO-Zylinder.odt ©tb Das Koordinatensystem Auf geographischen Karten wird die Erde mit einem Koordinatennetz überzogen. So kann man jeden Ort mit zwei Zahlen „adressieren“. 0° (London) -180° -150° -120° -90° -60° -30° 30° 60° 90° 120° 150° 180° - 90° (Nordpol) - 60° - 30° 0° (Äquator) - 30° Breite - 60° (y-Achse) - 90° (Südpol) Länge (x-Achse) Die Stadt Bern hat z.B. folgende Koordinaten: 46°57′4″ nördliche Breite, 7°26′19″ östliche Länge / Google Maps gibt die Koordinaten dezimal an: 46.946° nördliche Breite, 7.444° östliche Länge. Der Einfachheit wegen sind positive Grade immer nördlich resp. östlich gemeint. Auf dem Taschenrechner lassen sich die Koordinaten mit der DMS → DD Funktion leicht umrechnen (DMS = Degree/Seconds/Minutes; DD = Decimal Degree). GEO-Koordinatensystem.odt ©tb In der Mathematik verwenden wir folgendes Koordinatensystem: Ein Koordinatensystem besteht aus den zwei Koordinatenachsen x und y. Der Punkt A hat die Koordinaten (4 | 5). Der Punkt B hat die Koordinaten (3 | –5). Der Nullpunkt hat die Koordinaten (0 | 0). Koordinaten kennen wir auch aus dem Spiel «Schiffe versenken». Hier gelten für die x– Achse Buchstaben und für die y–Achse Ziffern. Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch die Computer– und TV-Bildschirme. Der Einfachheit wegen werden nur nur positive Zahlen verwendet. Der Nullpunkt der x– und y–Achse liegt wie beim Schiffe versenken in der oberen linken Ecke des Bildschirms. GEO-Koordinatensystem.odt ©tb Steigung und Gefälle P2 Schräg– strecke s P1 Höhen– unterschied h P'2 α (Steigungswinkel) horizontale Länge, Basis b Steigung und Gefälle sind rechnerisch dasselbe. Die Steigung ist das Verhältnis von Höhenunterschied zur Basis. Meist wird sie in Prozent % angegeben, dann müssen wir diesen Bruch mal 100 rechnen. Wenn Promille ‰ verlangt sind, rechnen wir den Bruch mal 1000: in Prozent % in Promille ‰ h Steigung= ⋅100 b h Steigung= ⋅1000 b Wichtig: Eine Steigung von 1 (100%) bedeutet, dass Höhenunterschied und horizontale Länge gleich groß sind (Steigungswinkel = 45°)! Ist eine Steigung in Prozent angegeben und man will daraus den Höhenunterschied oder die horizontale Länge berechnen, so muss man die Steigung zuerst durch 100 teilen (Verwandlung von Prozentzahl in Dezimalzahl). Falls bei einem Steigungsdreieck eine der drei Seiten gesucht wird, verwenden wir den Satz des Pythagoras: s=√ h2 +b 2 h=√ s 2−b2 b=√ s 2−h2 Beispiel: Die Talstation der Gurtenbahn liegt auf 572.6 m.ü.M., die Bergstation auf 845.5 m.ü.M. Die Fahrlänge (=Schrägstrecke) beträgt 1559 m. Die horizontale Länge beträgt 1'042.98 m. Berechne die Steigung. h Steigung= ⋅100 b Höhenunterschied: 845.5 m – 572.6 m = 272.9 m 272.9 = ⋅100 1042.98 =26.16 Prozent GEO-Steigung und Gefälle.odt ©tb Formelblatt Mathematik Quadrat d = a· 2 d = a · 1,414 a 3a2 A= · 2 u = 4a s a Rechteck A = a· b a = A /b b = A /a u = 2 · (a +b) a = u /2 -b d b a Kreis d b h a A= = d c h a b a 2 2 2 c = a +b b2 = c2 -a2 a2 = c2 -b2 a = c2 -b2 p · (R2-r 2) Zylinder p V = r 2· p · h 4 · (D2-d2) D = 4A +d2 p Kreisausschnitt (Sektor) b= b 2. binomische Formel: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a = V b· c V b =a c · O = r · p· h + 2· r· p· h =2· r· p · ( r+ h) d· p·a 360 1 hm = 1 /1000 m = 1 /100 m = 1 /10 m =1m · (Hektometer) = 1 100 m = 10 mm = 10 cm = 10 dm = 100 m Flächenmaße = 100 mm2 = 100 cm2 = 100 dm2 = 100 m2 = 10 m · 10 m = 100 a = 100 m · 100 m = 100 ha = 1000 m · 1000 m Gewichte r· V = 4· p 3 3 d r ·A d= 4 b ·b d = 360 p·a 1 mm (Millimeter) 1 cm (Zentimeter) 1 dm (Dezimeter) 1 m (Meter) 1 cm3 = 1000 mm3 1 dm3 = 1000 cm3 1 m3 = 1000 dm3 r 4V p· h Längenmaße Körpermaße d d= 3. binomische Formel: (a + b)(a - b) = a2 - b2 1 cm2 1 dm2 1 m2 1a 1 ha 1 km2 h Kugel A=b·d 4 d 3 2 p Rechtwinkliges Dreieck (Pythagoras) c D a d = D2 - 4A b D = a· V=a·b·c c D R Dreieck b Quader r= d 2 A=dp 4 Kreisring 2 d 2 r A = a · h /2 a = 2A /h h = 2A /a u = a +b +c a = u -(b +c) a d=a· O = 6 · a2 2 A=rp r D 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a u = d ·p u d= p Parallelogramm A = a· h a = A /h h = A /a u = 2 · (a +b) a = u /2 -b 3 Binomische Formeln V = a3 s = a· 3 = a · 1,732 A = a2 d a Würfel Reguläres Sechseck Abkürzungen O = Oberfläche Latein. A = Fläche = Area O = 4· r · p 2 2 =d · p 1g 1 kg 1t 1 1 = 1000 mg 2 = 1000 g = 1000 kg (t = Tonne) Hohlmaße 1 ml 1 cl 1 dl 1l 1 hl (Milliliter) = 1 /1000 l (Zentiliter) = 1 /100 l (Deziliter) = 1 /10 l (Liter) = 1 Liter = 10 ml = 10 cl = 10 dl (Hektoliter) = 1 100 l · = 100 l a,b,c = Seiten d = Diagonale V = Volumen r = Radius u = Umfang h = Höhe a = Alpha p @ 3.14