Darstellende Geometrie
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Darstellende Geometrie • Bei der Darstellenden Geometrie geht es darum, einen räumlichen Gegenstand in einer zweidimensionalen Ebene darzustellen. Dabei wendet man hauptsächlich Projektionen an. Projektionen Parallelprojektion Das Projektionszentrum liegt im „Unendlichen“. Projektionsebene Projektionsrichtung Quader Bild des Quaders Wichtige Eigenschaften der Parallelprojektion. Bilder paralleler Geraden bei Parallelprojektion sind parallel – die Umkehrung gilt nicht !!! Zweitafelprojektion • • • Die senkrecht aufeinander stehende Projektionsebenen π1 und π2 schneiden sich in der Projektionsachse 1p2. Bei der Zweitafelprojektion dreht man die erste Bildebene, die Grundrissebene π1 so um die Projektionsachse 1p2, dass sie in die zweite Bildebene, die Aufrissebene π2 fällt. Dreitafelprojektion - Hauptrisse Ein räumlicher Gegenstand der in der Zweitafelprojektion, das heißt in der Grund- und Aufrissebene, nur unzureichend dargestellt werden kann, bildet man in einer weiteren Bildebene, dem Seitenriss ab. Diese dritte Bildebene π3 wird, insbesondere bei technischen Zeichnungen so gewählt, dass sie senkrecht zur Grundrissund auch senkrecht zur Aufrissebene steht. Vorderansicht Seitenansicht Draufsicht Normalrisse sind Parallelprojektionen senkrecht (normal) zur Projektionsebene Axonometrie Die Axonometrie dient in erster Linie zur einfachen Herstellung anschaulicher Bilder räumlicher Objekte. Höhe, Faktor 1 Beispiel: Kabinett- bzw. Kavalierperspektive Weitere Varianten: Vogelperspektive Militärperspektive Isometrie Dimetrie Trimetrie Breite, Faktor 1 Tiefe, Faktor k (z.B. k = 0,5) Zentralprojektion Projektionsebene Projektionszentrum Quader Bild des Quaders Literatur Fucke/Kirch/Nickel: Darstellende Geometrie für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig Klix: Konstruktive Geometrie darstellend und analytisch. Fachbuchverlag Leipzig Axiome bzw. „geometrische Selbstverständlichkeiten“ 1. Durch zwei nicht zusammenfallende Punkte ist eine Gerade bestimmt. 2. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Ebene bestimmt. 3. Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich in einem Punkt. Zwei parallele Geraden schneiden sich in einem „unendlich fernen Punkt“. 4. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Zwei parallele Ebenen schneiden sich in einer „unendlich fernen Geraden“. 5. Zwei Geraden, die sich schneiden, bestimmen eine Ebene. Symbole und Schreibweisen ∈ ∉ ⊂ ⊄ ∩ || ⊥ ∅ P P g g … … … … … … … … „ist Element von“ „ ist nicht Element von“ „ ist Teilmenge von“ oder „ist enthalten in“ „ ist nicht Teilmenge von“ oder „ist nicht enthalten in“ „ ist Durchschnitt von“ „ ist parallel zu “ „ ist senkrecht zu “ leere Menge ∈g … := g ∩ h … := Σ ∩ Ε … := P ⊥ Σ … PQ PQ Punkt P liegt auf der Geraden g P ist der Schnittpunkt der Geraden g und h g ist die Schnittgerade der Ebenen Σ ∩ Ε g ist die Senkrechte (Normale, Othogonale, das Lot) durch den Punkt P zur Ebene Σ … Verbindungsgerade … Streckenlänge zwischen den Punkten P und Q Achsenkreuz x3 (bzw. z) - Höhe Die Geraden OE1, OE2 und OE3 stehen jeweils senkrecht aufeinander. Aufrissebene Π2 (bzw. yz-Ebene) Kreuzrissebene Π3 (bzw. xz-Ebene) E3(0,0,1) O E2(0,1,0) x2 (bzw. y) - Breite E1(1,0,0) x1 (bzw. x) - Tiefe Grundrissebene Π1 (bzw. xy-Ebene) Koordinaten eines Punktes P x3 P‘‘ ist der Aufriss von P P‘‘‘ ist der Kreuzriss von P P‘‘ P‘‘‘ P Abszisse von P (Tiefe): PP ' ' = PΠ 2 O Ordinate von P (Breite): PP' ' ' = PΠ 3 P‘ x2 Kote von P (Höhe): PP ' = PΠ1 x1 P‘ ist der Grundriss von P Strahlensatz B‘ Die Dreiecke SAB und SA‘B‘ sind ähnliche Dreiecke: SAB ~ SA’B’ B S A Damit sind die Seitenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: SA : AB = SA' : A' B' SA : SB = SA' : SB ' SA : SA' = SB : SB ' = AB : A' B' A‘ Teilverhältnis Teilverhältnis von drei Punkten A,B,V: TV ( A, B;V ) = AV : BV B B‘ Das Teilverhältnis ist invariant bei: V‘ - Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen V A A‘ - Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage wegen Strahlensatz gilt: AV : BV = A'V ' : B 'V ' Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage Invariante bei einer Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage Teilverhältnis: AV : A'V ' = BV : B 'V ' C U Parallelität: aus AC 7 VU folgt A’C’ 7 V’U’ A B V C‘ A‘ U‘ V‘ B‘ Doppelverhältnis Doppelverhältnis von 4 Punkten A,B und U,V: DV ( A, B;U ,V ) = ( AU : BU ) : ( AV : BV ) V‘ V B B‘ U A Das Doppelverhältnis ist invariant bei: Zentralprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage (und damit bei allen Projektionsarten) ( AU : BU ) : ( AV : BV ) = ( A'U ' : B' U ') : ( A'V ' : B'V ') Beweis: siehe Fucke/Kirch/Nickel (mit Sinussatz) U‘ A‘ Invarianten bei einer Projektion Zentralprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Doppelverhältnis perspektive Kollineation Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis perspektive Affinität Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel Ähnlichkeit Parallelprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel, Flächeninhalt Kongruenz Elementare Grundkonstruktionen 6 m C k2 A k1 B D Mittelsenkrechte m zu zwei Punkten A und B l C k2 k P g A k1 B D Lot l zur Geraden g durch den Punkt P Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P h k3 S k1 g P B C k2 A D Satz des Thales Gegeben sind ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und zwei Punkte A ∈ k und B ∈ k mit M ∈ AB. (d.h.: AB ist Durchmesser von k) Dann gilt für alle X ∈ k: XA ⊥ XB (und umgekehrt) Peripherie -winkel X k Das heißt: Alle Peripheriewinkel über einem Halbkreis sind rechte Winkel. A M B t1 T1 k M Tangenten an einen Kreis k durch einen Punkt P P mpkt(M,P) T2 t2 Thales-Kreis zu M und P Teilungspunkte Z1 und Z2 einer durch die Punkte A und B gegebenen Strecke zum Faktor k = a:b ga P1 ka gb Q1 A Z2 Q2 P2 Z1 B kb Tangenten an zwei Kreise Äußeres Tangentenpaar k1 k2 Inneres Tangentenpaar
