Elektromagnetische Felder ¨Ubungen Blatt 2, 18.03.10 Aufgabe 5

Elektromagnetische Felder Übungen
Blatt 2, 18.03.10
Aufgabe 5:
Es seien folgende Vektorfelder gegeben:
v = a(r · a)
u = (0, 0, (x2 + y 2 )z),
sowie eine Kugel S mit dem Radius R um den Koordinatenursprung und ein Zylinder C
mit der Länge L und dem Radius R ebenfalls zentriert um den Koordinatenursprung.
a stehe senkrecht zur Zylinderachse.
Berechnen Sie den Fluß
a) von v durch die Oberfläche ∂S von der Kugel S.
b) von u durch die Oberfläche ∂S von der Kugel S.
c) von v durch die Oberfläche ∂C vom Zylinder C.
verifizieren Sie bei diesen Fällen den gausschen Satz. [Hinweis: Benutzen Sie die Ergebnisse
aus den Aufgaben 2-g und 2-h]
Aufgabe 6
Berechnen Sie das E-Feld eines unendlich langen, geladenen Zylinders mit Radius R und
Ladungsdichte
ρ(r) = a/r
(für r ≤ R)
(mit r der Abstand zur Zylinderachse und a eine Konstante) für einen Aufpunkt P ausserhalb und innerhalb des Zylinders.
Hinweis: benutzen Sie die Symmetrien des Feldes und den Gausschen Satz für eine zylindrische Gauss-Fläche.
Bestimmen Sie die Spannung zwischen der Zylinderachse und einem Punkt P ausserhalb
des Zylinders.
Aufgabe 7: Betrachten Sie die zwei (getrennte) Ladungsanordnungen (A) und (B) in der
oberen Abbildung auf der Rückseite: −q, +2q etc. sind Punktladungen, d die Abstände.
Die Anordnung (B) besteht aus einer dünnen Scheibe mit der Flächeladungsdichte σ und
mit dem Radius R, auf deren Achse sich zwei Punktladungen −q befinden (Abstand d
von der Scheibe) befinden.
Bestimmen Sie den Wert von σ, für den die Gesamtladung in (B) verschwindet.
Zeigen Sie, dass (für diesen Wert von σ) das Dipolmoment in den beiden Fällen verschwindet.
Bestimmen Sie den Quadrupoltensor der beiden Ladungsanordnungen.
(Hinweis: Berechnen Sie den Quadrupoltensor im Hauptachsensystem. Benutzen Sie für
(B) Zylinderkoordinaten).
Extraaufgabe
Gegeben sind zwei Ladungsverteilungen, eine Kugel mit der Ladungsdichte ρ1 und ein
Zylinder dessen Achse durch den Kugelmittelpunkt führt mit der Ladungsdichte ρ2 und
der Höhe ∞. Beide haben denselben Radius R (siehe Abbildung auf der Rückseite).
Berechnen Sie das elektrische Feld und das Potential für Punkte r ausserhalb der Ladungsverteilungen, und geben Sie beides in Zylinderkoordinaten an. Wählen Sie für die
Berechnung des Potentials einen geeigneten Weg.
−q
d
+2q
−q
d
σ
−q
R
d
−q
(B)
(A)
Abbildung 1: Zu Aufgabe 7
R
r
ρ1
ρ2
Abbildung 2: Zur Extraaufgabe