Abbildungen und Aussagenlogik I Daniela

TU3
Abbildungen und Aussagenlogik I
Daniela Andrade
[email protected]
7.11.2016
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Kleine Anmerkung
Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf
www.carlos-camino.de/ds findet ;)
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Themenübersicht
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Abbildungen
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Aussagenlogik I
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Abbildungen
Themenübersicht
1
Abbildungen
Wichtige Begriffe
Eigenschaften von Abbildungen
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Abbildungen
Wichtige Begriffe
Themenübersicht
1
Abbildungen
Wichtige Begriffe
Eigenschaften von Abbildungen
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Abbildungen
Wichtige Begriffe
Abbildungen
Eine Abbildung (oder Funktion) f ist eine Zuordnung zwischen zwei Mengen A und B, so dass
jedem Element a ∈ A genau ein Element b ∈ B zugeordnet wird. Wir schreiben dann f (a) = b.
Schreibweise als Zuordnungsvorschrift
f : A → B, a1 7→ f (a1 ), a2 7→ f (a2 ), a3 7→ f (a3 ), . . .
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Abbildungen
Wichtige Begriffe
Graphische Darstellung von Funktionen
Die graphische Darstellung von Funktionen funktioniert analog zu der von Relationen. Wichtig
ist, dass bei einer Funktion f : A → B jedes Element aus A von genau einem Pfeil verlassen
wird!
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Abbildungen
Wichtige Begriffe
Bild und Urbild einer Funktion
Sei f : A → B eine Funktion.
Das Urbild f −1 (b) eines Elements b ∈ B ist definiert als:
f −1 (b) = {a ∈ A | f (a) = b} .
Das Bild f (A0 ) einer Menge A0 ⊆ A ist:
f (A0 ) =
[
{f (a)}.
a∈A0
Das Urbild f −1 (B 0 ) einer Menge B 0 ⊆ B ist:
f −1 (B 0 ) =
[
f −1 (b).
b∈B 0
Info
f −1 ist bei uns nicht die Umkehrfunktion, sondern die Urbildmenge!
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Abbildungen
Eigenschaften von Abbildungen
Themenübersicht
1
Abbildungen
Wichtige Begriffe
Eigenschaften von Abbildungen
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Abbildungen
Eigenschaften von Abbildungen
Graphische Bedeutung
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Abbildungen
Eigenschaften von Abbildungen
Eigenschaften von Funktionen
Sei f : A → B. Dann gilt:
f injektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B : |f −1 (b)| ≤ 1
f surjektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B : |f −1 (b)| ≥ 1
f bijektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B : |f −1 (b)| = 1
Info
Für Beweise sind folgende äquivalente Aussagen sehr nützlich:
f injektiv ⇐⇒ (∀a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2 )
f surjektiv ⇐⇒ ∀b ∈ B : ∃a ∈ A : f (a) = b
f bijektiv ⇐⇒ f injektiv und surjektiv
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Abbildungen
Eigenschaften von Abbildungen
Quizfrage
Welche Eigenschaften besitzen folgende Funktionen?
1
f1 :
1
1
f2 :
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
A
B
A
B
A
f3 :
f4 :
1
1
2
2
3
3
B
A
1
2
3
4
B
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Abbildungen
Eigenschaften von Abbildungen
Antwort
1
2
f1 :
1
2
1
f2 :
2
1
2
1
f3 :
f4 :
1
1
2
2
3
3
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
A
B
A
B
A
1
2
3
4
B
A
B
f1 ist nicht injektiv und nicht surjektiv.
f2 ist injektiv und surjektiv (also bijektiv).
f3 ist surjektiv und nicht injektiv.
f4 ist injektiv und nicht surjektiv.
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Aussagenlogik I
Themenübersicht
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Themenübersicht
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Syntax aussagenlogischer Formeln
Sei V eine Menge, die sog. Variablenmenge.
true und false sind Formeln über V .
Jede Variable x ∈ V ist eine Formel über V .
Ist F eine Formel über V , dann auch:
¬F
(Negation)
Sind F und G Formeln über V , dann auch:
(F
(F
(F
(F
∧ G)
∨ G)
→ G)
↔ G)
(Konjunktion)
(Disjunktion)
(Implikation)
(Bikonditional)
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Info
Wir benutzen Klammern nur wenn es sein muss. Die Reihenfolge für die Bindungsstärke
ist ¬, ∧, ∨, →.
Belegungen
Eine Belegung β : V → B ist eine Funktion die jeder Variable einer Variablenmenge V
einen Wert aus B = {0, 1} zuordnet.
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Beispiel
Sei V = {p, q}. Dann gibt es folgende 4 Belegungen β0 , β1 , β2 , β3 : V → B:
β0 : p 7→ 0, q 7→ 0
β1 : p 7→ 0, q 7→ 1
β2 : p 7→ 1, q 7→ 0
β3 : p 7→ 1, q 7→ 1
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
Themenübersicht
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Aussagenlogik I
Syntax aussagenlogischer Formeln
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
Semantik Aussagenlogischer Formeln
Die Semantik [F ] einer aussagenlogischer Formel F mit Variablen aus V ist eine Funktion
[F ] : BV → B,
wobei BV wieder die Menge aller Belegungen ist.
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
Semantik aussagenlogischer Formeln als Tabellen
Für den unären Junktor ¬ gilt:
F
0
1
¬F
1
0
¯ und ∨
¯ gilt:
Für die binären Junktoren ∧, ∨, →, ↔, ⊗, ∧
F
0
0
1
1
G
0
1
0
1
F ∧G
0
0
0
1
F ∨G
0
1
1
1
F →G
1
1
0
1
F ↔G
1
0
0
1
F ⊗G
0
1
1
0
¯G
F∧
1
1
1
0
¯G
F∨
1
0
0
0
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
Eigenschaften aussagenlogischer Formeln
Sei F eine aussagenlogische Formel. Dann gilt:
F erfüllbar
F gültig
:⇐⇒
:⇐⇒
es gibt eine zu F passende Belegung β mit [F ](β) = 1,
für alle zu F passende Belegungen β gilt [F ](β) = 1.
Infos
Entsprechend sehen die Negationen aus:
F nicht erfüllbar ⇐⇒
für alle zu F passende Belegungen β gilt [F ](β) = 0,
F nicht gültig
⇐⇒ es gibt eine zu F passende Belegung β mit [F ](β) = 0.
Eine nicht erfüllbare Formel wird auch unerfüllbar oder Widerspruch genannt.
Eine gültige Formel wird auch allgemeingültig oder Tautologie genannt.
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
Rezept
Frage: Wie findet man die Semantik einer Formel F ?
Methode:
1
Fülle die Wahrheitstafel für F mit Hilfe der Tabellen aus.
2
Lese die Semantik an der entsprechenden Spalte der Wahrheitstafel ab.
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
Semantik aussagenlogischer Formeln
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Aussagenlogik I
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