zu 3.2 Einige wichtige Tautologien

October 8, 2013
1
EINFÜHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 3.2
Einige wichtige Tautologien
Michael Grosser
Der Beweis, dass es sich bei jeder der folgenden Formeln der Aussagenlogik
um eine Tautologie handelt, verläuft jeweils analog zum Fall der logischen
Transposition, der in der Vorlesung behandelt wurde, mit Hilfe einer Wahrheitstafel.
Wir wollen hier nicht bloß eine trockene Aufzählung bringen, sondern zu den
einzelnen Formeln auch Hintergrundinformationen vermitteln.
1. p ∨ ¬ p
2. ¬ ¬ p ⇔ p
tertium non datur
Doppelte Verneinungen fallen weg.
1. und 2. (ebenso wie gewisse weitere Formeln) gelten nicht in der intuitionistischen
Logik.
3. ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
Regeln von De Morgan
Diese äußerst wichtigen Regeln sollte man sich unbedingt auch intuitiv, auf der
Ebene des Hausverstandes klarmachen:
Wenn nicht p und q gilt, also nicht beide gelten, dann bedeutet das, dass mindestens
eines von p und q nicht gilt, also dass mindestens eines von ¬ p und ¬ q sehr wohl
gilt, letztendlich also dass ¬ p ∨ ¬q gilt; und das Ganze auch umgekehrt.
Wenn nicht mindestens eines von p und q gilt, dann sind sie beide falsch. Damit
ist jedoch ¬ p ∧ ¬ q wahr; und das Ganze wiederum umgekehrt.
Auf der Basis von 2. und 3. kann man man mttels p ∧ q ⇔ ¬ (¬ p ∨ ¬ q) beziehungsweise mittels p ∨ q ⇔ ¬ (¬ p ∧ ¬ q) entweder ∧ durch ¬ und ∨ oder umgekehrt ∨
durch ¬ und ∧ ausdrücken. Auf diese Weise kann man die Aussagenlogik nur mit
zwei Junktoren aufbauen (zu ⇒ und ⇔ siehe unten).
4. (p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)
5. (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Mit 4. und 5. könnte man ⇔ durch ⇒ (und ∧) definieren und ⇒ wiederum durch
¬ und ∨. Insgesamt könnte man damit ⇒ und ⇔ als abgeleitete Zeichen (also als
EmA: Implikation
8. Oktober 2013
2
Zeichen, die durch vorangehend eingeführte Zeichen ersetzbar sind) in die Aussagenlogik einführen statt als weitere Grundzeichen, wie wir es in der Vorlesung
getan haben.
Zusammenfassend würden also jedes der beiden Junktorenpaare ¬, ∨ und ¬, ∧
genügen, um alle übrigen Junktoren dadurch äquivalent auszudrücken. Diese Reduktion lässt sich sogar noch auf die Spitze treiben: Es genügt sogar ein einziger Junktor, nämlich NAND ( negated and“: p∧q mit dem Wahrheitswerten von
”
¬ (p ∧ q)), um sämtliche anderen äquivalent auszudrücken; siehe Beispiel 3.1.3 und
Bemerkung 3.1.4 im Buch.
6. (p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p) Logische Transposition, auch Kontraposition
Die logische Transposition stellt ein häufiges Muster (des Kernstücks) eines
indirekten Beweises einer Aussage der Form p ⇒ q dar: Unter der Voraussetzung
p nimmt man das Gegenteil der Behauptung q an. Gelingt nun der Beweis von ¬ p
dadurch, dass man ¬ q ⇒ ¬ p (die transponierte Aussage zu p ⇒ q!) nachweist,
dann hat man den Widerspruch p ∧ ¬ p erhalten. Somit muss die Annahme ¬ q
falsch und die Behauptung q damit richtig sein.
7. ¬ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬ q
Mit dieser Formel für die Negation einer Implikation finden wir bestätigt,
dass man ein Gegenbeispiel bringen muss, um eine Implikation zu widerlegen
(das heisst, als falsch zu erweisen): Eine Implikation p ⇒ q ist nämlich genau
dann als falsch nachgewiesen, wenn man einen Fall aufzeigen kann, in dem die
Voraussetzung p sehr wohl, nicht jedoch die Folgerung q erfüllt ist.
Insbesondere ist ¬ (p ⇒ q) durch keine der folgenden Formeln richtig beschrieben:
¬p ⇒ ¬q
¬p ⇒
q
p ⇒ ¬q
q⇒
p
¬q ⇒
p
q ⇒ ¬p
¬q ⇒ ¬p
Alle diese sind mehr oder weniger beliebte und immer wieder auftretende Kandidatinnen für einschlägige Irrtümer. Beachten Sie, dass in der voranstehenden
Tabelle jeweils in derselben Zeile stehende Formeln gemäß der logischen Transposition (und dem Wegfall der doppelten Verneinung) äquivalent sind. Abgesehen
davon treten in allen vier Zeilen verschiedene Wahrheitswertverläufe auf (von oben
nach unten: 1011, 0111, 1110, 1101) deren keiner mit dem von ¬ (p ⇒ q) (0010)
übereinstimmt.
8. (p ⇔ q) ⇔ ¬ (p∨q)
Die Äquivalenz verneint das exklusive Oder.
Das Gegenteil von beide oder keins“ ist natürlich genau eins von beiden“.
”
”