Aufgabenblatt - Höhere Mathematik an der TUM

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004)
— Aufgabenblatt 1 (22. April 2004) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 1. 5.473 Die Logik muß für sich selber sorgen1 .
1.) Welche der folgenden Ausdrücke sind syntaktisch korrekte Formeln über den atomaren Formeln A, B und C ?
(C ∧ (A¬B))
((¬A) ∨ B) ∧ ((C ∧ A) ∨ (¬(C ∨ D)))
((¬((¬B) ∨ (¬B))) ∧ ((¬(C ∨ A)))
2.) Welche der folgenden Formeln sind semantisch äquivalent ?
¬(¬A) ≡ A
A ∧ (A ∨ B) ≡ B
(A ∨ B) ∧ C ≡ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
3.) Welche der folgenden Formeln sind Tautologien?
(A → ¬A) → ¬A
(A → B) ∧ (¬A ∨ B)
((A → B) → A) → A
Aufgabe 2. 2.0232 Beiläufig gesprochen: Die Gegenstände sind farblos.
1.) Formalisieren Sie die folgende Aussage: “Wenn ein hartgekochtes Ei nicht mit kaltem Wasser abgeschreckt wird,
dann klebt die Schale am Eiweiß und das Ei lässt sich nicht gut schälen.”
2.) Welche Eigenschaften muss ein Java–Crack notwendigerweise besitzen? Formalisieren Sie untenstehende Sachverhalte und verwenden Sie Wahrheitstafeln.
• Jeder gute Programmierer ist von der objektorientierten Programmierung begeistert.
• Niemand ist ein Java–Crack, wenn er nicht in der Lage ist, einen Java–Kurs zu geben.
• Niemand ausser einem guten Programmierer kann einen Java–Kurs geben.
• Niemand, der Basic nicht hasst, kann von objektorientierter Programmierung begeistert sein.
Aufgabe 3. 4.128 Die logischen Formen sind zahllos.
1.) Wieviele Formeln mit verschiedener Semantik gibt es über den atomaren Formeln A1 , . . . , An ?
2.) Finden Sie eine Formel, für die die Belegung
A1 (A) = 0,
A1 (B) = 1,
A1 (C) = 1
A2 (B) = 0,
A2 (C) = 0.
ein Modell ist, nicht aber die Belegung
A2 (A) = 1,
Wieviele solche (semantisch verschiedene) Formeln über den atomaren Formeln A, B und C gibt es?
1 L UDWIG W ITTGENSTEIN , Tractatus logico-philosophicus, Wien, 1918. Von “1 Die Welt ist alles, was der Fall ist.” bis zu “7 Wovon man nicht
sprechen kann, darüber muß man schweigen.”
— Hausaufgaben —
Aufgabe 4. 4.31 Die Wahrheitsmöglichkeiten können wir durch Schemata folgender Art darstellen. . .
Zeigen Sie mit Wahrheitstabellen, dass die Formeln
F = ((A → B) ∧ (A → C)) und G = (A → (B ∧ C))
semantisch äquivalent sind. Zeichnen Sie den Ableitungsbaum der beiden Formeln.
Aufgabe 5. 5.3 Alle Sätze sind Resultate von Wahrheitsoperationen mit den Elementarsätzen.
Für zwei Formeln F und G ist der Ausdruck F ↔ G wie folgt definiert:
F ↔ G = (F → G) ∧ (G → F ) = (¬F ∨ G) ∧ (¬G ∨ F )
Gegeben sei die Formel F = (A → B) ↔ ¬(A ∨ (¬B ∧ C)). Welche der folgenden Belegungen sind Modelle für F ?
1.) A1 (A) = 1, A1 (B) = 1,
A1 (C) = 1
2.) A2 (A) = 1, A2 (B) = 0,
A2 (C) = 1
3.) A3 (A) = 0, A3 (B) = 1,
A3 (C) = 0
Aufgabe 6. 6.1262 Der Beweis in der Logik ist nur ein mechanisches Hilfsmittel zum leichteren Erkennen der
Tautologie, wo sie kompliziert ist.
Zeigen Sie, dass sich zu jeder aussagenlogischen Formel eine semantisch äquivalente Formel finden läßt, die nur aus
den Konstruktionselementen ‘0’ und Implikationspfeilen ‘→’ besteht.
Hinweis: Wie kann man für zwei beliebige Formeln F und G die Formeln ¬F , F ∧ G, F ∨ G in ausschließlich ‘0’
und ‘→’ darstellen? Warum reicht dies?
Aufgabe 7. 6.13 Die Logik ist keine Lehre, sondern ein Spiegelbild der Welt.
Cäsar hat sich eine List ausgedacht: Um bei den Galliern Verwirrung zu stiften, lässt er als Gallier verkleidete Römer
in den Wäldern patroullieren. Sie haben den strengen Befehl, immer zu lügen (Gallier sagen natürlich immer die
Wahrheit!). Obelix weiß, dass er niemandem mehr trauen kann.
Können Sie Obelix helfen? Ist Asterix im Dorf oder nicht? Sind die beiden Herren Gallier oder Römer?
Abgabe der Hausaufgaben:
Montag, 3. Mai 2004, in der Zentralübung (MI HS 1).