1 Taylorentwicklung 2 Sinus und Cosinus 3 andere Taylorpolynome

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Taylorentwicklung
Wer die Einleitung gelesen hat, hat vielleicht schon etwas Gefühl für die Taylorentwicklung bekommen.
Es geht darum, eine komplizierte Funktion durch ein einfaches, aber unendliches Polynom darzustellen.
Dieses ist dann leicht zu integrieren, oder was auch immer man machen möchte. In der Einleitung haben
wir die e-Funktion an der Stelle x = 0 entwickelt. Das war sehr einfach, weil die Ableitungen immer
wieder die e-Funktion selbst war. Zur Übung werden wir jetzt eine weitere e-Funktion taylorentwickeln:
P∞ f (n) (0) n
f (x) = e2x . Die Formel war: T (x) =
n=0
n! x . Bei den Ableitungen kommt immer eine 2 als
1
2 2
3 3
0
Faktor dazu. Das Taylorpolynom sieht also folgendermaßen aus: T (x) = 20! + 21!x + 2 2!x + 2 3!x . . . . Also:
P
(2x)n
T (x) = ∞
n=0 n! .
Die e-Funktion wird sogar durch diese Reihendarstellung definiert! Die
Zahl e erhält man auch
P eulersche
(1)n
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durch die Reihenentwicklung, indem man für x die 1 einsetzt: e = ∞
=
n=0 n!
0! + 1! + 2! + 3! . . . .
Das könnt ihr gerne nachrechnen! :)
Wenden wir uns nun Sinus und Cosinus zu. Diese hängen sogar über die eulersche Formel mit der
e-Funktion zusammen. Aber dazu mehr, wenn wir uns mit den komplexen Zahlen befassen.
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Sinus und Cosinus
P
f (n) (0) n
t(x) ∞
n=0
n! x ! Die Ableitungen von Sinus und Cosinus sind hoffentlich bekannt. Wenn nicht,
laut aufschreien! Die Taylorentwicklung von Sinus mache ich noch selber. Die vom Cosinus schreib
ich höchsten noch hin :D
Sinus: Die Ableitungen sind cos,-sin,-cos,sin,cos,-sin,... n der Stelle x = 0 also 1,0,-1,0,1,0,-1,...
Die Faktoren sind also entweder 0,1 oder -1. Der konstante Term ist 0, da der Funktionswert von Sinus
an der Stelle x = 0 Null ist. Der lineare Term ist x, der quadratische ist wieder Null, der kubische ist
−x3
x
x3
x5
x7
3! ,... Insgesamt ergibt sich: T (x) = 1! − 3! + 5! − 7! . . . .
P
n x2n+1
Auch hier kann man eine Summenschreibweise finden: sin(x) = ∞
n=0 (−1) (2n+1)!
P
2
4
6
n x2n
Der Cosinus sieht so aus: cos(x) = 1 − x2! + x4! − x6! · · · = ∞
n=0 (−1) (2n)!
Der Sinus hat nur ungerade Potenzen. Das ist auch gut so. Der Sinus ist eine ungerade Funktion, also
punktsymmetrisch. Es gilt: f (−x) = −f (x). Setzt man -x in die Taylorentwicklung ein, stimmt es. Der
Cosinus hingegen ist eine gerade Funktion. Es gilt: f (−x) = f (x). Auch das lässt sich an der Taylorentwicklung leicht sehen.
Einem aufmerksamer Leser ist vielleicht aufgefallen, dass sich die e-Funktion fast aus der Summe von
Cosinus und Sinus zusammensetzt. Mit Hilfe der komplexen Zahlen, werden wir genau das tun.
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andere Taylorpolynome
Es lassen sich noch ganz andere Funktionen als unendliche Polynome darstellen. Durch einen Koeffizientenvergleich von Sinus und Cosinus lässt sich auch der Tangens berechnen. Das funktioniert so:
x2
x4
x3
x5
tan(x) = sin(x)
cos(x) → cos(x) · tan(x) = sin(x) → (1 − 2! + 4! . . . ) · tan(x) = (x − 3! + 5! . . . )
Nun kann man sich überlegen wie tan(x) aussehen muss. Es muss mit x beginnen, damit aus 1 · x das
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x vom sin(x) wird. Um − x3! darzustellen haben wir bereits − x2! · x. Die einzige weitere Möglichkeit auf
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x3 zu kommen ist ein x3 -Term im tan(x). Wie groß muss er sein? Nun: − x2 + 1 · was = − x6 → was =
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3
3
− x6 + x2 = x3
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Der nächste Term ist 2x
15 usw... (Das hab ich nachgeguckt, ausrechnen ist doch recht anstrengend!)
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Auch die Umkerhrfunktionen lassen sich darstellen. Ich empfehle dazu aber mal in ”Physik mit Bleistiftßu gucken.
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