Lecture 7
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Reziprokes Quadratgesetz und Stabilität von planetarischen Bahnen • Einige analytische Ergebnisse 1) Die Keplerschen-Gesetze sind Folgen der Tatsache, dass die Gravitationskraft einem umgekehrten Quadratgesetz folgt Wir werden einige der analytischen Ergebnisse skizzieren Zwei-Körper-System, in dem die Wechselwirkung von der Entfernung, r abhängt. Die Relativbewegung kann wie ein Ein-Körper-System behandelt werden Ein Körper ist in Ruhe, der andere Planet bewegt sich darum der bewegte Körper hat die reduzierte Masse Abstand r r r r = r2 − r1 μ = m1m2 / (m1 + m2 ) die Bahnkurve in Polarkoordinaten d ⎛1⎞ 1 μr + = − 2 F (r ) 2 ⎜ ⎟ dθ ⎝ r ⎠ r L 2 mit L = μ r 2θ& 2 Drehimpuls GM S M P F (r ) = − r2 Der Drehimpuls ist erhalten, da das System invariant unter Rotation ist d 2 ⎛ 1 ⎞ 1 μr 2 GM S M P + = 2 2 ⎜ ⎟ dθ ⎝ r ⎠ r L r2 d 2 ⎛ 1 ⎞ 1 μGM S M P + = 2 ⎜ ⎟ dθ ⎝ r ⎠ r L2 Die Lösung 1 ⎛ μGM S M P ⎞ =⎜ ⎟[1 − e cos(θ + θ 0 )] 2 r ⎝ L ⎠ Wir nehmen an θ0 = 0 ⎛ ⎞ L2 1 ⎟⎟ r (θ ) = ⎜⎜ ⎝ μGM S M P ⎠ 1 − e cos(θ ) 1) e =0 ⇒ Kreis 2) 0 ≤e <1 ⇒ Ellipse 3) e =1 ⇒ Parabel 4) e > 1 ⇒ Hyperbel wobei e die Exzentrizität ist Alle drei Kepler-Gesetze können mit dieser Formel bewiesen werden. Reziprokes Quadrat-Gesetz ⇒ einige "philosophische" Überlegungen Was würde passieren, wenn das Gesetz ein wenig von der Reziproken Quadratabhängigkeit abweicht? Nehmen Sie an, dass die Gravitationskraft die Form hat GM S M P FG = − rβ β=2, elliptische Bahn Matlab Illustration 1) Sonne ist nicht im Zentrum der Bahn 2) die berechnete Bahn wiederholt sich β=3, reziprokes Kubik-Gesetz 1) Keine stabile Bahn 2) Der Planet entkommt aus dem Sonnensystem (numerischer Fehler) β=2.5, 2.2, 2.1, 2.01 Sogar für β=2.01 rotiert die Ellipse noch stark nach einigen Bahnen Das Verhalten reagiert sehr empfindlich auf Abweichungen vom reziproken Quadrat-Gesetz (β =2) Wir könnten im Stande sein zu bestimmen, wie die Natur vom reziproken Quadrat-Gesetz abweicht ABER: Unsere Welt ist nicht so einfach (zwei Körperproblem): es gibt neun Planeten auf die man achten muss Jede Simulation muss die Gravitationskraft jedes Planeten einschließen Die Kräfte von den anderen Planeten können auch elliptische Bahnen mit der Zeit rotieren lassen Die experimentelle Bestimmung von β ist nicht leicht Merkurs Perihel-Drehung Es gibt Abweichungen von den Keplerschen Gesetzen! 1) Effekten der Planeten auf einander Die meisten Planeten haben fast kreisförmige Bahnen, außer Merkur und Pluto Für den Merkur es ist aus dem 19. Jahrhundert bekannt, dass die Orientierungen der Achsen der Ellipse mit der Zeit rotieren Bekannt als Präzession des Perihels von Merkur Der Umfang ist etwa 566 Bogensekunden pro Jahrhundert 1 Bogensekunde – 1/ 3600 Grad das Perihel macht alle 230.000 Jahre einen Umlauf Die Einflüsse der anderen Planeten (hauptsächlich Jupiter) ergeben 523 Bogensekunden pro Jahrhundert Woher kommt der Rest? 1917 - Allgemeine Relativitätstheorie Wenn der Abstand zwischen zwei Körpern klein ist, sagt die Allgemeine Relativität Abweichungen vom reziproken Quadrat-Gesetz voraus Genau 43 Bogensekunden der Präzession! ⇒ Triumph der Allgemeinen Relativitätstheorie Das Problem ist analytisch schwierig, aber numerisch leichter! Das durch die Allgemeine Relativität vorausgesagte Kraft-Gesetz ist GM S M M ⎛ α ⎞ FG ≈ − ⎜1 + 2 ⎟ 2 r ⎝ r ⎠ MM = 2.4 x 1023 kg ist die Merkur Masse und Korrektur der Ordnung α α ≈ 1.1× 10−8 AE 2 r4 Die Korrekturen sind zu klein, um sie durch eine Computer-Simulation zu bestimmen Folgende Näherung: Geschwindigkeit der Präzession als eine Funktion des Alphas bestimmen Wir fangen mit einem großen Wert für α an und reduzieren es dann 1) Wir modifizieren unser Computer-Programm 2) Wir nehmen die Parameters des Planeten x(0)=0.47 AE vy(0)=8.2 AE/Jahr Matlab Illustration, α=0.01, 0.0008 Ellipsen-Präzession mit der Zeit ist sichtbar! Aber α ist zu gross Die Linie vom Zentrum (Sonne) bis zum Punkt der von der Sonne am weitesten entfernt ist Wie finden wir diese Punkte? Matlab Illustration An diesen Punkten ändert sich die Ableitung der Entfernung von Merkur zur Sonne von positiv zu negativ Präzession-Winkel (für gegebenes α) mit der Zeit θ (t ) Matlab Illustration θ (t ) ändert sich linear mit der Zeit! dθ (t ) = const dt α Berechnung für verschiedene α-Werte dθ (t ) (α ) dt Matlab Illustration solch ein konstantes Verhalten erlaubt Extrapolationen für kleine Werte von α dθ (t ) / dt = const dα α ≈ 1.1× 10−8 AE 2 Matlab Illustration
