Levi-Kontraktionen

Levi-Kontraktionen
Dr. Uwe Scheffler
[Technische Universität Dresden]
Mai 2011
Maximal-konsistente Mengen (ein bißchen Logik)
konsistent heißt eine Menge A genau dann, wenn für
kein α gilt: α ∈ Cn(A) & α 6∈ Cn(A)
inkonsistent heißt eine Menge A genau dann, wenn A
nicht konsistent ist
maximal-konsistent heißt eine Menge A genau dann,
wenn A konsistent ist und für jedes α 6∈ A gilt:
A ∪ {α} ist inkonsistent
[Lindenbaum-Lemma] Jede konsistente Menge läßt sich
zu einer maximal-konsistenten erweitern.
Dr. Uwe Scheffler
2
Eigenschaften maximal-konsistenter Mengen
Sei A eine maximal-konsistente Menge.
Negation Für jedes α gilt: α ∈ A genau dann, wenn
¬α 6∈ A.
Subjunktion Für alle α, β gilt: α → β ∈ A genau dann, wenn
α 6∈ A oder β ∈ A.
Konjunktion Für alle α, β gilt: α ∧ β ∈ A genau dann, wenn
α ∈ A und β ∈ A.
Adjunktion Für alle α, β gilt: α ∨ β ∈ A genau dann, wenn
α ∈ A oder β ∈ A.
Dr. Uwe Scheffler
3
Restemengen, wieder mal
Definition Sei A eine Satzmenge und α ein Satz. A⊥α ist
die Menge aller Mengen B so, daß:
1. B ⊆ A
2. α 6∈ Cn(B)
3. Es gibt kein B 0 so, daß B ⊂ B 0 ⊆ A und
α 6∈ Cn(B 0 ).
Dr. Uwe Scheffler
4
Eigenschaften von Restemengen von
Überzeugungsmengen
Sei A logisch abgeschlossen.
1. Wenn X ∈ A⊥α, dann ist X logisch abgeschlossen.
2. Sei X ∈ A⊥β und α1 , α2 ∈ A. Dann ist α1 ∨ α2 ∈ X dann
und nur dann, wenn α1 ∈ X oder α2 ∈ X .
3. Sei α ∧ β ∈ A. Wenn X ∈ A⊥α ∧ β, dann ist genau eines
der Fall:
α ∈ X , oder
β ∈ X , oder
α ↔ β ∈ X.
4. Sei α ∈ A und X ∈ A⊥α. Dann gilt für alle β: entweder
α ∨ β ∈ X oder α ∨ ¬β ∈ X .
5. (Recovery Lemma) Sei X ∈ A⊥α und β ∈ A. Dann ist
β ∈ Cn(X ∪ {α}).
6. A⊥β ⊂ A⊥α genau dann, wenn α → β
7. Sei α, β ∈ A, dann
A⊥α ∧ β = A⊥α ∪ A⊥β
A⊥α ∨ β = A⊥α ∩ A⊥β
Dr. Uwe Scheffler
5
Restemengen von Sprachen
Sprache Sei L = {α : α ist eine Formel }
Beobachtung L ist inkonsistent, aber logisch
abgeschlossen.
Restemenge Elemente von L⊥α sind logisch
abgeschlossen und konsistent.
alle konsistenten Restemengen-Elemente einer Sprache
L⊥⊥ = {X : X ∈ L⊥α für ein α}
Dr. Uwe Scheffler
6
Die X ∈ L⊥⊥ sind maximal-konsistent
Sei X ∈ L⊥⊥, dann gilt für alle α, β:
1. Entweder α ∈ X oder ¬α ∈ X .
2. α 6∈ X dann und nur dann, wenn ¬α ∈ X .
3. α ∨ β ∈ X dann und nur dann, wenn
entweder α ∈ X oder β ∈ X .
4. α → β ∈ X dann und nur dann, wenn:
falls α ∈ X , dann β ∈ X .
Dr. Uwe Scheffler
7
Saturierbare Mengen 1
Definition Eine Menge X heißt dann und nur dann
α-saturierbar, wenn
1. X = Cn(X ), und
2. Cn(X ∪ {¬α}) ∈ L⊥⊥
Beobachtung Sei A logisch abgeschlossen und α ∈ A.
Dann sind alle X ∈ A⊥α α-saturierbar.
Alle Elemente von α-Restemengen sind α-saturierbar.
Dr. Uwe Scheffler
8
Saturierbare Mengen 2
Alle Elemente von α-Restemengen von A sind
α-saturierbar
...
aber das sind nicht die einzigen Untermengen von A, die
α-saturierbar sind!
L = {p, q, wahrheitsfunktionale Kombinationen}
A = {Cn({p, q})}, also Cn({p ↔ q}) ∈ A⊥p und
Cn({q}) ∈ A⊥p
Beide sind p-saturierbar:
Cn(Cn({p ↔ q}) ∪ {¬p}) = Cn({¬p, ¬q}) ∈ L⊥⊥
Cn(Cn({q}) ∪ {¬p}) = Cn({¬p, q}) ∈ L⊥⊥
Aber es gibt p-saturierbare Untermengen von A, die nicht
Element von A⊥p sind:
Cn(Cn({q → p}) ∪ {¬p}) = Cn({¬p, ¬q}) ∈ L⊥⊥
Dr. Uwe Scheffler
9
Saturierbare Mengen 3
Sei A logisch abgeschlossen. Dann ist X ∈ S(A, α) – in der
α-saturierbare Familie von A – genau dann, wenn:
(1)
X
⊆ A
(2)
X
= Cn(X )
(3) Cn(X ∪ {¬α}) ∈ L⊥⊥
Für alle Überzeugungsmengen und Sätze gilt:
A⊥α ⊆ S(A, α)
Dr. Uwe Scheffler
10
Levi-Kontraktionen
Sei A logisch abgeschlossen. Dann ist ÷ genau dann eine
Levi-Kontraktion für A, wenn es eine Auswahlfunktion γ
gibt, so daß für alle α:
1. wenn α ∈ A, dann ist A÷α =
T
γ(S(A, α)), und
2. wenn α 6∈ A, dann ist A÷α = A.
÷ ist ein Levi-Kontraktion, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
I
Closure
I
Inclusion
I
Success
I
Vacuity
I
Extensionality
I
Failure
Dr. Uwe Scheffler
11
Levi und Wiederherstellung
Recovery gilt nicht: L =
{p, q, wahrheitsfunktionale Kombinationen}
A = {Cn({p, q})},
Cn({q → p}) ∈ S(A, p).
dann ist
Also gibt es ein γ:
γ(S(A, p)) = {Cn({q → p})},
damit aber:
Cn((A÷p) ∪ {p}) = Cn({p}) ⊂ A
Konservatismus Minimiere den Verlust von
Informationswert (anstelle von Information).
Dr. Uwe Scheffler
12
Informationswert
Maß V (X ) ≤ V (Y ) – X hat höchstens soviel
Informationswert wie Y . (Transitive und
konnektive Relation auf der Menge der
abgeschlossenen Untermengen)
streng monoton Wenn X ⊂ Y , dann V (X ) < V (Y )
schwach monoton Wenn X ⊂ Y , dann V (X ) ≤ V (Y )
I
Keine Menge hat weniger Informationswert als eine
ihrer Untermengen.
I
Kontrahieren bringt keinen zusätzlichen
Informationswert.
I
Schwache Monotonie erlaubt Untermengen und
Mengen, die den gleichen Informationswert haben.
Dr. Uwe Scheffler
13
Wert-basierte Levi-Kontraktionen
÷ ist genau dann wert-basierte Levi-Kontraktion, wenn das
zugehörige γ von einer Informationswertfunktion V generiert wird, so daß für alle α:
γ(S(A, α)) = {X ∈ S(A, α) : V (Y ) ≤ V (X ) für alle Y ∈ S(A, α)}
Ist ÷ wert-basierte Levi-Kontraktion, dann erfüllt es
I
Conjunctive Overlap
I
Conjunctive Inclusion
Dr. Uwe Scheffler
14