Zahlbereichserweiterung: Von den rationalen zu den reellen Zahlen 2

Zahlbereichserweiterung:
Von den rationalen zu den reellen Zahlen
Jede rationale Zahl lässt sich in Dezimalbruchschreibweise darstellen, entweder
a) als endlicher oder b) als rein perodischer oder c) als gemischt periodischer
Dezimalbruch.
Bei der Zahl 2 liefert uns der Taschenrechner den Dezimalbruch 1,414213562... Betrachtet man bei
diesem Dezimalbruch die 9 Stellen nach dem Komma, so kann man weder auf einen endlichen, noch rein
bzw. gemischt perodischen Dezimalbruch schließen.
Ist vielleicht 2 überhaupt keine rationale Zahl? Formuliert man diese Frage als Behauptung, so
erhält man einen "Satz", der bewiesen werden muss.
Satz:
2 ist keine rationale Zahl.
Beweis:
Wir führen den Beweis, in dem wir zeigen, dass die Aussage " 2 ist eine rationale Zahl" zu einem
Widerspruch führt, folglich also falsch sein muss. (indirekter Beweis)
Jeder rationale Zahl lässt sich als Bruch schreiben. Dieser Bruch ist natürlich ein gekürzter Bruch!
a
b
2 =
(a und b haben keine gemeinsamen Teiler, sind also "teilerfremd")
a2
b2
⇒
2
⇒
2b2
⇒
a2
lässt sich durch 2 teilen.
⇒
a
lässt sich ebenfalls durch 2 teilen.
=
=
a2
dann gibt es eine natürliche Zahl z, für die gilt: a = 2z
Folglich ist:
a2
=
2b2
und
2b2
⇒
b2
=
⇒
b2
ist durch 2 teilbar und damit auch die Zahl b selbst.
=
4z2
2z2
⇒ a und b haben einen gemeinen Teiler, nämlich die Zahl 2. Das ist ein
Widerspruch zur Voraussetzung.
Somit ist 2 keine rationale Zahl. Eine Zahl, die nicht rational ist, heißt irrationale Zahl.
Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge ℜ der reellen Zahlen.
Aufgabe: Ordne die Zahlen 3 ;
7
4 ; 5,78;
2;
5 ; − 12 ;
50
; −
2
27 6
; ; 6,47 in das Mengenbild ein:
3 2
R
Q
Z
N
http://home.arcor.de/a-zietlow
http://www.s-hb.de/~zietlow