Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen
Dr. Christian Serpé
Universität Münster
1. September 2009
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Gliederung
1
Zahlen
2
Elementares Rechnen
3
Geichungen
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Zahlen
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit
N := {1, 2, 3, . . . }.
Soll die 0 auch dabei sein, so schreiben wir
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . }.
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Zahlen
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Natürliche Zahlen
Leopold Kronecker
Leopold Kronecker (1823-1891):
”Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk.”
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Zahlen
Natürliche Zahlen
Struktur auf den natürlichen Zahlen
Die Menge N hat folgende Strukturen:
Addition
Multiplikation
Totale Ordnung
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Zahlen
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Ganze Zahlen
Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen bezeichnen wir mit
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Wie auch für die natürlichen Zahlen kann man zwei ganze Zahlen
addieren,
multiplizieren
und vergleichen.
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Zahlen
Ganze Zahlen
Existenz vom additiven Inversen
Zusätzlich gilt für die ganzen Zahlen das Folgende:
Zu jeder ganzen Zahl a ∈ Z gibt es eine (eindeutig bestimmte) ganze
Zahl b ∈ Z, so dass a + b = 0 gilt.
b nennt man dann das additive Inverse von a und es wird auch
einfach mit −a bezeichnet.
Zum Beispiel:
5 + (−5) = 0
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Zahlen
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Ganze Zahlen
Subtraktion
Die Subtraktion ist nun einfach die Addition mit dem additiven
Inversen:
a − b := a + (−b)
Zum Beispiel:
5 − 7 = 5 + (−7) = −2
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Zahlen
Ganze Zahlen
Eigenschaften ganzen Zahlen
Zusammengefasst hat die Menge Z folgende Strukturen und
Eigenschaften:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Totale Ordnung
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Rationale Zahlen
Rationale Zahlen
Wir bezeichnen mit
Q := Menge aller Brüche
die Menge der rationalen Zahlen.
Jede rationale Zahl ist von der Form
a
mit a, b ∈ Z und b 6= 0,
b
dabei heißt a der Zähler und b der Nenner.
Zum Beispiel:
3 7
, , ...
4 5
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Zahlen
Rationale Zahlen
Vorsicht
Vorsicht! Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist nicht
eindeutig.
Zum Beispiel:
1
2
4
−1
= = =
2
4
8
−2
Mit anderen Worten: Man kann Brüche kürzen und erweitern ohne
ihren Wert zu verändern.
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Rationale Zahlen
Addition von rationalen Zahlen
Das Rechnen mit rationalen Zahlen ist etwas komplizierter:
Addition:
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem die Zähler addiert
werden:
Zum Beispiel:
4 7
11
+ =
5 5
5
Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man erst durch Erweitern
auf einen gemeinsamen Nenner und addiert sie dann.
Zum Beispiel:
4 2
12 14
26
+ =
+
=
7 3
21 21
21
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Zahlen
Rationale Zahlen
Multiplikation von rationalen Zahlen
Multiplikation:
Die Multiplikation geht nach der Regel: ” Zähler mal Zähler und Nenner
mal Nenner”
Zum Beispiel:
3·2
6
1
3 2
=
=
· =
4·3
12
2
4 3
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Rationale Zahlen
Die Ordnungsrelation auf den rationalen Zahlen
Zwei rationale Zahlen kann man auch miteinander vergleichen.
Dazu bringt man sie auf einen gemeinsamen positiven Nenner und
vergleicht dann ihre Zähler.
Zum Beispiel:
Wir wollen 57 und 68 vergleichen:
5
7
6
8
5
40
=
7
56
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=
=
<
40
56
42
56
42
6
=
56
8
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Zahlen
Rationale Zahlen
Existenz vom multiplikativen Inversen
Die rationalen Zahlen haben zusätzlich folgende Eigenschaft:
Zu jeder rationalen Zahl a 6= 0 gibt es eine (eindeutig
bestimmte) rationale Zahl b, so dass a · b = 1 gilt.
b heißt das multiplikative Inverse (oder auch Kehrwert) zu a und
wird häufig auch mit a−1 oder auch mit a1 bezeichnet.
7
Ist zum Beispiel a = 11
so ist a−1 = 11
7 .
Denn:
7 11
77
·
=
=1
11 7
77
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Rationale Zahlen
Division in den rationalen Zahlen
Die Division ist nun einfach die Multiplikation mit dem multiplikativen
Inversen,
a : b := a · b−1 ,
und ist immer ausführbar falls b 6= 0 ist.
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Zahlen
Rationale Zahlen
Eigenschaften rationaler Zahlen
Zusammengefasst hat die Menge Q folgende Strukturen und
Eigenschaften:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Existenz von multiplikativen Inversen
Totale Ordnung
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Rationale Zahlen
Rationale Zahlen und der Zahlenstrahl
Man kann rationale Zahlen als Punkte auf dem Zahlenstrahl auffassen:
...
-2
-1
0
1
2
...
Man stellt nun fest, dass es Punkte auf dem Zahlenstrahl gibt, die
keiner rationalen Zahl entsprechen:
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Zahlen
Rationale Zahlen
Eine nicht rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl
Wir betrachten folgendes rechtwinklige gleichschenklige Dreieck auf
dem Zahlenstrahl:
...
-2
-1
√
1 2
0
...
Nach
dem Satz von Pythagoras ist die Länge der Hypotenuse gerade
√
2.
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√
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Rationale Zahlen
2 ist nicht rational
Man kann nun durch eine kleine Überlegung zeigen, dass es keine
rationale
√ Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist.
Also: 2 ist nicht rational.
Es gibt also Punkte auf dem Zahlenstrahl, die keiner rationalen Zahl
entsprechen!
Die führt uns zu den reellen Zahlen.
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Zahlen
Rationale Zahlen
Platon
Platon (427-348 vor Chr.) schreibt in einem Brief an Kleinias, dass ein
Mensch,
der nicht im Innersten erschüttert ist, wenn er erfährt, dass
√
2 nicht rational ist, gefühlsmässig einem Rindvieh gleiche.
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Zahlen
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Reelle Zahlen
Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen mathematisch korrekt zu definieren ist etwas
komplizierter (und auch nur für Mathematiker wichtig).
Wir begnügen uns hier mit einer naiveren Sichtweise.
Wir bezeichnen mit
R := Menge aller Punkte auf dem Zahlenstrahl
die Menge der reellen Zahlen.
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Zahlen
Reelle Zahlen
Unendliche Dezimalbrüche
Es gilt:
Jede reelle Zahl lässt sich als unendlicher Dezimalbruch
darstellen und jeder unendliche Dezimalbruch definiert eine
reelle Zahl.
Dabei entsprechen den rationalen Zahlen gerade die
endlichen und die periodischen Dezimalbrüche.
Zum Beispiel:
√
2 = 1, 41421356 . . .
Eine solche Darstellung ist aber im allgemeinen nicht eindeutig, und es
ist schwierig mit unendlichen Dezimalbrüchen zu rechnen.
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Reelle Zahlen
Eigenschaften reeller Zahlen
Auf der Menge R hat man die gleichen Strukturen und Eigenschaften
wie auf den rationalen Zahlen:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Existenz von multiplikativen Inversen
Totale Ordnung
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Zahlen
Reelle Zahlen
Eigenschaften reeller Zahlen
Zusätzlich hat man folgende Eigenschaft:
”R ist vollständig.”
Die ”Vollständigkeit” kann zum Beispiel so formuliert werden:
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine
kleinste obere Schranke.
Was das genau bedeutet, soll hier jetzt aber nicht näher erläutert
werden.
Diese zusätzliche Eigenschaft ist vor allem wichtig, wenn man
Analysis betreiben will.
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Reelle Zahlen
Existenz von Quadratwurzeln in R
Eine Konsequenz der ”Vollständigkeit” ist:
Jede positive reelle Zahl hat eine positive Quadratwurzel ,
d.h. zu jeder positiven reellen Zahl a ∈ R gibt es eine
eindeutig bestimmte positive Zahl b ∈ R mit√der Eigenschaft,
dass b2 = a gilt. Diese wird abkürzend mit a bezeichnet.
Dies ist nicht klar, sondern ein kleiner mathematischer Satz, der
bewiesen werden muss. Aber nicht hier.
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Zahlen
Reelle Zahlen
Quadratwurzeln in R
Ist b ∈ R mit b2 = a folgt natürlich auch:
(−b) · (−b) = (−1) · (−1) · b2 = b2 = a.
Andererseits gibt es für ein negatives a ∈ R keine Zahl b ∈ R mit
b2 = a, da (wegen (−1) · (−1) = 1) jedes Quadrat einer reellen Zahl
positiv oder 0 ist.
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Reelle Zahlen
Existenz von n-ten Wurzeln
Ist n ∈ N eine beliebige natürliche Zahl, so kann man allgemeiner
Folgendes beweisen:
Jede positive reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte
positive n-te Wurzel, d.h. zu jeder positiven reellen Zahl a ∈ R
gibt es eine eindeutig bestimmte positive Zahl b ∈ R mit der
Eigenschaft,
dass bn = a gilt. Diese wird abkürzend einfach
√
mit b = n a bezeichnet.
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Zahlen
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Will man auch Quadratwurzeln aus negativen Zahlen haben, so muss
man die reellen Zahlen abermals erweitern und eine neue Zahl i mit
der Eigenschaft i 2 = −1 einführen . Dies führt zur Menge der
komplexen Zahlen C.
Dies soll aber hier nicht näher erläutert werden.
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Zahlen
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30 / 46
Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
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Elementares Rechnen
Rechenregeln
Für die reellen Zahlen a, b, c ∈ R (und genauso für die ganzen,
natürlichen, rationalen und sogar für die komplexen Zahlen) gelten die
folgenden Rechenregeln:
Kommutativgesetz der Addition
a+b =b+a
Assoziativgesetz der Addition
(a + b) + c = a + (b + c)
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Elementares Rechnen
Rechenregeln
Kommutativgesetz der Multiplikation
a·b =b·a
Assoziativgesetz der Multiplikation
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz
(a + b) · c = a · c + b · c
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Elementares Rechnen
Beispiel
Zum Beispiel kann man folgende Rechnung mit diesen Regeln
durchführen:
(1 − a) · (1 + a + a2 + a3 ) = (1 + a + a2 + a3 ) − a(1 + a + a2 + a3 )
= (1 + a + a2 + a3 ) − (a + a2 + a3 + a4 )
= 1 − a4
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Elementares Rechnen
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Potenzrechnung
Potenzen mit natürlichen Zahlen
Die Potenzrechnung bereitet vielen Studienanfängern schwierigkeiten.
Deshalb hier eine kleine Wiederholung.
Dazu sei y eine positive reelle Zahl. Ist n eine natürliche Zahl so
definiert man:
y n := y · y · · · · · y
|
{z
}
n−mal
Also zum Beipiel:
y3 = y · y · y
y5 = y · y · y · y · y
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Elementares Rechnen
Potenzrechnung
Potenzen mit natürlichen Zahlen II
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Potenzgesetzte für
natürliche Zahlen n und m:
y n+m = y n · y m
(y n )m = y n·m
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Elementares Rechnen
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35 / 46
Potenzrechnung
Potenzen mit ganzen Zahlen
Ist n = 0, so definiert man
y n = y 0 := 1,
und ist n ∈ Z negativ, so definiert man
y n :=
1
y −n
.
Beachten Sie, dass die Definition gerade so gemacht ist, dass die
obigen Potenzgesetzte erhalten bleiben.
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Elementares Rechnen
Potenzrechnung
Potenzen mit rationalen Zahlen
Damit obige Gesetze auch für rationale Exponenten erhalten bleiben,
muss man es wie folgt machen:
√
m
y n := ( n y )m
Hierbei ist es wichtig, dass y eine positive (!) reellen Zahl ist und dass
m
n eine Darstellung des rationalen Exponenten ist, indem n eine
natürliche Zahl ist.
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Elementares Rechnen
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37 / 46
Potenzrechnung
Potenzen mit reellen Zahlen
Ist nun x eine reelle Zahl, so ist es ein wenig schwieriger y x zu
definieren. Es geht ungefähr so:
Dazu nähert man x durch eine rationale Folge ak ∈ Q und betrachtet
dann die Folge y ak . Der sogenannte Grenzwert dieser Folge wir als y x
definiert.
Dies mathematisch präzise und korrekt zu machen ist ein bisschen
schwieriger und soll hier jetzt nicht diskutiert werden.
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Elementares Rechnen
Potenzrechnung
Potenzgesetze
Hier sind noch mal zusammengefasst die wichigsten Regeln für das
Rechnen mit Potenzen:
Sind x, y ∈ R positive reelle Zahlen und a, b ∈ R beliebige reelle
Zahlen so gilt:
(xy )a = x a · y a
(x a+b ) = x a · x b
(x a )b = x ab
x0 = 1
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Elementares Rechnen
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40 / 46
Potenzrechnung
Potenzgesetze
x −a =
1
x2 =
1
n
x =
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√
n
1
xa
√
x
x, für ein n ∈ N
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Elementares Rechnen
Potenzrechnung
Logarithmus
Sind a und x positive reelle Zahlen mit a 6= 0 so gibt es eine eindeutig
bestimmt reelle Zahl y mit der Eigenschaft ay = x. In diesem Fall
nennt man y den Logarithmus von x zur Basis a und bezeichnet ihn
mit loga (x).
Beispiele:
log2 (8) = 3 weil 23 = 8
log5 (25) = 2 weil 52 = 25
log7 (1) = 0 weil 70 = 1
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Elementares Rechnen
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41 / 46
Potenzrechnung
Logarithmengesetze
Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Gesetze für den
Logarithmus:
Für reelle Zahlen x, y , p ∈ R und ein positive reelles a ∈ R gilt:
loga (x · y ) = loga (x) + loga (y )
loga ( yx ) = loga (x) − loga (y )
loga (x p ) = p · loga (x)
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Geichungen
Lineare Gleichung
Lineare Gleichung
Eine Gleichung der Form
a·x +b =0
mit a, b ∈ R heisst lineare Gleichung.
Diese kann man wie folgt lösen:
addieren zunächst auf beiden Seiten −b so erhalten wir die
äquivalente Gleichung:
a · x = −b
ist a 6= 0 so multiplizieren wir beide Seiten mit a1 so erhalten wir
die eindeutige Lösung:
−b
x=
a
ist a = 0 so ist die Gleichung nur dann lösbar, falls auch b = 0 gilt.
In diesem Falle ist jedes x ∈ R eine Lösung.
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Geichungen
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43 / 46
Quadratische Gleichung
Quadratische Gleichung
Eine Gleichung der Form
a · x2 + b · x + c = 0
heisst quadratische Gleichung (a, b, c ∈ R, a 6= 0).
Zum Lösen erinnern wir uns zunächst an die binomische Formal:
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
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44 / 46
Geichungen
Quadratische Gleichung
Lösung der quadratischen Gleichung
a · x2 + b · x + c = 0
x2 +
⇔
b
a
·x +
x2 +
⇔
⇔ x2 + 2 ·
b
2·a
⇔
·x
b 2
2·a )
c
a
|−
= − ac
b 2
)
| + ( 2·a
b 2
= ( 2·a
) −
c
a
c
a
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Geichungen
1
a
= 0
b 2
b 2
· x + ( 2·a
) = ( 2·a
) −
(x +
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b
a
c
a
|·
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45 / 46
1. September 2009
46 / 46
Quadratische Gleichung
Lösung der quadratischen Gleichung
(x +
b 2
b 2 c
) = (
) −
2·a
2·a
a
1
=
(b2 − 4 · a · c)
2
4·a
Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle:
(b2 − 4 · a · c) < 0: Es gibt keine Lösung in R
√
b
1
(b2 − 4 · a · c) ≥ 0: x = − 2a
± 2a
b2 − 4ac
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