1, n ∈ IN, glei

K1 (Punkte: 7) Zeigen Sie mit
vollständiger Induktion, dass die
Summe der n ungeraden Zahlen
von 1 bis 2n − 1, n ∈ IN , gleich
n2 ist.
1P= 1 = 12 , 1+3 = 4 = 22 , 1+3+5 = 9 = 32 , ... Und
n+1
2
2
i=1 2i − 1 = n + (2n + 1) = (n + 1) . Übrigens,
(1−1)2 kann man auch mit der Binomischen Formel
= 12 − 2 · 1 · 1 + 12 = 1 − 2 + 1 rechnen, muss man
aber nicht ...
K2 (Punkte: 6)
a) Beweisen Sie die Regel über die partielle Integration mit Hilfe
des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und
der Produktregel der Differentiation.
b) Beweisen Sie die Ableitungsregel für die inverse Funktion mit
Hilfe der Kettenregel.
Nun, a) hatten
wir zweimal in
der
Anwesenheitsübung ...
Und über b)
reden wir nicht ...
K3 (Punkte: 5) G. leiht 1.000¤ für zwei Jahre.
Die Jahresrate von je 210¤ soll jeweils am Ende des
ersten und zweiten Jahren gezahlt werden, die Rückzahlung der 1.000¤ zum Ende des zweiten Jahres.
Als G. feststellt, dass dies einem Zinssatz von 21%
entspricht, protestiert er und erreicht, dass ihm die
erste Rate komplett erlassen wird.
Welcher Jahreszins liegt dem Vertrag mit erlassener
erster Rate zugrunde?
(Tipp: 112 = 121.)
! Dies ist
Nein, das ergibt nicht 21
2
die gleiche Rechnung, wie bei einer Anlage für zwei Jahre mit Zinseszins: Lesen und verstehen! Und
die Wurzel aus 1.21 ist 1.1. Und
wenn man davon noch die 1 abzieht, so findet man die 10%.
Mit der Barwertformel:
1000+210
0
1.000 = (1+p)
1 +
(1+p)2
K4 (Punkte: 17) Gegeben ist die Funktion f (x) =
x3 − 4x. Führen Sie eine Kurvendiskussiona durch.
Bitte beachten
Sie die
√ Fußnote.
√
16
(Tipp: 3 ≈ 1.7, 9 3 ≈ 3.1)
Vorsicht, Zitate: Wenn man bei
x3 − 4x = 0 einmal 4 beidseitig
addiert, so gibt dies x3 = 4. Division durch 3 führt dann zu der
einzigen Nullstelle x = 43 ; bei mir
führt das zu anhaltender Sprachlosigkeit.
Interessant ist auch der Weg zur
2. Ableitung: (3x2 − 4)0 = 5x (weil
ja 3 + 2 = 5 ist).
Bruchrechnung kann man eigentlich ab dem 12. Lebensjahr sicher,
oder?
a
Vorlesung 7.3:
1. Nullstellen
2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
3. Unstetigkeit und Verhalten im Unendlichen
4. Extrema und Wendepunkte
5. Monotonie und Konvexität (hier nicht erforderlich)
6. Ausgewählte Funktionswerte (Nullstellen, Maxima,
Minima, Wendepunkte)
7. Skizze
K5 (Punkte: 4=3+1? ) Der Preis
eines Produktes wird von 100¤
auf 105¤ erhöht. Dadurch fällt die
nachgefragte Menge von 20.000 auf
18.000 Einheiten.
Betrachten Sie die Nachfrage als
Funktion des Preises und berechnen
Sie aus den gegebenen Informationen näherungsweise die Elastizität
der Nachfragefunktion.
K6 (Punkte: 4+1? )
Bestimmen Sie die
Fläche
zwischen
f (x) = (x − 1)(x + 2)
und der x-Achse für
x ∈ [−2, 1].
Relative Änderung von 100 nach 105 sind +5%.
Von 20.000 nach 18.000 sind das -10% (nein, nicht
-20%)
( Nachfrage soll als Funktion des
Der Quotient −10
5
Preises betrachtet werden ) ist nicht schwer auszurechnen. Zusatzpunkt: Da | − 2| = 2 > 1 gilt, ist
die Nachfrage elastisch.
1
1
Ach ja, die Rechnung −400 200
= − 80.000
=
200 200
80.000
− 200 = −400 ist natürlich Quatsch.
a
Und noch was: cb ist ganz einfach ab · dc (Bruch mal
d
Kehrwert)
Nein, das hat nichts mit einem Rechteck zu tun, dessen untere
linke Ecke die Koordinaten (-2,1) hat.
Dies war keine Aufgabe zur Partiellen Integration; einfaches
Ausmultiplizieren und Integrieren der Summanden führte zum
Ziel. Wenn da nicht die Bruchrechnung mit 13 , 12 und 16 im Weg
gestanden hätte...
Und ja, die Fläche ist negativ.