Algebraische Topologie - sigma

Algebraische Topologie
Vorlesung 09
23.05.2005
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Änderung zu Beispiel (2.37):
1
U ′ = {x ∈ R2 | |x − 1|2 = 1}, V ′ = {x ∈ R2 | |x + 1|2 = 1}, W := {(x1 , x2 ) ∈ X | − 10
< x1 <
′
′
′
V := V ∪ W . ⇒ U, V offen, U ≃ U , V ≃ V , W ≃ {0}.
Rest des Beweises wie bisher.
§6
1
10 }.
U := U ′ ∪ W ,
Überlagerungen
X topologischer Raum.
(2.41) Definition. Eine (unverzweigte) Überlagerung von X ist ein Paar (π, Y ), wobei Y topologischer Raum
und π : Y → X stetig, so dass gilt: Für alle x ∈ X existiert offene Umgebung V von x mit:
[
˙
Ui (disjunkte Vereinigung), Ui offen und
(∗)
π −1 (V ) =
i∈I
π|Ui : Ui → V ist Homöomorphismus für alle i ∈ I.
π heißt Überlagerungsabbildung.
(2.42) Bemerkung. Sei π : Y → X Überlagerung. Dann gilt:
(a) π ist „lokal homöomorph“, d.h. für alle y ∈ Y existiert Umgebung U von y in Y mit U, π(U ) offen und
π|U → π(U ) ist Homöomorphismus.
(b) π ist surjektiv und offen.
Beweis.
(a) Sei V offene Umgebung von π(y), die (*) erfüllt. Wegen y ∈ π −1 (V ) liegt y in einem der Ui .
(b) Folgt aus der Definition und (a).
Sinngemäß werden Überlagerungen des punktierten topologischen Raums (X, x0 ) definiert.
(2.43) Beispiel.
(a) Sei Z diskreter topologischer Raum. π : X × Z → X, (x, z) 7→ x ist eine Überlagerung.
(b) R2 ≈ C, S 1 ⊆ C. R → S 1 , x 7→ e2πix ist Überlagerung.
(c) Sei 0 6= n ∈ N. S 1 → S 1 , z 7→ z n ist Überlagerung.
(2.44) Definition. Eine Gruppe G heißt topologische Gruppe, falls auf G eine Topologie definiert ist, so dass
die beiden folgenden Abbildungen stetig sind:
(a) G × G → G, (g, h) 7→ gh (Multiplikation).
(b) G → G, g 7→ g −1 (Invertieren).
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(G × G versehen mit Produkttopologie.)
(2.45) Beispiel.
(a) O(n) := {n ∈ Rn×n | At A = En } ⊆ Rn×n orthogonale Gruppe.
(b) (R, +), (Z, +), Z ⊆ R.
(c) (S 1 , ·), S 1 ⊆ C.
(2.46) Definition. Sei G topologische Gruppe. G operiert (stetig) auf X, falls eine stetige Abbildung G × X →
X, (g, x) 7→ gx existiert, so dass gilt:
(a) 1x = x für alle x ∈ X.
(b) (gh)x = g(hx) für alle g, h ∈ G, x ∈ X.
(2.47) Beispiel.
(a) Sei n ≥ 2. O(n) operiert auf der Sphäre S n−1 durch Matrix-Vektor-Multiplikation.
(b) (Z, +) operiert auf R durch z.x := z + x, z ∈ Z, x ∈ R.
(c) Sei n ≥ 2. Z/2Z = {En , −En } ⊆ O(n) operiert auf S n−1 (Einschränkung der Operation aus (a)).
(2.48) Definition. Die topologische Gruppe G operiere auf X. X ist disjunkte Vereinigung von G-Bahnen,
d.h. wir haben Äquivalenzrelation ∼ auf X: x ∼ y :⇔ ∃g ∈ G mit y = gx. Der Quotientenraum X/ ∼ (vgl.
(1.26)) heißt Bahnenraum und wird mit X/G bezeichnet.
(2.49) Beispiel. Seien jeweils G, X wie in (2.47).
(a) S n−1 / O(n) ist ein Punkt.
(b) R/Z ∼
= S 1 ⊆ C.
(c) S n−1 /(Z/2Z) ≈ Pn−1 (R)
Beweis.
(a) Klar.
(b) f : R → S 1 , x 7→ e2πix ist stetig, surjektiv, offen (2.42). Aus (1.30) folgt: f ist identifizierend, d.h.
f¯: R/Rf → S 1 ist ein Homöomorphismus. Offensichtlich ist R/Rf = R/Z.
(c) Übung.
(2.50) Bemerkung. Die topologische Gruppe G operiere auf X. Zu jedem x ∈ X existiere offene Umgebung U von x mit U ∩ gU = ∅ für alle 1 6= g ∈ G. Dann ist die kanonische Abbildung π : X → X/G eine
Überlagerungsabbildung.
Beweis. Sei y ∈ X/G, x ∈ X mit π(x) = y und U Umgebung von x wie in Voraussetzung. Setze V :=
S
Ṡ
π(U ). π −1 (V ) = π −1 (π(U )) = g∈G gU = g∈G gU : gU offen in X für alle g ∈ G [ϕg : X → X, x 7→ gx ist
Homöomorphismus]. ⇒ π −1 (V ) offen in X ⇒ V offen in X/G. π|U : U → V ist Homöomorphismus (selbst).
⇒ π|gU : gU → V ist auch Homöomorphismus für alle g ∈ G.
(2.51) Definition. Sei π : Y → X Überlagerung, f : [0, 1] → X ein Weg in X. Ein Weg f˜: [0, 1] → Y in Y
heißt Lift von f , falls f = π ◦ f˜ ist.
π
/X
Y aC
CC
{=
{
CC
{{
CC
{{
f˜ C
{{ f
[0, 1]
(2.52) Satz. Sei π : Y → X Überlagerung, f ein Weg in X, x0 := f (0). Dann existiert zu jedem y0 ∈ Y mit
π(y0 ) = x0 genau ein Lift f˜ von f mit f˜(0) = y0 .
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Beweis. [0, 1] kompakt, f stetig ⇒ es gibt 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 und Vj ⊆ X offen, so dass (*) aus
(2.41) für Vj erfüllt ist und f ([tj , tj+1 ]) ⊆ Vj , 0 ≤ j ≤ n − 1. Definiere f˜ stückweise auf jedem Teilintervall
Ṡ
[tj , tj+1 ]: π −1 (V0 ) = i∈I0 Ui,0 , π(y0 ) = x0 = f (0) ∈ V0 ⇒ y0 liegt in genau einer der Ui,0 , das wir U0 nennen.
π0 := π|U0 : U0 → V0 ist Homöomorphismus. Setze f˜(t) := π0−1 (f (t)), t ∈ [t0 , t1 ], y1 := f˜(t1 ). ⇒ π(y1 ) =
π(f˜(t1 )) = f (t1 ) ∈ V1 . usw.
Induktiv erhalten wir stetige (!) Abbildung f˜: [0, 1] → Y mit π ◦ f˜ = f . An jeder Stelle tj ist die Erweiterung
von f˜ auf [tj , tj+1 ] durch f˜(tj ) eindeutig festgelegt. ⇒ f˜ ist eindeutig bestimmt durch f und f˜(0) = y0 .