20. Landeswettbewerb 2014 in Bielefeld Aufgaben der Klasse 6

Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V.
20. Landeswettbewerb 2014 in Bielefeld
3. Runde der 53. Mathematikolympiade
Aufgaben der Klasse 6
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also
auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt
und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar.
Aufgabe 1:
Der Rechenmeister Adam Ries hat schon vor mehr als 500 Jahren mathematische Probleme und Lösungsverfahren gesammelt und aufgeschrieben. Eine Aufgabe von Adam Ries aus dem Jahr 1574 behandelt die Umrechnung
der damals verwendeten Gewichtsmaße, die man „Libra“ nannte. Diese waren in unterschiedlichen Städten sehr
unterschiedlich festgelegt. Die Aufgabe lautet:
7 Libra aus Padua entsprechen 5 Libra aus Venedig, und 10 Libra aus Venedig entsprechen 6 Libra in Nürnberg.
Weiter sind 100 Nürnberger Libra 73 Libra in Köln.
a) Gib ohne Begründung an, welches der vier Libragewichte am schwersten ist.
b) Berechne, wie viele Libra aus Padua einem Nürnberger Libra entsprechen.
c) Wie viel sind 1000 Libra aus Padua in kölnischen Libra?
Aufgabe 2:
Der abgebildete Hexaederstumpf ist ein regelmäßiger Körper. Er entsteht aus einem Würfel, dem an jeder Ecke
ein kleiner Körper so abgeschnitten wird, dass alle Kanten gleich lang sind.
a) Welche Arten von begrenzenden Flächen hat dieser Körper, und wie viele von
jeder Art sind es?
b) Wie viele Ecken hat der Körper? Monika möchte dies herausfinden, zählt die
Ecken aber nicht ab, sondern rechnet: Die Anzahl der Ecken ist 8 · 6 : 2. Erkläre,
wie Monika auf diese Rechnung kommt.
c) Bestimme mit Hilfe einer sinnvollen Rechnung die Anzahl der Kanten des Körpers.
d) Bestimme die Anzahl der Raumdiagonalen für diesen Körper.
Hinweis: Eine Raumdiagonale eines Körpers ist eine Strecke im Inneren dieses Körpers, die zwei Ecken miteinander verbindet. Verbindungen zweier Ecken entlang einer Kante oder innerhalb einer Seitenfläche sind keine
Raumdiagonalen.
Aufgabe 3:
In Meldorf ist jeden Dienstag Markt. Die Bio-Bauern Andersen und Brun verkaufen dort regelmäßig je 300 Eier,
Bauer Andersen verkauft Packungen mit drei Eiern für 1 e, und Bauer Brun verkauft Packungen mit zwei Eiern
für 1 e. Eines Tages war Bauer Brun verhindert und bat Andersen, seine Eier mit zu verkaufen. Er könne ja
dann Packungen mit fünf Eiern für 2 e anbieten; das sei ja der Durchschnitt von beiden Preisen.
a) Wie viel verdienen Bauer Andersen und Bauer Brun zusammen an einem Markttag, wenn jeder seine Eier
selbst verkauft und keine Eier übrig bleiben?
b) Wie groß ist die Einnahme, wenn Bauer Andersen alle Eier gemäß dem Vorschlag von Bauer Brun verkauft?
c) Gib eine Möglichkeit an, mit welchem sinnvollen Vorschlag für ein gemeinsames Preisangebot die gleichen
Einnahmen wie in a) erzielt worden wären.
d) Erläutere den Fehler in den Überlegungen von Bauer Bruns.
Die beiden Bauern möchten zusammen mehr als 250 e einnehmen. Keiner der beiden will aber weniger als 1 e
für drei Eier und keiner will mehr als 1 e für zwei Eier verlangen. Jeder der beiden Bauern verpackt jetzt alle
seine Eier in jeweils gleiche Packungen mit einer ganz bestimmten Menge an Eiern, die zwischen 2 und 12 Eiern
liegt. Der Preis für eine Packung wird nur in ganzen Euro (also ohne Centbeträge) festgelegt.
e) Welche Packungsgrößen sind überhaupt möglich?
f) Gib alle Möglichkeiten an, wie die Preise an den Ständen gewählt werden können. Gib dann eine Möglichkeit an, wie die beiden Bauern zusammen mehr als 250 e einnehmen können, wenn Bauer Andersen die
Eier weiterhin billiger verkauft als Bauer Bruns.