Lösung zur ATP Geometrie SoSe 12 Aufgabe 1: Definieren a

Lösung zur ATP Geometrie SoSe 12 Aufgabe 1: Definieren a) . Definieren Sie den Begriff Winkel Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene, nichtkollineare Punkte. Die Vereinigungsmenge der Strahlen und heißt Winkel . 2 b) Ergänzen Sie (I steht für Inneres): ) := |
,
I(
2 ,
c) Die Winkel und seien Stufenwinkel. Ergänzen Sie: und sind Wechselwinkel, wenn und Scheitelwinkel sind. 1 d) Begründen Sie mit einer Skizze, warum die folgende Definition nicht korrekt ist: | | | | 180°. und heißen Nebenwinkel :
1 Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Definieren Sie: Durchmesser von k. 2 1 e) f) Hinweis: Ein Durchmesser ist eine Strecke. Die Strecke ist ein Durchmesser von k, wenn ,
. Welcher Begriff wird hier definiert: Es sei ein Viereck in der Ebene . heißt … :
Sehnenviereck g) Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Der Begriff sei bereits definiert. Definieren Sie unter expliziter Verwendung von den Begriff 2 h) Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Definieren Sie ist Peripheriewinkel von k: ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt S von Element von k ist und jeder Schenkel von k in genau einem weiteren Punkt schneidet. 2 Aufgabe 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen a) b) c) d) e) f) Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Wann gilt ? Wenn P=A. Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Begründen Sie durch Nennung eines Axioms, dass | | | | | | nicht gelten kann. Dreiecksungleichung Es seien A, B und P drei paarweise verschiedene Punkte. Begründen Sie: . Nur der Punkt A ist sowohl Element der Menge als auch der Menge (Nach Definition Strahl, Definition Strecke, es gilt genau eine Zwischenrelation). Nach Voraussetzung ist aber P
. Somit gilt die Implikation. Es sei ein Dreieck. Ferner seien folgende Punktmengen gegeben: |
|
und = . . Es gelte |
Formulieren Sie mittels Z eine hinreichende Bedingung dafür, dass |
90° gilt. Z ist Mittelpunkt von . Begründen Sie durch Nennung eines Satzes, warum Ihre Bedingung aus | 90° nach sich zieht. Teilaufgabe d) |
Satz des Thales In einem kartesischen Koordinatensystem seien die Punkte A 1|0 , B 1|0 und C 0|1 gegeben. Die Gerade m mit der Gleichung y= ½ schneidet im Punkt und im Punkt 1 1 3 1 1 1 6 . Nach welchem Axiom hat m mit keinen gemeinsamen Punkt? g) Axiom von Pasch Es sei :
nicht senkrecht auf g. Beweisen Sie die Existenz des Lotes von P auf g. (siehe Skizze) (Grundidee: Punkt R konstruieren, sodass PR senkrecht auf g steht.) P Q L g ´ R X g) Beweis: mit | | | ´| (Winkelkonstruktionsaxiom) (1)
mit | | | | (Axiom vom Lineal) (2)
(3) RP g = (R, P in unterschiedlichen HE bezüglich g nach 1,2) (4) Dreieck Dreieck (SWS mit 1,2, | | | | trivial) | |
| (4, Def. Dreieckskongruenz) (5) |
| |
| 90° (5, Def. Nebenwinkel, Def. rechte Winkel) (6) |
(7)
ist ein Lot von P auf g (6, Def. Lot) Aufgabe 3: Kriterien a) Wir nennen den Satz, den Lisas Schüler vermuten, Satz 1. Formulieren Sie Satz 1 2 in der Form Wenn‐Dann. Wenn ein Trapez gleichschenklig ist sind seine Diagonalen kongruent zueinander. b) Lisa erarbeitet mit ihren Schülern eine Skizze. Formulieren Sie Voraussetzungen und Behauptungen von Satz 1. D C V1: DC AB V2: | | | | A B B: | | | | 2 7 2 c) Beweisen Sie Satz 1. Beziehen Sie sich auf eine Skizze. | | | | ,
Hinweis: hilft: Bew: D C A B 1 Es existiert das Lot von D auf AB und von C auf AB, erhalte Lotfußpunkte und . (Ex, Eind. Lot) 2 | | | | (V2) | |
| ( und V1) 3 |
| |
|= 90° (Def. Lot, 1) 4 |
Dreieck (SsW, 2‐4, rechter Wi größter Wi im 5 Dreieck Dreieck) | |
| (5, Def. Dreieckskongruenz) 6 |
| |
| (6, Rechnen in R) 7 |
Dreieck (SWS, 1, 3, 7) 8 Dreieck 9 | | | | (8, Def. Dreieckskongruenz) d) Ergänzen Sie die Umkehrung von Satz 1: Satz 2: Wenn ein Trapez kongruente Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. e) Definition T: Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt Trapez. Beweisen Sie Satz 2. D C V1: DC AB V2: | | | | B: | | | | A B 7 3 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 1 2 ‐ Beweis: (1) Es existiert das Lot von A auf CD und von B auf CD, erhalte Lotfußpunkte und . (Ex, Eind. Lot) |
| | | (V2) (2)
| |
| ( und V1) (3) |
| |
|= 90° (Def. Lot, 1) (4) |
Dreieck (SsW, 2‐4, rechter Wi größter Wi im (5) Dreieck Dreieck) | |
| (5, Def. Dreieckskongruenz, Rechnen in R) (6) |
Dreieck (SWS, 3, 4, 6) (7) Dreieck (8) | | | | (6, Def. Dreieckskongruenz) f) Definieren Sie den Begriff gleichschenkliges Trapez unter Verwendung des Oberbegriffs Trapez und des durch die Sätze 1 und 2 nun gültigen Kriteriums. Ein Trapez mit kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez. Aufgabe 4: Beweisen wie die Schüler Skizze und Beweisschritte siehe Klausur, hier finden Sie nur die Begründungen. Satz des Thales: Es seien ein Dreieck und k ein Kreis mit Mittelpunkt M. Wenn (V1) k Umkreis von Nr. (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (VII) (VIII) (IX) (X) (XI) (XII) (XIII) ist und (V2)
Begründung Radien von k Innenwinkelsumme im Viereck I, Basiswinkelsatz II, III IV trivial Scheitelwinkelsatz SWS, I, VII VIII (Dreieckskongruenz) VI, IX, WSW X V, XI XII dann (B) |
|
90°.