Graphentheorie als Schnittpunkt von Informatik und Mathematik
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Über Wege und Touren: Graphentheorie als Schnittpunkt von Informatik und Mathematik Peter Becker FH Bonn-Rhein-Sieg Fachbereich Angewandte Informatik [email protected] Kurzvorlesung Studientag 15.06.2002 Pregel Norden Osten Neuer Pregel Alter Pregel Das Königsberger Brückenproblem Insel Süden 1 Beispiel 1. [Euler, 1736] Gibt es einen Rundweg durch Königsberg, der jede der sieben Brücken genau einmal überquert? Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Insel Norden Süden Osten 2 c Beispiel 2. b a Definition 1. Ein Graph ist ein Paar , wobei eine beliebige (endliche) Menge ist und eine Menge zweielementiger Teilmengen von , also heißen Kno- d e Die Elemente von ten und Kanten. 3 die Elemente von Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Definition 2. Der Grad verbundenen Kanten. eines Knotens Knotengrad Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 gilt: 4 ist die Zahl der mit Lemma 1. [Handschlaglemma] Für jeden Graphen Korollar 2. Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade. Ein Weg, für den "% " gilt, heißt Kreis. für & Wege und Kreise ein Graph. alle verschieden sind, heißt Weg. "$# ! ! Definition 3. Es sei Eine Folge von Knoten mit heißt Kantenzug. ( Ein Kantenzug, bei dem die " ' Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 5 ein Graph. Eulerweg, Eulerkreis einen eulerschen Kreis Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 heißt eulersch gdw. enthält. Ein Kreis, der jede Kante von genau einmal enthält, heißt eulerscher Kreis von . Ein Weg, der jede Kante von genau einmal enthält, heißt eulerscher Weg von . Definition 4. Es sei Leonard Euler 6 die Zahl ein Graph. der Knoten mit ungeradem Grad oder ist. . Charakterisierung von eulerschen Graphen Satz 3. [Euler 1736] Es sei * bis auf isolierte Knoten zusammenhängend ist und hat einen eulerschen Weg gdw. Die Existenz eines eulerschen Kreises ist äquivalent mit * Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 ) ) 7 % . . genau -mal auf, so gilt % . bis auf isolierte Knoten zusammenhängend und habe einen eulerschen Kreis / Beweis. 1. “ ”: Induktionsanfang: Der Graph ein eulerscher Kreis. ist 8 Knoten gelte die ist eulersch, denn Induktionsannahme: Für Graphen mit höchsten Behauptung. Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 ( ”: Beweis durch vollständige Induktion über die Zahl der Knoten. - Dann ist / , tritt der Knoten in der Folge , d.h. hat geraden Grad. 2. “ 0 + + . 3 v0 v0 v1 v3 v2 Induktionsschritt: Sei ein zusammenhängender Graph mit Knoten und und alle Knoten haben geraden Grad. ist. - " 2 Wähle einen beliebigen Knoten ' Wähle solange dies möglich , so daß ist Knoten jeweils ein Weg in Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 9 Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis . Sei die Menge der Kanten in . - 1 ( Wenn alle Kanten aus enthält, so ist Ansonsten bildet man den Restgraphen . - 6 7 Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Für die Komponenten des Restgraphen gilt die Induktionsannahme. 54 - v4 ein Eulerkreis. v0 v7 v6 v1 v5 v3 v2 10 Nun fügt man die Kreise an Knoten zusammen, die in und einer Komponente des Restgraphen enthalten sind. - Man läuft entlang bis zu solch einem Knoten, dann entlang des Kreises des Restgraphen und anschließend wieder entlang . - - v0 Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 8 v1 v9 v8 v11 v10 v5 v2 v6 v4 v7 v3 11 Berechnung eines Eulerweges , so daß " Algorithmus 1. [Hierholzer 1873] 2 . 1. Wähle einen beliebigen Knoten Wähle solange dies möglich ist Knoten jeweils ein Weg in ist. Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis . Setze . 3. Setze - - # 4 . Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 # 12 2. Prüfe, ob ein eulerscher Kreis ist. Wenn ja, dann STOP, ansonsten gehe zu 3. - 4 - einen Kreis 4 . , ein eu- , der keine und wähle einen in enthaltenen Knoten enthaltenen Kante inzident ist. . 4 4 - ein. Setze # Laufe ab entlang der mit einer nicht in an der Stelle 4 Konstruiere wie unter 1. ausgehend von Kanten von enthält. Füge in den Kreis Gehe zu 2. Satz 4. Mit dem Algorithmus von Hierholzer kann in Zeit lerscher Kreis berechnet werden. bzw. 4 - 4 Beweis. Jede Kante wird höchstens zweimal durchlaufen: 1. Bei der Konstruktion von . 4 2. Bei der Suche nach einem 13 8 - 4 - 4 4 - - 4 Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 4 - 9 4 - v0 = w’ v0 w w’ w v0 = w’ v0 Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 w w’ 14 Chinesisches Briefträgerproblem Depot 15 Man finde für dieses Straßennetz eine möglichst kurze Tour zur Zustellung der Post. Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 16 Lösung: Man macht den Graphen mit möglichst kurzen zusätzlichen Kanten eulersch. Depot Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 ein Graph. Hamiltonsche Graphen heißt hamiltonsch gdw. einen hamiltonschen Kreis enthält. Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 17 genau einmal enthält, heißt hamil- Ein Weg, der jeden Knoten von tonscher Weg. genau einmal enthält, heißt hamil- Ein Kreis, der jeden Knoten von tonscher Kreis. Definition 5. Es sei Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Die Aufgabe des Spiels bestand darin, entlang der Kanten des Dodekaeders eine Rundreise zu unternehmen, bei der man jede Stadt genau einmal besucht. Die Punkte eines Dodekaeders stellten Städte dar. Die Bezeichnung “hamiltonsch” geht auf Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) zurück, der 1859 das Spiel “around the world” erfand. Beispiel 3. 18 Sir William Rowan Hamilton Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 Around the World 19 Problem des Handlungsreisenden (TSP) In einem vollständigen Graphen, dessen Kanten Längen haben, ist die kürzeste Rundreise gefragt. ; ' verschiedene Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 : Im Gegensatz zur Konstruktion eines hamiltonschen Kreises besteht hier die Schwierigkeit nicht im Finden einer Rundreise. Es gibt Rundreisen. ( 2 20 Bemerkungen: Obwohl die Eigenschaften hamiltonsch und eulersch sehr ähnlich erscheinen, ist kein effizienter Algorithmus zur Konstruktion von hamiltonschen Kreisen bekannt. Im schlimmsten Fall müssen alle Möglichkeiten durch Enumeration ausprobiert werden. Man geht sogar davon aus, daß es keine bessere Lösung gibt, denn dieses Problem ist in einem präzisierbarem Sinne schwierig. 21 Es gehört zur Klasse der -vollständigen Probleme: Existiert ein effizientes Berechnungsverfahren für ein Problem dieser Klasse, so hätte man effiziente Berechnungsverfahren für alle Probleme dieser Klasse. Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002 <= Zusammenfassung Graphen zur Modellierung von realen Problemstellungen Sie modellieren zweistellige Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge. Charakterisierung von eulerschen Graphen bzw. Kreisen Algorithmus von Hierholzer: Effizientes Berechnungsverfahren zur Konstruktion eulerscher Kreise 22 Leichte Änderungen in der Problemstellung konnen dazu führe, daß keine effiziente Berechnung mehr möglich ist. Über Wege und Touren — FH Bonn-Rhein-Sieg, Studientag 15.06.2002
