Formale Systeme

Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1
Hilbert-Kalkül
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
1 / 38
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1
Hilbert-Kalkül
2
Resolutionskalkül
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
1 / 38
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1
Hilbert-Kalkül
2
Resolutionskalkül
3
Tableaukalkül
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
1 / 38
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1
Hilbert-Kalkül
2
Resolutionskalkül
3
Tableaukalkül
4
Sequenzenkalkül
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
1 / 38
Der aussagenlogische Tableaukalkül
Der Tableaukalkül ist ein Widerlegungskalkül
Er ist korrekt und vollständig:
M |= A
Prof. P.H. Schmitt
⇔
Formale Systeme
M ∪ {¬A} `T0 0.
Winter 2007/2008
2 / 38
Der aussagenlogische Tableaukalkül
Der Tableaukalkül ist ein Widerlegungskalkül
Er ist korrekt und vollständig:
M |= A
⇔
M ∪ {¬A} `T0 0.
Er leistet aber noch mehr: wenn M 6|= A und M endlich ist,
dann wird eine Interpretation I geliefert,
so dass valI auf M wahr und auf A falsch ist.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
2 / 38
Vorzeichenformel
Unserer Behandlung des Tableaukalküls liegt die aussagenlogische Sprache
über den Operatoren ¬, ∧, ∨, → zugrunde.
Eine
Vorzeichenformel
ist eine Zeichenkette der Gestalt
0A oder 1A mit A ∈ For 0.
0, 1 sind neue Sonderzeichen, die Vorzeichen, im Alphabet der
Objektsprache.
Die Spracherweiterung ist nicht notwendig, sondern dient nur der
Durchsichtigkeit und Anschaulichkeit des Tableauverfahrens und bietet
ausserdem einen Ansatzpunkt für Verallgemeinerungen auf
Tableauverfahren für nichtklassische Logiken.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
3 / 38
Uniforme Notation
Definition
Typen von Vorzeichenformeln:
Typ 0P, 1P für P ∈ Σ
Typ α
0¬B, 1¬B, 1(B ∧ C ), 0(B ∨ C ), 0(B → C )
Typ β
0(B ∧ C ), 1(B ∨ C ), 1(B → C )
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
4 / 38
Uniforme Notation
Fortsetzung
Definition
Abkömmlinge: Zu jedem V definieren wir Abkömmlinge V1 , V2
Vom Typ α
0¬B
1¬B
1(B ∧ C )
0(B ∨ C )
0(B → C )
Vom Typ β
0(B ∧ C )
1(B ∨ C )
1(B → C )
V1
1B
0B
1B
0B
1B
V1
0B
1B
0B
V2
1B
0B
1C
0C
0C
V2
0C
1C
1C
Elementare Vorzeichenformeln haben keine Abkömmlinge.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
5 / 38
Semantik von Vorzeichenformeln
Ist I eine Interpretation der Atome und valI die zugehörige Auswertung der
Formeln ohne Vorzeichen in For 0Σ .
Wir setzen valI fort auf die Menge aller Vorzeichenformeln durch
val I (0A) = valI (¬A),
und
val I (1A) = valI (A).
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
6 / 38
Die Rolle der Abkömmlinge
Lemma
Für eine Vorzeichenformel V gilt
vom Typ α:
valI (V ) = W
⇔
valI (V1 ) = W
und
valI (V2 ) = W
⇔
valI (V1 ) = W
oder
valI (V2 ) = W
vom Typ β:
valI (V ) = W
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
7 / 38
Tableaux
Definition
M ⊆ For 0, A ∈ For 0. Ein Tableau für A über M ist ein Binärbaum dessen
Knoten mit Formeln markiert sind. Tableaux werden gemäss der folgenden
Regeln rekursiv aufgebaut:
1
Ein einziger mit 0A markierter Knoten ist ein Tableau für A über M.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
8 / 38
Tableaux
Definition
M ⊆ For 0, A ∈ For 0. Ein Tableau für A über M ist ein Binärbaum dessen
Knoten mit Formeln markiert sind. Tableaux werden gemäss der folgenden
Regeln rekursiv aufgebaut:
1
Ein einziger mit 0A markierter Knoten ist ein Tableau für A über M.
2
Es sei T ein Tableau für A über M und π ein Pfad in T , so dass auf
π ein Knoten liegt, der mit einem V vom Typ α beschriftet ist. Dann
ist auch T1 ein Tableau für A über M, welches dadurch aus T
entsteht, dass an π zwei neue Knoten angefügt werden, welche mit
V1 und mit V2 beschriftet sind. Wir sagen in diesem Fall, dass T1 aus
T durch eine Anwendung der α-Regel aus T hervorgeht.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
8 / 38
Tableaux
Definition
[Fortsetzung]
3
Es sei T ein Tableau für A über M und π ein Pfad in T , so dass auf
π ein Knoten liegt, der mit einem V vom Typ β beschriftet ist. Dann
ist auch T2 ein Tableau für A über M, welches dadurch entsteht, dass
an π zwei verzweigende Kanten angefügt werden, welche zu neuen
Blättern mit Beschriftungen V1 bzw. V2 führen. Wir sagen, T2 geht
aus T durch eine Anwendung der β-Regel aus T hervor.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
9 / 38
Tableaux
Definition
[Fortsetzung]
3
Es sei T ein Tableau für A über M und π ein Pfad in T , so dass auf
π ein Knoten liegt, der mit einem V vom Typ β beschriftet ist. Dann
ist auch T2 ein Tableau für A über M, welches dadurch entsteht, dass
an π zwei verzweigende Kanten angefügt werden, welche zu neuen
Blättern mit Beschriftungen V1 bzw. V2 führen. Wir sagen, T2 geht
aus T durch eine Anwendung der β-Regel aus T hervor.
4
Es sei T ein Tableau für A über M und π ein Pfad in T , dann ist
auch T3 ein Tableau für A über M, welches durch Verlängerung von π
um einen mit 1B beschrifteten Knoten entsteht, für eine Formel B
aus M. Wir sagen, T3 geht aus T durch eine Anwendung der
Voraussetzungsregel aus T hervor.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
9 / 38
Ableitbarkeit im Tableau Kalkül
Definition
Ein Tableau T heisst geschlossen, wenn alle seine Pfade geschlossen
sind.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
10 / 38
Ableitbarkeit im Tableau Kalkül
Definition
Ein Tableau T heisst geschlossen, wenn alle seine Pfade geschlossen
sind.
Ein Pfad π heisst geschlossen, wenn zwei Knoten auf π liegen,
welche mit 0A und 1A beschriftet sind für eine beliebige Formel A.
Auch ein Pfad, auf dem die Formel 01 oder 10 vorkommt zählt als
geschlossen.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
10 / 38
Ableitbarkeit im Tableau Kalkül
Definition
Ein Tableau T heisst geschlossen, wenn alle seine Pfade geschlossen
sind.
Ein Pfad π heisst geschlossen, wenn zwei Knoten auf π liegen,
welche mit 0A und 1A beschriftet sind für eine beliebige Formel A.
Auch ein Pfad, auf dem die Formel 01 oder 10 vorkommt zählt als
geschlossen.
Es sei A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . A ist aus M ableitbar in T0,
M `T0 A,
g.d.w.
es ein geschlossenes Tableau für 0A über M gibt.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
10 / 38
test
α-Erweiterung eines Tableau
T =



















































Prof. P.H. Schmitt
• V
π
Formale Systeme
Winter 2007/2008
11 / 38
test
α-Erweiterung eines Tableau
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
12 / 38
test
β-Erweiterung eines Tableau
T =



















































Prof. P.H. Schmitt
• V
π
Formale Systeme
Winter 2007/2008
13 / 38
test
β-Erweiterung eines Tableau
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
14 / 38
test
Erweiterung eines Tableau durch eine Voraussetzung
T , T1 Tableaux für A über M und V ∈ M.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
15 / 38
test
Abschluß eines Pfades
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
16 / 38
test
Tableaux Regeln
Kurzschreibweise
α
α1
α2
Prof. P.H. Schmitt
β
β1 | β2
Formale Systeme
Winter 2007/2008
17 / 38
test
Beispiel eines Tableau-Beweises
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
18 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
19 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
20 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
21 / 38
test
!
!
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
22 / 38
test
!
!
"
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
23 / 38
test
!
!
!
"
#
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
24 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
!
!
!
"
#
#
Formale Systeme
Winter 2007/2008
25 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
!
!
!
"
#
#
Formale Systeme
Winter 2007/2008
26 / 38
test
!
!
!
"
#
#
!
!
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
27 / 38
test
!
!
!
"
#
#
!
!
#
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
28 / 38
test
!
!
!
"
#
#
!
"
!
"
#
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
29 / 38
test
Prof. P.H. Schmitt
!
!
!
"
#
#
!
"
!
"
#
#
Formale Systeme
Winter 2007/2008
30 / 38
test
Semantik von Tableaux
Definition
Sei I : Menge der Atome → {W, F} eine Interpretation,
T ein Tableau und
π ein Pfad in T , so setzen wir
valI (π) = W
valI (T ) = W
:⇔ valI (V ) = W für alle V auf π
:⇔ Es gibt einen Pfad π in T mit valI (π) = W
Eine Interpretation I mit valI (T ) = W heißt Modell des Tableaus T .
Insbesondere kann ein geschlossenes Tableau kein Modell haben.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
31 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Angenommen M 6|= A.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Angenommen M 6|= A.
Dann besitzt M ∪ {¬A} ein Modell.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Angenommen M 6|= A.
Dann besitzt M ∪ {¬A} ein Modell.
Wir zeigen durch Induktion nach dem rekursiven Aufbau, dass dann
jedes Tableau für A über M ein Modell hat. (Korrektheitslemma)
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Angenommen M 6|= A.
Dann besitzt M ∪ {¬A} ein Modell.
Wir zeigen durch Induktion nach dem rekursiven Aufbau, dass dann
jedes Tableau für A über M ein Modell hat. (Korrektheitslemma)
Somit kann kein solches Tableau geschlossen sein.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitssatz
Theorem
Es seien A ∈ For 0Σ und M ⊆ For 0Σ . Dann gilt
M `T0 A
⇒
M |= A.
Beweisansatz
Angenommen M 6|= A.
Dann besitzt M ∪ {¬A} ein Modell.
Wir zeigen durch Induktion nach dem rekursiven Aufbau, dass dann
jedes Tableau für A über M ein Modell hat. (Korrektheitslemma)
Somit kann kein solches Tableau geschlossen sein.
Also M 6`T0 A
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
32 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Zur Anwendung der α-Regel wird ein Pfad π1 in T und
eine α-Formel V auf π1 gewählt, π1 wird verlängert um
V1 , V2 .
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Zur Anwendung der α-Regel wird ein Pfad π1 in T und
eine α-Formel V auf π1 gewählt, π1 wird verlängert um
V1 , V2 .
Wenn π1 6= π, gilt für das neu entstehende Tableau T 0
trivialerweise valI (T 0 ) = W .
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Zur Anwendung der α-Regel wird ein Pfad π1 in T und
eine α-Formel V auf π1 gewählt, π1 wird verlängert um
V1 , V2 .
Wenn π1 6= π, gilt für das neu entstehende Tableau T 0
trivialerweise valI (T 0 ) = W .
Wenn π1 = π, haben wir aus valI (π) = W , dass
valI (V ) = W , also valI (V1 ) = W und valI (V2 ) = W .
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Zur Anwendung der α-Regel wird ein Pfad π1 in T und
eine α-Formel V auf π1 gewählt, π1 wird verlängert um
V1 , V2 .
Wenn π1 6= π, gilt für das neu entstehende Tableau T 0
trivialerweise valI (T 0 ) = W .
Wenn π1 = π, haben wir aus valI (π) = W , dass
valI (V ) = W , also valI (V1 ) = W und valI (V2 ) = W .
Somit valI (π1 ) = W für den neu entstehenden Pfad π 0 ,
d.h. valI (T 0 ) = W
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Korrektheitslemma
Initialisierung: I ist Modell von ¬A, also von 0A.
α-Fall:
Nach Induktionsannahme gilt valI (T ) = W , es gibt also
einen Pfad π in T mit valI (π) = W .
Zur Anwendung der α-Regel wird ein Pfad π1 in T und
eine α-Formel V auf π1 gewählt, π1 wird verlängert um
V1 , V2 .
Wenn π1 6= π, gilt für das neu entstehende Tableau T 0
trivialerweise valI (T 0 ) = W .
Wenn π1 = π, haben wir aus valI (π) = W , dass
valI (V ) = W , also valI (V1 ) = W und valI (V2 ) = W .
Somit valI (π1 ) = W für den neu entstehenden Pfad π 0 ,
d.h. valI (T 0 ) = W
β-Fall: analog
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
33 / 38
test
Vollständigkeitslemma
Definition[Erschöpftes Tableau]
Das Tableau T für A über der Formelmenge M heisst erschöpft, wenn auf
jedem offenen Pfad π von T jede α- und β-Formel benutzt wurde und jedes
1B, B ∈ M auf π vorkommt.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
34 / 38
test
Vollständigkeitslemma
Definition[Erschöpftes Tableau]
Das Tableau T für A über der Formelmenge M heisst erschöpft, wenn auf
jedem offenen Pfad π von T jede α- und β-Formel benutzt wurde und jedes
1B, B ∈ M auf π vorkommt.
Theorem (Vollständigkeitslemma)
Wenn es ein erschöpftes, nicht geschlossenes Tableau für A über M gibt,
dann hat M ∪ {¬A} ein Modell.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
34 / 38
test
Vollständigkeitslemma
Definition[Erschöpftes Tableau]
Das Tableau T für A über der Formelmenge M heisst erschöpft, wenn auf
jedem offenen Pfad π von T jede α- und β-Formel benutzt wurde und jedes
1B, B ∈ M auf π vorkommt.
Theorem (Vollständigkeitslemma)
Wenn es ein erschöpftes, nicht geschlossenes Tableau für A über M gibt,
dann hat M ∪ {¬A} ein Modell.
Theorem (Vollständigkeitssatz)
M |= A
⇒
M `T0 A.
Folgt durch Kontraposition aus dem Vollständigkeitslemma.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
34 / 38
test
Beweis des Vollständigkeitslemmas
Sei π ein offener Pfad im erschöpften Tableau T für A über M. Da T
erschöpft ist, hat man
Für jede α-Formel V ∈ π: V1 ∈ π und V2 ∈ π
für jede β-Formel V ∈ π: V1 ∈ π oder V2 ∈ π
Für jedes B ∈ M: 1B ∈ π.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
35 / 38
test
Beweis des Vollständigkeitslemmas
Sei π ein offener Pfad im erschöpften Tableau T für A über M. Da T
erschöpft ist, hat man
Für jede α-Formel V ∈ π: V1 ∈ π und V2 ∈ π
für jede β-Formel V ∈ π: V1 ∈ π oder V2 ∈ π
Für jedes B ∈ M: 1B ∈ π.
Wir definieren

 W
F
I (P) :=

falls 1P ∈ π
falls 0P ∈ π
beliebig sonst
Durch Induktion zeigt man leicht, dass I (V ) = W für jedes V auf π. Es
folgt, dass I Modell von M ∪ {¬A} ist.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
35 / 38
test
Allgemeine Tableauregel
ψ1,1
..
.
..
.
ψ1,K1
φ
...
...
...
...
ψn,1
..
.
..
.
ψn,kn
Um die Teilformeleigenschaft des Tableaukalküls zu gewährleisten, wird
gefordert, dass alle Vorzeichenformeln ψi,j Teilformeln der
Vorzeichenformel φ sind.
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
36 / 38
test
Korrektheit und Vollständigkeit einer Regel
Eine allgemeine Tableauregel
ψ1,1
..
.
..
.
ψ1,K1
φ
...
...
...
...
ψn,1
..
.
..
.
ψn,kn
heißt vollständig und korrekt, wenn für jede Interpretation I gilt
valI (φ) = W gdw es gibt ein i, 1 ≤ i ≤ n, so dass
für alle j,1 ≤ j ≤ ki gilt valI (ψi,j ) = W
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
37 / 38
test
Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator
↔
1
0
Prof. P.H. Schmitt
1 0
1 0
0 1
Formale Systeme
Winter 2007/2008
38 / 38
test
Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator
↔
1
0
1 0
1 0
0 1
1(A ↔ B)
1A | 0A
1B | 0B
Prof. P.H. Schmitt
Formale Systeme
Winter 2007/2008
38 / 38
test
Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator
↔
1
0
1(A ↔ B)
1A | 0A
1B | 0B
Prof. P.H. Schmitt
1 0
1 0
0 1
0(A ↔ B)
1A | 0A
0B | 1B
Formale Systeme
Winter 2007/2008
38 / 38