Wahrscheinlichkeit

Teilgebiete und Begriffe der Stochastik 1 - 2
Stochastik setzt sich aus den Teilgebieten Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik zusammen.
B) Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung versucht vorherzusagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein
Ereignis eintritt. In der WR wird die {Mengenschreibweise} benutzt.
1. Zufallsexperiment/ZE:
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig wiederholbarer Vorgang, bei dem die Ergebnisse vom Zufall abhängen.
2. Ergebnis/Ergebnisraum  :
Die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum  .
(1) Beispiel: Einmaliges Würfeln mit 1 Würfel (einstufiges ZE)
- Welche Augenzahl?
={1,2,3,4,5,6}
- Gerade/ungerade?
={g,u}
- kleiner als 4?
={1,2,3}
(2) Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)
- Welche Kombinationen?
 = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}

n = || = 6
n = || = 2
n = || = 3

n = || = 4


Um alle Ergebnisse zu finden, kann man
die Durchführung des ZEs anhand
eines Baumdiagramms
veranschaulichen:
(3) Beispiel: Es werden zwei Würfel (rot/blau) nacheinander geworfen. Die möglichen Ergebnisse sind alle
möglichen geordneten Paare von Augenzahlen.
 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),... (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.  n =|Ω|=36
3. Ereignis2 A:
 ist der Ergebnisraum eines ZEs. Das Ereignis A ist eine Teilmenge von  .
Ein Ereignis A kann eintreten, es kann auch nicht eintreten (Gegenereignis).
Beispiel: zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)
Ergebnisraum  = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}

n = || = 4
Das gesuchte/gefragte Ereignis soll Kopf/Kopf sein! Dann ist A = {(K,K)}
A = {(K,K)} ist Teilmenge von  = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}
A = {(K,K)} ist das Ereignis
̅ = {(K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} ist das Gegenereignis


n=|A|=1
n=|̅|=3
4. Laplace-Wahrscheinlichkeit P:
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse „A“ des Ergebnisraumes „“ gleichwahrscheinlich sind.
Man spricht von der Laplace-Wahrscheinlichkeit „P“ – Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
3

(1) Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE) – Lösung mit der Formel!
Ergebnisraum  = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}

n = || = 4 (alle möglichen)
Das gesuchte/gefragte Ereignis soll Kopf/Kopf sein! Wie groß ist P von A?
Ereignis A = {(K,K)}

n = | A |= 1 (günstige)
1
2
3
Stochastik: altgr.: stochos  Vermutung, Kunst des Mutmaßens
Falls das Ereignis A={} (leer) ist, heißt das Ereignis A das unmögliche Ereignis. Falls gilt: A =  , heißt A das sichere Ereignis.
In dieser Formel wird der Begriff „Ereignis“ ebenso verwendet wie der Begriff „Ergebnis“. Beides richtig!

(2) Beispiel: Wahrscheinlichkeitsbaum – Lösung mit der Formel und den Pfadregeln!
Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)
Ergebnisraum  = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}

n = || = 4 (alle möglichen)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass K/K oder Z/Z erscheint?
Ereignis A = {(K,K) , (Z,Z)}

n = | A |= 2 (günstige)
Lösung mit den Pfadregeln:
1. Pfadregel – Produktregel
2. Pfadregel – Summenregel
Produktregel:
Je Ergebnis 25 %
-
-
Summenregel:
Das Ereignis hat
25 % + 25 % = 50 %
Produktregel:
Die Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des
zugehörigen Pfades multipliziert.
Summenregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu
einem Ereignis gehören, addiert.
(3) Beispiel: Wahrscheinlichkeitsbaum
Es wird ein Würfel nacheinander gewürfelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nacheinander 2 Sechsen erscheinen?
n = || = 36 mögliche Ergebnisse, n = | A |= 1 günstiges Ergebnis
Dieses Baumdiagramm kann auch
aufwendiger gestaltet werden, indem für
jede Ziffer, die gewürfelt werden kann,
ein Pfad eingezeichnet wird.
Start
Merke: Die Summe ergibt jeweils 1.
Merke: Die Summe aller Laplace-Wahrscheinlichkeiten ergibt 1.