Hinweise zur Prüfung Hinweise zu den Aufgaben Beweisaufgaben

Mathematisches Institut
Gastprofessur: Dr. habil. Taras Bodnar
Lehrveranstaltung: Wahrscheinlichkeitstheorie (Modul 11-2-17)
Sommersemester 2010
Hinweise zur Prüfung
1. Die Übungsaufgaben wurden in die Kategorien Beweisaufgaben (BA) und Rechenaufgaben
(RA) eingeteilt.
2. Zur Prüfung ziehen Sie aus beiden Kategorien je zwei Aufgaben. Von den vier Gezogenen wählen Sie dann drei zur Bearbeitung aus, d.h. eine darf zurückgegeben werden. Die
Bearbeitungszeit beträgt etwa dreißig Minuten.
3. Danach haben Sie Zeit, uns Ihre Ausarbeitung zu präsentieren. Wenn Sie damit fertig sind,
gibt es noch Fragen quer durch den Gemüsegarten“.
”
Hinweise zu den Aufgaben
Einige Aufgaben wurden weggelassen, andere korrigiert bzw. präzisiert. Genauer:
1. BA 19 (ehemals 8.5): Bedingung der Unkorreliertheit ergänzt
2. BA 14,15 (4.9, 4.10): neu strukturiert
⇒ BA 14 = 4.9(a), BA 15 = 4.9(b) + 4.10
3. RA 11 (3.10): Bedingung der Unabhängikeit ergänzt
4. RA 22 (6.3): Aufgabenstellung mit der Definition der Verteilungsfunktion (linksseitige
Stetigkeit) in der Vorlesung in Übereinstimmung gebracht
Beweisaufgaben
1. Sei A ein beliebiges Mengensystem über Ω . Beweisen Sie die de Morgansche Regel:
\
A∈A
A=
[
A.
A∈A
2. Für zwei Mengen A, B heißt A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) die symmetrische Differenz von A
und B. Man zeige:
(a) A ∪ B = (A4B) ∪ (A ∩ B) und (A4B) ∩ (A ∩ B) = ∅.
(b) A \ B = A4(A ∩ B).
Welche Interpretation hat die symmetrische Differenz für Ereignisse?
3. Beweisen Sie folgende Eigenschaften für Binomialkoeffizienten:
(a) Für alle n, m ∈ N gilt
µ ¶ µ
¶ µ
¶
m
m
m+1
+
=
.
n
n−1
n
(b) Für alle k ≤ n, k, n ∈ N gilt
n µ ¶
X
j
j=k
k
µ
¶
n+1
=
.
k+1
4. Sei Σ eine Menge von σ-Algebren über Ω .
T
(a) Zeige, daß dann F :=
A eine σ-Algebra ist.
A∈Σ
(b) Zeige anhand eines einfachen Beispiels mit zwei σ-Algebren, daß das für die Vereinigung von σ-Algebren im Allgemeinen nicht gilt.
5. (Ω, F) sei ein meßbarer Raum, ∅ =
6 B ⊂ Ω, aber nicht unbedingt B ∈ F. Zeigen Sie, daß
die Spur-Algebra von F bzgl. B, definiert durch
FB := F ∩ B := {A ∩ B | A ∈ F },
eine σ-Algebra über B, also (B, FB ) ein meßbarer Raum, ist.
6. Sei (Ω, F) ein meßbarer Raum. P : F → [0, 1] ein Inhalt, d.h.
µ n
¶
n
S
P
(1) P (Ω) = 1 und (2) P
Ak =
P (Ak ) für disjunkte A1 , . . . , An ∈ F.
k=1
k=1
Zeige, daß P sogar σ-additiv (also ein Wahrscheinlichkeitsmaß) ist, falls P stetig von unten
ist.
7. Sei (Ω, F) ein meßbarer Raum. Zeigen Sie, daß für x ∈ Ω durch
(
1 x∈A
δx (A) :=
(A ∈ F)
0 x∈
/A
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das sogenannte Dirac-Maß, definiert ist.
8. Seien aj ≥ 0 und Pj Wahrscheinlichkeitsmaße
über (Ω, F) für alle j aus einer endlichen
P
oder abzählbaren Indexmenge J, wobei
aj = 1. Zeigen Sie, daß dann mit
j∈J
P :=
X
j∈J
aj Pj ,
d.h.
P (A) :=
X
aj Pj (A)
für A ∈ F
j∈J
wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F) gegeben ist.
9. Für n ≥ 2 und Ereignisse A1 , . . . , An gelte P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0. Zeigen Sie:
P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P (An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ).
10. A und B seien unabhängig. Zeigen Sie, daß dann auch (a) A, B, (b) A, B und (c) A, B
unabhängig sind.
11. Sei E ein Mengensystem über Ω . Zeigen Sie, daß es σ(E), nämlich die kleinste σ-Algebra
”
über Ω , die E enthält,“ gibt.
12. Seien E, E1 , E2 Mengensysteme über dem Grundraum Ω. Zeigen Sie, daß dann
(a) σ(σ(E)) = σ(E)
(b) Aus E1 ⊆ E2 folgt σ(E1 ) ⊆ σ(E2 )
(c) σ(E1 ) = σ(E2 ) genau dann, wenn E1 ⊆ σ(E2 ) und E2 ⊆ σ(E1 ).
13. Zeige, daß B := σ(E2 ) = σ(Ek ) für alle k = 1, . . . , 8, wobei
E1 := {[a, b) : a < b ∈ R}, E2 := {(a, b) : a < b ∈ R}, E3 := {[a, ∞) : a ∈ R},
E4 := {(−∞, a) : a ∈ R}, E5 := {(a, b] : a < b ∈ R}, E6 := {(a, ∞) : a ∈ R},
E7 := {(−∞, a] : a ∈ R}, E8 := {[a, b] : a < b ∈ R}
14. Seien (Ωi , Fi ), (i = 1, 2) meßbare Räume. T : Ω1 → Ω2 . Zeigen Sie, daß dann
σ(T ) := σ(T, F2 ) := {T −1 (B) | B ∈ F2 }
eine σ-Algebra über Ω1 ist.
15. Seien (Ωi , Fi ), (i = 1, 2) meßbare Räume. T : Ω1 → Ω2 .
(a) Zeigen Sie, daß
σ̃(T ) := σ(F1 , T ) := {B ⊆ Ω2 | T −1 (B) ∈ F1 }
eine σ-Algebra über Ω1 ist und machen Sie sich die folgende Äquivalenz klar:
T ist F1 -F2 -meßbar
⇔
F2 ⊆ σ̃(T ).
(b) Sei nun F2 = σ(E) die von einem Mengensystem E über Ω2 erzeugte σ-Algebra.
Folgern Sie aus (a), daß T genau dann F1 -F2 -meßbar ist, wenn T −1 (B) ∈ F1 für alle
B ∈ E.
16. Sei X stetige Zufallsgröße mit Dichte f , Verteilungsfunktion F und E |X| < ∞. Zeigen
Sie, daß dann
Z∞
Z0
¡
¢
EX =
1 − F (x) dx −
F (x) dx.
0
−∞
17. Sei X diskrete oder stetige Zufallsgröße und E |X|T < ∞ für ein T ≥ 1. Zeige, daß dann
auch E |X|t < ∞ für alle 1 ≤ t ≤ T .
18. Seien zp bzw. qp für p ∈ (0, 1) die p-Quantile der Standardnormalverteilung bzw. von
N(µ, σ 2 ). Zeigen Sie, daß für alle µ ∈ R, σ > 0 und p ∈ (0, 1) :
(a) zp = −z1−p
(b) qp = µ + σ · zp .
19. Seien X1 , . . . , Xn ∼ X, unkorreliert,
mit E X 2 < ∞. Zeige, daß dann auch X und Xk − X
P
n
unkorreliert sind, wobei X := n1 j=1 Xj .
20. Zeige: X und Y mit gemeinsamer Dichte f sind genau dann unabhängig, wenn g, h existieren, so daß f (x, y) = g(x)h(y) für alle x, y ∈ R.
21. Seien X ∼ Y , unabhängig, E X 2 < ∞. Zeige, daß dann U := X + Y und V := X − Y zwar
unkorrelliert, aber im Allgemeinen abhängig sind. Wie weit läßt sich die Voraussetzung
abschwächen?
22. Für n ∈ N seien X1 , . . . , Xn unabhängig. Welche Verteilung hat Mn := max{X1 , . . . , Xn }?
Betrachten Sie auch den Spezialfall X1 , . . . , Xn i.i.d. Bestimmen Sie in diesem Fall eine
Dichte von Mn , falls zusätzlich die Stetigkeit von X1 , . . . , Xn vorausgesetzt wird.
23. Für n ∈ N seien X1 , . . . , Xn unabhängig. Welche Verteilung hat mn := min{X1 , . . . , Xn }?
Betrachten Sie auch den Spezialfall X1 , . . . , Xn i.i.d. Bestimmen Sie in diesem Fall eine
Dichte von mn , falls zusätzlich die Stetigkeit von X1 , . . . , Xn vorausgesetzt wird.
24. Sei φX charakteristische Funktion einer z.G. X. Zeigen Sie, daß dann auch φX , φ2X und
|φX |2 char. F. sind.
25. Zeigen Sie, daß für eine ganzzahlige z.G. X mit charakteristischer Funktion φX für alle
k ∈ X(Ω) ⊆ Z gilt:
Zπ
1
P (X = k) =
e−itk φX (t) dt.
2π
−π
Hinweis: Zeigen und benutzen Sie daß
Rπ
(
eitm dt =
−π
2π
0
m=0
m 6= 0
∀ m ∈ Z.
(∗)
26. Sei φX (t) die charakteristische Funktion einer zufälligen Größe X sowie ϕX = ln φX . Zeigen
Sie, daß dann E X = 1i · ϕ0X (0) und VarX = −ϕ00X (0), falls diese existieren.
27. (Markoff-Ungleichung) X sei z.G. und f : [0, ∞) → [0, ∞) monoton wachsende Funktion
mit f (x) > 0 für x > 0. Zeigen Sie, daß dann
P (|X| ≥ ε) ≤
E [f (|X|)]
f (ε)
für alle ε > 0.
Hinweis: Beweis der Tschebyscheff-Markoff-Ungleichung in VL.
Rechenaufgaben
1. Beispiele zur Kombinatorik:
(a) In der 1. Bundesliga sind 18 Mannschaften am Start, von denen am Ende der Saison
3 Mannschaften absteigen. Wieviele verschiedene Abstiegsszenarien sind möglich?
(b) wie (a), aber zusätzlich die genaue Platzierung der Absteiger?
(c) Wieviele verschiedene Würfe gibt es beim Würfeln mit drei nicht unterscheidbaren
Würfeln?
(d) Wieviele Kombinationen“ hat ein 5-stelliges Zahlenschloß (Ziffern von 0-9)?
”
2. Seien m < n ∈ N und a 6= b zwei zufällig und nacheinander gezogene Zahlen aus {1, . . . , n}.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß a − b ≥ m?
3. Glücksspirale: Eine 7-stellige Glückszahl, bestehend aus den Ziffern 0, . . . , 9, werde gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung von 4444444“ und die von
”
1234567“, falls die Glückszahl ermittelt wird, indem
”
(a) aus einem Behälter mit 70 Kugeln (7 je Ziffer) nacheinander 7 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden,
(b) aus 7 Behältern mit je 10 Kugeln (1 je Ziffer) nacheinander je eine Kugel gezogen
wird.
Bilden Sie unter (a) zum Vergleich das Verhältnis der beiden Wahrscheinlichkeiten.
¡
¢
¡
¢
4. Sei N0 , P(N0 ), P mit P {n} := c/n! ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bestimme c ∈ R.
5. Seien A, B ⊆ Ω Ereignisse.
(a) Berechnen sie P (A ∪ B), wenn gilt P (B) = 0, 7 sowie P (A ∩ B) = 0, 4.
(b) Es seien P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 5 und P (A ∩ B) = 0, 2. Berechnen Sie P (A ∪ B),
P (A ∪ B) sowie P (A ∪ B).
(c) A und B seien disjunkte Ereignisse mit P (A) = 0, 3 und P (B) = 0, 4. Berechnen Sie
P (A ∪ B), P (A ∪ B), P (A ∪ B) sowie P (A ∩ B).
6. Lernversuch: Eine Person erhält eine Aufgabe. Löst sie diese nicht oder falsch, so bekommt
sie eine Hilfestellung und darf noch einmal. Erfahrung hat gezeigt, daß die Wahrscheinlichkeit, daß die Aufgabe im 1. Versuch gelöst wird, gleich 50%, im 2. 65%, im 3. 75% und im
4. 80 % beträgt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für A := {Aufgabe wird in höchstens
4 Versuchen gelöst}.
7. An einer seltenen Krankheit leiden im Mittel 5 von 100.000 Einwohnern. Ein Test ergibt
bei 99% der Erkrankten ein positives Ergebnis, aber auch (fälschlicherweise) bei 0,5% der
Nichterkrankten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig getestete Person
tatsächlich erkrankt ist, falls das Testergebnis positiv ausfällt.
8. Bewerber an einer Hochschule müssen eine Aufnahmeprüfung absolvieren, um aufgenommen zu werden. Es ist bekannt, daß von den fähigen Bewerbern 80% die Prüfung bestehen,
von den unfähigen 25%. Es bewerben sich 40% fähige Kandidaten.
(a) Wieviel Prozent aller Bewerber werden aufgenommen?
(b) Wie groß ist der Anteil der fähigen Studenten unter den Aufgenommenen?
9. Drei Karten liegen verdeckt unter einem Tuch. Eine ist beidseitig rot, eine beidseitg weiß
und die dritte auf der einen Seite rot und auf der anderen weiß. Sie holen eine Karte unter
dem Tuch hervor und legen Sie auf den Tisch. Die obere Seite ist weiß. Berechnen Sie mit
Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Rückseite rot
ist.
10. Ein Tetraeder habe auf je einer Seitenfläche die Farben Rot (R), Blau (B) und Gelb (G), auf
der vierten Seitenfläche alle drei Farben. Der Tetraeder wird so auf eine Ebene geworfen,
dass jede der vier Seitenflächen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit unten liegt (LaplaceExperiment). Liegt zum Beispiel eine Seitenfläche unten, die die Farbe Rot enthält, so gilt
das Ereignis R als eingetreten.
(a) Sind die Ereignisse R, B und G paarweise unabhängig?
(b) Sind die Ereignisse R, B und G insgesamt unabhängig?
11. In einem elektrischen Stromkreis befinden sich verschiedene Bauelemente (vgl. Bilder).
Das Bauteil Bi falle mit Wahrscheinlichkeit pi ∈ (0, 1) unabhängig von den anderen aus.
Bestimmen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems. Was ergibt sich speziell
für p1 = p2 = p3 = p4 = p?
a)
B1
b)
B1
c)
B2
B2
B1
B3
B1
B3
B4
B2
B4
B3
B2
B3
B4
d)
B4
12. Ein System bestehe aus n ∈ N in Reihe geschalteten Blöcken, die unabhängig voneinander
die Zuverlässigkeit p ∈ (0, 1) haben.
(a) Bestimmen Sie die Zuverlässigkeit des Gesamtsystems.
Um die Zuverlässigkeit des Gesamtsystems zu erhöhen, werden n Reserveblöcke bereitgestellt. Welche Lösung ist dabei zu bevorzugen?
(b) Jeder einzelne Block wird mit einem Reserveblock parallel geschaltet.
(c) Das Gesamtsystem wird mit einem Reservesystem parallel geschaltet.
(Hinweis: Zeigen und verwenden Sie, daß die Funktion f (p) := (2 − p)n − 2 + pn auf [0, 1]
monoton fallend ist.
13. Drei Jäger mit den Trefferquoten 0, 3 bzw. 0, 4 bzw. 0, 5 schießen gleichzeitig auf ein Wildschwein, welches von GENAU EINER Kugel getroffen zu Boden geht. Wie ist die Beute
gerecht (d.h. gemäß den Wahrscheinlichkeiten, daß die tödliche Kugel von Jäger eins bzw.
zwei bzw. drei stammt) aufzuteilen, wenn bei der anschließenden Untersuchung nicht festzustellen ist, von welchem der Schützen das Schwein erlegt wurde?
14. Für a, b, x ∈ R sei F (x) := a + b · arctan(x).
(a) Für welche Parameter a, b wird die Funktion F zu einer Verteilungsfunktion?
(b) Zeigen Sie, daß mit den in (a) berechneten Parametern für c > 0 und d, x ∈ R
die Funktion G(x) := F (cx + d) ebenfalls eine Verteilungsfunktion ist. Welche Rolle
spielen dabei die Parameter c und d?
(c) Bestimmen Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte g von G.
15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei aus dem Intervall [0, 1] auf gut Glück“
”
(geometrische Wahrscheinlichkeit) herausgegriffene Zahlen x und y gleichzeitig den beiden
Ungleichungen
x+y ≥1
und
x2 + y 2 ≤ 1
genügen?
16. Eine diskrete Zufallsgröße X nehme die Werte 1, 2 und 3 an, wobei P (X = 1) = p und
P (X = 2) = p2 für ein p ∈ (0, 1). Bestimmen Sie den Parameter p sowie VarX, wenn
EX = 2 gegeben ist.
17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Jahren (=520 Wochen) einen Großgewinn
(Fünfer oder Sechser) beim Lotto ( 6 aus 49“, ein Tipp je Woche, ohne Zusatz- und
”
Superzahl) zu erzielen? Wie lange muß man im Mittel (in Jahren) auf einen solchen warten?
18. Das Sicherheitssystem einer technischen Anlage soll im Falle einer Havarie das Abschalten
der Anlage mit einer Sicherheit von 99, 99% garantieren. Es stehen aber nur Sicherungsvorrichtungen zur Verfügung, die dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% tun. Es besteht
allerdings die Möglichkeit, mehrere unabhängig voneinander arbeitende Vorrichtungen so
zusammenzuschalten, daß die Gesamtanlage abschaltet, wenn es wenigstens eine der Vorrichtungen tut. Wieviele davon müssen mindestens zusammengeschaltet werden, damit die
vorgegebene Sicherheit erreicht wird? Verwenden Sie zur Beschreibung
(a) Die Anzahl X der abschaltenden (von insgesamt n ∈ N) Vorrichtungen.
(b) Die Nummer Y der ersten (von potentiell unendlich vielen) abschaltenden Vorrichtung, falls diese durchnummeriert sind.
19. In einer Telefonvermittlung gehen im Mittel 300 Anrufe je Stunde ein. Es können maximal
10 Verbindungen je Minute hergestellt werden.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Anzahl der Anrufe in einer konkret
gewählten Minute die Kapazität übersteigt?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Anzahl der Anrufe irgendwann innerhalb
einer Stunde die Kapazität übersteigt?
20. Sei X ∼ Poi(λ). Für welches k ∈ N0 ist P (X = k) am größten?
21. Sie ziehen aus einem Skatblatt (32 Karten, davon 4 Könige) 4 Karten ohne Zurücklegen.
Ist kein König unter den Gezogenen, so bezahlen Sie 1 ¤. Bei einem König gilt das Spiel als
unentschieden. Bei mehr als einem König erhalten Sie für jeden König unter den gezogenen
Karten einen Betrag von B ¤. Wie groß muß B sein, damit das Spiel fair (erwarteter
Gewinn = 0) ist? Wie groß ist in diesem Fall die Varianz des zufälligen Gewinns?
22. Für welche Konstanten x0 , c ∈ R wird die Funktion F gegeben durch


x < x0
0
F (x) = c(1 − cos x) x0 ≤ x < π


1
x≥π
zu einer Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X? Bestimmen Sie den Erwartungswert
von X.
Hinweis: Die Aufgabenstellung wurde mit der Definition der Verteilungsfunktion (linksseitige Stetigkeit) in der Vorlesung in Übereinstimmung gebracht.
23. Für 0 ≤ a < b ≤ ∞ (b = ∞ ist ausdrücklich erlaubt) sei
(
1
a<x<b
2
fa,b (x) := x
0
sonst
(a) Für welche Parameterpaare (a, b) ist fa,b Dichte einer stetigen Zufallsgröße?
(b) Zu den in (a) bestimmten Parameterpaaren sei nun X eine zuf. Größe mit Dichte
fa,b . Berechnen Sie EX und Var X, falls diese existieren.
24. Die Wartezeit X (in Minuten) zwischen zwei telefonischen Bestellungen in einer Taxizentrale genüge einer Exponentialverteilung. In 50% der Fälle vergehen maximal 2 Minuten
bis zum nächsten Anruf.
(a) Ermitteln sie den Parameter λ, sowie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(b) Im Verlauf von 5 Minuten ging keine Taxibestellung ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch in den darauffolgenden 5 Minuten kein Taxi gerufen wird?
25. Rutherford, Chadwick und Eddis studierten die Emission von α-Teilchen aus einer radioaktiven Substanz. Sie fanden, daß die Anzahl der in der Zeit t ausgesandten Teilchen
poissonverteilt ist mit dem Parameter λ(t) = λt für λ = 0, 516.
Es ist aber einfacher für die Messung, sich eine feste Zahl n von Teilchen vorzugeben
und die Zeit bis zur Emission des n-ten Teilchens zu messen. Geben Sie die Verteilung
des Zeitpunktes an, zu dem das n-te Teilchen emittiert wird. Was ergibt sich speziell für
n = 1?
n
R∞ n −x
P
k
1
e−µ µk! = n!
x e dx
(n ∈ N0 , µ > 0)
Hinweis:
k=0
µ
26. In einer Getränkefabrik werden 1-Liter-Flaschen eines Erfrischungsgetränks maschinell abgefüllt. Die Erfahrung zeigt, daß im Mittel 4% aller abgefüllten Flaschen weniger als 0,97
Liter und 3% mehr als 1,03 Liter enthalten. Die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
Flasche wird als Wert einer normalverteilten Zufallsgröße X ∼ N(µ, σ 2 ) angesehen. Bestimmen Sie die Parameter µ und σ 2 .
27. Bestimmen Sie EX und VarX für X ∼ LN(µ, σ 2 ).
Hinweis: Zeigen und benutzen Sie, daß für Z ∼ N(0, 1) und a ∈ R gilt: EeaZ = e
a2
2
.
28. f, F seien die Dichte bzw. Verteilungsfunktion einer stetigen zufälligen Größe X. Bestimmen Sie Dichte sowie Verteilungsfunktion von Y := |X|.
29. X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte
(
αcα u−(1+α)
fX (u) :=
0
falls u ≥ c
sonst
mit Parametern α, c > 0. Berechnen Sie EX und VarX, sofern diese existieren.
Bemerkung: Die Verteilung von X heißt Paretoverteilung. Symbol: X ∼ Par(α, c).
30. Sei X ∼ Exp(λ), λ > 0. Bestimmen Sie für c > 0 Dichte und Erwartungswert von Y := ceX .
31. Die z.G. X genüge einer Weibullverteilung mit den Parametern λ, β > 0, d.h.
(
β
1 − e−λx
für x ≥ 0
FX (x) :=
0
sonst.
Symbol: X ∼ Weib(λ, β).
(a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von X an.
(b) Zeigen Sie: X ∼ Weib(λ, β) genau dann, wenn X β ∼ Exp(λ).
(c) Leiten Sie eine Formel für das n-te Moment von X, d.h. EX n , her. Was ist die Varianz
von X? (Hinweis: Eigenschaften der Γ-Funktion)
32. Welche Verteilung und welchen Erwartungswert besitzt das zufällige Volumen einer Kugel,
wenn der zufällige Radius auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilt ist?
33. Der zuf. Vektor (X, Y ) habe die Dichte
(
fX,Y (u, v) :=
e−v
0
für 0 < u < v
sonst.
Bestimmen Sie die Kovarianz Cov(X, Y ) sowie den Korrelationskoeffizienten ρ(X, Y ), falls
diese existieren. Was sagt dieser Wert des Korrellationskoeffizienten alles über die Abhängikeit von X und Y aus?
34. Seien X, Y ∼ N(0, 1), unabhängig. Welche Verteilungen haben X + Y und X − Y ? Sind
diese unabhängig? (Hinweis: Bestimmen Sie eine Dichte von (X + Y, X − Y ) und stellen
Sie diese, wenn möglich, als Produkt der Randdichten dar.)
35. Die gemeinsame Dichte eines zuf. Vektors (X, Y ) sei
(
ue−uv 0 < u < 1, v > 0
fX,Y (u, v) :=
0
sonst.
Bestimmen Sie die Randdichten von X und Y . Zeigen Sie dabei auch, daß fX,Y tatsächlich
eine Dichte ist. Sind X und Y unabhängig?
36. Seien X, Y ∼ Unif(0, 1) unabhängige Zufallsgrößen. Ermitteln Sie (a) die Verteilungsdichte
sowie (b) Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße Z := XY .
37. Für n ∈ N seien X1 , . . . , Xn i.i.d. (independent and identically distributed), d.h. unabhängig und mit derselben Verteilung. Speziell sei Xk ∼ Exp(1), 1 ≤ k ≤ n. Bestimmen
Sie eine Dichte der gemeinsamen Verteilung von X1 , X1 + X2 , . . . , X1 + · · · + Xn , d.h. des
zufälligen Vektors (S1 , . . . , Sn ), wobei Sk := X1 + · · · + Xk .
38. Bestimmen Sie φX , wenn (a) X ∼ Unif[a, b] und (b) X ∼ Geom(p).
39. Seien X1 , . . . , Xn unabhängig, Xk ∼ Poi(λk ), 1 ≤ k ≤ n. Bestimmen Sie mit Hilfe charakterischer Funktionen Erwartungswert und Varianz von Xk sowie die Verteilung von
X1 + . . . + Xn .
40. Sei X ∼ Exp(λ), λ > 0. Berechnen Sie unter Zuhilfenahme der charakteristischen Funktion
Erwartungswert und Varianz von X, sowie E cos 2X.
√
41. Sei X z.G mit σ := VarX. Das Intervall Ik := (EX − kσ, EX + kσ) heißt k-σ-Intervall.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung eine Abschätzung für die
Wahrscheinlichkeit P (X ∈ Ik ). Vergleichen Sie diese für k = 1, 2, 3 mit den genauen
Werten bei X ∼ N(µ, σ 2 ).
42. Eine Unfallversicherung hat 6000 Versicherte in ihrem Kollektiv. Die Wahrscheinlichkeit,
daß einer der Versicherten im Laufe des Jahres einen Unfall erleidet sei 1/1000. Die Wahrscheinlichkeit, daß jemand mehr als einen Unfall hat, werde vernachlässigt. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß in einem Jahr mindestens drei Versicherungsfälle eintreten?
Benutzen Sie die exakte Verteilung sowie den Poissonschen und den Zentralen Grenzwertsatz.
43. Sei X die zufällige Länge eines Werkstücks. EX = µ sei unbekannt. Erfahrung hat allerdings gezeigt, daß σ 2 = VarX = 0, 01 angenommen werden kann. Mit Hilfe einer Meßreihe
n
P
Xk . Bestimmen
X1 , . . . , Xn ∼ X i.i.d. soll µ durch Snn geschätzt werden, wobei Sn :=
k=1
¯
¡¯ S
¢
Sie N ∈ N, so daß P ¯ nn − µ¯ < 0, 01 ≥ 99% für alle n ≥ N unter Zuhilfenahme
(a) der Tschebyscheffschen Ungleichung
(b) des Zentralen Grenzwertsatzes.